专题训练04 二项式定理-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

二项式定理04 检测限时：120分钟 一．选择题（共10小题） 1．（2026•江西模拟）若的展开式中存在含的项，则n可能等于（　　） A．5 B．9 C．15 D．19 2．（2026•烟台开学）若，则a6＝（　　） A．﹣56 B．﹣28 C．28 D．56 3．（2026•大同一模）若（x﹣2y）n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则n＝（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 4．（2026•宜昌模拟）已知二项式（2x﹣1）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为（　　） A．﹣80 B．80 C．﹣160 D．﹣120 5．（2026•浙江模拟）已知（1+2x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a3＝（　　） A．32 B．16 C．8 D．4 6．（2026•河北开学）记，则a2+a4+a6+⋯+a2026＝（　　） A．22027 B．22027﹣1 C．22027﹣2 D．22027+1 7．（2026•黑龙江开学）已知（2x﹣1）n的二项式系数之和为32，则展开式中x2的系数为（　　） A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80 8．（2026春•五华区月考）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（　　） A．243 B．81 C．64 D．32 9．（2025秋•河北期末）函数f（x）＝（1﹣2x）4+（1﹣2x）5+（1﹣2x）6，则f（x）导函数f′（x）的展开式中x4的系数为（　　） A．1120 B．﹣1120 C．560 D．﹣560 10．（2026•榆林一模）若的展开式中常数项为180，则a的值为（　　） A．4 B．2 C． D．1 二．多选题（共4小题） （多选）11．（2026•楚雄市开学）关于的展开式，下列结论正确的是（　　） A．展开式共7项 B．所有项的二项式系数之和为64 C．常数项为540 D．所有项的系数之和为64 （多选）12．（2025秋•广东月考）若的展开式中x3的系数为﹣160，则（　　） A． B．所有项系数之和为1 C．二项式系数之和为64 D．二项式系数最大项为第3项 （多选）13．（2026•衡水模拟）设，则（　　） A．a0+a1+⋯+a5＝728 B．a3＝160 C．（2+x）12的展开式中含x2项的系数为64a2 D．a0+a2+a4+a6＝365 （多选）14．（2026•冀州区开学）已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为3：14，则下列结论成立的是（　　） A．n＝10 B．展开式中的常数项为45 C．含x5的项的系数为210 D．展开式中的有理项有5项 三．填空题（共4小题） 15．（2026•浦东新区模拟）已知（4x﹣3）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，若a3＝﹣a4，则n的值为　 　 ． 16．（2026•四川模拟）二项式的展开式的第2项的系数为　 　 ． 17．（2026•滨海新区一模）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为　 　 ． 18．（2026•赣州一模）若，则a5＝　 　 ． 四．解答题（共6小题） 19．（2025秋•新城区期末）已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56． （1）求展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式中的常数项． 20．（2025秋•天宁区期末）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． （1）求n； （2）求展开式中含x项的系数； （3）求展开式的第六项． 21．（2025秋•乐平市期末）已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是7：2． （1）求n； （2）求展开式中所有的有理项． 22．（2025秋•江西月考）已知． （1）若的展开式的二项式系数和为64． （i）求n的值； （ii）求展开式中的常数项． （2）证明：f（﹣2）+3能被4整除． 23．（2025秋•赣州期末）在的展开式中，第4项为常数项． （1）求n的值和该常数项的值； （2）求展开式中所有项的系数之和． 24．（2025秋•涡阳县期末）已知（1+2x）n的展开式中所有项的系数之和为729． （1）求n； （2）求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） （3）求（1+2x）+（1+2x）2+（1+2x）3+⋯+（1+2x）n的展开式中x2的系数．（结果用数字表示） 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C A B B B B B 二．多选题（共4小题） 题号 11 12 13 14 答案 ABD ABC ABD ABC 一．选择题（共10小题） 1．【答案】C 【分析】利用二项式定理的通项公式得，令3n﹣5r＝﹣20，代入检验即可求解． 【解答】解：，则令3n﹣5r＝﹣20， 当n＝5时，r＝7＞5，故A错误，当n＝9时，，故B错误， 当n＝15时，r＝13，故C正确，当n＝19时，，故D错误． 故选：C． 2．【答案】C 【分析】根据给定条件，利用换元法及二项式定理求出指定项的系数． 【解答】解：因为， 令2﹣x＝t，则原等式化为， 所以． 故选：C． 3．【答案】C 【分析】由题和二项式的性质可得，求解即可． 【解答】解：（x﹣2y）n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等， 所以，所以n＝2+5＝7． 故选：C． 4．【答案】C 【分析】由题意利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x3项的系数． 【解答】解：∵二项式（2x﹣1）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，∴n＝6， 则展开式中x3项的系数为23×（﹣1）3＝﹣160， 故选：C． 5．【答案】A 【分析】运用二项式定理，求出（1+2x）4展开式中的通项公式，然后取r＝3求出x3项的系数，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意，（1+2x）4的展开式中， 第r+1项为Tr+1，其中r＝0、1、2、3、4， 取r＝3，可得8×4x3＝32x3，故a3＝32． 故选：A． 6．【答案】B 【分析】通过赋值法，分别令x＝0，x＝1，x＝﹣1，进而可求解． 【解答】解：由题意， 令x＝0，可得（1+0）（1+0）2026＝a0＝1． 令x＝1，可得①， 令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣⋯﹣a2027＝0②， ①+②得， 即1． 故选：B． 7．【答案】B 【分析】先求出n＝5，再利用二项展开式的通项公式即可求解． 【解答】解：由（2x﹣1）n的二项式系数之和为32， 可知，2n＝32，解得n＝5， 故展开式的通项为， 令5﹣r＝2，得r＝3，所以x2的系数为． 故选：B． 8．【答案】B 【分析】根据二项式系数和公式求出n，再利用赋值法求各项系数的和． 【解答】解：因为在的展开式中，二项式系数的和是16， 所以2n＝16，解得n＝4， 令x＝1得展开式中各项系数的和为34＝81． 故选：B． 9．【答案】B 【分析】根据题意，求得f′（x）＝﹣8（1﹣2x）3﹣10（1﹣2x）4﹣12（1﹣2x）5，结合二项展开式的通项，即可求解． 【解答】解：由函数f（x）＝（1﹣2x）4+（1﹣2x）5+（1﹣2x）6， 可得f′（x）＝﹣8（1﹣2x）3﹣10（1﹣2x）4﹣12（1﹣2x）5， 对于﹣8（1﹣2x）3展开式中最高次数为x3，所以x4的系数为0， 对于﹣10（1﹣2x）4的展开式中x4的系数为， 对于﹣12（1﹣2x）5的展开式中x4的系数为， 所以f′（x）的展开式中x4的系数为﹣160﹣960＝﹣1120． 故选：B． 10．【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式，令x的指数为0，求出r＝8，再由常数项为180解得a＝2． 【解答】解：的展开式的通项为， 展开式中常数项为180， 可得，解得r＝8，所以，即45a2＝180，a2＝4， 又a＞0，故a＝2． 故选：B． 二．多选题（共4小题） 11．【答案】ABD 【分析】根据二项式展开式的项的特征得出A，由二项式系数和项的系数之和的计算公式判断B、D，再利用通项公式判断C． 【解答】解：关于， 对于A，因为n＝6，所以展开式共有7项，故A正确； 对于B，所有项的二项式系数和为26＝64，故B正确； 对于C，展开式的通项公式为，r＝0，1，2，…，6， 令6﹣3r＝0，解得r＝2，此时常数项为，故C错误； 对于D，令x＝1，则所有项的系数和为（1﹣3）6＝64，故D正确． 故选：ABD． 12．【答案】ABC 【分析】根据二项式系数的性质判断CD；首先根据展开式中x3的系数是﹣160得到，从而判断A正确，令x＝1得到所有项系数之和为1，从而判断B正确． 【解答】解：因为的展开式中x3项为， 可得，解得，故A正确； 则， 令x＝1，所有项系数之和为（1﹣2）6＝1，故B正确； 因为n＝6，可知二项式系数之和为26＝64，二项式系数最大项为第项，故C正确，D错误． 故选：ABC． 13．【答案】ABD 【分析】应用二项式展开式通项公式计算判断A，B，C，再应用赋值法计算判断D． 【解答】解：， 对于，故，故A正确； 对于，故B正确； 对于C，（2+x）12的展开式中含x2项的系数为， 而，显然二者不相等，故C错误； 对于， 所以2（a0+a2+a4+a6）＝730，即a0+a2+a4+a6＝365，故D正确． 故选：ABD． 14．【答案】ABC 【分析】由题意利用展开式的通项公式，求得n的值，由题意利用展开式的通项公式，判断B、C、D． 【解答】解：二项式的展开式的通项为， 由于第3项与第5项的系数之比为3：14， 则，解得n＝10，故A正确； 则， 令，解得r＝8， 则展开式中的常数项为，故B正确； 令，解得r＝6，则含x5的项的系数为，故C正确； 令，则k∈Z，则r应该为偶数，此时r＝0，2，4，6，8，10，故有6项有理项． 故选：ABC． 三．填空题（共4小题） 15．【答案】6． 【分析】结合二项式定理即可求解． 【解答】解：由题意可得，a3•（﹣3）n﹣3，a4•44•（﹣3）n﹣4， 若a3＝﹣a4， 则•（﹣3）n﹣3•44•（﹣3）n﹣4， 化简可得，， 即n＝6． 故答案为：6． 16．【答案】﹣96． 【分析】由二项式定理的通项计算即可． 【解答】解：二项式的展开式第2项为． 所以展开式的第2项的系数为﹣96． 故答案为：﹣96． 17．【答案】﹣160． 【分析】各项的二项式系数之和为64，可得2n＝64，得到n＝6，再利用通项公式即可求常数项． 【解答】解：由题可得：2n＝64，所以n＝6， 所以的展开式的通项公式为：，r＝0，1，...6， 令3﹣r＝0，解得r＝3，代入通项得常数项． 故答案为：﹣160． 18．【答案】﹣9． 【分析】由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式求解即可． 【解答】解：已知（x﹣2）5的通项公式为：， 又（x+1）（x﹣2）5＝x•（x﹣2）5+1•（x﹣2）5， 因此a5等于（x﹣2）5中x4的系数与（x﹣2）5中x5的系数和． 令5﹣r＝5，得r＝0，则x5的系数为； 令5﹣r＝4，得r＝1，则x4的系数为． 所以a5＝﹣10+1＝﹣9． 故答案为：﹣9． 四．解答题（共6小题） 19．【答案】（1）1024； （2）180． 【分析】（1）由已知可得，求出n的值，然后求展开式中所有二项式系数的和即可； （2）由二项式展开式的通项公式为（2x2）10﹣r（﹣1）r210﹣r，令，然后求解即可． 【解答】解：（1）已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56， 则， 则n2+n﹣110＝0， 又n∈N+， 则n＝10， 则展开式中所有二项式系数的和为210＝1024； （2）二项式展开式的通项公式为（2x2）10﹣r（﹣1）r210﹣r， 令， 即r＝8， 即展开式中的常数项为（﹣1）822180． 20．【答案】（1）n＝7； （2）﹣280； （3）﹣672x4． 【分析】（1）由条件结合二项式系数的性质得所有二项式系数和为2n列方程求n即可； （2）根据二项式展开式的通项得，令，可求r，由此可求结论； （3）根据二项式展开式的通项得，再令r＝5进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得，2n＝128，解得n＝7； （2）二项式展开式的通项为，r＝0，1，2，3，4，5，6，7， 令，解得r＝3， 故展开式中含x项的系数为； （3）二项式展开式的通项为，r＝0，1，2，3，4，5，6，7， 令r＝5，可得， 所以展开式的第六项为﹣672x4． 21．【答案】（1）9； （2）﹣18x3，﹣672，﹣4032x﹣3，﹣4608x﹣6，﹣512x﹣9． 【分析】（1）根据二项式系数与组合数公式，结合题意建立关于n的方程，解之可得实数n的值； （2）由（1）得n＝9，从而求出二项展开式的通项公式，然后令x的指数为整数，求出满足条件的r，进而可得所有的有理项． 【解答】解：（1）在的展开式中， 第5项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， 所以，可得， 化简得，解得n＝9（n＝﹣4不符合题意，舍去）． （2）由（1）知， 展开式的第r+1项为，r＝0、1、2、3、⋯、9， 若，则r∈{1，3，5，7，9}， 所以展开式的第2项、第4项、第6项、第8项与第10项为有理项， 它们分别为， ． 22．【答案】（1）（i）n＝6；（ii）240； （2）证明：因为f（﹣2）+3＝（4+1）n+3...+C ＝C ＝4， 则f（﹣2）+3是4的倍数， 故f（﹣2）+3能被4整除． 【分析】（1）（i）应用赋值法计算求出参数；（ii）应用二项式通项公式计算求解常数项； （2）应用二项式展开式计算证明整除． 【解答】解：（1）（i）由题知二项式系数和为2n＝64，解得n＝6； （ii）展开式的第r+1项为，r＝0，1，…，6， 令12﹣3r＝0，得r＝4，故常数项为第5项，即， 即展开式中的常数项为240； （2）证明：因为f（﹣2）+3＝（4+1）n+3...+C ＝C ＝4， 则f（﹣2）+3是4的倍数， 故f（﹣2）+3能被4整除． 23．【答案】（1）n＝4，﹣12； （2）16． 【分析】（1）根据题意，利用二项展开式的通项赋值计算即可； （2）对于该二项式只需取x＝1计算即得展开式中所有项的系数之和． 【解答】解：（1）已知在的展开式中，第4项为常数项， 又因为的通项为， 则r＝3时，3n﹣4r＝0，解得n＝4， 所以常数项为． （2）由（1）知，令x＝1，得到， 则展开式中所有项的系数之和为16． 24．【答案】（1）n＝6； （2）240； （3）140． 【分析】（1）赋值x＝1得到关于n的等式，进而求出结果； （2）先根据二项式定理求出通项，然后列出不等式，求解即可； （3）根据二项式定理求出所求项的系数． 【解答】解：（1）已知（1+2x）n的展开式中所有项的系数之和为729， 令x＝1，得（1+2）n＝3n＝729，得n＝6； （2）（1+2x）6的展开式的通项， 设第（k+1）项的系数最大， 则整理得 解得，则k＝4， 所以展开式中各项系数的最大值为； （3）已知（1+2x）+（1+2x）2+（1+2x）3+⋯+（1+2x）n， 1+2x中没有x2项，（1+2x）2的展开式中x2的系数为， （1+2x）3的展开式中x2的系数为， （1+2x）6的展开式中x2的系数为， 所以x2的系数为． 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $