考点04 二项式定理（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第三册

考点04 二项式定理 考点一：二项式定理 该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项， 其中各项的系数叫做二项式系数， 展开式的第项为 注意：①是第项，而不是第k项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒． 考点二：二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到 增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大； 二项式系数的和 二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 考点三：系数之和（赋值法） ①求各项系数之和，令即可 ②若，则f(x)展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为. 考点四：求系数的最大值 求展开式中系数最大的项 待定系数法：设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来 题型一：求二项展开式的特定项 ①明确所求项的指数条件，解方程确定值；②注意区分二项式系数与项的系数，尤其含负号或分数时需谨慎计算 【例1】的展开式中含的项的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知的展开式中含x项的系数为的项的系数最大值为______． 【变式1-1】已知，则（   ） A． B．1 C．32 D．243 【变式1-2】在的二项展开式中，项的系数是______． 【变式1-3】在的展开式中，常数项的值等于______． 题型二：求二项展开式的有理项 对于有理项,一般是先写出通项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解. 【例3】在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例4】（多选）对于二项式，下列说法正确的是（    ） A．展开式中的常数项为 B．展开式中的常数项为 C．展开式中的有理项有3项 D．展开式中的有理项有4项 【变式2-1】已知展开式中所有奇数项的二项式系数和为64，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为_______. 【变式2-2】在的展开式中，有理项的个数为________． 【变式2-3】已知的开展式共9项. (1)求n的值； (2)求展开式中的有理项. 题型三：求三项展开式的指定项 应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性. 【例5】的展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 【例6】的展开式中，项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【变式3-1】的展开式中的系数为（   ） A．30 B．24 C．18 D．12 【变式3-2】记“的不同正因数的个数”，“的展开式中项的系数”，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】求的展开式中常数项 题型四：求多个二项式积的展开式的特定项 ①分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点;②找到构成展开式中特定项的组成部分;③分别求解再相乘,求和即得. 【例7】的展开式中的系数为（   ） A．100 B．60 C．40 D．20 【例8】在的展开式中，的系数为（   ） A．0 B．20 C．10 D． 【变式4-1】展开式中的系数是（   ） A．15 B． C．30 D． 【变式4-2】在的展开式中，含的项的系数是__________. 【变式4-3】在的展开式中，含的项的系数是______（请用具体数字作答） 题型五：赋值法 （1）“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,若求其展开式各项系数之和,只需令未知数为1即可. （2）若,则展开式中各项系数之和为 （3）若,则奇数项系数之和为 偶数项系数之和为 【例9】已知，则的值为________．（用数字作答） 【例10】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式5-1】已知多项式，若，则___________． 【变式5-2】（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知 展开式共有11项. (1)求 的值； (2)求 的值； (3)求 的值. 题型六：（二项式）系数的最值 （1）求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当为偶数时,中间一项的二项式系数最大. （2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况进行判断,一般采用列不等式组,解不等式组的方法求得. 【例11】若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（   ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【例12】若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. 【变式6-1】在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是______． 【变式6-2】的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______. 【变式6-3】在的展开式中，求： (1)求常数项、及此项的二项式系数； (2)求奇数项的二项式系数的和； (3)求系数绝对值最大的项． 题型七：整除和余数问题 使用二项式定理处理整除与余数问题时，需将底数拆解为与除数相关的数（如除数倍数±余数），展开后剔除含除数因子的项，关注剩余部分。注意余数范围应为非负数且小于除数，若余数为负需调整 【例13】除以9的余数为（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【例14】设，且，若能被13整除，则等于______． 【变式7-1】已知等比数列中，，若将除以7所得余数记为，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式7-2】（多选）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（   ） A．2015 B．2020 C．2024 D．2028 【变式7-3】已知恰能被13整除，则的最大负整数取值为______. 题型八：二项式定理与数列 当处理平方和、立方和时，通过将二项式展开式中的系数与组合恒等式结合，转化为低次多项式求和的问题。 【例15】设数列的通项公式为，，记被3除所得的余数构成的数列记为，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【例16】在递增的等比数列中，，，其中. (1)求数列的前项和； (2)求数列的前20项和除以7的余数. 【变式8-1】（多选）设函数，且记，则（       ） A．数列的首项为1 B．数列的前10项和为512 C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0 【变式8-2】把多项式（其中）的展开式中的一次项的系数记为， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式8-3】已知二项式（其中）的展开式中，所有项的系数和为． (1)求的值，并指出展开式中的常数项是展开式中的第几项； (2)设该二项式展开式的各项系数依次为，数列满足，，求数列的前项和． 题型九：杨辉三角 【例17】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（    ） A．由“第行所有数之和为”猜想： B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C． D．第29行中从左到右第14与第15个数相等 【例18】“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.题图为“杨辉三角”的一部分（如图），记第n行的第i个数为，则______.    【变式9-1】南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项展开式的系数构成的三角形数阵（部分行如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于______．（用一个组合数作答）杨辉三角展示内容： －第0行：1 －第1行：1  1 －第2行：1  2  1 －第3行：1  3  3   1 －第4行：1  4  6   4   1 －第5行：1  5  10  10  5  1 【变式9-2】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 【变式9-3】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为 请仔细观察杨辉三角，从杨辉三角蕴含的规律可知：____________(用数字作答) 一、单选题 1．已知的展开式中的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（   ） A． B．97 C．96 D． 2．已知二项式的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为，且展开式中常数项为17010.记展开式中所有项的系数和为，所有有理项（的次数为整数）的系数和为，则的值为（    ） A．187435 B．-2187 C．-2188 D．-2189 3．如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第行中从左至右第个数与第个数的比为，则（   ） A． B． C． D． 4．若正整数，满足等式，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．2023 D．2024 5．的展开式中，所有无理项的系数之和为（   ） A．1024 B．2160 C．3640 D．4401 6．若，则被8整除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 7．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B． C．展开式的各项系数和为 D． 8．已知，则下列结论正确的是（   ） A．该二项展开式中各项的二项式系数的和与各项的系数的和相等 B．该二项展开式中的常数项为 C．该二项展开式中含的项的系数是 D．该二项展开式中的有理项的二项式系数的和为 三、填空题 9．的展开式中所有奇数项的系数和为________． 10．若（）的展开式中存在常数项，则的最小值为______. 11．设是正整数，表达式化简的结果是______ 四、解答题 12．已知在的展开式中. (1)求展开式中的常数项，并指出是第几项； (2)求展开式中的所有有理项. 13．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： (1)求的值. (2)求展开式中的系数. 14．已知的展开式的二项式系数和为． (1)求的展开式中含的项； (2)若，求． 15．在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)有无x的负整数次幂？有，请求出这些项，没有，则说明理由； (3)判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点04 二项式定理 考点一：二项式定理 该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项， 其中各项的系数叫做二项式系数， 展开式的第项为 注意：①是第项，而不是第k项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒． 考点二：二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到 增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大； 二项式系数的和 二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 考点三：系数之和（赋值法） ①求各项系数之和，令即可 ②若，则f(x)展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为. 考点四：求系数的最大值 求展开式中系数最大的项 待定系数法：设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来 题型一：求二项展开式的特定项 ①明确所求项的指数条件，解方程确定值；②注意区分二项式系数与项的系数，尤其含负号或分数时需谨慎计算 【例1】的展开式中含的项的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】展开式的通项为， 由题可知，，整理得， 解得舍去，所以. 【例2】已知的展开式中含x项的系数为的项的系数最大值为______． 【答案】45 【详解】由题意得：的系数为：， 的系数为：， 又因为，所以当或时，的最大值为. 【变式1-1】已知，则（   ） A． B．1 C．32 D．243 【答案】C 【详解】由， 令，得，所以. 【变式1-2】在的二项展开式中，项的系数是______． 【答案】 【详解】展开式的通项为，， 所以， 所以项的系数是. 【变式1-3】在的展开式中，常数项的值等于______． 【答案】84 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，得，所以所求常数项为. 题型二：求二项展开式的有理项 对于有理项,一般是先写出通项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解. 【例3】在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】通项公式为， 易知当或或或时， 即或或或时，可得有理数项， 所以有理数的项的个数是4， 故选：A 【例4】（多选）对于二项式，下列说法正确的是（    ） A．展开式中的常数项为 B．展开式中的常数项为 C．展开式中的有理项有3项 D．展开式中的有理项有4项 【答案】AD 【详解】的展开式的第项 ， 令，则， 常数项为，故正确； 当，，，，展开式中有有理项， 所以有理项有4项，故正确. 故选：. 【变式2-1】已知展开式中所有奇数项的二项式系数和为64，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为_______. 【答案】 【详解】依题意，，解得，因此二项式的展开式共8项， 展开式的通项为， 当时，是有理项，则展开式的有理项共 4项， 所以将展开式中的各项重新排列，其中有理项互不相邻的概率. 故答案为： 【变式2-2】在的展开式中，有理项的个数为________． 【答案】7 【详解】展开式中的第项为， 当时为有理项，共7项． 故答案为：7. 【变式2-3】已知的开展式共9项. (1)求n的值； (2)求展开式中的有理项. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由的展开式共有9项，可知， （2）由二项式展开式的通项公式：， 当，即时，为有理项， 所以， ， . 题型三：求三项展开式的指定项 应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性. 【例5】的展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】B 【详解】化简得到， 的展开式通项为。 令 ，即，得到， 故的系数为. 【例6】的展开式中，项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】D 【详解】多项式展开式的通项为 令，可得 由展开式通项为 当时，可得 所以展开式中项的系数为 故选：D 【变式3-1】的展开式中的系数为（   ） A．30 B．24 C．18 D．12 【答案】D 【详解】的展开式中含的项是从6个多项式中取5个都用，余下1个用2相乘的积， 即的展开式中含的项是， 所以所求系数为12. 故选：D 【变式3-2】记“的不同正因数的个数”，“的展开式中项的系数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以的约数有个，即， 又展开式的项可以看作从个盒子中取出一个元素相乘，每个盒子中均有，，， 要得到，需从个盒子中取出，个盒子中取出，个盒子中取出， 所以，所以，即. 故选：B 【变式3-3】求的展开式中常数项 【答案】 【详解】由题设，， 对于，有， 且为正整数， 令，则，故或或， 所以常数项为. 题型四：求多个二项式积的展开式的特定项 ①分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点;②找到构成展开式中特定项的组成部分;③分别求解再相乘,求和即得. 【例7】的展开式中的系数为（   ） A．100 B．60 C．40 D．20 【答案】B 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 所以的展开式中含有的项为， 所以展开式中的系数为60. 【例8】在的展开式中，的系数为（   ） A．0 B．20 C．10 D． 【答案】A 【详解】由题意得展开式的通项公式为， 令，， 令，， 所以的系数为0. 故选：A 【变式4-1】展开式中的系数是（   ） A．15 B． C．30 D． 【答案】A 【详解】对于，展开式通项为，， 当，即时，， 当，即时，， 所以展开式中的系数是. 故选：A 【变式4-2】在的展开式中，含的项的系数是__________. 【答案】10 【详解】中由中的常数2与中的项相乘，和中的项与中的项相乘得到， 又中项系数为，系数为， 所以在的展开式中，含的项的系数为， 故答案为：10 【变式4-3】在的展开式中，含的项的系数是______（请用具体数字作答） 【答案】24 【详解】因为展开式的通项为， 所以展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为24， 故答案为：24 题型五：赋值法 （1）“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,若求其展开式各项系数之和,只需令未知数为1即可. （2）若,则展开式中各项系数之和为 （3）若,则奇数项系数之和为 偶数项系数之和为 【例9】已知，则的值为________．（用数字作答） 【答案】121 【详解】二项式展开式的通项公式为，所以， 故，，， 所以. 【例10】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）依题意，， 即，而，所以. （2）二项式展开式的通项公式为， 则为正数，为负数， 在中，令， 令，得， 所以. 【变式5-1】已知多项式，若，则___________． 【答案】3 【详解】令，可得， 令，可得， 两式相减得. 又，所以. 故答案为：3 【变式5-2】（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】二项式的展开式的通项为，， 所以， 计算可得， 比较可知系数最大值为，故A错误，B正确； 令，得； 令，得， 两式相减，得，所以，故C正确； 由，得，所以，故D正确. 故选：BCD. 【变式5-3】已知 展开式共有11项. (1)求 的值； (2)求 的值； (3)求 的值. 【答案】(1)0 (2) (3)0 【分析】 【详解】（1）二项式展开式的项数为，由题知展开式共11项，因此，得， 令，得， 即， 令，代入等式得：， 因此； （2）展开式中，系数的符号由决定，即对应将原式中换为后的系数， 等价于令代入原式： 计算得，因此结果为； （3）令，代入等式得， 左边等于，因此结果为. 题型六：（二项式）系数的最值 （1）求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当为偶数时,中间一项的二项式系数最大. （2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况进行判断,一般采用列不等式组,解不等式组的方法求得. 【例11】若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（   ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】C 【详解】因为二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则，解得， 所以二项式的展开式中，最大的二项式系数是，即二项式系数最大的项是第6项． 【例12】若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； (2)求展开式中所有的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2). (3)第4项和第5项 【分析】 【详解】（1）由题，可得，即，即，又，所以，   令，得，故系数和为，各项的二项式系数和为， 故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为. （2）因展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. （3）因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得或， 故展开式的第4项和第5项的系数最大， 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项. 【变式6-1】在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是______． 【答案】 【详解】由的展开式中，仅第项的二项式系数最大，得展开式共项，则， 所以的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即 解得，而，所以，， 所以展开式中系数最大的项是, 故答案为：. 【变式6-2】的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______. 【答案】 【详解】二项式 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大， 二项式系数最大值出现在中间项， 当 为偶数时，最大项为第 项， 因此有 ，解得 ， 展开式的通项公式为： 令 ，解得 ， 代入通项，得系数为： 因此，展开式中 的系数为 . 故答案为： 【变式6-3】在的展开式中，求： (1)求常数项、及此项的二项式系数； (2)求奇数项的二项式系数的和； (3)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)常数项为，此项的二项式系数为 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）展开式的通项公式为， 令，可得，所以，展开式中的常数项为， 其二项式系数为. （2）奇数项的二项式系数和为. （3）令，设最大，则，即， 即，解得， 因为，解得，所以，系数绝对值最大的项为. 题型七：整除和余数问题 使用二项式定理处理整除与余数问题时，需将底数拆解为与除数相关的数（如除数倍数±余数），展开后剔除含除数因子的项，关注剩余部分。注意余数范围应为非负数且小于除数，若余数为负需调整 【例13】除以9的余数为（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】C 【详解】因为 ，又因为 ，所以 ， 根据二项式定理，当，，时，则： 由于9是9的倍数，那么对于展开式中的每一项 （）， 当 时， 是9的倍数，所以这些项都能被9整除， 当 时，该项为 ， 因为 展开式中除最后一项 外，其余各项都能被9整除， 所以 除以9的余数为 （因为余数要为正数）， 则 除以9的余数就相当于 除以9的余数，，所以余数为7. 故选：C. 【例14】设，且，若能被13整除，则等于______． 【答案】12 【分析】 【详解】解：∵，且， ∴， ∵能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴． 故答案为：12． 【变式7-1】已知等比数列中，，若将除以7所得余数记为，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由等比数列，所以，即， 所以， 由二项式定理可知的展开式中不含有7因子的只有最后一项， 所以除以7的余数为1，则除以7的余数为2， 即， 故选：B． 【变式7-2】（多选）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（   ） A．2015 B．2020 C．2024 D．2028 【答案】AC 【详解】由题意，， 由二项式定理可得，， 因为一定能被9整除，则除以9的余数为8， 所以除以9的余数为8， 而与除以9的余数都为8，2015除以9的余数为8，2020除以9的余数为4， 2024除以9的余数为8，2028除以9的余数为3， 所以可以为2015和2024． 【变式7-3】已知恰能被13整除，则的最大负整数取值为______. 【答案】 【详解】因 ， 因是整数，恰能被13整除， 则，故的最大负整数取值为. 题型八：二项式定理与数列 当处理平方和、立方和时，通过将二项式展开式中的系数与组合恒等式结合，转化为低次多项式求和的问题。 【例15】设数列的通项公式为，，记被3除所得的余数构成的数列记为，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以 ， 则 ， 因为能被整除，， 所以， ， 因为能被整除，， 所以， 所以. 故选：D. 【例16】在递增的等比数列中，，，其中. (1)求数列的前项和； (2)求数列的前20项和除以7的余数. 【答案】(1)； (2)6. 【分析】 【详解】（1）已知等比数列是递增，则，， 且 解得（舍去），当时，可得， 所以其前项和， （2）由（1）得， 由二项式定理得 设 ， 所以 即除以7的余数为6. 【变式8-1】（多选）设函数，且记，则（       ） A．数列的首项为1 B．数列的前10项和为512 C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0 【答案】BD 【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A错； 数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前10项和等于， 令，则，而， 则数列的前10项和为，故C错误； 数列的前10项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 【变式8-2】把多项式（其中）的展开式中的一次项的系数记为， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）二项式展开式的通项为， 分别令可得项分别为， 所以的展开式中含的项为， 所以的系数为． （2）由（1）可知，， 则 两式相减得 ， 则． 【变式8-3】已知二项式（其中）的展开式中，所有项的系数和为． (1)求的值，并指出展开式中的常数项是展开式中的第几项； (2)设该二项式展开式的各项系数依次为，数列满足，，求数列的前项和． 【答案】(1)，第1014项； (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知， 又，所以，即， 二项式展开项的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项是展开式中的第项. （2）由（1）知，， 则， 因为， 所以， 所以 . 题型九：杨辉三角 【例17】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（    ） A．由“第行所有数之和为”猜想： B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C． D．第29行中从左到右第14与第15个数相等 【答案】D 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可得，B正确； 对于C， ，C正确； 对于D，第29行中从左到右第14个数为，第15个数为，两者不相等，D错误. 【例18】“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.题图为“杨辉三角”的一部分（如图），记第n行的第i个数为，则______.    【答案】 【详解】由题意，根据二项展开式的性质，可得， 则. 故答案为：. 【变式9-1】南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项展开式的系数构成的三角形数阵（部分行如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于______．（用一个组合数作答）杨辉三角展示内容： －第0行：1 －第1行：1  1 －第2行：1  2  1 －第3行：1  3  3   1 －第4行：1  4  6   4   1 －第5行：1  5  10  10  5  1 【答案】 【详解】依题意，在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于，可视为按升幂展开与按降幂展开的两个多项式乘积展开式的含项的系数，即展开式含项的系数，而，展开式中含项的系数为，所以. 【变式9-2】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 【答案】D 【详解】对于A， ， A正确； 对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确； 对于C，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 而， 又展开式中项的系数为， 因此，C正确； 对于D，因为，所以，D不正确. 故选：D 【变式9-3】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为 请仔细观察杨辉三角，从杨辉三角蕴含的规律可知：____________(用数字作答) 【答案】19600 【详解】由杨辉三角的性质，得， 所以 . 一、单选题 1．已知的展开式中的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（   ） A． B．97 C．96 D． 【答案】C 【详解】法一：因为， 所以的系数为，由题意得，解得． 设，令，得． 即展开式中所有项的系数和为. 故选：C. 法二：的展开式的通项为. 由乘法分配律知，的展开式中含的项为. 所以展开式中的系数为， 所以，解得. 设， 令，得． 故选：C． 2．已知二项式的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为，且展开式中常数项为17010.记展开式中所有项的系数和为，所有有理项（的次数为整数）的系数和为，则的值为（    ） A．187435 B．-2187 C．-2188 D．-2189 【答案】A 【详解】二项式的展开式的通项公式为, 由得，所以 所以，解得 因为，故当时，，满足题意. 令；有理项为，计算得. 故， 故选：A. 3．如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第行中从左至右第个数与第个数的比为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由二项式定理可知第行第个数为， 则第行中从左至右第个数与第个数分别为，， 又比值为， 即， 化简可得， 解得， 故选：C. 4．若正整数，满足等式，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．2023 D．2024 【答案】D 【详解】∵ ， ∴. 故选：D. 5．的展开式中，所有无理项的系数之和为（   ） A．1024 B．2160 C．3640 D．4401 【答案】D 【详解】令，得展开式中所有项的系数和为， 通项为， 则有理项分别是第1项，第4项和第7项， 其系数和为， 则无理项的系数之和为． 故选：D 6．若，则被8整除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】令得，令得， 两式相减得， 所以，因为 ，，因为能被8整除， 所以被8整除的余数为4. 故选：C. 二、多选题 7．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B． C．展开式的各项系数和为 D． 【答案】ABD 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确； 对于B：； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得， 所以，故D正确． 8．已知，则下列结论正确的是（   ） A．该二项展开式中各项的二项式系数的和与各项的系数的和相等 B．该二项展开式中的常数项为 C．该二项展开式中含的项的系数是 D．该二项展开式中的有理项的二项式系数的和为 【答案】AB 【详解】对于A：展开式的二项式系数和为， 令，得展开式的各项系数和为，故A正确； 对于B：展开式的通项为， 令，得展开式的常数项为，故B正确； 对于C：令，则，所以的系数为，故C错误； 对于D：该二项展开式中的有理项中为整数，则，即展开式的奇数项，所以有理项的二项式系数和为，故D错误． 故选：AB 三、填空题 9．的展开式中所有奇数项的系数和为________． 【答案】121 【详解】展开式的通项为，， 当，2，4时,，，， 其系数和为． 10．若（）的展开式中存在常数项，则的最小值为______. 【答案】5 【详解】展开式的通项为：， 令，得，因为，所以当时，取得最小值5. 11．设是正整数，表达式化简的结果是______ 【答案】 【详解】 故答案为：. 四、解答题 12．已知在的展开式中. (1)求展开式中的常数项，并指出是第几项； (2)求展开式中的所有有理项. 【答案】(1)常数项为60，是第5项 (2)，，60， 【分析】 【详解】（1）该二项式展开式中的通项公式为. 令，则， 所以常数项是第5项，为. 所以展开式中的常数项为60，是第5项. （2）由（1）知，通项公式为. 令，则. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以展开式中的所有有理项为：，，60，. 13．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： (1)求的值. (2)求展开式中的系数. 【答案】(1)6 (2)1 【分析】 【详解】（1）由题意，，解得. （2）的展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中的系数为. 14．已知的展开式的二项式系数和为． (1)求的展开式中含的项； (2)若，求． 【答案】(1) (2)1 【分析】 【详解】（1）由题意得的展开式的二项式系数和为，解得． 展开式的通项公式为， 令，解得，代入通项公式得． （2）因为， 所以令，得， 令，得， 所以． 15．在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)有无x的负整数次幂？有，请求出这些项，没有，则说明理由； (3)判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项． 【答案】(1)第5项， (2)有，分别是 (3)系数的绝对值最大的项是第项和第7项；系数最大的项是 【分析】 【详解】（1）的展开式的通项为： ，，， 二项式系数最大的项为中间项，即第5项，. （2），，， 令且，. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. （3）的展开式的通项为 ，，， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项； 由以上知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负， 第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $