专题3 分式方程与不等式2026年中考数学三轮复习考点突破

2026年中考数学三轮复习 考点突破 专题3 分式方程与不等式 一、中考中的“分式方程” 1．解分式方程 时，去分母正确的是(　　) A．2x-2=2x-1 B．2x-2=-(2x-1) C．2x-2(x-3)=-(2x-1) D．2x-2(x-3)=2x-1 2．古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降.某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米.设从开始到水深变为20厘米共经过t小时，则下列方程正确的是(　　) A． B． C． D． 3．记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文， .”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文， ”设绫布有尺，则可得方程为，根据此情境，题中“ ”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　） A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文 4． 若关于X的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．-3 B．-2 C．2 D．3 5．解分式方程： 6．如果关于x的分式方程 无解，那么实数m的值为(　　) A．- 1 B．1或0 C．1 D．1或-1 7．已知a，b满足，已知为正数，则　 　． 8．小明解分式方程如下图所示，小慧认为小明过程有错误，请指出过程中首次出错的是 (填序号)，并给出正确的解题过程． 解方程： 解：去分母得，------① 移项得，----------------② 所以，--------------------③ 经检验：不是原方程的根，原方程无解.----④ 9．已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为　 　． 10．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为　 　． 11．已知关于x的分式方程的解为正数，则非正整数m的和为（　　） A． B． C． D． 12．华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程的根的情况是（　　） A．有三个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 13．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（　　） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 14．某商店经销一种产品，4月份的销售额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种产品打9折销售，结果销售量增加20件，销售额增加700元． （1）求该产品4月份的销售价格； （2）若5月份每件产品盈利，6月份以5月份的售价继续销售这种产品，且在这3个月的销售利润不低于2450元，求6月份至少销售该产品多少件． 15．初四学年为了鼓励学生的文体生活，组织了一次文体活动，准备一次性购买若干支钢笔和签字笔作为奖品，已知每支签字笔的价格是每支钢笔价格的，且用80元购买签字笔的数量比用80元购买钢笔的数量多3支. （1）购买一支钢笔和一支签字笔各需多少元? （2）学校准备购买钢笔和签字笔共80支，根据规定，购买的总费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔? 二、中考中的不等式（组） 16．若实数 a、b满足a<b，则下列式子成立的是（　　） A．a-1<b-1 B．- a<-b C． D． 17．一个不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解为(　　) A．x>1 B．x≤4 C．1≤x<4 D．1<x≤4 18．不等式组的解集是　 　 . 19．下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第 步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 20．一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售(不计分割损耗).已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克.若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为(　　) A．25% B．30% C．35% D．40% 21．已知实数a，b满足a-b-1=0，0<a+b+1≤1，则a+2b-3的值可以是 （　　) A．-1 B．-4 C．-5 D．-9 22．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 23．若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 　 　. 24．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数a的和为　 　 . 25．三个连续正整数的和小于33，这样的正整数共有（　　） A．8组 B．9组 C．10组 D．11组 26．如果是一个不等于的负整数，那么，，，这几个数从小到大的排列顺序是（　　） A． B． C． D． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：， 方程两边乘以去分母得：． 故答案为：C . 【分析】方程左右两边同时乘以化为整式方程即可． 2．【答案】D 【解析】【解答】解： 设从开始到水深变为20厘米共经过t小时， 列方程为 ， 故答案为：D. 【分析】设从开始到水深变为20厘米共经过t小时，根据“ 水匀速滴出，水位均匀下降.某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米 ”列分式方程即可解答. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10-x=(30-x)尺， 设绫布有x尺，则可得方程为， ∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文， 故答案为：C. 【分析】绫布有必尺，则罗布有(30-x)尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；根据方程得到绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：方程的分母为x-3，令x-3=0，得增根为x=3， 方程两边同乘(x-3)，得2+m=x-3， 将增根x=3代入整式方程：2+m=3-3， 解得m=-2. 故答案为：B . 【分析】分式方程有增根，意味着去分母后整式方程的解使原分式分母为 0。先确定增根 x=3，再将分式方程化为整式方程，把增根代入即可求出 m 的值。 5．【答案】解：等式两边同时乘(x+3)(x-3)得： 2(x+3)-(x-3)=0， 解得x=-9 经检验，x=-9是分式方程的解， ∴原方程的解为x=-9. 【解析】【分析】分式方程两边同时乘以(x+3)(x-3)，化为整式方程，求出整式方程的解并检验解答即可. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：原方程去分母得， 整理得， 当时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故答案为： . 【分析】将原方程去分母整理得，分为整式方程无解或整式方程的解是分式方程的增根两种情况求出m的值解答即可． 7．【答案】 【解析】【解答】解：由题可得， 即， ∴ 解得：或（舍去） 故答案为： . 【分析】原等式化为，然后解方程求出x的值并检验解答即可. 8．【答案】出错的是①， 解：去分母得， 移项得， 所以，， 经检验：是原方程的根. 【解析】【分析】根据题干中的解方程的步骤先判断再写出正确的解题步骤即可. 9．【答案】或 【解析】【解答】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，此时满足原方程无解； 当，即时，解得， ∵原方程无解， ∴是原方程的增根， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或． 【分析】 先将分式方程化为整式方程，再分整式方程无解和整式方程的解为增根两种情况讨论，求出a的值即可． 10．【答案】且 【解析】【解答】解：原方程去分母，得，得：且， ∵关于的方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故答案是：且． 【分析】 先把当作常数解关于x的分式方程，再根据解为正数列出关于m的不等式并结合分式有意义的条件求解即可． 11．【答案】A 【解析】【解答】解：方程两边同乘得，， ∴， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴x>0且x-1≠0， ∴且， ∴且， ∴符合条件的非正整数为0，， ∴． 故选：A． 【分析】先解分式方程得，再根据分式方程的解是正数及分母≠0，列出不等式，进而得出答案. 12．【答案】A 【解析】【解答】解：依题意，函数与的函数图象如图所示， 根据函数图象可知图象共有3个交点，即方程有3个根， 故答案为：A． 【分析】 方程可变形为，可把原方程根理解为函数图象的交点的横坐标，观察图象交点的个数即得结论. 13．【答案】D 【解析】【解答】解：解不等式组，得， 不等式组无解， ， ， 分式方程， 方程的两边同时乘， 得，， 整理得，， ， 方程有整数解， 或或或， 或或或或或或或， ，， ， 或或， 故答案为：D． 【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组无解，可得到关于a的不等式，求出a的取值范围；再解分式方程，根据分式方程的解为整数，可确定出a的值. 14．【答案】（1）解：设该种纪念品4月份的销售价格为x元 根据题意得： 解得：x=50， 经检验x=50是原分式方程的解，且符合实际意义 答：该产品4月份的销售价格为每件50元 （2）解：由(1)得：该种纪念品4月份的销售价格是50元，该种纪念品5月份的销售价格是50×0.9=45(元)， ∵5月份每件纪念品盈利50%， ∴设进价为a元，则a(1+50%)=45， 解得：a=30， 即每件纪念品进价为30元， 故4月份的利润为：(元) 5月份的利润为：(元) 设6月份销售这种纪念品b件，根据题意可得： 则800+900+(45-30)b≥2450， 解得：b≥50， 答：6月份至少销售该产品50件 【解析】【分析】(1)等量关系为：4月份营业数量=5月份营业数量-20； (2)算出4月份的数量，进而得出4月份的获利，进而算出5月份的售价及每件的盈利，乘以5月份的数量即为5月份的获利，再表示出6月份的获利，即可得出不等关系求答案. 15．【答案】（1）解：设购买一支钢笔需元，则购买一支签笔需元. 由题意，得，解得. 经检验是原方程的解.∴。 答：购买一支钢笔需16元，一支签字笔需10元 （2）解：设学校购买a支钢笔. 由题意，得16a+10(80-a)≤1100. 解得a≤50. 答：学校最多可以购买50支钢笔 【解析】【分析】（1）由题意设钢笔的单价可得签笔字的价格 ，列出分式方程求解并检验即可； （2）设购买钢笔a支，可得签字笔80-a支，列出不等式并解即得钢笔的范围. 16．【答案】A 【解析】【解答】解：∵a＜b， ∴ a-1<b-1 ；-a＞-b； 当b＞0时：，当b＜0时：； 当a＜b＜0时：a2＞b2， ∴式子A成立；B，C，D均不成立 故答案为：A. 【分析】根据不等式的性质，逐项进行判断，即可得出答案。 17．【答案】D 【解析】【解答】解：由图示可看出，从1出发向右画出的折线且表示1的点是空心圆，表示x>1；从4出发向左画出的折线且表示4的点是实心圆，表示 所以这个不等式组的解集为 故答案为：D. 【分析】根据数轴上表示的取值范围得到不等式组的解集即可. 18．【答案】-2＜x≤2 【解析】【解答】解：解不等式2x+4>0，得x>-2， 解不等式8-3x≥2，得x≤2， ∴不等式组的解集为-2<x≤2 故答案为：-2<x≤2. 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集. 19．【答案】①一 ②去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 【解析】【解答】解：①第一步，去分母错误， 故答案为：一； 【分析】①由题母解答过程逐步分析得到错误步骤； ②根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解一元一次不等式即可． 20．【答案】D 21．【答案】B 【解析】【解答】解：由a−b−1=0，可得a=b+1。 将a=b+1代入不等式0<a+b+1≤1，得到0<(b+1)+b+1≤1，即0<2b+2≤1。 不等式两边同时减 2，得−2<2b≤−1，再两边同时除以 2，解得−1<b≤−1/2​。 接下来将a=b+1代入a+2b−3，得a+2b−3=(b+1)+2b−3=3b−2。由−1<b≤−0.5，不等式两边同时乘 3，得−3<3b≤−1.5，再两边同时减 2，得−5<3b−2≤−3.5，即a+2b−3的取值范围是−5<a+2b−3≤−3.5。 对照选项：A 选项−1不在该范围内，B 选项−4在−5与−3.5之间，C 选项−5是开区间端点，不包含，D 选项−9不在范围内，因此只有−4符合条件，答案选 B。 故答案为：B. 【分析】先由a−b−1=0用b表示a，代入不等式0<a+b+1≤1求出b的取值范围，再将a=b+1代入a+2b−3，转化为关于b的一次式，进而求出其取值范围，最后对照选项判断。 22．【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 的取值范围是， 故答案为：B． 【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出关于x的不等式组，解不等式组并结合“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求解． 23．【答案】-4＜m≤-3 【解析】【解答】解：解不等式组，得：， ∵关于x的不等式组有2个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】解两个不等式求出不等式解集，根据题意得到关于的不等式组，求出m的取值范围解答即可． 24．【答案】11 【解析】【解答】解：解不等式组得：， 因为不等式组有且只有4个整数解， 所以可知， 解得， 故满足条件的整数a的和为5+6=11. 故答案为： 11. 【分析】分别解两个一元一次不等式，然后根据题目中只有4个整数解，可以得到关于a的不等式组，解之可得a的取值范围，进而求出满足条件的整数a的和。 25．【答案】B 26．【答案】B 【解析】【解答】解：． ∵是一个不等于的负整数， ∴m<0，m+1<0，，． ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． 故选：B． 【分析】根据作差比较法比较大小，结合分式的加减，不等式的性质即可求出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $