专题30 统计的应用：随机抽样、统计图表、用样本估计总体 讲义-2026届高三数学一轮复习

本高中数学讲义聚焦统计应用高考核心考点，涵盖随机抽样、统计图表、用样本估计总体三大模块。以“抽样方法-统计图表-数据特征估计”为逻辑主线，通过考点梳理构建知识网络，结合方法总结提炼解题策略，配套真题精讲与分层练习，助力学生系统突破统计应用难点。 资料突出“数据观念”与“数学思维”培养，创新设计“考点解析-方法归纳-变式演练”三步教学法。例如在分层抽样教学中，通过比例计算样本量，结合频率分布直方图面积求频率，高效提升学生数据处理与模型构建能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题30统计的应用：随机抽样、统计图表、用样本估计总体 知识点1随机抽样与统计图表 一、总体、个体、样本 调查对象的全体（或调查对象的某些指标的全体）称为总体，组成总体的每一个调查对象（或每一个调查对象的相应指标）称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量. 二、简单随机抽样 抽签法和随机数法是比较常用的两种方法. 三、分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层 四、统计图表 1.常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等. 2.作频率分布直方图的步骤 （1）求极差；样本数据中最大值与最小值的差. （2）决定组距与组数； （3）将数据分组； （4）列频率分布表； （5）画频率分布直方图. 考点一 抽样方法 【例1】（1）（多选题）下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）. A. 从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本 B. 某饮料公司从仓库的1 000瓶饮料中一次性抽取20瓶进行质量检查 C. 某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士参加抢险救灾 D. 从10部手机中不放回地随机抽取2部进行质量检验（假设10部手机已编好号，对编号随机抽取） （2）一个盒子中有若干颗白色的围棋棋子，为了估计其中白色围棋棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，其中有5颗黑色的围棋棋子，根据这些信息可以估计白色的围棋棋子有（ ）. A. 200颗 B. 300颗 C. 400颗 D. 500颗 （3）已知总体由编号为01,02, ,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始，从左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为. 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 方法总结 抽签法与随机数法的适用情况 （1）抽签法适用于总体中个数较少的情况,随机数法适用于总体中个数较多的情况. （2）一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点：一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀. 考点二 分层随机抽样 【例2】一个志愿者组织有男成员48人，其中45岁以上的有12人；有女成员36人，其中45岁以上的有18人.如果按照性别进行分层抽样，要抽取一个容量为21的样本，那么男成员应抽取人;如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为28的样本，那么45岁以上的成员应抽取 人. 方法总结 分层随机抽样问题的类型及解题思路 （1）按比例分配的分层随机抽样的步骤 ①将总体按一定标准分层. ②计算各层的个体数与总体数的比,按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本量. ③在每一层进行抽样（可用简单随机抽样）. （2）在比例分配的分层随机抽样中的抽样比. 考点三 统计图表 【例3】(1)(多选题)下图为2024年中国大学生使用的偏好及目的的统计图，根据统计图，下列结论正确的是（ ）. A. 超过的大学生更爱使用购物类 B. 超过半数的大学生使用的目的是学习与生活需要 C. 在使用的偏好情况中，7个占比数字的极差是 D. 在使用的目的中，6个占比数字的分位数是 (2)（多选题）某学校为了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内随机抽样调查部分学生，了解到上学的交通方式主要有：A家人接送，B乘坐地铁，C乘坐公交，D其他方式.学校把收集到的数据整理并绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图，则下列结论正确的是（ ）. A. 此次抽查的样本量为240 B. 若该校有学生2 000人，则约有500人由家人接送上学 C. 扇形图中B的占比为 D. 估计该校学生上学的交通方式为乘坐地铁和其他方式的人数占全校学生的一半 方法总结 统计图表的主要应用 （1）扇形图：直观描述各类数据占总数的比例. （2）折线图：描述数据随时间的变化趋势. （3）条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率. 考点四 频率分布直方图 【例4】随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），并将其按照区间,,，进行分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数； （2）将身高在区间,，内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数. 方法总结 频率分布直方图的相关结论 （1）频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. （2）频率分布直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距，即矩形的面积. （3）频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数. 【变式4-1】某市某月30天对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物） 61 76 70 56 81 91 92 91 75 81 88 67 101 103 95 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 （1）完成频率分布表. 分组 频数 频率 （2）作出频率分布直方图. （3）根据国家标准，当污染指数在时，空气质量为优；当在时，空气质量为良；当在时，空气质量为轻度污染；当在时，空气质量为中度污染.请依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价. 知识点1用样本估计总体 一、第百分位数 一般地,一组数据的第百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值,且至少有的数据大于或等于这个值. 提醒 第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 二、总体集中趋势的估计 1.平均数、中位数和众数的应用 数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势多用平均数、中位数描述;分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势多用众数描述. 2.平均数、中位数、众数的求法 数字特征 样本数据 众数 出现次数最多的数据 中位数 将数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 平均数 样本数据的算术平均数 三、总体离散程度的估计 1.方差、标准差的定义：假设一组数据为,, ,,其平均数为, 则方差或,标准差. 提醒 平均数、方差的公式推广 （1）若数据，， ，的平均数为，则 ①数据，，， ，的平均数是； ②数据,,, ,的平均数是. （2）若数据，， ，的方差为，则 ①数据，， ，的方差也为； ②数据+，+， ，+的方差为. 2.样本估计总体 步骤：总体→抽取样本→频率分布表→频率分布直方图→估计总体频率分布． (1)样本容量越大，估计越精细，样本容量无限增大，频率分布直方图无限无限趋近概率分布密度曲线． (2)用样本平均数估计总体平均数，用样本标准差估计总体标准差． 考点一 总体百分位数的估计 【例5】某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下. 男生：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，58. 女生：77，55，69，58，76，70，77，89，51，52，63，63，69，83，83，65，100，74. 男生的第90百分位数为 ，女生的下四分位数为 . 方法总结 计算一组数据的第 百分位数的步骤 考向1 样本的数字特征 【例6】(2024·新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位： ）并整理得下表: 亩产量 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论正确的是（ ）. A. 100块稻田亩产量的中位数小于 B. 100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过 C. 100块稻田亩产量的极差介于至之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于至之间 方法总结 样本数字特征的求法 （1）众数是样本数据中出现次数最多的数据. （2）将样本数据按大小顺序排列,处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均值）即为中位数. （3）平均数是样本数据的算术平均数. （4）极差是样本数据中最大值与最小值的差. 考向2 频率分布直方图中的数字特征 【例7】（多选题）在某次单元测试中,4 000名考生的考试成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若在同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,则下列说法正确的有（ ）. A. 成绩在分的考生人数最多 B. 考生考试成绩的第80百分位数约为83.3 C. 考生考试成绩的平均分约为70.5分 D. 考生考试成绩的中位数约为75分 方法总结 频率分布直方图中的数字特征 （1）众数：最高矩形的底边中点的横坐标. （2）中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等. （3）平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和. （4）第百分位数：①确定第百分位数所在的区间,②确定小于和小于的数据所占的百分比,,则第百分位数为. 【变式7-1】某校1 000名学生参加环保知识竞赛,随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分）,成绩的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是（ ）. A. 频率分布直方图中的值为0.004 B. 估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75 C. 估计这20名学生考试成绩的众数为80 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为150 专题30统计的应用：随机抽样、统计图表、用样本估计总体 例1【解析】（1）对于,平面直角坐标系中有无数个点，这与简单随机抽样要求总体中的个体数有限不相符，所以 中的抽样方法不是简单随机抽样，故 错误；对于,一次性抽取20瓶等同于逐个抽取，所以是简单随机抽样，故 正确；对于,挑选的50名战士是最优秀的，所以不符合简单随机抽样的等可能性，故 中的抽样方法不是简单随机抽样，故 错误；对于,易知 中的抽样方法是简单随机抽样，故 正确.故选. （2）设白色围棋棋子的数目为，由已知可得，解得，即白色围棋棋子大约有300颗.故选. （3）从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始，从左到右依次选取两个数字，得65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01，98， ，去掉不在编号范围内的65，72，63，43，69，97，28，98，再去掉一个重复的02，得前5个个体的编号为08，02，14，07，01，故选出来的第5个个体的编号为01. 例2【解析】由题意得，男成员应抽取（人），45岁以上成员应抽取（人）. 例3【解析】(1)对于，根据图表知，大学生使用购物类 的占比为，所以 正确；对于，根据图表知，大学生使用 的目的是学习与生活需要的占比为，所以 错误；对于，根据图表知，使用 的偏好情况中7个占比数字的极差是，所以 正确；对于，根据图表知，使用 的目的中6个占比数字从小到大分别为,,,,,，又，所以 分位数是，所以 错误.故选. (2)因为乘坐公交的调查人数为60，所占比例为，所以调查的总人数为，故 正确； 家人接送的学生所占的比例为，故，故 正确； 扇形图中 的占比为，故 错误； ，故 正确.故选. 例4【解析】（1）由频率分布直方图可知，，解得， 故身高在 及以上的学生人数为. （2）由题意可知，组人数为，组人数为，组人数为. 组抽取的人数为， 组抽取的人数为， 组抽取的人数为. 变式4-1【解析】（1）频率分布表如表所示. 分组 频数 频率 2 1 4 6 10 5 2 （2）作出频率分布直方图，如图所示. （3）答对下述两条中的一条即可. 评价一：该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的，有26天处于良的水平，占当月天数的，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的，说明该市空气质量基本良好. 评价二：轻度污染有2天，占当月天数的，污染指数在80以上的接近轻度污染的天数有15天，加上处于轻度污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过，说明该市空气质量有待进一步改善. 例5【解析】根据题意，男生数据从小到大排列为35，38，44，46，46，54，55，56，57，58，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94.因为，所以男生的第90百分位数为. 女生数据从小到大排列为51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，76，77，77，83，83，89，100.因为，所以女生的下四分位数为63. 例6【解析】对于,根据频数分布表可知, 所以亩产量的中位数不小于,故 错误； 对于，亩产量不低于 的频数为，所以亩产量低于 的稻田占比为，故 错误； 对于，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故 正确； 对于，由频数分布表可得，平均值为，故 错误. 故选. 例7【解析】根据题图得,成绩出现在 内的频率最大,故 正确; 考生考试成绩的第80百分位数为,故 正确; 根据频率分布直方图估计考试的平均分为,故 正确; ,,所以考生考试成绩的中位数为,故 错误.故选. 变式7-1【解析】由 可得,故 错误; 前三个矩形的面积和为,所以这20名学生考试成绩的第60百分位数为80,故 错误; 估计这20名学生考试成绩的众数为75,故 错误; 估计总体中成绩落在 内的学生人数为,故 正确.故选. 1 学科网（北京）股份有限公司 $