专题训练07 离散型随机变量的数字特征-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，以方差、期望为核心，从单一公式应用到实际情境建模，构建“概念-运算-应用”的知识巩固路径，培养数学思维与数据观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|方差性质、期望计算|如第1题直接考查D(aX+b)公式，第3题结合均值方差线性变换，强化概念理解| |能力提升|分布列与数字特征综合|如第4题通过分布列求期望方差，第6题分析方差随参数变化，培养推理能力| |综合应用|实际情境建模与多知识点融合|如第19题滑雪费用分布列、第20题鸡冠花株高统计，体现模型意识与应用能力|

离散型随机变量的数字特征07 检测限时：120分钟 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•河南月考）已知随机变量X的方差为D（X）＝2，则D（3X﹣1）＝（　　） A．18 B．17 C．6 D．5 2．（2024春•宜秀区期中）在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数X的均值和方差分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（2024•江西模拟）“生活里没有书籍，就好像没有阳光；智慧里没有书籍，就好像鸟儿没有翅膀．”某学校开展书香校园活动，甲、乙两学生统计某一周内的读书时长数据．若学生甲一周内每天的读书时长（单位：小时）分别为x1，x2，…，x7，其均值和方差分别为和s2，学生乙该周内每天的读书时长均比学生甲多半个小时，则学生乙该周内每天读书时长的均值和方差分别为（　　） A．，s2 B．，0.25+s2 C．，0.25+s2 D．，s2 4．（2025秋•开福区期末）已知随机变量X的分布列如下，若E（X）＝0，则D（3X+1）＝（　　） X ﹣2 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 5．（2025秋•昌江区期末）某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本．计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（　　） A．抽取男生的样本量为40 B．估计该校高三学生身高的均值为165 C．抽样时女生甲被抽到的概率为 D．估计该校高三学生身高的方差为19 6．（2025春•重庆期末）设0＜a＜2，随机变量X的分布列如表所示，则随着a的增大，（　　） X 0 a 2 P A．D（X）增大 B．D（X）减小 C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大 7．（2024春•衡阳县月考）已知随机变量，则D（X）＝（　　） A． B． C． D． 8．（2024春•清远期末）在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25．某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为X，则X的方差D（X）＝（　　） A．1.5 B．7.5 C．20.5 D．37.5 9．（2025春•沙坪坝区期中）设0＜a＜2，随机变量X的分布列为 X 0 a 2 P 当随机变量X的方差D（X）取得最小值时，a＝（　　） A． B． C． D． 10．（2023春•浙江月考）已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下表： 时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3 乙的频率 0 0.3 0.6 0.1 某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的数学期望和方差分别是（　　） A．E（X）＝1.5，D（X）＝0.36 B．E（X）＝1.4，D（X）＝0.36 C．E（X）＝1.5，D（X）＝0.34 D．E（X）＝1.4，D（X）＝0.34 二．多选题（共4小题） （多选）11．（2025秋•南昌期末）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X+3，则（　　） A．E（X）＝1.5 B．E（Y）＝6 C．D（X）＝2.05 D．D（Y）＝11.2 （多选）12．（2024春•肇庆期末）已知x1，x2，x3是互不相等的正数，随机变量X，Y的分布列如表所示； X x1 x2 x3 P a b c Y P a b c 若a，b，c既成等差数列也成等比数列，X，Y的期望和方差分别为E（X），E（Y）和D（X），D（Y），则（　　） A．E（X）＝E（Y） B．E（X）＞E（Y） C．D（X）＜D（Y） D．D（X）＞D（Y） （多选）13．（2025春•泉州期末）已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如表，则下列结论一定成立的是（　　） X 0 1 2 P m n m A．2m+n＝1 B．P（X＝1）＜P（X≠1） C．E（X）＝1 D．D（2X+1）＜1 （多选）14．（2024春•鹿邑县期末）下列命题中，正确的命题是（　　） X 0 20 40 P m 2m m A．已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.6．设Y＝3X﹣2，那么P（Y＝﹣2）＝0.3 B．已知某随机变量X的分布列如图表，则随机变量X的方差D（X）＝200 C．已知，，，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.7），当X＝7时概率最大 三．填空题（共4小题） 15．（2026春•寿光市月考）已知离散型随机变量X的分布列为： X ﹣2 ﹣1 0 1 P 则D（X）等于　 　 ． 16．（2025秋•齐齐哈尔期末）已知随机变量X～B（6，），随机变量Y＝﹣3X+4，则D（Y）＝　 　 ． 17．（2025春•城中区期中）一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中成绩的均值与方差分别为 　 　 ． 18．（2026春•罗湖区月考）甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量X，则D（X）的取值范围为　 　 ． 四．解答题（共6小题） 19．（2024•荆州区模拟）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时． （1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E（ξ），方差D（ξ）． 20．（2024•滨州二模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物的影响情况．其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应第1，2，3组．观察一段时间后，分别从第1，2，3组各随机抽取20株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表： 株高增量（单位：厘米） （4，7] （7，10] （10，13] （13，16] 第1组鸡冠花样本株数 4 10 4 2 第2组鸡冠花样本株数 3 8 8 1 第3组鸡冠花样本株数 7 5 7 1 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立． （1）从第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，求至少有1株鸡冠花的株高增量在（7，10]内的概率； （2）分别从第1组，第2组，第3组的鸡冠花中各随机抽取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量在（7，10]内，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）用“ξk＝1”表示第k组鸡冠花的株高增量在（4，10]内，“ξk＝0”表示第k组鸡冠花的株高增量在（10，16]内，k＝1，2，3．比较方差D（ξ1），D（ξ2），D（ξ3）的大小，并说明理由． 21．（2024春•利通区月考）已知A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2．根据市场分析，X1和X2的分布列如下． X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 （1）在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求D（Y1）和D（Y2）； （2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100﹣x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和．求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值． 22．（2025秋•宝山区月考）某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，规定按照成绩由高到低取前10%进入决赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，40≤x≤100）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求a的值并估计进入决赛的最低分数； （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为[60，70）和[70，80）的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自[60，70）组的学生的概率； （3）学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：x1，x2，x3，⋯，x10，已知这10个成绩的平均数，标准差s＝5，若剔除其中的94和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差． 23．（2025•绵阳模拟）俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记ξ＝1；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记ξ＝0；若ξ＝1，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为． （1）求出随机变量ξ的分布列，并求出期望及方差； （2）求张老师当天穿西装的概率． 24．（2024•江岸区模拟）四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观．蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量m＝12，样本平均数，样本方差；乙区的样本容量n＝18，样本平均数，样本方差． （1）求由两区样本组成的总样本的平均数及其方差S2；（结果保留一位小数） （2）为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行．比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立．甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及E（X）的值． 参考数据：12×182＝3888，18×362＝23328，28.82＝829.44，12×10.82＝1399.68，18×7.22＝933.12． 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C C D A D B D 二．多选题（共4小题） 题号 11 12 13 14 答案 ABC AD AC BCD 一．选择题（共10小题） 1．【答案】A 【分析】由方差的性质直接求解． 【解答】解：随机变量X的方差为D（X）＝2， 则D（3X﹣1）＝32×2＝18． 故选：A． 2．【答案】A 【分析】由题意，可得X～B（3，P），根据事件A至少发生一次的概率为，求出P，再代入期望和方差公式中进行求解即可． 【解答】解：不妨设事件A在每次试验中发生的概率为P， 因为在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同， 所以X～B（3，p）， 若事件A至少发生一次的概率为， 此时1﹣（1﹣p）3， 解得p， 所以X～B（3，）， 则E（X）＝np＝3，D（X）＝np（1﹣p）＝3． 故选：A． 3．【答案】D 【分析】根据已知条件，结合期望与方差的线性公式，即可求解． 【解答】解：学生甲一周内每天的读书时长（单位：小时）分别为x1，x2，…，x7， 学生乙该周内每天的读书时长均比学生甲多半个小时，则x1+0.5，x2+0.5，…，x7+0.5， 故学生乙该周内每天读书时长的均值和方差分别为，12×s2＝s2． 故选：D． 4．【答案】C 【分析】先根据分布列性质计算求参数，再根据方差定义计算方差，最后应用方差性质计算求解． 【解答】解：根据题意可得，E（X）＝﹣2m+02n＝0， 解得m，n， 所以， 所以． 故选：C． 5．【答案】C 【分析】应用分层抽样判断A，应用分层抽样的均值及方差计算判断B，D，再应用分层抽样的概率计算判断C． 【解答】解：某学校高三学生共有900人，其中男生500人，采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本． 则抽取男生的样本量为，故A错误； 男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19， 则估计该校高三学生身高的均值为，故B错误； 抽样时女生甲被抽到的概率为，故C正确； 估计该校高三学生身高的方差为，故D错误． 故选：C． 6．【答案】D 【分析】利用方差的定义，结合二次函数的性质求解． 【解答】解：由题意可知，E（X）＝0， 所以D（X）＝（0）2[]， 又因为0＜a＜2， 所以当a∈（0，1）时，D（X）随着a的增大而减小；当a∈（1，2）时，D（X）随着a的增大而增大． 故选：D． 7．【答案】A 【分析】利用二项分布的方差公式计算． 【解答】解：因为， 所以． 故选：A． 8．【答案】D 【分析】设答对题目个数为Y，根据题目可知，Y～B（8，0.25），X＝5Y，根据方差公式及方差性质计算即可． 【解答】解：设答对题目个数为Y，根据题目可知，Y～B（8，0.25）， 从而得到方差D（Y）＝8×0.25×0.75＝1.5， 又X＝5Y，所以X的方差D（X）＝25D（Y）＝37.5． 故选：D． 9．【答案】B 【分析】根据期望公式求出E（X），再将其代入方差公式得到关于a的函数，最后通过求函数的最小值来确定a的值． 【解答】解：将表格数据代入期望公式和方差公式可得：， ， 可得对称轴为， 则当时，D（X）取得最小值 故选：B． 10．【答案】D 【分析】由题意，设事件A表示甲在规定的时间内到达，B表示乙在规定的时间内到达，由题求出事件的概率，分析X的值，求出对应值的概率，然后求出数学期望及方差即可． 【解答】解：设事件A表示甲在规定的时间内到达，B表示乙在规定的时间内到达， 则P（A）＝0.5，P（B）＝0.9，且A，B相互独立， 此时， （1﹣0.5）×0.9+0.5×（1﹣0.9）＝0.5， P（X＝2）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.9＝0.45， 所以E（X）＝0×0.05+1×0.5+2×0.45＝1.4， D（X）＝（0﹣1.4）2×0.05+（1﹣1.4）2×0.5+（2﹣1.4）2×0.45＝0.34． 故选：D． 二．多选题（共4小题） 11．【答案】ABC 【分析】根据题意，利用期望和方差的公式求得E（X），D（X），结合期望与方差的性质，分别求得E（Y），D（Y）的值，即可求解． 【解答】解：离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 由分布列的性质，可得a+0.3+0.2+0.2＝1，解得a＝0.3， 则E（X）＝0×0.3+1×0.3+2×0.2+4×0.2＝1.5， D（X）＝（0﹣1.5）2×0.3+（1﹣1.5）2×0.3+（2﹣1.5）2×0.2+（4﹣1.5）2×0.2＝2.05， ∵Y＝2X+3， ∴E（Y）＝2E（X）+3＝2×1.5+3＝6， D（Y）＝22×D（X）＝4×2.05＝8.2． 故选：ABC． 12．【答案】AD 【分析】由题意，结合分布列的性质得到，再根据随机变量的数学期望、方差公式计算化简，进而可解． 【解答】解：因为a，b，c既成等差数列也成等比数列， 所以， 整理得（a﹣c）2＝0， 解得a＝c， 所以b＝a， 因为a+b+c＝1， 所以， 此时，， 则E（Y）＝E（X），故选项A正确，选项B错误； 因为 ， ， 所以D（X）＝4D（Y）＞0， 则D（X）＞D（Y），故选项D正确，选项C错误． 故选：AD． 13．【答案】AC 【分析】AB，根据概率之和为1得到2m+n＝1，且m，n＞0，进而判断AB选项，C，根据期望公式计算即可；D选项，利用方差的性质计算得到D（2X+1）＝4D（X）＝8m，故D错误． 【解答】解：AB选项，由题意，2m+n＝1且m，n＞0， 而P（X＝1）＝n，P（X≠1）＝2m大小不确定，故A选项正确，B选项错误； C选项，E（X）＝0×P（X＝0）+1×P（X＝1）+2×P（X＝2）＝n+2m＝1，故C选项正确； D选项，由E（X2）＝0×P（X＝0）+12×P（X＝1）+22×P（X＝2）＝n+4m， 所以D（2X+1）＝4D（X）＝4[E（X2）﹣E2（X）]＝4（4m﹣2m）＝8m， 与m的大小有关，不一定小于1，故D选项错误． 故选：AC． 14．【答案】BCD 【分析】选项A：P（Y＝﹣2）即P（X＝0）；选项B：利用概率之和为1，求出m的值，再分别求出期望和方差；选项C：利用条件概率公式，对式子变形后，两式相加，求出P（B）；选项D：由二项分布概率计算公式写出P（X＝k），列不等式组，求出k的值． 【解答】解：对于选项A，P（Y＝﹣2）＝P（X＝0）＝1﹣0.6＝0.4，故A错误； 对于选项B，由题知m+2m+m＝1，所以， 所以， 所以，故B正确； 对于选项C，，， 所以，， 所以， 所以， 解得，故C正确； 对于选项D，， 由， 得， 解得6.7≤k≤7.7，所以k＝7， 即当X＝7时概率最大，故D正确． 故选：BCD． 三．填空题（共4小题） 15．【答案】． 【分析】根据离散型随机变量的期望与方差的定义，即可求解． 【解答】解：根据题意可得E（X）， 所以D（X）． 故答案为：． 16．【答案】12． 【分析】利用二项分布的方差公式求出D（X），再由方差的性质计算D（Y）． 【解答】解：由题易知， 根据方差的性质可得：． 故答案为：12． 17．【答案】60，96． 【分析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数（成绩）为Y，则Y＝4X， 由题意知X～B（25，0.6），代入期望与方差公式即可求解． 【解答】解：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数（成绩）为Y，则Y＝4X， 由题意知X～B（25，0.6），所以E（X）＝25×0.6＝15， D（X）＝25×0.6×0.4＝6，E（Y）＝E（4X）＝4E（X）＝60， D（Y）＝D（4X）＝42×D（X）＝16×6＝96， 所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96． 故答案为：60，96． 18．【答案】． 【分析】根据给定条件，求出随机变量X的分布，再利用期望的定义及方差的期望表示列式，借助二次函数求出范围． 【解答】解：随机变量X的所有可能值为2，3， P（X＝2）＝p2+（1﹣p）2＝2p2﹣2p+1，， 当时，令， 则E（X）＝2P（X＝2）+3P（X＝3）＝2（1﹣t）+3t＝t+2， E（X2）＝4P（X＝2）+9P（X＝3）＝4（1﹣t）+9t＝5t+4， 因此D（X）． 故答案为：． 四．解答题（共6小题） 19．【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为80，方差为． 【分析】（1）由题意首先确定相同的费用值，然后求解相应的概率值即可； （2）首先确定ξ的所有可能取值，然后计算相应的概率值，确定其分布列，进一步求解其均值和方差即可． 【解答】解：（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元， 甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为． 两人都付0元的概率为P1， 两人都付40元的概率为P2， 两人都付80元的概率为P3， 则两人所付费用相同的概率为： P＝P1+P2+P3． （2）ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160，则： P（ξ＝0）， P（ξ＝40）， P（ξ＝80）， P（ξ＝120）， P（ξ＝160）． 所以ξ的分布列为 ξ 0 40 80 120 160 P E（ξ）＝0408012016080． D（ξ）＝（0﹣80）2（40﹣80）2（80﹣80）2（120﹣80）2（160﹣80）2． 20．【答案】（1）； （2）分布列见详解，； （3）D（ξ2）＞D（ξ3）＞D（ξ1），理由见详解． 【分析】（1）根据题意利用古典概型分析即可求解； （2）设相应事件，由题意可知：，且X的可能取值有0，1，2，3，进而求分布列和期望； （3）由题意可知：ξ1，ξ2，ξ3均服从两点分布，结合两点分布求方差，对比分析即可． 【解答】解：（1）记“第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株， 至少有1株鸡冠花的株高增量在（7，10]内”为事件A， 所以； （2）记“从第i（i＝1，2，3）组的鸡冠花中各随机抽取1株， 记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量在（7，10]内”为事件Bi， 由题意可知：， 且X的可能取值有0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P X的期望； （3）由题意可知：ξ1，ξ2，ξ3均服从两点分布， 则ξ1的分布列为： ξ1 0 1 P 可得ξ1的方差； ξ2的分布列为： ξ2 0 1 P 可得ξ2的方差； ξ3的分布列为： ξ3 0 1 P 可得ξ3的方差； 因为， 所以D（ξ2）＞D（ξ3）＞D（ξ1）． 21．【答案】（Ⅰ）D （Y1）＝4；D（Y2）＝12； （Ⅱ）当x＝75时，f（x）＝3为最小值． 【分析】（1）根据期望和方差的公式计算即可求解； （2）根据题意求得f（x）的解析式，利用函数求解即可． 【解答】解：（1）由题设可知，Y1和Y2的分布列分别为： Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 E（Y1）＝5×0.8+10×0.2＝6， D（Y1）＝（5﹣6）2×0.8+（10﹣6）2×0.2＝4； E（Y2）＝2×0.2+8×0.5+12×0.3＝8， D（Y2）＝（2﹣8）2×0.2+（8﹣8）2×0.5+（12﹣8）2×0.3＝12． （Ⅱ）f（x）＝D（）+D（） [x2+3（100﹣x）2] （4x2﹣600x+3×1002）， 当x＝75时，f（x）＝3为最小值． 22．【答案】（1）a＝0.030；88分； （2）； （3）平均数为90，方差为27.25． 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解a，再将数据由高到低排列取其前10%即可； （2）根据分层抽样比求解人数，即可列举所有可能结果，利用古典概型的概率公式即可求解； （3）根据平均数以及方差的计算公式即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可得10×（0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005）＝1，解得a＝0.030； 因为后两组的频率依由大到小次为0.05，0.25， 所以成绩由高到低的前10%分数线必在[80，90）内，且为88， 则进入决赛的最低分数为88分； （2）样本成绩位于[60，70）和[70，80）的比例为， 故所抽取的6个人中，来自[60，70）的人数为， 来自[70，80）的人数为， 则再从6人中选2人，则2人中有来自[60，70）组的学生的概率为； （3）由，可得x1+x2+x3+⋯+x10＝90×10＝900， 则剔除其中的94和86两个分数，剩余8个数平均数为， 又标准差s＝5，则 ， 故， 则， 则剩余的8个数的方差为． 23．【答案】（1）分布列见解析；，； （2）． 【分析】（1）结合古典概型即可写出分布列，进而可求期望与方差； （2）结合条件概率即可求解． 【解答】解：（1）将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件6×6＝36种， 掷出的点数之和是3的倍数有： （1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6），12种； 则掷出的点数之和不是3的倍数有24种， 随机变量ξ的取值为0，1， ，， 所以ξ的分布列为： ξ 0 1 P ． ； （2）设A表示深色，则表示穿浅色，B表示穿西装，则表示穿休闲装． 根据题意，穿深色衣物的概率为，则穿浅色衣物的概率为， 穿深色西装的概率为，穿浅色西装的概率为， 则当天穿西装的概率为． 所以张老师当天穿西装的概率为． 24．【答案】（1），S2＝127.4； （2）． 【分析】（1）由平均数和方差公式求解即可； （2）X的所有可能取值为0，1，2，求出对应的概率，从而可得分布列及数学期望． 【解答】解：（1）∵甲区的样本容量m＝12，样本平均数， 乙区的样本容量n＝18，样本平均数， ∴由两区样本组成的总样本的平均数， ∵ 1212（）2， 同理可得1818（）2， ∴ ． （2）由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2， 设“第i场比赛在甲区举行，甲区代表队获胜”为事件Ai， “第i场比赛在乙区举行，甲区代表队获胜”为事件Bi，i＝1，2，3， 则， ∴， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 P 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