重难专题04 轻松破解二项式定理的十大热点题型（4大基础题型+4大能力提升+2大拓展提升）高二数学人教A版选择性必修第三册

重难专题4 轻松破解二项式定理的十大热点题型 题型一 二项式定理的正用、逆用 运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式． 1.（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 【答案】A 【解析】利用二项式定理展开，得 ， ，， 即， 故选： 2．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设． 根据组合数的性质，则． 由二项式定理可知， 即． 那么， 因为，所以． 即，则． 故选：A． 3.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）化简： ． 【答案】 【解析】 ， 题型二 二项展开式中的特定项及系数 求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）． （2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解． （3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 【答案】B 【解析】二项式的展开式的通项为， 由，得， 所以二项式的展开式中常数项为. 故选：B. 2．（2026·山西大同·一模）若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】的展开式中第3项与第6项的二项式系数分别为，， 由题意得，所以. 3．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【解析】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 4.(2026·湖北武汉·模拟预测)展开式的7项中，系数为有理数的项共有(  )项 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】的展开式为， 当时，二项式展开式的各项的系数分别为1，30，60，8均为有理数， 故系数为有理数的项共有共有4项.故选：D. 5.（2026·高二·浙江杭州·期中）若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】设的通项为，若有常数项，则只需，而，显然的最小值为3，此时. 故选：A 6．（25-26高三上·四川成都·期中）的展开式的中间项为 ． 【答案】 【解析】由二项式定理可知，展开式共项， 所以的展开式的中间项为第项， 所以，由二项式定理展开的通项公式得： 所以的展开式的中间项为 题型三 求两个多项式积的特定项 求多项式积的特定项的方法：“双通法” 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中一般项为：，再依据题目中对指数的特殊要求，确定与所满足的条件，进而求出，的取值情况． 1．（24-25高三下·福建厦门·期末）的展开式中的系数为（   ） A．－60 B．－80 C．100 D．120 【答案】A 【解析】若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得；若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得，故的展开式中的系数为20－80＝－60, 故选： A． 2．（25-26高三上·云南曲靖·月考）的展开式中，的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【解析】设， 令得：； 令得：； 两式作差得：，即，解得：. 故选：A. 3．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．3 D．8 【答案】B 【解析】因为含的项是由的6项中取5个x，取1个常数，所以的系数为.故选：B． 4.（2025·高三·江苏扬州·阶段练习）若的展开式中含的项满足，则这些项的系数和为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【解析】 ， 因为，所以含的项为，， 所以含系数和为. 故选：A. 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 【答案】 【解析】， 的展开式通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以项的系数是． 题型四 三项展开式问题 (1)分解因式法：通过因式分解将三项式转化为两个二项式，然后利用二项式定理分别展开. (2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开; (3)利用组合知识：把三项式看成几个因式的积，利用组合知识分拆项的构成，注意最后应把各个同类项相合并.面的涂色问题一般转化为区域涂色问题处理. 1．（25-26高三上·四川成都·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【解析】的展开式为 ， 所以二项式展开式中含项为， 二项式展开式中含项的系数为45. 故选：B 2.（2025·吉林长春·二模）的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【解析】把变形为，可得： 要得到，则的展开式中的次数与的次数之和为，即，解得. 当时，. 再根据二项式定理展开，要得到，则，此时该项系数为. 因为中展开式中的系数为，所以展开式中的系数为. 故答案为:. 3.（2026·江苏淮安·模拟预测）的展开式中的系数是 .（用数字填写） 【答案】 【解析】的展开式中，要得到的系数，则可能为或. 故含的项为 ， 故答案为： 4．（2026·山东聊城·一模）的展开式中的系数是____________． 【答案】 【解析】表示5个因式的乘积， 的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供1， 此时的系数为， 的项也可以是：从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供1， 此时的系数为， 所以展开式中的系数为. 5．（河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）多项式的展开式中，常数项为_____． 【答案】76 【解析】的通项为，. 的通项为，. 令，则，所以必须是3的倍数，故可能的取值为. 当时，，对应项的系数为1； 当时，，对应项的系数为； 当时，，对应项的系数为； 所以常数项为：. 题型五 求系数或二项式系数的最值 1.求二项式系数最大项：如果是偶数，则中间一项（第项）的二项式系数最大；②如果是奇数，则中间两项（第项）的二项式系数相等并最大 2.求展开式系数最大项：如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用，从而解出来，即得. 1．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【解析】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 【答案】C 【解析】． 由，得， 所以， 又， 据此可知当时系数为实数， 实数系数分别为， ，， ， ，， 经比较可知最大值为210，此时，对应第五项. 故选：C． 3．（25-26高三上·浙江温州·期末）在二项式的展开式中，系数最大的项是______，系数最小的项的系数是______. 【答案】 【解析】的展开式的通项为：， 当时，系数最大，项为；当时，系数最小为. 4．（25-26高二上·浙江宁波·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数之和为． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中所有项的系数绝对值的和； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）所有项的系数之和可以通过令 来得到： ， 根据题意：， 解得：. 二项式的展开式通项公式为 令指数 ，解得 ， 常数项系数为 所以展开式中的常数项为 . （2）对于二项式 ，展开式的通项为： 系数为 ，其绝对值为 ， 所有项的系数绝对值的和为： 构造二项式 ，其展开式为： 代入 ，得： ， 因此，. 所以展开式中所有项的系数绝对值的和为 . （3）对于二项式 ，展开式的通项为： 系数为 ，由于负系数小于正系数，系数最大的项必为正系数， 因此只需考虑偶数 ，记 （ 为偶数）， 设展开式中系数最大的项的系数为（ 为偶数）， 则，即， 化简得：， 整理得：， 又因为 为偶数， 所以只有满足上式， 所以 最大值出现在 处。计算： 对应项为： 5．（25-26高二·全国·课后作业）在的展开式中， （1）求系数的绝对值最大的项； （2）求二项式系数最大的项； （3）求系数最大的项； （4）求系数最小的项． 【答案】（1）第6项和第7项；（2）；（3）；（4）． 【解析】由二项式定理可得的展开式的通项为． （1）设第项系数的绝对值最大． 则∴解得． 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． （2）二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 所以． （3）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，则系数最大的项为． （4）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，系数最小的项为． 题型六 展开式系数和问题 二项展开式中系数和的求法 （1）对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可，对的式子求其展开式的各项系数之和，只需令即可． （2）一般地，若，则展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为． 1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（    ） A．127 B．128 C．129 D．256 【答案】B 【解析】当时，， 当时，， 相减得，即. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）若，则的值为（   ） A．10 B．45 C． D． 【答案】B 【分析】根据写出二项展开式，得出第9项系数的表达式. 【解析】, ． 故选：B 3．（多选题）(25-26高二下·黑龙江绥化·期中)设，则(    ) A． B． C．中最大的是 D． 【答案】AB 【解析】设，则，所以， A选项正确； 令，得，B选项正确； 为负数，显然C选项错误； 令，得， 令，得，所以，D选项错误.故选：AB. 4.(多选)(24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习)， 下列说法正确的是(      ) A．各项的二项式系数和为256 B． C． D． 【答案】B 【解析】对A：各项的二项式系数和为：，故A错误； 令可得：. 令可得：①；所以，故B正确； 令可得：② ①②可得：，故D错误； 1 ②可得：，故C错误；故选：B 5．（2026·陕西咸阳·二模）在的展开式中，含项的系数是，若，则等于______． 【答案】 【解析】的展开式前三项为， 的展开式前三项为， 所以的系数为，. 即， 令，得． 6.(2025高三·全国·专题练习)若二项式，则 . 【答案】 【解析】由题可得：， 因为，所以， 所以， 又因为，所以， 则 7．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)10;(2)0;(3) 【解析】（1）因为的展开式中，只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式共项，其中第6项是唯一中间项， 所以. （2）由， 可令，得， 再令，可得， 所以. （3）二项展开式的通项为， 当时，展开式的项的系数为负； 当时，展开式的项的系数为正， 所以 令，可得， 即. 8．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知，且的展开式中各项的二项式系数之和为64． (1)求； (2)求的展开式中的系数； (3)求． 【答案】(1)；(2)-20；(3) 【解析】（1）因为展开式中各项的二项式系数之和为64， 所以，解得. （2）的展开式的通项， 令，得， 所以展开式中的系数为． （3）令，得， 令，得， 则． 题型七 近似计算 用二项式定理求近似值问题，模式比较固定，近似值问题先凑整，再展开． 1．（25-26高三下·浙江杭州·月考）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【答案】B 【解析】 ， 将精确到，故近似值为． 2．（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 3.（2025·高二·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【解析】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 4.(24-25高二下·贵州黔东南·期中)除以80的余数为(    ) A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解析】,由于且能被80整除， 所以除以80的余数为9，故选：C 5.(多选)(24-25高二下·江苏淮安·期末)已知，则下列说法中正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则中含项的系数为48 D．若为偶数，则能被4整除 【答案】ABD 【解析】因为，所以，即， 对于A，若，则，解得，正确； 对于B，若，则，即， 由单调递减，及，可得，正确； 对于C，若，则，解得， 对于二项式，要生成这一项，相当于从5个含有的括号中， 若2个取出，1个取出，2个取出，则， 若1个取出，3个取出，1个取出，则， 若5个取出，则，所以的系数为，错误； 对于D，，为偶数，不妨记， 则 能被8整除，所以能被4整除，正确.故选：ABD 6．（2025高二·全国·专题练习）某公司的股票今天的指数为1，因财报公布公司的季盈利良好，因此在之后6个交易日内指数都比上一个交易日增加2%，则6个交易日后该公司的股票指数约为______．（四舍五入，精确到0.01） 【答案】1.13 【解析】根据题意，6个交易日后该公司的股票指数为： ． 题型八 求余数或整除问题 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 用二项式定理求近似值问题，模式比较固定，近似值问题先凑整，再展开． 1．（2026·河南南阳·一模）今天是星期一，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】D 【解析】因为， 由能被整除，则上式前项都能被整除，只需看最后一项除以的余数， 由， 则除以的余数为， 所以今天是星期一，再过天，是星期五. 2．（2026·山东德州·模拟预测）除以7所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】， 因为，所以除以7所得的余数为，即， 故， 而， 故除以7所得的余数为， 故原式除以7所得的余数与除以7所得的余数相等均为. 3．（25-26高二上·河南驻马店·期末）除以9的余数为（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为 ，又因为 ，所以 ， 根据二项式定理，当，，时，则： 由于9是9的倍数，那么对于展开式中的每一项 （）， 当 时， 是9的倍数，所以这些项都能被9整除， 当 时，该项为 ， 因为 展开式中除最后一项 外，其余各项都能被9整除， 所以 除以9的余数为 （因为余数要为正数）， 则 除以9的余数就相当于 除以9的余数，，所以余数为7. 故选：C. 4．（2026·江苏镇江·模拟预测）若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【解析】 ， 因为， 所以能被7整除， ， 所以能被7整除， 因此要想能被7整除，只需能被7整除. A：，，显然符合能被7整除； B：，，显然不符合能被7整除； C：，，显然不符合能被7整除； D：，，显然不符合能被7整除； 故选：A 5．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）已知等比数列中，，若将除以7所得余数记为，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由等比数列，所以，即， 所以， 由二项式定理可知的展开式中不含有7因子的只有最后一项， 所以除以7的余数为1，则除以7的余数为2， 即，故选：B． 6．（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 【答案】A 【解析】， ， ， 则 ， 显然为正整数， 能被9整除， 又且能被9整除，能被9整除， ，则， 因为是满足条件的正整数的最小值，而满足条件的， 故取时，有最小值，所以， 所以， 的展开式中，二项式系数最大的项为第6项和第7项， 又的展开式的通项公式为 ， 展开式系数为，要使系数最小， 则系数须为负值（即为奇数），且其绝对值最大. 当为奇数时，在时取得最大值， 故系数最小的项为第项. 故选：A. 题型九 杨辉三角问题 1．（25-26高二上·黑龙江·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（    ） A．996 B．995 C．1014 D．1024 【答案】B 【解析】杨辉三角第行有个数，且数字之和为，去除两端的1后，第行剩余个数. 第2行去掉1后无数字，第3行去掉1后剩余1个数字，第4行去掉1后剩余2个数字，， 第行去掉1后剩余个数字； 那么， 当时，，即前9行去掉1后有28个数. 所以此数列的前35项应包含第10行前7个数字. 杨辉三角前行和为， 前9行和为，而前9行中两端的1共有（第1行1个，后面8行各2个）. 第10行数字为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1， 去除首尾的1后为9，36，84，126，126，84，36，9， 前7个数字和为. 所以此数列的前35项和为. 故选：B. 2.（多选）（2026·湖北黄石·一模）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 【答案】BCD 【分析】根据杨辉三角的性质即可求解A，根据组合数的性质化简即可求解B，利用二项式定理求解第48行的所有数字的和，进而根据二项式定理，根据整除的性质即可求解C，根据二项式的和，结合等比数列以及等差数列的性质，即可求解D. 【解析】对于A，第2026行共有2027个数，故A错误， 对于B,由题意可得,B正确， 对于C, 第48行的所有数字之和为 ,由于能被7整除， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确， 对于D,第行的和为， 当时，第行中去除为1的项的和为， 第0行为1， 故前行中去除为1的项的和为， 故前17行中去除为1的项的和为， 去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，……， 可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前行共有个数， 当时，， 因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为 则此数列前135项的和为. 3．(多选)（25-26高二下·江西赣州·开学考试）若，则下列选项正确的有（   ） A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 【答案】ABD 【解析】对于A：因为，因此，故A正确； 对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C：令，可得； 再令，可得， 将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误； 对于D：令，则， 再令，可得， 所以，故D正确． 4．（24-25高一上·安徽亳州·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《解析九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 【解析】（1）由题意可得，，同理可得，， ，，，，， 所以，图中第行的各数之和为 . （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件， 即， 整理可得，解得， 所以存在相邻的三个数，，， （3）因为当且、时，， 故 ， 即当、，，. 题型十 利用二项式定理证明等式或不等式 1．（2026高三·全国·专题练习）设，且，求证： (1)； (2)求证：． （证明过程中可以运用公式：对个正数，总有，式中等号成立的充要条件为） 【解析】（1）由于，则， 又，故. （2）根据公式，对个正数，总有，式子等号成立的充要条件为， 故，而， 这样， 所以，又， 所以. 2．（25-26高二·安徽合肥·期中）早期的二项式定理给出了两数之和的正整数次幂的展开式，即，其中，.事实上牛顿还将二项式定理推广到了幂为一般实数的情形，即，其中，，，于是可以看作组合数向一般实数的推广.这种幂为一般实数的二项式定理，也叫广义二项式定理，它将二项式展开成了无穷级数，通常取前面有限的一部分项求和结果就很接近真实值. 广义二项式定理的一个重要应用就是计算一个数的指数函数值(开方就是特例)，现在以求2的平方根为例来说明. 而2的平方根准确值为1.414…，可见用二项展开式前7项的值估算可以精确到小数点后第二位.此外，广义二项式定理还可以用于求一般实数次幂函数的导数和积分、证明不等式(如贝努利不等式). (1)请仿照题意计算的近似值（精确到小数点后第二位）； (2)证明：，其中； (3)已知，请用表示. 【解析】（1）由题意得 . （2）证明：， ， ， ， ， ，即等式成立； （3）由（2）得， ，， ，且， 累加可得， 综上可得. 3．（23-24高三下·全国·课后作业）求证： 【解析】考虑恒等式：， 有 ． 左边展开式中的系数为： ， 而右边展开式中项的系数为零． 所以. 即得所证等式． 3．（2024·山东济南·三模）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，记 ，并规定.记，并规定.定义. (1)若，求和； (2)求 ； (3)证明： 【解析】（1）若， 而 （2）当时， ， 当时，由 可得 ； 综上所述，. （3）结合第二问结论知， 要证 只需证 ， 令，易知， 则， 所以， 一方面， 另一方面，， 当且时， 由于， 比较两式中的系数可得：， 则 由 可知=， 当时，由 可知：， 此时命题也成立. 当时， 也成立. 综上所述，. 4．（25-26高二·江苏南京·期末）在的展开式中，把，，，，叫做三项式系数． (1)当时，写出三项式系数，，的值； (2)类比二项式系数性质，探究，，，的等量关系，并给出证明； (3)求的值． 【解析】（1）因为， 所以. （2）类比二项式系数性质，三项式系数有如下性质： ， 因为， 所以， 上式左边的系数为，而上式右边的系数为， 由为恒等式， 得 （3） ， 其中系数为， 又， 而二项式的通项， 因为2024不是3的倍数，所以的展开式中没项， 由代数式恒成立，得 ． 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题4 轻松破解二项式定理的十大热点题型 题型一 二项式定理的正用、逆用 运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式． 1.（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 2．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）化简： ． 题型二 二项展开式中的特定项及系数 求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）． （2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解． （3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 2．（2026·山西大同·一模）若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 4.(2026·湖北武汉·模拟预测)展开式的7项中，系数为有理数的项共有(  )项 A．1 B．2 C．3 D．4 5.（2026·高二·浙江杭州·期中）若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（25-26高三上·四川成都·期中）的展开式的中间项为 ． 题型三 求两个多项式积的特定项 求多项式积的特定项的方法：“双通法” 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中一般项为：，再依据题目中对指数的特殊要求，确定与所满足的条件，进而求出，的取值情况． 1．（24-25高三下·福建厦门·期末）的展开式中的系数为（   ） A．－60 B．－80 C．100 D．120 2．（25-26高三上·云南曲靖·月考）的展开式中，的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 3．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．3 D．8 4.（2025·高三·江苏扬州·阶段练习）若的展开式中含的项满足，则这些项的系数和为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 题型四 三项展开式问题 (1)分解因式法：通过因式分解将三项式转化为两个二项式，然后利用二项式定理分别展开. (2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开; (3)利用组合知识：把三项式看成几个因式的积，利用组合知识分拆项的构成，注意最后应把各个同类项相合并.面的涂色问题一般转化为区域涂色问题处理. 1．（25-26高三上·四川成都·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 3.（2026·江苏淮安·模拟预测）的展开式中的系数是 .（用数字填写） 4．（2026·山东聊城·一模）的展开式中的系数是____________． 5．（河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）多项式的展开式中，常数项为_____． 题型五 求系数或二项式系数的最值 1.求二项式系数最大项：如果是偶数，则中间一项（第项）的二项式系数最大；②如果是奇数，则中间两项（第项）的二项式系数相等并最大 2.求展开式系数最大项：如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用，从而解出来，即得. 1．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 3．（25-26高三上·浙江温州·期末）在二项式的展开式中，系数最大的项是______，系数最小的项的系数是______. 4．（25-26高二上·浙江宁波·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数之和为． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中所有项的系数绝对值的和； (3)求展开式中系数最大的项． 5．（25-26高二·全国·课后作业）在的展开式中， （1）求系数的绝对值最大的项； （2）求二项式系数最大的项； （3）求系数最大的项； （4）求系数最小的项． 题型六 展开式系数和问题 二项展开式中系数和的求法 （1）对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可，对的式子求其展开式的各项系数之和，只需令即可． （2）一般地，若，则展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为． 1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（    ） A．127 B．128 C．129 D．256 2．（25-26高二下·全国·课后作业）若，则的值为（   ） A．10 B．45 C． D． 3．（多选题）(25-26高二下·黑龙江绥化·期中)设，则(    ) A． B． C．中最大的是 D． 4.(多选)(24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习)， 下列说法正确的是(      ) A．各项的二项式系数和为256 B． C． D． 5．（2026·陕西咸阳·二模）在的展开式中，含项的系数是，若，则等于______． 6.(2025高三·全国·专题练习)若二项式，则 . 7．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 8．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知，且的展开式中各项的二项式系数之和为64． (1)求； (2)求的展开式中的系数； (3)求． 题型七 近似计算 用二项式定理求近似值问题，模式比较固定，近似值问题先凑整，再展开． 1．（25-26高三下·浙江杭州·月考）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 2．（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 3.（2025·高二·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 4.(24-25高二下·贵州黔东南·期中)除以80的余数为(    ) A．3 B．6 C．9 D．18 5.(多选)(24-25高二下·江苏淮安·期末)已知，则下列说法中正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则中含项的系数为48 D．若为偶数，则能被4整除 6．（2025高二·全国·专题练习）某公司的股票今天的指数为1，因财报公布公司的季盈利良好，因此在之后6个交易日内指数都比上一个交易日增加2%，则6个交易日后该公司的股票指数约为______．（四舍五入，精确到0.01） 题型八 求余数或整除问题 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 用二项式定理求近似值问题，模式比较固定，近似值问题先凑整，再展开． 1．（2026·河南南阳·一模）今天是星期一，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 2．（2026·山东德州·模拟预测）除以7所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．（25-26高二上·河南驻马店·期末）除以9的余数为（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 4．（2026·江苏镇江·模拟预测）若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 5．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）已知等比数列中，，若将除以7所得余数记为，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 6．（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 题型九 杨辉三角问题 1．（25-26高二上·黑龙江·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（    ） A．996 B．995 C．1014 D．1024 2.（多选）（2026·湖北黄石·一模）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 3．(多选)（25-26高二下·江西赣州·开学考试）若，则下列选项正确的有（   ） A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 4．（24-25高一上·安徽亳州·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《解析九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 题型十 利用二项式定理证明等式或不等式 1．（2026高三·全国·专题练习）设，且，求证： (1)； (2)求证：． （证明过程中可以运用公式：对个正数，总有，式中等号成立的充要条件为） 2．（25-26高二·安徽合肥·期中）早期的二项式定理给出了两数之和的正整数次幂的展开式，即，其中，.事实上牛顿还将二项式定理推广到了幂为一般实数的情形，即，其中，，，于是可以看作组合数向一般实数的推广.这种幂为一般实数的二项式定理，也叫广义二项式定理，它将二项式展开成了无穷级数，通常取前面有限的一部分项求和结果就很接近真实值. 广义二项式定理的一个重要应用就是计算一个数的指数函数值(开方就是特例)，现在以求2的平方根为例来说明. 而2的平方根准确值为1.414…，可见用二项展开式前7项的值估算可以精确到小数点后第二位.此外，广义二项式定理还可以用于求一般实数次幂函数的导数和积分、证明不等式(如贝努利不等式). (1)请仿照题意计算的近似值（精确到小数点后第二位）； (2)证明：，其中； (3)已知，请用表示. 3．（2024·山东济南·三模）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，记 ，并规定.记，并规定.定义. (1)若，求和； (2)求 ； (3)证明： 4．（25-26高二·江苏南京·期末）在的展开式中，把，，，，叫做三项式系数． (1)当时，写出三项式系数，，的值； (2)类比二项式系数性质，探究，，，的等量关系，并给出证明； (3)求的值． 【解析】（1）因为， 所以. （2）类比二项式系数性质，三项式系数有如下性质： ， 因为， 所以， 上式左边的系数为，而上式右边的系数为， 由为恒等式， 得 （3） ， 其中系数为， 又， 而二项式的通项， 因为2024不是3的倍数，所以的展开式中没项， 由代数式恒成立，得 ． 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $