精品解析：浙江省A9协作体2025-2026学年第二学期高一期中联考数学试题

浙江省A9协作体2025学年第二学期期中联考 高一数学 试题命题：桐乡一中 张珂 审题：知恩中学 叶文辉 桐乡凤鸣高中 王晓燕 校稿：顾国强 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 第I卷 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】. 则其在复平面内所对应的点的坐标为， 则对应的点在第二象限. 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理得，再结合得. 【详解】因为在中，，即， 所以由正弦定理，得，解得， 因为，所以，所以. 3. 已知与的夹角为，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】因为与的夹角为， 所以， 所以 4. 如图，在正方体中，点是的中点，则下列直线中与平面平行的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【详解】由，而平面，故A错误； 由，而平面，故B错误； 因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，故C错误； 如图所示，连接交于，连接， 所以点是的中点，又点是的中点， 所以，而平面，平面， 所以平面，故D正确. 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，则，相交或异面，故错误； 对于B，，则与的关系可以是平行，相交或，故错误； 对于C，，则，故正确 对于D，如图，满足，不满足，故D错误. 6. 如图，用斜二测画法画出的直观图是，直线垂直于轴，，则在中，点到边的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴，交轴于点，结合题意得，再根据斜二测画法的规则得即可得答案. 【详解】如图，过点作轴，交轴于点， 因为直线垂直于轴，， 所以，即为等腰直角三角形， 因为，所以， 所以在原图形中，，， 所以在中，点到边的距离是 7. 已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥、圆柱的表面积公式即可求解. 【详解】由底面半径，高， 圆锥母线长，  圆锥表面积：  圆柱表面积： ， 所以 . 8. 已知在所在平面内，满足，若，，则的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知分别是的外心与重心，设的中点为，连接，则三点共线，再结合重心，外心的性质得，，最后结合三角形面积公式计算即可. 【详解】因为满足， 所以分别是的外心与重心，即是各边中垂线的交点，是中线的交点， 设的中点为，连接， 因为是的外心，所以 因为，所以三点共线，即是边上的中线， 因为重心在中线上，且， 所以， 因为是中线，，三点共线， 所以， 所以的面积是 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，选对部分选项得部分分，选错不得分） 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是一个单位向量 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为钝角 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由于的方向不确定，故A错误； 对于B，若，则的模为1，故B正确； 对于C，当时，此时，但不一定成立，故C错误； 对于D，当与方向相反时，不属于钝角，满足，说明夹角不一定为钝角，故D错误. 10. 在中，角的对边分别为，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等边三角形 C. 若，则的面积最大值为 D. 若，则满足条件的有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理得，进而判断A；利用正弦定理化边为角即可判断B；利用基本不等式、余弦定理可求得的最大值，结合三角形的面积公式可判断C；根据判断D. 【详解】对于A选项，由正弦定理得， 故当时，，又， 所以，故A选项正确； 对于B选项，因为，所以， 所以，且，所以， 所以为等边三角形，故B正确； 对于C选项，因为，，由余弦定理和基本不等式可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 故， 所以，的面积的最大值为，故C错误； 对于D选项，因为，， 所以，即满足条件的有2个，如图所示，故D选项正确. 11. 在正四棱台中，，其内切球的半径是2，则下列说法中正确的是（ ） A. 球的表面积是 B. 直线与直线是异面直线 C. 正四棱台的体积是 D. 直线与平面的夹角是 【答案】AC 【解析】 【分析】直接根据表面积公式计算判断A；根据内切球心在上下底面中心的连线上判断B；分别取的中点，则根据内切球的性质得等腰梯形内切圆与各边都相切，再结合几何关系求得，最后计算体积判断C；根据C求得，再求解直线与平面的夹角判断D. 【详解】对于A，由于内切球的半径是2，故球的表面积是，故A选项正确； 对于B，正四棱台的内切球心在上下底面中心的连线上（即棱台的高上），如图，他们均在平面中，故B选项错误； 对于C，如图，分别取的中点， 则四边形是等腰梯形，且是侧面梯形的高， 因为正四棱台中存在内切球， 所以等腰梯形存在内切圆且上下底的切点为对应中点， 根据内切圆与梯形各边都相切，结合切线长定理知：腰长等于上下底之和的一半， 设，则，， 所以，即，解得，即. 所以正四棱台的体积是，故C选项正确； 对于D，结合C得正四棱台的侧棱满足，即， 设直线与平面的夹角为，则，故D选项错误. 第II卷 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知复数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法运算即可求解. 【详解】 13. 在平面直角坐标系中，已知点，点，若点在以为直径的圆上，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，，再结合向量的垂直关系求解即可. 【详解】因为点，点，点在以为直径的圆上， 所以且， 所以，即， 整理得，解得或， 因为，所以舍去，故 14. 在中，角的对边分别为，若，点满足，则的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，再结合，根据余弦定理得，最后根据基本不等式求解即可. 【详解】如图，因为，点满足， 所以, 所以，， 因为， 所以，即， 代入得， 整理得，即 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以的最大值是. 四､解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 设复数. （1）若是实数，是纯虚数，求； （2）若互为共轭复数，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，再求即可； （2）结合题意得，解方程即可求得答案. 【小问1详解】 解：由是实数知，解得 由是纯虚数知，解得 所以， 【小问2详解】 解：因为， 所以，解得， 故 16. 在锐角中，角的对边分别为. （1）求； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理边化角，根据三角恒等变换得，再结合角的范围即可得答案； （2）根据正弦定理，结合三角恒等变换得，再结合锐角三角形求得，最后根据三角函数性质即可求得答案. 【小问1详解】 解：因为 所以，根据正弦定理边化角得 即， 所以， 又因为，所以，即 又因为，所以 【小问2详解】 解：因为，， 所以，由得 因为，在锐角中，，所以， 所以，所以 所以周长的取值范围为 17. 如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， （1）证明：直线平面； （2）若，求二面角的大小. 【答案】（1） 证明：取中点为，连接, 因为点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为在平行四边形中，点为的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面 又，平面 所以平面平面， 又平面， 所以直线平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接,证明平面平面即可证明结论； （2）取中点为，连接，证明为二面角的平面角，再根据余弦定理求得即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取中点为，连接 因为，中点为 所以，是等边三角形， 所以，即为二面角的平面角. 在中，，由余弦定理有： ， 即，解得， 又在中，，在内，. 所以在中，，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为. 18. 如图，在梯形中，，点在上，且与相交于点. （1）求的值； （2）若，求； （3）若点在以点为圆心，2为半径的圆上，求的取值范围. 【答案】（1）6 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义求解即可； （2）设，根据三点共线得即可得答案. （3）由题知，再结合（2）求得，再结合数量积的几何意义得，进而得. 【小问1详解】 解：梯形中，， 所以为等腰梯形， 因为点在上，且， 所以，， 所以. 【小问2详解】 解：设，则 因为三点共线，所以，解得， 所以，即 【小问3详解】 解： 由（2）可得 又 如图，由向量数量积的几何意义知，，即 所以 所以. 19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点. （1）证明：直线平面； （2）若直线与平面的夹角的正切值为， （i）求四棱锥的体积； （ii）求三棱锥的外接球的半径. 【答案】（1） 证明：设中点为，则由是等边三角形知 由四边形为矩形得， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面， 又平面，所以 又，平面 所以平面. 由点是的中点，得， 所以四点共面， 所以直线平面 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设中点为，证明平面即可证明结论； （2）（i）设中点为，过点作平面，即可证明是直线与平面所成的角，再结合几何关系得，最后计算四棱锥的体积即可. （ii）根据（1）得点与点关于平面对称，进而根据对称性转化为求三棱锥的外接球半径，设中点为中点为中点为，三棱锥的外接球球心为，半径长为，再结合几何关系即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（i）设中点为， 所以，又因为， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 过点作平面，因为平面平面， 所以点在上. 所以是直线与平面所成的角， 因为是等边三角形，， 所以在中，，， 因为直线与平面的夹角的正切值为 所以在中，，所以. 因为四边形为矩形， 所以在中，，即，解得， 所以 因此四棱锥的体积是. （ii）由（1）知直线平面中点为， 所以，点与点关于平面对称， 所以，三棱锥的外接球与三棱锥的外接球关于平面对称， 接下来求三棱锥的外接球半径. 设中点为中点为中点为， 三棱锥的外接球球心为，半径长为. 则平面， ， 即， 解得，因此. 所以三棱锥的外接球的半径为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省A9协作体2025学年第二学期期中联考 高一数学 试题命题：桐乡一中 张珂 审题：知恩中学 叶文辉 桐乡凤鸣高中 王晓燕 校稿：顾国强 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 第I卷 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在中，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知与的夹角为，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 4. 如图，在正方体中，点是的中点，则下列直线中与平面平行的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，用斜二测画法画出的直观图是，直线垂直于轴，，则在中，点到边的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知在所在平面内，满足，若，，则的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，选对部分选项得部分分，选错不得分） 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是一个单位向量 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为钝角 10. 在中，角的对边分别为，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等边三角形 C. 若，则的面积最大值为 D. 若，则满足条件的有两个 11. 在正四棱台中，，其内切球的半径是2，则下列说法中正确的是（ ） A. 球的表面积是 B. 直线与直线是异面直线 C. 正四棱台的体积是 D. 直线与平面的夹角是 第II卷 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知复数，则__________. 13. 在平面直角坐标系中，已知点，点，若点在以为直径的圆上，，则__________. 14. 在中，角的对边分别为，若，点满足，则的最大值是__________. 四､解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 设复数. （1）若是实数，是纯虚数，求； （2）若互为共轭复数，求. 16. 在锐角中，角的对边分别为. （1）求； （2）若，求周长的取值范围. 17. 如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， （1）证明：直线平面； （2）若，求二面角的大小. 18. 如图，在梯形中，，点在上，且与相交于点. （1）求的值； （2）若，求； （3）若点在以点为圆心，2为半径的圆上，求的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点. （1）证明：直线平面； （2）若直线与平面的夹角的正切值为， （i）求四棱锥的体积； （ii）求三棱锥的外接球的半径. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $