精品解析：湖南长沙市第二十一中学2026届高三下学期四月月考数学试题

2026届高三四月月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求解一元二次不等式解得集合，再求交集即可. 【详解】因为， 又， 故可得. 故选：B. 2. 设（是虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 将代入进行化简，再计算复数的模即可. 【详解】由知，，， 故选：B. 3. 下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用基底的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，，为零向量，、不能作为基底，A不满足条件； 对于B选项，，，则，、不能作为基底，B不满足条件； 对于C选项，，，则，、不能作为基底，C不满足条件； 对于D选项，，，因为，则、不共线， 、能作为基底，D满足条件. 故选：D. 4. 已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先应用对数运算得出，再应用等比数列求和计算求值即可. 【详解】由题得，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则， 所以，即，故的最大值为9． 故选：A. 5. 过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（ ） A. 18 B. 30 C. 36 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，分棱柱侧棱与底面边、棱柱侧棱与侧面对角线、底面边与侧面对角线、底面边与底面边、侧面对角线与侧面对角线五类依次计数即可得答案. 【详解】解：如图，分以下几类： 棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有：对； 棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对； 底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对； 底面边与底面边之间所构成的异面直线有：对； 侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对； 所以共有对. 故选：C. 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，异面直线的判断，分类加法计数原理，解题的关键在于根据题意合理分类，做到不重不漏，进而解决，是难题. 6. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出的图象，数形结合可得，，，且，再由，可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】函数的图象如下所示： 因为，且，令， 则，由图可知，，，且、关于对称， 所以， 又，则， 所以， 因为，所以，即的取值范围是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是数形结合得到、，从而将目标式子转化为关于的函数. 7. 已知，为两个不重合的平面，，为两条不重合的直线，且，.记直线与直线的夹角和二面角均为，直线与平面的夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】直线为，点在平面的投影为，作于，连接，，化简整理得到，再根据三角函数关系，依次计算每个选项判断得到答案. 【详解】如图所示：直线为，点在平面的投影为，作于，连接，. 则，，设，则，. ，即. 当时，则 ，故，易知，故，正确； 当时，要证，即，即，不恒成立，故错误； 当时，则，故错误； 当时，要证，即，即，不恒成立，故错误； 故选：. 【点睛】本题考查了线线夹角，线面角，二面角，三角函数关系，意在考查学生的综合应用能力. 8. 当变化时，不在直线上的点构成区域G，是区域G内的任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例排除AD选项，利用取值为时，推出矛盾，由此排除选项B，即可得解. 【详解】令，代入直线方程有，无解， 故是区域内的点，将代入值为，故排除AD选项. 若，不妨设，代入解得， 将代入直线方程化简得，其判别式为，有解， 因为不在区域内，故，排除B选项.综上所述，选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若x，y满足，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假，其中C选项，利用三角换元及三角恒等变换进行求解. 【详解】因为（R），由可变形为， ，解得，当且仅当时，， 当且仅当时，，故A正确，B错误； 由可变形为，解得， 当且仅当时取等号，故D正确； 因为变形可得， 设，所以， 因此 ，所以当时，即时， 此时，取到最大值2，故C错误. 故选：AD. 【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10. 已知数列满足，，为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】综合运用导数与函数、不等式及数列的知识解决问题. 【详解】对于C，由知：n=1时，， 假设 ，则 ，矛盾，所以 ， 类推可知：， 又设 ， ， 故 即时， ， 因此 ，即 ， 整理得： ， 因为 ，所以 ， 所以成立，即C正确； 对于A，由，，用累加法可得： ， 所以 ，故A正确； 对于B，由知 ，所以 ，B错误； 对于D，由C可得，设，单调递增， 且，所以符合题意； 当时，， 累乘可得： ，D正确. 故选：ACD. 【点睛】构造函数，研究函数的性质从而得到关于数列的不等式进而运用数列、不等式的 知识是解决问题的关键. 11. 已知定义在上的函数满足，当，时，.下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法得到，由此判断出的奇偶性.利用赋值法求得，进而求得，根据函数单调性的定义，计算的符号来判断函数的单调性. 【详解】令，可得. 令，可得.因为当时，，所以. 令，可得. 因为，所以当时，. 又因为当时，，所以当时，. 令，可得，① 所以，两式相加可得. 令，可得.② ①-②可得， 化简可得，所以是奇函数，C正确. 由，可得： ，B错误. 由可得解得，A正确. 令，可得. 令，则. 因为当时，，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上单调递增，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求出球半径即可. 【详解】在中，由，得，则， 外接圆半径，设球半径为，依题意，， 即，， 所以球的表面积. 故答案为：. 13. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造，利用基本不等式，即可求解. 【详解】设两曲线的半焦距为，由余弦定理得：， 在椭圆中，， 又，，， 则，即， 在双曲线中，， 又，，， 则，即， 从而，得，0 则，，即， 则，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用椭圆，双曲线定义及余弦定理得到，进而利用基本不等式求解即可. 14. 已知函数，下列说法正确的是__________.的值域是；当时，方程 有两个不等实根；若函数有三个零点时，则；经过有三条直线与相切. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①：结合导数，用函数的单调性和奇偶性，求得的值域；②利用导数，证得方程 有两个不等实根；③根据为偶函数，故可先考虑的情况，再由对称性得到的情况.当时，首先确定是函数的零点，令，分离常数，利用导数求得的取值范围.再根据对称性，求得的取值范围.④利用导数，求得过的切线的条数. 【详解】①函数的定义域为，且，所以为偶函数，图像关于轴对称.当时，，，.令解得，所以在上递减，在上递增，，所以，所以在上单调递增，从而.由于为偶函数，所以在上单调递减，且.所以的值域是.故①正确. ②显然，是方程的根.方程可化为.当时，即.根据①的分析，结合图像可知，当时与的图像没有公共点.故只需考虑的情况.由得，即.构造函数，，，令，解得.所以在上递减，在上递增，且，所以存在，使得.故在上递减，在上递增.，所以存在，使.综上所述，当时，方程 有两个不等实根成立，故②正确. ③为偶函数，故可先考虑的情况.当时，函数为，故方程有三个不相等的实数根.首先是方程的根. 先证：令，，，令解得.所以在上递减，在上递增.，当，.若，即，则在区间上先减后增，在区间上至多只有两个零点，不符合题意.故. 故下证：当时，由得有两个不同的实数根.构造函数，.令，，,所以在上单调递增，所以当时，.所以由可知在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，所以. 综上所述，的取值范围是.由于为偶函数，根据函数图像的对称性可知的取值范围是.故③正确. ④当时，设经过点的切线的切点为，，，故切线方程为，将代入上式得，化简得.令，，,所以在上单调递增.所以方程解得或.所以当时，有两条切线.根据为偶函数，所以当时，也有两条切线方程. 所以经过有四条直线与相切，④错误. 特别的，当时，，，即当时，在处的切线的斜率为.当时，，即当时，在处的切线的斜率为. 故答案为：①②③ 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查利用导数研究函数零点问题，考查利用导数研究函数图象的切线，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知首项大于0的等差数列的公差，且； （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，，，其中； ①求数列的通项； ②是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； 【答案】（1）（）；（2）①；② 存在，； 【解析】 【分析】（1）由可得：，再利用等差数列通项公式代入，求得的值，即可得到答案； （2）由转化得到，再利用整体换元令，求出后，进而求得数列的通项； （3）假设存在使数列为等比数列的，利用，求出的值后，再进行验证. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以（）； （2）①因为， 所以， 令，则，， 所以时，， 所以数列的通项为. ②因为，，， 所以若数列为等比数列，则有， 即或， 当时，， 不是常数，数列不为等比数列； 当时，，，数列为等比数列； 所以存在实数，使得数列为等比数列. 【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比数列通项公式的求解、数列递推关系、探究性问题，考查转化与化归思想、整体思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，对数列递推关系的等价变形能力要求较高. 16. 已知二次函数及函数，函数在处取得极值． （Ⅰ）求所满足的关系式； （Ⅱ）是否存在实数，使得对（Ⅰ）中任意的实数，直线与函数在上的图像恒有公共点？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据极值定义列式，即得，再代入验证得范围，（Ⅱ）先分离变量，转化为求对应函数值域，利用导数分类讨论函数单调性，进而确定单调性，最后根据单调性确定函数值域，即得结果. 【详解】（Ⅰ）由已知得， 依题意得：，即， 代入得 要使在处有极值，则须，即， 所以所求满足的关系式为且． （Ⅱ）由题意得方程在时总有解，所以在时总有解， 设，则， ①当且，时，，在时单调递减，，，； ②当时，令得：，时，，单调递减，时，，单调递增， ，， 若，则，， 若，则，； ③当时，，在时单调递增， ，，； 设集合，， ，， 所以要使直线与函数在上的图像恒有公共点，则实数的取值范围为：，所以存在实数满足题意，其取值范围为． 【点睛】本题考查利用导数研究函数极值以及利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属较难题. 17. 如图所示，已知平面，分别是的中点，. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由中位线定理可得，再根据线面平行的判定即可推理作答. （2）由线面垂直的性质、判定证明平面，再利用面面垂直的判定推理作答. 【详解】（1）因为分别是的中点，则，而平面，平面， 所以平面． （2）因为平面，平面，则， 而，，平面，则有平面，又平面， 所以平面平面． 18. 我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p（0＜p＜1），且各个芯片的生产互不影响． （1）试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，． ①求p； ②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检，已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率． （2）视p为概率，记从试产的芯片中随机抽取n个恰含m（n＞m）个次品的概率为，求证：在时取得最大值． 【答案】（1）①，② （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①由题意可知两道生产工序互不影响，利用对立事件可求；②依题意可利用条件概率公式求抽检的一个芯片是合格品的概率； （2）依题意可知，求导后利用导数研究的单调性，即可证明结论成立. 【小问1详解】 ①因为两道生产工序互不影响， 法一：所以． 法二：所以． 答：该款芯片的次品率为； ②记该款芯片自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B， 且． 则人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率：． 答：人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率为； 【小问2详解】 因为各个芯片的生产互不影响，所以， 所． 令，得， 所以当时，为单调增函数； 当时，为单调减函数， 所以，当时，取得最大值． 19. 定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线上一点，且与曲线在点处的切线垂直的直线称为曲线在点处的法线．设点为抛物线上一点． （1）求抛物线在点处的切线的方程（结果不含）； （2）求抛物线在点处的法线被抛物线截得的弦长的最小值，并求此时点的坐标． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）先化简求导确定切线斜率，再按照在点处的切线方程进行求解； （2）先联立法线和抛物线方程，借助弦长公式表示弦长，最后换元构造函数，求导确定最小值. 【小问1详解】 因为点在抛物线上方，所以由得. ，所以在点处的切线斜率，所求切线方程为， 又，故切线方程为，即. 【小问2详解】 点处的法线方程为，即.联立抛物线， 可得，可知，设，， 所以.令，则， 令，， 所以在单调递减，在单调递增，所以，即， 此时点的坐标为. 【点睛】（1）关键在于化简出时的抛物线方程，借助求导确定切线斜率； （2）写出法线方程，联立抛物线求弦长是通用解法，关键在于换元构造函数之后，借助导数求出最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三四月月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 设（是虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. 过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（ ） A. 18 B. 30 C. 36 D. 54 6. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，为两个不重合的平面，，为两条不重合的直线，且，.记直线与直线的夹角和二面角均为，直线与平面的夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 当变化时，不在直线上的点构成区域G，是区域G内的任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若x，y满足，则（ ）. A. B. C. D. 10. 已知数列满足，，为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 已知定义在上的函数满足，当，时，.下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积为______． 13. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为______. 14. 已知函数，下列说法正确的是__________.的值域是；当时，方程 有两个不等实根；若函数有三个零点时，则；经过有三条直线与相切. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知首项大于0的等差数列的公差，且； （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，，，其中； ①求数列的通项； ②是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； 16. 已知二次函数及函数，函数在处取得极值． （Ⅰ）求所满足的关系式； （Ⅱ）是否存在实数，使得对（Ⅰ）中任意的实数，直线与函数在上的图像恒有公共点？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由． 17. 如图所示，已知平面，分别是的中点，. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 18. 我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p（0＜p＜1），且各个芯片的生产互不影响． （1）试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，． ①求p； ②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检，已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率． （2）视p为概率，记从试产的芯片中随机抽取n个恰含m（n＞m）个次品的概率为，求证：在时取得最大值． 19. 定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线上一点，且与曲线在点处的切线垂直的直线称为曲线在点处的法线．设点为抛物线上一点． （1）求抛物线在点处的切线的方程（结果不含）； （2）求抛物线在点处的法线被抛物线截得的弦长的最小值，并求此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $