重庆市复旦中学教共体2025-2026学年高一下学期期中数学试卷

**基本信息** 重庆复旦中学高二期中数学试卷，以校史文化激励语创设情境，通过改编题（如基底判断、圆台体积）和动态几何问题（如三棱锥截面周长），考查向量、复数、立体几何等知识，体现数学眼光（空间观念）与数学思维（推理能力）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量共线、复数虚部、解三角形|改编题占比高（如第2题基底判断），基础巩固| |多选题|3/18|直观图面积、圆锥性质、解三角形多解|结合空间观念（如第9题圆台判断），能力提升| |填空题|3/15|复数方程、投影向量、三棱锥截面|动态几何问题（如第14题截面周长），创新应用| |解答题|5/77|复数运算、长方体体积、动态梯形|综合性强（如第19题动线交点问题），考查数学语言表达|

重庆复旦中学教共体2025-2026学年(下)期中考试命题说明表 年 级 高一 学科 数学 命题教师 涂瑜 审题教师 林莉 考试时长 120 分钟 试卷分值 150分 及格分数 90 及格率 60％ 优生分数 130 优生率 10％140 特高分数 140 特高分人数 5 预估年级平均分 80 原创(或改编)题号(至少5道) 2.3.6.9.12 考试内容、范围 第六章向量全部内容， 第七章复数全部内容， 第八章立体几何初步（1-3小节） 题型 分值 考查章节、知识点及详细要求 备注 选填及解答题 42 向量概念运算基本定理 选填及解答题 48 向量应用正余弦定理 选填及解答题 29 复数 选填及解答题 31 立几初步 1.以上是模板，请自行参照修改。试卷分值、考试时间详见教研群； 2.考试时间为：初中4月23-24日，高中4月27-28日； 3.此表由各年级学科备课组长负责安排命题人填写，试题资料包上交时间：初中年级4月15日前，高中年级4月17日前。在上传时请把文件名修改为“年级+学科”，以便我们核对。 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期期中考试 高2028届数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  解：由题意，得，解得．． 2.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  3.已知复数，则的虚部是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  4.已知向量满足，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B 解：因为，所以， 故． 5.在中，内角，，的对边分别为，，若，，则一定是(    ) A. 三边不全相等的锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 解：因为在中，内角，，的对边分别为，，，， 又因为，所以，所以，又， 所以，解得，所以一定是等边三角形． 6.已知圆台上下底面面积分别为，，母线长为，则该圆台的体积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 解：因为圆台上下底面面积分别为，，所以上下底面的半径为，， 又母线长为，则圆台的高，所以圆台的体积． 7.在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则：：(    ) A. B. C. ：： D. 【答案】B 解：因为，两边平方可得，整理可得，即，即，则，而， 于是，所以． 8.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，，则的最小值(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：点是的中点，，，，， 由题意，，又，，共线，则， 且，，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为．． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是(    ) A. 若的面积为，则用斜二测画法画出它的直观图的面积为 B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台 C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 D. 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的母线与底面半径之比为： 【答案】AD  【解析】解：若的面积为，根据，可得直观图的面积为，可知A正确； 当用一个不平行于底面的平面去截圆锥，得到的不是圆台，可知B错误； 侧棱相交于一点才是棱台，可知C错误； 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，设圆锥母线为，底面半径为，可得，解得：：，可知D正确． 10.已知复数满足，则下列结论正确的是(    ) A. 在复平面内对应的点可能是 B. C. 的实部与虚部之积小于等于 D. 复数，则的最大值为 【答案】ACD  【解析】解：因为，则在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上， 复平面的点，其模为，故A正确；  ，故B错误； 令，则有，所以实部与虚部之积，故C正确； ，则，故D正确． 11.在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，且，为的内心，则的面积为 【答案】ACD  【解析】解：因为，所以由正弦定理，得， 即，因为，所以，且，所以． 选项A：若，则，所以的外接圆的直径，所以， 所以的外接圆的面积为，选项A正确， 选项B：有两解，则，则，解得，B错误， 选项C：由正弦定理，得，即， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，故选项C正确， 选项D：，，，可得，由正弦定理可得， 由，可得：， 由，可得：，解得：，故，， 可得，由正弦定理，可得：，，则，，设的内切圆半径为，则，，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.複數範圍方程的根為________．【答案】  13.若向量，则在方向上的投影向量坐标为            ．【答案】  解：由已知得在方向上的投影向量坐标为：．． 14.现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为          ． 【答案】  解：作三棱锥的侧面展开图，如图：由题可知，，， 周长的最小值为，，即截面周长的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分已知复数其中为虚数单位，若复数的共轭复数为，且． 求复数及复数 若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． ，所以复数的共轭复数为． 因为，所以，所以． 若是关于的方程的一个根，则， 即，所以解得，，则，即，所以方程的另一个复数根为． 16.本小题分 如图长方体，底面是边长为的正方形，高为，为的中点． 求长方体的表面积和它的外接球的表面积； 求三棱锥和长方体的体积之比． 【答案】解：因为长方体，底面是边长为的正方形，高为， 所以长方体的表面积为， 长方体，外接球的直径为长方体的对角线，故外接球半径为，故外接球的表面积为； 长方体的体积为，因为长方体，底面是边长为的正方形，高为，为的中点．所以．故．  17.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，满足． 求角 若，，是中线，求的长． 【答案】解：因为，由正弦定理可知：， ， ，又为三角形内角，所以 由，得，又，在中由余弦定理得： ， 所以．   18.本小题分已知中，角，，所对的边分别为，，，且． 求的大小； 若点在线段上，，，求的最小值． 【解析】在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得，而，则， 两边平方得，又，所以，，于是，解得，所以； 由知，由，则， 由，，则， 则，即，因此，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 19.本小题分 如图在梯形中，，、是的两个三等分点，、是的两个三等分点，线段上一动点满足分别交，于、两点，记． 当时，求的值； 若，求的值； 若，求的取值范围．   【解析】 由题意， ，所以； ， 若，则， ，因为，，三点共线， 所以可设， 由于，，三点共线，所以设， 所以，解得，，所以； ， 则， ，因为，，三点共线， 所以可设， 因为，所以， 所以，即，所以，令，所以，由对勾函数性质可知，在上单调递增，故所求为． 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期期中考试 高2028届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同守护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱。 本试卷分为I卷和II卷，考试时间120分钟，满分150分。请将答案工整的书写在答题卡上。 命题人：涂瑜 审题人：林莉 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 2.(改编)下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.（改编）已知复数，则的虚部是(    ) A. B. C. D. 4.已知向量满足，且，则(    ) A. B. C. D. 5.在中，内角，，的对边分别为，，若，，则一定是(    ) A. 三边不全相等的锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 6.（改编）已知圆台上下底面面积分别为，，母线长为，则该圆台的体积为(    ) A. B. C. D. 7.在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则：：(    ) A. B. C. ：： D. 8.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，，则的最小值(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.（改编）下列说法正确的是(    ) A. 若的面积为，则用斜二测画法画出它的直观图的面积为 B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台 C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 D. 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的母线与底面半径之比为： 10.已知复数满足，则下列结论正确的是(    ) A. 在复平面内对应的点可能是 B. C. 的实部与虚部之积小于等于 D. 复数，则的最大值为 11.在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，且，为的内心，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（改编）复数范围内方程的根為________． 13.若向量，则在方向上的投影向量坐标为          ． 14.现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数其中为虚数单位，若复数的共轭复数为，且． 求复数及复数 若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 16.本小题分 如图长方体，底面是边长为的正方形，高为，为的中点． 求长方体的表面积和它的外接球的表面积； 求三棱锥和长方体的体积之比． 17.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，满足． 求角 若，，是中线，求的长． 18.本小题分 已知中，角，，所对的边分别为，，，且． 求的大小； 若点在线段上，，，求的最小值． 19.本小题分 如图在梯形中，，、是的两个三等分点，、是的两个三等分点，线段上一动点满足分别交，于、两点，记． 当时，求的值； 若，求的值； 若，求的取值范围． 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 回溪只 重庆复旦中学教共体2025-2026学年度下期期中考试 可 高2028届数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 留痕迹。 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 缺考标记 4.在草稿纸、试题卷上答题无效。 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 单选题 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][c][D 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 多选题 9[A][B][C][D] 1O[A][B][c][D] 1I[A][B][C][D] 填空题 12. 13 14 1 ㄖ囚■ ■ 15. 16. D C A - B E .2 A B 囚囚■ a ■ 17. 1 18. 1 1 ■ ㄖ■囚 ■ 囚■囚 H 9 a V W N d d 3 a 61 口 a