精品解析：重庆市复旦中学教共体2025-2026学年高一下学期期中数学试卷

重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期期中考试 高2028届数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若∥，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 2. 下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知复数，则的虚部是（ ） A. 5 B. C. D. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（ ） A. 三边不全相等的锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 6. 已知圆台上下底面面积分别为，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若的面积为，则用斜二测画法画出它的直观图的面积为 B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台 C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 D. 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的母线与底面半径之比为： 10. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点可能是 B. C. 的实部与虚部之积小于等于3 D. 复数，则的最大值为 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数范围内方程的根为________． 13. 若向量，，则在方向上的投影向量坐标为________. 14. 现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． （1）求复数； （2）求复数； （3）若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 16. 如图长方体，底面是边长为3的正方形，高为4，E为的中点． （1）求长方体的表面积和它的外接球的表面积； （2）求三棱锥和长方体的体积之比． 17. 记的内角的对边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，是中线，求的长. 18. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若点M在线段上，，，求的最小值． 19. 如图．在梯形中，，E、F是的两个三等分点，G、H是的两个三等分点，线段上一动点P满足分别交于M、N两点，记． （1）当时，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期期中考试 高2028届数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若∥，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解. 【详解】因为， 若∥，则，即. 故选：C. 2. 下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】对A，因为零向量跟任何向量共线，则两者是共线向量，故A错误； 对B，因为，则两者不是共线向量，则B正确； 对C，由于，，则，是共线向量，故C错误； 对D，由于，，则，是共线向量，故D错误. 3. 已知复数，则的虚部是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求解即可. 【详解】复数，则， 所以所求虚部是. 故选：B 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据得，进而得，即可得. 【详解】因为，所以， 故. 故选：B 5. 在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（ ） A. 三边不全相等的锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知易求得，利用余弦定理，结合，可得，可得结论. 【详解】在中，，又，故． 由余弦定理得，结合，得， 解得，所以一定是等边三角形． 故选：D． 6. 已知圆台上下底面面积分别为，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆台高，再利用体积公式求解. 【详解】由题意上下底面的半径为1，3，则圆台的高， 所以圆台的体积 故选：B 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，两边平方可得， 整理可得，即，即，则，而， 于是，所以． 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若的面积为，则用斜二测画法画出它的直观图的面积为 B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台 C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 D. 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的母线与底面半径之比为： 【答案】AD 【解析】 【详解】若的面积为，根据，可得直观图的面积为，可知A正确； 当用一个不平行于底面的平面去截圆锥，得到的不是圆台，可知B错误； 侧棱的延长线相交于一点才是棱台，可知C错误； 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，设圆锥母线为，底面半径为， 可得，解得：：，可知D正确． 10. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点可能是 B. C. 的实部与虚部之积小于等于3 D. 复数，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，可知在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上，从而判断AB；利用基本不等式判断C；由复数减法的几何意义判断D. 【详解】，则在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上， 复平面的点，其模为正确； 错误； 令，则有，所以实部与虚部之积，C正确； ，则，D正确. 故选：ACD. 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以. 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，选项A正确； 选项B：由余弦定理得， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解， 故 ，解得b，所以选项B错误； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为， 所以的面积为，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数范围内方程的根为________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得，所以. 13. 若向量，，则在方向上的投影向量坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的意义求解即可. 【详解】向量，，则， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 14. 现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将三棱锥侧面沿着展开，截面周长的最小值即求从A出发沿着侧面回到A的最短距离. 【详解】将三棱锥侧面沿着展开，如图： 则， 由余弦定理可得：,则， 所以截面周长的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． （1）求复数； （2）求复数； （3）若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 【答案】（1） （2） （3），，另一根为 【解析】 【分析】（1）化简复数，再根据共轭复数的概念求解； （2）根据复数的除法的运算求解； （3）将代入方程运算求出，代回方程求解. 【小问1详解】 ， 所以复数的共轭复数为． 【小问2详解】 因为， 所以 所以. 【小问3详解】 若是关于的方程的一个根，则， 即， 所以 解得：，， 则，即， 所以方程另一根为． 16. 如图长方体，底面是边长为3的正方形，高为4，E为的中点． （1）求长方体的表面积和它的外接球的表面积； （2）求三棱锥和长方体的体积之比． 【答案】（1）长方体的表面积为66，它的外接球的表面积为；（2） 【解析】 【分析】（1）根据长方体的表面积公式直接求解即可，求出外接球半径，即可求出外接球表面积； （2）求出长方体体积，根据等体积法求出三棱锥的体积，即可求出体积之比. 【详解】（1）由题可得该长方体的表面积为， 该长方体的外接球的半径为， 则外接球的表面积为； （3）长方体的体积为， ， 则三棱锥和长方体的体积之比为. 17. 记的内角的对边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，是中线，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据边角转化，将题干条件均化成角，结合诱导公式，三角恒等变换进行化简求值； （2）利用，平方后求，结合余弦定理来处理. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可知：， 由，故， ∴ ∴， ∴，又， 所以； 【小问2详解】 根据数量积的定义，由，得， 又，在中由余弦定理得： ∵，∴， 所以 18. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若点M在线段上，，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理边角互化，化简得到，所以； （2）利用面积关系可得关系，然后利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得， 而，则，两边平方得， 又，所以，，于是，解得，所以． 【小问2详解】 由（1）知，由，则， 由，，则， 则，即， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 19. 如图．在梯形中，，E、F是的两个三等分点，G、H是的两个三等分点，线段上一动点P满足分别交于M、N两点，记． （1）当时，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分解向量得，，然后由向量的数量积即可求解； （2）分解向量得，由三点共线可设，根据三点共线求得的值即可进一步求解； （3）分解向量得，，结合，可得，从而所求可转换为关于的函数. 【小问1详解】 由题意， ， 所以 ； 【小问2详解】 ， 若，则， ， 因为三点共线， 所以可设， 由于三点共线，所以设， 所以，解得，， 所以； 【小问3详解】 ， 则 ， , 因为三点共线， 所以可设， 因为，所以， 所以，即， 所以， 令，所以， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故所求为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $