第一讲 集合、复数、不等式 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

第1讲 集合、复数、不等式 集合知识讲解 1、常用数集 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N*& N＋ Z Q R C 2、集合间的基本关系 是的子集：； 是的真子集，记为 3、集合的基本运算 交集：即；并集：即；补集：即 4、充分性和必要性： 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件（小范围⇒大范围） p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p； p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p； 5、全称、存在量词命题及其否定 （1）全称量词：“任意一个”；全称量词命题：，它的否定： （2）存在量词：“存在一个”；存在量词命题：，它的否定： （3）含量词命题求参数范围的方法 ①，；②，； ③，；④，. 6、子集个数：若一个集合的元素有个，①子集个数有个；②真子集个数有个； ③非空子集个数有个；④非空真子集有个 7、空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 复数知识讲解 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． 2、复数的分类： 3、复数的有关概念 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ 4、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量． 5、复数的四则运算，设， (a，b，c，d∈R)，则 （1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i （2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i （3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i （4） （5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i 不等式知识讲解 1、基本不等式概念：如果，那么或，当且仅当时，等号成立 2、基本不等式的变形（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） （1）添负号：若,则 （2）基本不等式链： 3、求最值 （1）直接法或不等式链法： （2）配凑法-凑分母： （3）分子分母同除以一个数： （4）1的代换-乘1法：已知x+y=t，求的最值，先将转化为 （5）分式分离法：分离常数法将分式分解为对勾函数；换元法将分母转换为单项式进行分离常数 （6）消元法：将3个变量转化为双变量或者单变量 4、不等式恒成立、能成立问题 对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min； 5、一元二次、分式、绝对值不等式 （1）解一元二次不等式，“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系 判别式 一元二次方程 的根 有两个不等实根 ，（设） 有两个相等实根 无实数根 二次函数 的图象 的解集 的解集 ∅ ∅ （2）解分式不等式 ① ② ③ ④ （3）解绝对值不等式 ①， 或 ②； ③和型不等式的解法 利用零点分段法、数形结合法、分类讨论的思想求解（自己找例子证明） 6、柯西不等式（找例子用一下）记忆方法：口诀：平和城，城和平。 平：平方；城：相乘 二维形式的柯西不等式 二维形式的柯西不等式的变式 7、权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 专题讲解 一、集合与常用逻辑用语 1．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【详解】因为，所以， 中的元素个数为，故选：C． 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】因为，可得，即，可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.故选：B. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【详解】当时，例如但，即推不出；当时，， 即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B 4．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】解法一：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件.故选：C 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确. 6．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【详解】因为整数集，，所以，．故选：A． 7．（2023·全国乙卷）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或或于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或.故选：B 8. （26湖南长沙一模）非空集合A、B满足，，，则（ ） A. B. R C. A D. B 【详解】∵，则，∴，故选：C． 9. （26湖南长沙一模）已知函数的定义域为，则“是奇函数”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【详解】当是奇函数时， 因为， 所以是偶函数.当是偶函数时，，而， 所以，当是偶函数时，显然成立， 所以是偶函数成立，不一定能推出是奇函数， 所以“是奇函数”是“是偶函数”的充分不必要条件，故选：A 10. （26湖南常德一模）若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【详解】选项A，若，，，，根据面面垂直的性质定理可得：，故A选项正确；选项B，若，， 则直线与直线可能平行，可能异面，故B选项不正确； 选项C，若，， 则直线与直线可能平行，可能相交，也可能异面，故C选项不正确；选项D，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交（包括垂直），也可能异面，故D选项不正确；故选：A. 11. （26河北沧州一模）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【详解】由，即，， 又，所以.故选：B 12. （26浙江金丽衢一模）已知直线与平面，则下列选项可使得的是（ ） A. B. C. D. 【详解】对于A，若，则不成立，如图所示，故A错误； 对于B，由面面平行的性质可知，成立，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则可能存在，如图所示，故D错误. 故选：B 13. （26湖南常德一模）已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【详解】令，因为，所以，且， 充分性：当时，画出函数的图象，如图所示： 由图可知：，此时，所以，故充分性成立； 必要性：若，由可得：，此时不满足题意， 若，由函数在上单调递增，则，由， 则，又函数在上单调递增， 所以，即， 当时， 由，如图所示： 由图可知，此时，则，不满足题意，当时，由图可知，此时，满足题意，所以必要性成立， 所以当时， “”是“”的充要条件，故选：A. 14. （26山东潍坊一模-多选）已知为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，则下列选项是“”的充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【详解】对A：若，则，故A正确；对B：若，则，故B正确； 对C：若，不能确定与关系，故C错误；对D：若，则，故D正确故选：ABD. 15. （26安徽淮北一模）已知直线和平面，下列表述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【详解】由，条件中缺少，故A错误； 由，条件中缺少，故B错误； 由，条件中缺少，故C错误； 由，故D正确；故选：D. 16. （26安徽宿州一模）已知集合，则（ ） A. [1，2] B. （1，2］ C. ［1，3］ D. 【详解】由可得，即，故； 由得，即，故. 因此，故选：B. 17. （25湖北武汉五调）已知是同一平面内所有向量的一个基底，则“”是“的夹角是钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【详解】因为是同一平面内所有向量的一个基底，所以不共线. 所以由，因为不共线，所以且，即为钝角.所以“”是“的夹角是钝角”的充分条件； 由的夹角是钝角，所以“”是“的夹角是钝角”的必要条件. 综上可得：在是同一平面内所有向量的一个基底时，“”是“的夹角是钝角”的充要条件. 故选：B 18. （26湖北荆州一模）已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【详解】，，，，， 由，通分整理得：，，，即， ，，，，选：C 19．（2025·安徽滁州·一模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【详解】集合，，所以.选：A. 20．（2025·安徽·一模）若集合，，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【详解】由题意可得，则，故中元素的个数为6.故选：C. 21．（2025·安徽黄山·一模）“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若为双曲线方程，则，解得或， 故是“为双曲线方程”的充分不必要条件.故选：A 二、复数 1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【详解】因为，所以其虚部为1，故选：C. 2．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 【详解】设，由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知，所以. 3．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 【详解】设，且.则， ，，解得， 4. （26湖南邵阳一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【详解】已知点对应的复数为，根据复数的几何意义，所以点的坐标为. 所以向量.又因为为等边三角形，所以，且. 又因为，所以，即. 设，则.又因为 而，联立方程组可得 或.由题可知点在第二象限，所以即点的坐标为. 即点对应的复数为.所以虚部为.故选：C. 5. （26福建泉州一模）在复平面内，是原点，复数对应向量分别为．若绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（ ） A. B. C. D. 【详解】由题意，为相反向量，而，则，即，则， 所以，故A错误；而，则，故B错误； 而，故C正确；而，故D错误.故选：C 6. （26安徽宿州一模）已知复数，在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【详解】因为， 所以，所以在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选：C. 7. （25湖北武汉四调-多选）若复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 【详解】，，，故A错误； ，故B正确；在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故C正确； 复数满足，复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上， ，故的最大值为，故D正确．故选：BCD． 8．（2025·安徽合肥·一模）设，若为实数，则（    ） A． B． C． D．2 【详解】因为 为实数，可得故选：A. 三、基本不等式 1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【详解】即为即，故解集为，故选：C. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A,当时，，故A错误；对于BD，取，此时，，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确.故选：C. 3．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值.故答案为：4 4．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 【详解】设，原题转化为求的最小值，原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得，当时，原不等式可化为，即，观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为.故答案为： 5．（2024·全国甲卷·高考真题）若满足约束条件，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】实数满足，作出可行域如图： 由可得，即的几何意义为的截距的， 则该直线截距取最大值时，有最小值，此时直线过点， 联立，解得，即，则.故选：D. 6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误，故选：B. 7．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【详解】空1：因为为的中点，则，可得，两式相加，可得到， 即，则；空2：因为，则，可得， 得到，即，即. 于是.记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号，则时，有最大值.故答案为：；.    8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 9．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是 . 【详解】设，则，解得， 所以，，因此，的最小值是. 10. （26安徽黄山一模）若，则的取值范围为______． 【详解】记，则，由得， 即，因为，所以，所以， 则，， 因为，开口向下，其对称轴为， 所以当时，，所以的取值范围为. 11. （26安徽淮北一模）已知，则（ ） A. B. C. D. 【详解】由，所以，又上单调递增，所以，故A错误； 由，所以，故B正确； 由，又，所以， 所以，故C错误； 由，又， 所以，所以，故D错误；故选：B. 12. （26福建泉州一模）已知正数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以，当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为.故选：A 13. （26河北沧州一模）已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 8 【详解】成等差数列，成等比数列， 所以，且，则， 当且仅当时取等号，故选：A. 14. （26安徽滁州一模-多选）下列选项正确的有（ ） A. 若，则的最小值为 B. 若，则的最小值为3 C. 若，则的最小值为5 D. 若，则的最大值为 【详解】对于选项A，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，假设，满足，而，故选项A错误； 对于选项B，设，，，， ， 当且仅当时，即时取等号，则的最小值为3，故选项B正确； 对于选项C，，， ， 当且仅当，即，等号成立，但是无解，故等号不能成立，则，故选项C错误； 对于选项D，，设， ，，其中， ，， 的最大值为，故选项D正确.故选：BD. 15. （26湖南邵阳一模）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【详解】由，得正态曲线关于对称.因为， 所以，得. 又， 当且仅当，即，时取等号.故最小值为6.故选：D 16. （26山东济南一模-多选）已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【详解】因为，所以，对于A，若，则，故A错误； 对于B，， 又，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以， 所以，故C正确；对于D，当时，，不成立，故D错误；故选：BC 17. （26皖南八校-多选）已知正实数满足等式，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 详解】由题意，设，则，.设幂函数. 当时，函数在上单调递增，且，所以，即；当时，； 当时，函数在上单调递减，且，所以即. 故选：CD 18. （26安徽淮南一模）已知，若（为自然对数的底数），则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【详解】由，可得， 即，因为，则， 令，则， 因为在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增，所以， 所以，令， 当时，得到最小值，所以， 所以的最大值为，即的最小值为， 所以取得最小值3.故选：B 19. （26安徽马鞍山一模-多选）已知，条件，则成立的充分不必要条件有（ ） A. B. C D. 且 【详解】对于A，由，得，而也能使成立， 因此是成立的充分不必要条件，A是； 对于B，，由，得，而也能使成立， 因此是成立的充分不必要条件，B是； 对于C，当时，成立，而不等式不成立， 因此不是的充分条件，C不是； 对于D，由且，得且，则， 而也能使成立，因此且，是成立的充分不必要条件，D是.故选：ABD 20. （26安徽宿州一模）已知正实数m，n，满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【详解】因为正实数m，n，满足，且，可得或， 对于A选项，取，显然，A错误； 对于B选项，取，显然，B错误； 对于C选项，设函数，令，则， 当在上单调递增，当，在单调递减， 又因为，所以恒成立，即恒成立，即在上均单调递减， 所以当或时，，即， 由于，所以即，C正确； 选项D，取，显然，而，故，D错误.故选：C. 21．（2025·安徽·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】已知，所以， 则， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值.选D. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 集合、复数、不等式 集合知识讲解 1、常用数集 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N*& N＋ Z Q R C 2、集合间的基本关系 是的子集：； 是的真子集，记为 3、集合的基本运算 交集：即；并集：即；补集：即 4、充分性和必要性： 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件（小范围⇒大范围） p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p； p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p； 5、全称、存在量词命题及其否定 （1）全称量词：“任意一个”；全称量词命题：，它的否定： （2）存在量词：“存在一个”；存在量词命题：，它的否定： （3）含量词命题求参数范围的方法 ①，；②，； ③，；④，. 6、子集个数：若一个集合的元素有个，①子集个数有个；②真子集个数有个； ③非空子集个数有个；④非空真子集有个 7、空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 复数知识讲解 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． 2、复数的分类： 3、复数的有关概念 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ 4、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量． 5、复数的四则运算，设， (a，b，c，d∈R)，则 （1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i （2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i （3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i （4） （5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i 不等式知识讲解 1、基本不等式概念：如果，那么或，当且仅当时，等号成立 2、基本不等式的变形（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） （1）添负号：若,则 （2）基本不等式链： 3、求最值 （1）直接法或不等式链法： （2）配凑法-凑分母： （3）分子分母同除以一个数： （4）1的代换-乘1法：已知x+y=t，求的最值，先将转化为 （5）分式分离法：分离常数法将分式分解为对勾函数；换元法将分母转换为单项式进行分离常数 （6）消元法：将3个变量转化为双变量或者单变量 4、不等式恒成立、能成立问题 对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min； 5、一元二次、分式、绝对值不等式 （1）解一元二次不等式，“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系 判别式 一元二次方程 的根 有两个不等实根 ，（设） 有两个相等实根 无实数根 二次函数 的图象 的解集 的解集 ∅ ∅ （2）解分式不等式 ① ② ③ ④ （3）解绝对值不等式 ①， 或 ②； ③和型不等式的解法 利用零点分段法、数形结合法、分类讨论的思想求解（自己找例子证明） 6、柯西不等式（找例子用一下）记忆方法：口诀：平和城，城和平。 平：平方；城：相乘 二维形式的柯西不等式 二维形式的柯西不等式的变式 7、权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 专题讲解 一、集合与常用逻辑用语 1．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国乙卷）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 8. （26湖南长沙一模）非空集合A、B满足，，，则（ ） A. B. R C. A D. B 9. （26湖南长沙一模）已知函数的定义域为，则“是奇函数”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. （26湖南常德一模）若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 11. （26河北沧州一模）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 12. （26浙江金丽衢一模）已知直线与平面，则下列选项可使得的是（ ） A. B. C. D. 13. （26湖南常德一模）已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 14. （26山东潍坊一模-多选）已知为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，则下列选项是“”的充分条件的是（ ） A. B. C. D. 15. （26安徽淮北一模）已知直线和平面，下列表述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 16. （26安徽宿州一模）已知集合，则（ ） A. [1，2] B. （1，2］ C. ［1，3］ D. 17. （25湖北武汉五调）已知是同一平面内所有向量的一个基底，则“”是“的夹角是钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 18. （26湖北荆州一模）已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 19．（2025·安徽滁州·一模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 20．（2025·安徽·一模）若集合，，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 21．（2025·安徽黄山·一模）“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、复数 1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 2．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 3．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 4. （26湖南邵阳一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 5. （26福建泉州一模）在复平面内，是原点，复数对应向量分别为．若绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（ ） A. B. C. D. 6. （26安徽宿州一模）已知复数，在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. （25湖北武汉四调-多选）若复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 8．（2025·安徽合肥·一模）设，若为实数，则（    ） A． B． C． D．2 三、基本不等式 1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 4．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 5．（2024·全国甲卷·高考真题）若满足约束条件，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 9．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是 . 10. （26安徽黄山一模）若，则的取值范围为______． 11. （26安徽淮北一模）已知，则（ ） A. B. C. D. 12. （26福建泉州一模）已知正数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 13. （26河北沧州一模）已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 8 14. （26安徽滁州一模-多选）下列选项正确的有（ ） A. 若，则的最小值为 B. 若，则的最小值为3 C. 若，则的最小值为5 D. 若，则的最大值为 15. （26湖南邵阳一模）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 16. （26山东济南一模-多选）已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 17. （26皖南八校-多选）已知正实数满足等式，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 18. （26安徽淮南一模）已知，若（为自然对数的底数），则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 19. （26安徽马鞍山一模-多选）已知，条件，则成立的充分不必要条件有（ ） A. B. C D. 且 20. （26安徽宿州一模）已知正实数m，n，满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 21．（2025·安徽·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $