精品解析：安徽省宿州市萧县2025年中考二模考试数学试题

宿州市萧县2024-2025学年度第二学期九年级第二次模考 数学 注意事项： 1．满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的概念求解即可． 【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选：A． 2. 茶产业是我省传统特色优势产业，记者从省农业农村厅获悉，2024年，我省茶叶绿色食品产业全产业链产值超过900亿元．将数据“900亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：900亿； 故选D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，完全平方公式，合并同类项，积的乘方，幂的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用同底数幂的除法，完全平方公式，合并同类项，积的乘方，幂的乘方等运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，该选项正确，符合题意； B. ，该选项错误，不符合题意； C. ，不是同类项无法合并，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，这是某建筑的示意图，则该示意图的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义去判断即可． 本题考查了几何体的俯视图，熟练掌握俯视图的定义是解题的关键． 【详解】解：该几何体的俯视图是, 故选：C． 5. 如图，点A，B，C，D，E在上，且．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，可证明，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行线的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当，，故不符合题意； 故选：B． 7. 反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，求一次函数与反比例函数的解析式；把点的坐标分别代入反比例函数式中求得与的值，再把两点的坐标代入一次函数解析式中，求得的值，即可求得结果． 【详解】解：把点的坐标代入中，得，即， ， 把点的坐标代入中，得，即， ， 把点的坐标分别代入中，得， 解得：， ， 故选：D． 8. 如图，在中，于点D，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，设，利用是两个直角三角形的公共边，结合勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则：， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：A． 9. 已知为实数，且，，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，整式的运算完全平方公式的运算等知识，由，，先把两式相加可得得，即，则有，由得，即，所以，则有，从而有，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， 由，得，即， ∵， ∴， ∴，即， 由，得，即，， ∴， ∴，即， 故选：． 10. 如图，在中，，，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为．设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题是动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，注意分类讨论；求出点与点重合时；分与两种情况，利用相似三角形的判定与性质求出，利用面积三角形公式即可求解，从而确定函数图象． 【详解】解：由题意，得． 当点与点重合时，， ∴， 此时． 当时，， ， ， ， ，此时抛物线开口方向向下； 当时，如图， ， ， ， ， ，此时抛物线开口方向向上， 故选D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式及分式有意义的条件可求解x的取值范围． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 13. 如图，在中，点在轴上，，经过点的反比例函数的图象经过的中点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，勾股定理，中点坐标公式；设点的坐标为，由题意得，由中点坐标得，把点坐标代入反比例函数式中求得的值，即可得点的坐标，再由，即可求得的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴设点的坐标为， ∵， ∴； ∵点是的中点， ， ∵点在反比例函数的图象上， ∴把点坐标代入反比例函数中，得， 解得：； ∴点的坐标， ∵， ， 解得：．负值舍去 故答案为：． 14. 如图，在矩形纸片中，点分别在上．将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为，与交于点． （1）若，则________．（用含的式子表示） （2）若，，则的长为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，再利用折叠的性质易求解； （2）设，则，进而得到，，，，过点作于点，利用相似三角形的性质求出，，，再利用相似三角形的性质和勾股定理求出即可求解． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， ． 由折叠的性质可知，， ， ， ， ． 故答案为： （2）， 设，则． 由折叠的性质可知，， ， ， ， ． 过点作于点， 则四边形是矩形， ，． 矩形纸片中 ，， ， ， ， ， 即， ，， ． ，， ， ， 即， ， ， ． ， ， （负值已舍）， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解相关知识，作出辅助线是解答关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在格点（网格线的交点）上． （1）将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，请作出线段． （2）用无刻度的直尺作出的中点（不写作法，保留作图痕迹）． （3）在上述条件下，连接，请直接写出的长． 【答案】（1） 所作线段如图所示： （2） 所作线段的中点如图所示； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查旋转、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握旋转、矩形的性质及勾股定理是解题的关键； （1）根据旋转的性质可直接进行作图； （2）根据矩形的性质可进行作图； （3）由勾股定理可进行求解 【小问1详解】 解：所作线段如图所示： 【小问2详解】 解：所作线段的中点如图所示； 【小问3详解】 解：由图可知： 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某网店销售A，B两种款式的商品，第一个月A，B两种款式的销售量为400件．第二个月卖出A款商品的数量比第一个月多15％，卖出B款商品的数量比第一个月少20％，这两种款式的商品的总销量增加了25件．问第一个月A，B两种款式的商品各卖了多少件？ 【答案】第一个月款商品卖出件，款商品卖出件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．设第一个月款商品卖出件，款商品卖出件．根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设第一个月款商品卖出件，款商品卖出件． 得 解得 答：第一个月款商品卖出件，款商品卖出件． 18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． （1）请补全横线上所缺的内容． （2）若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 【答案】（1）①；②；③；④． （2），或，． 【解析】 【分析】本题考查了勾股数及其应用． （1）根据解题过程，结合上下文即可完成； （2）分三种情况：；；，分别求出n，由（1）中结论即可求出余下两个数． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴为勾股数． ①；②；③；④． 【小问2详解】 解：分三种情况： ①若，则， ， ； ②若，则， ， ； ③若，则不是有理数，故舍去． 综上所述，，或，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，A，B是两个海岛，海岛B在海岛A的正东方向，一艘渔船从海岛A出发，沿北偏东的方向航行80海里，到达点C处捕鱼，捕完之后沿南偏东的方向驶向海岛B，求两海岛A，B之间的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，，，） 【答案】海岛，之间的距离约为97.6海里． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．过点作于，在中，海里，得，，求出海里，海里，在中，，得出，即，解得海里，根据线段的和差即可求出． 【详解】解：过点作于， 由题意得：，， 在中，，海里， ，， 即，， 海里，海里， 在中，， ，即， 解得海里， （海里）， 答：海岛，之间的距离约为97.6海里． 20. 如图1，四边形内接于，平分，交于点E，过点D作的切线，交的延长线于点F． （1）求证：． （2）如图2，若经过圆心O，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，并延长交于点M，连接，根据是的切线，得出，即，根据圆周角定理得出，即可得．根据圆周角定理得出，证出．根据平分，得出，即可得，证出． （2）设，则，勾股定理求出．根据平分，得出，，从而得出，．证明，得出．如图2，过点作于点，则，勾股定理得出，从而得．根据，列方程得出，．由（1），可得，证出，即可求出． 【小问1详解】 （证法不唯一）证明：如图1，连接，并延长交于点M，连接． 是的切线， ， ， 是的直径， ， ， ． ∵， ∴， ． ∵， ∴ 平分， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 设，则， 是的直径， ， ， 平分， ，， ，， ， ， ，即， 如图2，过点作于点， 则， ， ， ， ，即， ． 由（1），可得， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等等，正确作出辅助线是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 某校准备从八年级学生中选拔部分学生参加市中学生辩论赛，八（1）班共有10名学生报名参加，报名的学生需进行自我介绍、即兴演讲、回答问题三项测试，每项测试均由5位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将自我介绍、即兴演讲、回答问题三项的测试成绩按如下扇形统计图（图1）的比例计算出每人的综合成绩．小涵即兴演讲和回答问题两项的测试成绩分别为84分和82分，这10名学生的综合成绩频数分布直方图（图2）（每组含最小值，不含最大值）如下． （1）在自我介绍测试中，五位评委给小涵打出的分数分别为83，84，79，80，89．这组数据的中位数是______，平均数是______． （2）在（1）的条件下，请计算小涵的综合成绩．班主任根据综合成绩择优选取5名学生推到学校里进行选拔，试分析小涵能否人选，并说明理由． （3）若5位评委中有2位评委来自第三方机构，其余3位评委为本校老师，小涵在即兴演讲环节中，有2位评委给了满分，求给满分的2位评委中只有1位是来自第三方机构的概率． 【答案】（1）83，83 （2） 小涵的综合成绩是：（分），小涵能入选． 理由：由频数分布直方图，可得综合成绩低于80分的学生有5名，而小涵的综合成绩为83.1分，高于80分， 班主任根据综合成绩择优选取5名学生推到学校里进行选拔，小涵能入选． （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、中位数、平均数、树状图求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中位数和平均数的定义求解； （2）根据扇形统计图算出综合成绩，由频数分布直方图进行判断； （3）设2位第三方机构的评委为，3位本校老师的评委为，画出树状图即可求解． 【小问1详解】 解：将数据从小到大排列：； ∴中位数为，平均数为； 故答案为：；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设2位第三方机构的评委为，3位本校老师的评委为，画出树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中只有1位是第三方机构的评委的可能结果有12种， 故给满分的2位评委中只有1位是来自第三方机构的概率为． 七、（本题满分12分） 22. 已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）已知点在抛物线上，设点的横坐标为． 若点在第二象限，连接，交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示）； 若点在第四象限，求的面积的最大值． 【答案】（1）抛物线的函数表达式； （2）点的坐标；的面积的最大值为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求函数解析式即可； （）过作轴于点，证明，则，由点在第二象限，所以，故，，代入得，然后求出的值即可求解； 连接，，过作轴于点，交于点，求出解析式为，则，然后由，所以，最后由二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式； 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上，点的横坐标为， ∴， 如图，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标； 如图，连接，，过作轴于点，交于点， 设解析式为， 把，代入得， ∴，解得：， ∴解析式为， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，为． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在四边形中，，E是上的一点，连接，，且，，点F在的延长线上，且，连接，． （1）求证：． （2）如图2，连接，交于点G． ①求证：． ②若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． （2）①证明：由（1）可得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）根据，得出．结合，得出，证出，即可得．证明，得出．根据，得出．结合，得出，证出．结合，证出四边形是平行四边形，得出，即可证明． （2）①由（1）可得，得出．证明，得出，即可证明． ②由（1）可得，，即可得，，证出，即可得，．证明，得出，即可得．结合，得出，解得或（不符合题意，舍去），即可求出． 【小问1详解】 ；略 【小问2详解】 ①略 ②解：由（1）可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即， 两边除以，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿州市萧县2024-2025学年度第二学期九年级第二次模考 数学 注意事项： 1．满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 茶产业是我省传统特色优势产业，记者从省农业农村厅获悉，2024年，我省茶叶绿色食品产业全产业链产值超过900亿元．将数据“900亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是某建筑的示意图，则该示意图的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A，B，C，D，E在上，且．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 如图，在中，于点D，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知为实数，且，，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为．设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子有意义，则的取值范围是________． 12. 因式分解：________． 13. 如图，在中，点在轴上，，经过点的反比例函数的图象经过的中点，则________． 14. 如图，在矩形纸片中，点分别在上．将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为，与交于点． （1）若，则________．（用含的式子表示） （2）若，，则的长为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组： 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在格点（网格线的交点）上． （1）将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，请作出线段． （2）用无刻度的直尺作出的中点（不写作法，保留作图痕迹）． （3）在上述条件下，连接，请直接写出的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某网店销售A，B两种款式的商品，第一个月A，B两种款式的销售量为400件．第二个月卖出A款商品的数量比第一个月多15％，卖出B款商品的数量比第一个月少20％，这两种款式的商品的总销量增加了25件．问第一个月A，B两种款式的商品各卖了多少件？ 18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． （1）请补全横线上所缺的内容． （2）若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，A，B是两个海岛，海岛B在海岛A的正东方向，一艘渔船从海岛A出发，沿北偏东的方向航行80海里，到达点C处捕鱼，捕完之后沿南偏东的方向驶向海岛B，求两海岛A，B之间的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，，，） 20. 如图1，四边形内接于，平分，交于点E，过点D作的切线，交的延长线于点F． （1）求证：． （2）如图2，若经过圆心O，且，求的值． 六、（本题满分12分） 21. 某校准备从八年级学生中选拔部分学生参加市中学生辩论赛，八（1）班共有10名学生报名参加，报名的学生需进行自我介绍、即兴演讲、回答问题三项测试，每项测试均由5位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将自我介绍、即兴演讲、回答问题三项的测试成绩按如下扇形统计图（图1）的比例计算出每人的综合成绩．小涵即兴演讲和回答问题两项的测试成绩分别为84分和82分，这10名学生的综合成绩频数分布直方图（图2）（每组含最小值，不含最大值）如下． （1）在自我介绍测试中，五位评委给小涵打出的分数分别为83，84，79，80，89．这组数据的中位数是______，平均数是______． （2）在（1）的条件下，请计算小涵的综合成绩．班主任根据综合成绩择优选取5名学生推到学校里进行选拔，试分析小涵能否人选，并说明理由． （3）若5位评委中有2位评委来自第三方机构，其余3位评委为本校老师，小涵在即兴演讲环节中，有2位评委给了满分，求给满分的2位评委中只有1位是来自第三方机构的概率． 七、（本题满分12分） 22. 已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）已知点在抛物线上，设点的横坐标为． 若点在第二象限，连接，交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示）； 若点在第四象限，求的面积的最大值． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在四边形中，，E是上的一点，连接，，且，，点F在的延长线上，且，连接，． （1）求证：． （2）如图2，连接，交于点G． ①求证：． ②若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $