专题一 第一讲 统计图表与样本数字特征 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

2026届高三二轮复习 专题一 统计概率 第一讲 统计图表与样本数字特征 【基础知识整合】 1.四种常见统计图表的特点 （1）条形统计图的特点：它能直观地反映每组中数据的个数；能直观地反映出数据之间的差别． （2）扇形统计图的特点：能直观地反映每组数据占总数的百分比，及各部分之间的关系． （3）折线统计图的特点：易于显示数据变化趋势，可以直观地反映这种变化以及各组之间的差别。 2.样本的数字特征 （1）众数、中位数、平均数 ①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．众数不一定是唯一的。 ②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． ③平均数：如果有n个数x1，x2，……，xn，那么＝叫做这n个数的平均数． （2）极差、方差、标准差 ①极差：一组数据中最大值与最小值的差 ②方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] (xn是样本数据，n是样本容量，是 样本平均数，方差越小数据越稳定。 ③标准差：s＝，标准差是样本数据到平均数的一种平均距离 ④若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a，方差为m2s2. ⑤一般地,设样本中不同层的平均数和相应权重分别为和w1,w2,…,wn,则这个样本的平均数为记作；样本中不同层的平均数分别为方差分别为，,…,,相应的权重分别为w1,w2,…,wn,则这个样本的方差为s2=,其中为这个样本的平均数． 3．频率分布直方图 （1）在频率分布直方图中，纵轴表示频率与组距的比值，数据落在各小组内的频率用小长方形的面积表示，所有长方形面积之和等于1． （2）频率分布直方图得到样本数据的数字特征：众数：是指出现次数最多的数，体现在频率分布直方图中，是指高度最高的小矩形的宽的中点的横坐标；中位数：是指从左往右小矩形的面积之和为处的横坐标；平均数：由各小矩形的宽的中点的横坐标乘以相应小矩形的面积，然后求和得到。 4.离散型随机变量的均值和方差 (1)均值和方差的定义： 若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则随机变量X的均值E(X)=xipi，方差D(X)=E(X 2)-(E(X))2=pi； (2)均值和方差的性质：E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X). 【典例精析与变式训练】 例1：某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙,理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：      用样本估计总体，以下四个选项正确的（    ） A．丁险种最受参保人青睐 B．随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C．30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D．30～41周岁参保人数最多 【答案】ABD 【分析】利用条形图、折线图、扇形图一一分析选项即可. 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例最高，即A正确； 对于B，由折线图可知，参保费用随年龄增长而增长，即B正确； 对于C，由扇形图可知，30周岁以下参保人数占总参保人数的20%， 所以30周岁以上参保人数占总参保人数的80%，即C错误； 对于D，由扇形图可知，30～41周岁参保人数占比最多，即D正确. 故选：ABD 【变式训练1】给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（   ）    A．从折线图能看出世界人口的变化情况 B．2050年非洲人口将达到大约13亿 C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 D．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 【答案】AC 【分析】从折线统计图能看出世界人口的变化情况，可判定A正确；从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到18亿，可判定B错误；从扇形统计图表中可得2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，可判定C正确；由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，可判定D错误. 【详解】对于A中，从折线统计图能看出世界人口的变化情况，所以是正确的； 对于B中，从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到18亿，所以是错误的； 对于C中，从扇形统计图表中能够明显的得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，所以是正确的； 对于D中，由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，所以是不正确的. 故选：AC. 例2：某市10个景点游客综合满意度评分分别为90，92，95，96，98，95，95，95，93，95，则（   ） A．该组数据的平均数为94 B．该组数据的众数与中位数相同 C．该组数据的极差为8 D．该组数据的方差为4.44 【答案】BCD 【详解】将数据从小到大排序：, 该组数据的平均数为，故A不正确； 该组数据的众数为，中位数为，故B正确； 该组数据的极差为，故C正确； 该组数据的方差为,故D正确 【变式训练2】某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标．将7个厂商的报价（单位：元/个）整理得如下数据：10，9.9，9.9，10.2，9.8，10，10.1，则这组数据的（   ） A．极差为0.5 B．平均数为10 C．众数为9.9和10 D．分位数为10 【答案】CD 【详解】由题意，极差为，故A错误； 平均数为，故B错误； 这组数据中9.9和10均出现了两次，故众数为9.9和10，故C正确； 将这组数据从小到大排列为：9.8，9.9，9.9，10，10，10.1，10.2， 因为，所以分位数是第5个数，为10，故D正确. 例3：为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（    ） A．对应矩形的高度为 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】ABC 【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在的频率和的频率，可得到70百分位数的范围. 【详解】设对应矩形的高度为，则， 解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，D选项错误. 【变式训练3】某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算：得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（    ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为71.43 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【答案】ACD 【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，列等式求出实数的值，可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用总体平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项． 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 则，解得，故A正确； 对于B选项，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 设该年级学生成绩的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，故B错误； 对于C选项，估计成绩在分以上的同学的成绩的平均数为 分，故C正确； 对于D选项，估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 ，故D正确． 故选：ACD． 例4：若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 0.25 则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误． 【变式训练4】已知随机变量X、Y，且的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P m n 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由分布列的性质和期望公式求出可判断ABC；由方差公式可判断D. 【详解】由可得：①， 又因为，解得：，故C正确. 所以， 则②，所以由①②可得：，故A正确，B错误； , ，故D错误. 故选：AC. 例5：小马智行与如祺出行共建Robotaxi车队，无人驾驶技术逐步商业化落地.甲、乙两种自动驾驶算法各进行次紧急制动测试，反应时间（单位：秒）分别为：与.已知，，，. (1)求甲、乙两组数据的方差、； (2)若规定：当时，认为甲算法显著优于乙（其中为判定系数）.若， （i）现取，判断甲是否显著优于乙； （ii）若要使“甲算法显著优于乙”成立，求的最大整数值. 【答案】(1)，. (2)（i）甲算法显著优于乙；（ii）4. 【分析】（1）根据题意，先求得平均数，再结合方差公式，即可求解； （2）（i）结合（1）中所得结果，代入判定系数公式，可求得，，比较大小，即可判断； （ii）结合（1）中所得结果，代入判定系数公式，可求得，即的最大整数值为4. 【详解】（1）由题意可得：，，             所以， . （2）（i）由（1）可得，，所以， 又，， 所以当，时，，             因为，可认为甲算法显著优于乙.             （ii）由（1）可得，，，，， 所以，， 又，即，         故的最大整数值为4. 【变式训练5】近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； (3)已知落在内的平均成绩是分，方差是，落在内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记两组数据总体的样本平均数为，则总体的样本方差． 【答案】(1) (2)分 (3)平均数，方差 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即得； （2）先确定中位数所在的区间，然后根据频率分布直方图中中位数的求法，即可得答案； （3）根据条件，分别求出两组数据的样本容量，平均数和方差，代入公式，整理计算，即可得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图得，样本成绩的平均数为． （2）设中位数为．由，，所以， 所以，解得， 所以样本成绩的中位数为分． （3）第一组的样本容量， 第二组的样本容量， 所以合并后的平均数， 合并后的方差． 链接高考 真题演练： 1．（2025·全国二卷）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】由平均数的计算公式即可求解. 【详解】样本数据的平均数为. 故选：C. 2．（2024·新课标Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 3．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 【答案】BD 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 3．（2023·上海）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为______； 【答案】946 【分析】设第二季度、第三季度分别为，利用平均数和中位数概念列出方程，解出即可. 【详解】GDP稳步增长说明四个季度已经从小到大排列，设第二季度、第三季度分别为，所以中位数即为. 因为中位数与平均数相等，所以, 所以2020年GDP总额：. 故答案为：946. 4．（2025·上海）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数； （2）由古典概型概率公式可得； （3）先求成绩平均数，再由在回归直线上，代入方程可得，再代入年份预测可得. 【详解】（1）由题意，数据的最大值为，最小值为， 则极差为； 数据中间两数为与， 则中位数为. 故极差为，中位数为； （2）由题意，数据共个，以上数据共有个， 故设事件“恰有个数据在以上”， 则， 故恰有个数据在以上的概率为； （3）由题意，成绩的平均数 ， 由直线过， 则， 故回归直线方程为. 当时,. 故预测年冠军队的成绩为秒. 5．（2024·北京）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率; （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求. （ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解. 【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 6（2024·上海）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 【答案】(1) (2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱 (3)方差克，平均数克，预估平均质量为克 【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案； （2）利用分层抽样的定义进行求解； （3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量. 【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱， 样本空间的样本点的个数， A事件的样本点的公式， 所以； （2）因为一级果箱数：二级果箱数， 所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱； （3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为， 总体样本平均质量为，方差为， 因为，，，， 所以克， 克． 预估平均质量为克． 7．（2023·全国乙卷）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为． (1)求，； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 【答案】(1)，； (2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出，再得到所有的值，最后计算出方差即可； （2）根据公式计算出的值，和比较大小即可. 【详解】（1）， ， ， 的值分别为: ， 故 （2）由（1）知:，，故有, 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 8．（2023·新课标Ⅱ卷）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 【答案】(1)，； (2)，最小值为． 【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出； （2）根据题意确定分段点，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出． 【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：， ． （2）当时， ； 当时， , 故， 所以在区间的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三二轮复习 专题一 统计概率 第一讲 统计图表与样本数字特征 【基础知识整合】 1.四种常见统计图表的特点 （1）条形统计图的特点：它能直观地反映每组中数据的 ；能直观地反映出数据之间的 ． （2）扇形统计图的特点：能直观地反映每组数据占总数的 ，及各部分之间的关系． （3）折线统计图的特点：易于显示数据 ，可以直观地反映这种变化以及各组之间的差别。 2.样本的数字特征 （1）众数、中位数、平均数 ①众数：在一组数据中，出现次数 的数据叫做这组数据的众数．众数不一定是唯一的。 ②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 位置的一个数据(或中间 )叫做这组数据的中位数． ③平均数：如果有n个数x1，x2，……，xn，那么＝ 叫做这n个数的平均数． （2）极差、方差、标准差 ①极差：一组数据中 的差 ②方差：s2＝ (xn是样本数据，n是样本容量，是 样本平均数，方差越小数据越稳定。 ③标准差：s＝ ，标准差是样本数据到平均数的一种平均距离 ④若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为 ，方差为 . ⑤一般地,设样本中不同层的平均数和相应占比（权重）分别为和,则这个样本的平均数= ；样本中不同层的平均数分别为方差分别为，,…,,相应的权重分别为,则这个样本的方差为s2= ,其中为这个样本的平均数． 3．频率分布直方图 （1）在频率分布直方图中，纵轴表示频率与组距的比值，数据落在各小组内的 用小长方形的面积表示，所有长方形面积之和等于 ． （2）频率分布直方图得到样本数据的数字特征：众数：是指出现次数最多的数，体现在频率分布直方图中，是指高度最高的小矩形的宽的中点的横坐标；中位数：是指从左往右小矩形的面积之和为处的横坐标；平均数：由各小矩形的宽的中点的横坐标乘以相应小矩形的面积，然后求和得到。 4.离散型随机变量的均值和方差 (1)均值和方差的定义： 若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则随机变量X的均值E(X)= ，方差D(X)= ； (2)均值和方差的性质：E(aX+b)= ，D(aX+b)= . 【典例精析与变式训练】 例1：某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙,理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：      用样本估计总体，以下四个选项正确的（    ） A．丁险种最受参保人青睐 B．随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C．30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D．30～41周岁参保人数最多 【变式训练1】给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（   ） A．从折线图能看出世界人口的变化情况 B．2050年非洲人口将达到大约13亿 C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 D．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 例2：某市10个景点游客综合满意度评分分别为90，92，95，96，98，95，95，95，93，95，则（   ） A．该组数据的平均数为94 B．该组数据的众数与中位数相同 C．该组数据的极差为8 D．该组数据的方差为4.44 【变式训练2】某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标．将7个厂商的报价（单位：元/个）整理得如下数据：10，9.9，9.9，10.2，9.8，10，10.1，则这组数据的（   ） A．极差为0.5 B．平均数为10 C．众数为9.9和10 D．分位数为10 例3：为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（    ） A．对应矩形的高度为 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【变式训练3】某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算：得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（    ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为71.43 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 例4：若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 0.25 则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4】已知随机变量X、Y，且的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P m n 若，则（    ） A． B． C． D． 例5：小马智行与如祺出行共建Robotaxi车队，无人驾驶技术逐步商业化落地.甲、乙两种自动驾驶算法各进行次紧急制动测试，反应时间（单位：秒）分别为：与.已知，，，. (1)求甲、乙两组数据的方差、； (2)若规定：当时，认为甲算法显著优于乙（其中为判定系数）.若， （i）现取，判断甲是否显著优于乙； （ii）若要使“甲算法显著优于乙”成立，求的最大整数值. 【变式训练5】近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； (3)已知落在内的平均成绩是分，方差是，落在内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记两组数据总体的样本平均数为，则总体的样本方差． 链接高考 真题演练： 1．（2025·全国二卷）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 2．（2024·新课标Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 3．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 4．（2025·上海）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 5．（2024·北京）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 6（2024·上海）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 7．（2023·全国乙卷）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为． (1)求，； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 8．（2023·新课标Ⅱ卷）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $