重难专题02 刷透概率分布解答题的十三大必刷题型（含决策性、赛制、切比雪夫不等式及马尔科夫链等题型）（5大基础题型+3大能力提升+5大拓展提升）高二数学人教A版选择性必修第三册

重难专题02 概率分布解答题的十二大必刷题型 (含决策性、赛制、切比雪夫不等式、泊松分布及马尔科夫链等题型) 题型一 离散型随机变量的分布列 1．设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求随机变量的分布列． 2．(2026重庆八中高三月考)某气象观测站计划购买两套新型气象监测设备． 每套设备有一关键传感器， 在五年使用期内可能需更换 (设备使用五年后淘汰)． 购进设备时，可额外购买该传感器作为备件， 每个成本为 300 元． 在使用期间， 若备件不足需紧急采购， 则每个 800 元． 五年后未使用的备件可由厂家回购， 每个回购价为 100 元． 现需决策购买设备时应同时购买几个备件， 为此搜集并整理了100套同型号设备在五年使用期内的传感器更换数据， 得到如下频数分布表： 每套设备更换数 频数 8 20 9 30 10 50 以频率估计概率．记随机变量为两套设备五年内共需更换的传感器的个数，为购买设备时同时购买的备件数． (1)求的概率分布列； (2)若要求 ，求的最小值. 3．投掷四枚不同的金属纪念币，其中两枚正面向上的概率均为，两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为．将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数． (1)求的分布列（用表示）； (2)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大，求的取值范围． 题型二 离散型随机变量的期望与方差 1.（25-26高三上·上海·单元测试）有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令．求： (1)X所取各值的概率； (2)随机变量X的期望与方差． 2．（2026·河南周口·模拟）小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 3．（25-26高三下·海南·月考）竹竿舞又称“跳竹竿”，是人在两竹竿滑动相撞的空隙中跳动的一种娱乐活动.2005年，黎族的竹竿舞被确定为海南省非物质文化遗产，2006年，竹竿舞入选“国家级非物质文化遗产保护名录”，甲､乙两名游客组队参加了海南某文化旅游区举办的竹竿舞闯关活动，该活动总共分为三关：第一､二关均为单人独舞（第一关和第二关闯关的人不相同），第三关为两人共舞.已知甲､乙闯过第一关的概率分别为，闯过第二关的概率分别为，这支队伍闯过第三关的概率为0.5.活动规定：只有闯过前一关，才有资格闯关后一关. (1)请以这支队伍闯过前两关的概率为依据，为甲､乙安排第一关和第二关的闯关顺序，并求此时这支队伍闯过前两关的概率； (2)以在（1）中安排的闯关顺序为准，记这支队伍闯过的关数为，求的分布列与期望. 题型三 超几何分布 1．（2026·广东东莞·模拟预测）一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为. (1)求的概率; (2)求Y的分布列与数学期望. 2．（25-26高二下·上海松江·月考）我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 3．（2026·江苏镇江·一模）AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 题型四 两点分布 1．（25-26高二下·福建南平·月考）篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为． （1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值； （2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率． 2．（25-26高二·湖南·课后作业）一个袋中有除颜色外其余完全相同的3个白球和4个红球． (1)从袋中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，则有求X的分布列； (2)从袋中任意摸出两个球，用“0”表示两个球全是白球，用“”表示两个球不全是白球，求Y的分布列． 题型五 二项分布 1．（25-26高三上·河北保定·期末）某公司研发的图像识别模型用于检测工业零件是否为次品，此模型正确识别次品的概率为0.9，将正品误判为次品的概率为0.025，每次检测相互独立．现有一大批零件，其中次品零件占20%，正品零件占80%． (1)求某个零件经过该模型检测后被判断为次品的概率； 2.（25-26高三上·重庆·月考）校园科技节举办“无人机操控挑战”活动，共有名学生报名参赛，每位学生需完成“首轮悬停定位”和“次轮障碍穿越”两项任务．已知每位学生首轮悬停定位成功的概率为，且不同学生首轮成功与否相互独立；若某学生首轮悬停定位成功，其次轮障碍穿越成功的概率为；若首轮悬停定位失败，其次轮障碍穿越成功的概率为．两项任务均成功即最终挑战成功． (1)若随机抽取一名参赛学生，求其次轮障碍穿越成功的概率． (2)记为参赛学生中挑战成功的学生人数，求的数学期望与方差． 3.（25-26高二上·全国·单元测试）建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列与数学期望. 题型六 决策性问题 1．（2026·陕西·模拟预测）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 2．（2026·湖北宜昌·二模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 3．某科技公司推出“AI艺术创作”线下体验项目，运营团队统计了过去10天的运营数据，整理成如下图表： 客流量等级 小客流（A） 中客流（B） 大客流（C） 天数 3 5 2 日固定收入（元） 4000 10000 22000 设备“故障”概率 0.1 0.2 0.4 ①设备“故障”分为“轻微故障”和“严重故障”，其中轻微故障的概率为，严重故障的概率为； ②轻微故障：当日收入不变，需支付维修费200元； ③严重故障：当日收入减半，需支付维修费1000元； 每日客流量等级相互独立，故障类型与客流量等级相互独立，由频率估计概率． (1)求该项目某一日客流量等级为中客流且发生设备严重故障的概率； (2)设该项目某一日的运营总损失为（单位：元），维修费+收入损失（若无故障，损失为0），求的分布列及； (3)项目团队计划引入“故障预警系统”，引入后可将各客流量等级下的故障概率均降低至原来的，但每日需额外支付系统使用费100元，判断是否值得引入该系统，并说明理由． 题型七 赛制问题 1．（2026·陕西商洛·一模）甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响． (1)求比赛进行四局且甲获胜的概率： (2)比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望． 2．（25-26高三上·安徽·开学考试）为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各5名同学进行羽毛球友谊赛，每人至多参加一场比赛，各场比赛互不影响，比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0，其中甲班5名参赛学生的情况如下表： 学生 A B C D E 获胜概率 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 获胜积分 8 7 6 5 4 (1)若进行5场比赛，求甲班至多获胜4场的概率； (2)若进行3场比赛，依据班级积分期望超过10为参赛资格，请问甲班三人组合是否具有参赛资格？请说明理由. 3．（25-26高三上·广东潮州·期末）甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下:先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛，直到分出胜负．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，每局比赛结果相互独立． (1)求甲校以3:1获胜的概率； (2)记比赛结束时女生比赛的局数为，求的分布列及期望． 4．（25-26高三下·北京·月考）为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响． (1)若 ，求乙队以2：0获胜的概率； (2)若 ，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望； (3)若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义. 题型八 概率最大问题 1．（25-26高二下·湖南郴州·月考）在某军事训练基地，新兵小张进行实弹射击考核，考核要求连续进行10次移动靶射击，每次击中目标可获得优秀评分．根据小张平日训练记录，他每次射击命中目标的概率为．小张在这10次射击考核中，求： (1)恰好有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (2)至少有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (3)最有可能击中目标多少次？ （参考数据：） 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n？ (3)若，参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，（），则m为何值时，概率. 3．（2026·广西北海·一模）近几年，我国旅游兴起.某个知名景区为提高服务质量，随机抽取了300名到该景区旅游的游客做问卷调查，其中甲、乙、丙三个省的游客人数恰好分别为：30，90，60，其他省的有120人．假设景区中的每名游客都对应一个随机的不同的景区票号． (1)按省份进行分层随机抽样，从调查的这些游客景区票号中随机抽取10个号，再从这10个中随机选4个，该景区奖励这4个号对应的游客每人一份大礼包，记抽取到乙、丙两个省的人数分别为，，设，求X的分布列与期望； (2)若景区邀请这些被抽到的甲、乙、丙三省的游客按照票号从小到大的顺序参加一项游戏，且每一个游客都参加，做完游戏后每人可领取一份纪念品，求甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏（甲省被抽到的所有游客完成游戏后，乙、丙两个省都还有被抽到的游客未完成游戏）的概率； (3)若这次问卷调查抽取的各省游客作为样本，把样本中丙省游客的频率作为景区所有游客中丙省游客的概率，从该景区所有游客票号中随机抽取30个，给予这30人全年免票游玩，丙省游客最有可能被抽取到多少人？ 4．（江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题）某篮球比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛规则如下： 第一阶段由参赛队中一名队员投篮2次，记投中次数为m． 第二阶段由另一名队员投篮3次，每次投中得1分，没有投中得0分；但如果3次全中，得5分，记这名队员的得分为，那么该队的比赛总得分为． 某队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，甲参加第一阶段比赛，求该队的比赛成绩为0分的概率． (2)假设，为使得该队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 题型九 切比雪夫不等式的应用 1．（2026·吉林长春·模拟预测）概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔可夫和切比雪夫分别提出的马尔可夫不等式和切比雪夫不等式.马尔可夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，马尔可夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.当为非负离散型随机变量时，马尔可夫不等式的证明如下：设的分布列为，，其中，，，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和.切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有. (1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立. (2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%.现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信. 2．（25-26高三上·湖南益阳·期末）某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 3．（2026高二·全国·专题练习）某保险公司推出一种意外伤害保险，每份保单保费为500元.根据历史数据，每年每份保单的赔付金额X（单位：元）的分布为： x 0 10000 50000 0.95 0.04 0.01 (1)求每份保单的期望利润和方差； (2)若保险公司卖出n份保单，设总利润为，求的期望和方差； (3)保险公司希望总利润为正的概率不低于，利用切比雪夫不等式，求最小保单数量n； (4)保险公司还希望平均每份保单的利润不低于100元的概率不低于，求最小保单数量n. 题型十 泊松分布的应用 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)设，且，求； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有. （ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率； （ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率. 2．（25-26高二下·广东江门·月考）泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis  Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为的泊松分布（记作，则其概率分布为，，其中为自然对数 (1)对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积大小适中，二项分布就可以近似的看作参数的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1个次品的概率（用泊松分布近似计算）； (2)已知，为正整数，若的最大值是，求的值； (3)若，试比较与0.99的大小，并说明理由. 题型十一 马尔科夫链的应用 1．（2026·四川成都·模拟预测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为． (1)求、； (2)求； (3)证明：是等比数列． 2．（25-26高三上·重庆·月考）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.已知甲盒子中装有2个黄球和1个黑球，乙盒子中装有1个黄球和2个黑球(6个球的大小形状完全相同).记操作:从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中.在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有3个黄球的概率为，恰有2个黄球的概率为，并记的数学期望为. (1)求; (2)求; (3)证明:. 3．（25-26高三上·广东·开学考试）马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值. 题型十一 概率与数列的综合 1．（2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. (1)求，； (2)求的分布列； (3)求. 2．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 3．（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 题型十二 概率与导数的综合 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）为备战年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）.初赛从道题中任选题作答，题均答对则进入决赛.已进入决赛的参赛者允许连续抽奖次，中奖次奖励元，中奖次奖励元，中奖次奖励元，若次均未中奖，则只奖励元.假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立. (1)已知初赛道题中甲能答对其中道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)记一名进入决赛的同学恰好中奖次的概率为，求的极大值； (3)假设该校共选拔出名同学进入决赛，若这名同学获得的总奖金的期望值不小于元，试求此时的取值范围. 2．（2025·山东聊城·模拟预测）“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估计某一参数的值时，常采用最大似然估计的方法．最大似然估计是由高斯首次提出，费尔希推广并使之得到广泛应用的一种估计方法，其原理是从总体中抽出具有个值的采样，求出似然函数，似然函数表示样本同时取得的概率，当似然函数取得最大值时参数的取值即为该参数的最大似然估计值． (1)已知一工厂生产产品的合格率为，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取20件进行检测，有2件不合格； （i）估计该批次产品合格率； （ii）若用随机变量表示产品是否合格，表示不合格，表示合格，求合格率的最大似然估计值，并判断与（i）中估计值是否相等； (2)设一次试验中随机变量的概率分布如下： 1 2 3 现做次独立重复试验，出现了次，出现了次，出现了次，求的最大似然估计值； (3)泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为，设一次试验中随机变量的取值服从泊松分布，进行次试验后得到的值分别为，已知的最大似然估计值为2，求数列的前项和． 3．（2024·河北·模拟预测）为增强学生身体素质，提高学生健康水平，促进学生的全面发展，更好地推进“一核四翼”高质量发展，丰富全校师生的校园文化生活，某学校开展了为期两天的秋季运动会，运动会设置了多个项目，小宇参加了“定点投篮”的比赛，规定：一场比赛总共投篮10次，若未命中不得分，单独命中1球得1分，连续命中2球得3分，连续命中3球得6分，连续命中4球得10分，以此类推，连续命中球得分，假设小字每次投篮命中率为，且每次投篮之间相互独立. (1)求小宇在一场比赛中最终得分为10分的概率； (2)小宇在赛前进行了大量练习，在一次训练中，小宇决定只要连续命中3球就回家，在以下三种方法中选择一种，求解小宇投篮次数的均值. ①马尔科夫链：以代表当小宇已经连续命中球时，最终达到连续命中3球状态所需的平均投篮次数，那么当小宇一开始投篮时，若他下一次投篮将球命中，他只需要再投中个球就能回家，若下次投篮未命中，则需要再投中个球才能回家.由此我们得出，若将来的状态仅与当下的状态有关，与过去的状态无关，根据下图，推导其余关系式. ②概率母函数：小明投篮的情况可划分为四种，（i）未命中；（ii）命中，未命中；（iii）命中，命中，未命中；（iv）命中，命中，命中，概率分别为，则小宇投篮次数的均值恰好为函数在处的导数值；（当时，） ③鞅的停时定理：试想小宇在和球场管理员玩一个赌博游戏，每次投篮都要下注，当小宇下注为元时，若命中就会赢得元，未命中就会输掉元，小宇一开始没有钱，小华决定每次投篮前都会借给小宇1元钱，而小宇每次都会将自己所有的钱全部押为下一次投篮的赌注，已知此游戏是“公平的”，也就是小宇停止时的赌本的期望值和他开始时的赌本相同. 4．（2026·河北唐山·一模）某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励. (1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率； (2)若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张. （ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p； （ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值. （估值参考：当时，，，，.） 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题02 概率分布解答题的十二大必刷题型 (含决策性、赛制、切比雪夫不等式、泊松分布及马尔科夫链等题型) 题型一 离散型随机变量的分布列 1．设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求随机变量的分布列． 【答案】答案见解析 【解析】由离散型随机变量的性质，可得， 依题意知，η的值为0，1，4，9，16. 列表为： X 0 1 2 3 4 0 1 4 9 16 从而的分布列为： η 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 2．(2026重庆八中高三月考)某气象观测站计划购买两套新型气象监测设备． 每套设备有一关键传感器， 在五年使用期内可能需更换 (设备使用五年后淘汰)． 购进设备时，可额外购买该传感器作为备件， 每个成本为 300 元． 在使用期间， 若备件不足需紧急采购， 则每个 800 元． 五年后未使用的备件可由厂家回购， 每个回购价为 100 元． 现需决策购买设备时应同时购买几个备件， 为此搜集并整理了100套同型号设备在五年使用期内的传感器更换数据， 得到如下频数分布表： 每套设备更换数 频数 8 20 9 30 10 50 以频率估计概率．记随机变量为两套设备五年内共需更换的传感器的个数，为购买设备时同时购买的备件数． (1)求的概率分布列； (2)若要求 ，求的最小值. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【解析】（1）可取，由题设中的数据可得： ，， ， ，， 故的分布列为： （2）因为，而， 故的最小值为. 3．投掷四枚不同的金属纪念币，其中两枚正面向上的概率均为，两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为．将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数． (1)求的分布列（用表示）； (2)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大，求的取值范围． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【解析】（1）由题意可得的可能取值为0，1，2，3，4． ， ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 （2）因为，所以，． 所以 解得，或 故的取值范围是． 题型二 离散型随机变量的期望与方差 1.（25-26高三上·上海·单元测试）有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令．求： (1)X所取各值的概率； (2)随机变量X的期望与方差． 【答案】(1)；；；； (2)1，． 【解析】（1）根据题意可知，的可能取值为0，1，2，4. ；； ；； （2）X的分布如下：， 所以， ． 2．（2026·河南周口·模拟）小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件， 小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件， ， 故在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率为， （2）设表示第位同学的得分，分别对应小林，小张，小陈，小王）， 则， 由数学期望的性质可知， 对于，答对得2分，答错得0分，服从两点分布， ； ； 则. 3．（25-26高三下·海南·月考）竹竿舞又称“跳竹竿”，是人在两竹竿滑动相撞的空隙中跳动的一种娱乐活动.2005年，黎族的竹竿舞被确定为海南省非物质文化遗产，2006年，竹竿舞入选“国家级非物质文化遗产保护名录”，甲､乙两名游客组队参加了海南某文化旅游区举办的竹竿舞闯关活动，该活动总共分为三关：第一､二关均为单人独舞（第一关和第二关闯关的人不相同），第三关为两人共舞.已知甲､乙闯过第一关的概率分别为，闯过第二关的概率分别为，这支队伍闯过第三关的概率为0.5.活动规定：只有闯过前一关，才有资格闯关后一关. (1)请以这支队伍闯过前两关的概率为依据，为甲､乙安排第一关和第二关的闯关顺序，并求此时这支队伍闯过前两关的概率； (2)以在（1）中安排的闯关顺序为准，记这支队伍闯过的关数为，求的分布列与期望. 【答案】(1)甲闯第一关，乙闯第二关，此时这支队伍闯过前两关的概率为 (2) 0 1 2 3 0.2 0.32 0.24 0.24 【解析】（1）若甲闯第一关，乙闯第二关，则这支队伍闯过前两关的概率为， 若乙闯第一关，甲闯第二关，则这支队伍闯过前两关的概率为， 由于，则应该安排甲闯第一关，乙闯第二关，此时这支队伍闯过前两关的概率为. （2）由（1）知，安排甲闯第一关，乙闯第二关，而的可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.2 0.32 0.24 0.24 则. 题型三 超几何分布 1．（2026·广东东莞·模拟预测）一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为. (1)求的概率; (2)求Y的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 3 【解析】（1）若有放回抽取时，每次抽球相互独立，每次抽到红球的概率为 ​，共抽3次， 因此,根据二项分布概率公式： . （2）若不放回抽取时，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为：. ，，，. 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望： . 2．（25-26高二下·上海松江·月考）我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 【答案】(1)，； (2)分布列见解析，，. 【解析】（1）由题设，则，且，， 所以. （2）由题意，可能值为，且，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 则，. 3．（2026·江苏镇江·一模）AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； (2)从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【解析】（1）14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个， 所以幻觉率低于的概率为. （2）幻觉率低于2%的AI模型中共9个，其中低于1.3%的模型有3个，故 ，  ， ，  , 故分布列为 0 1 2 3 故. 题型四 两点分布 1．（25-26高二下·福建南平·月考）篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为． （1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值； （2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析（1）依题意，的分布列为 0 1 当时，取最大值，且最大值为. （2）由（1）可知，投5次蓝得分为，则 那么 则运动员甲投5次篮得分为4分概率为． 2．（25-26高二·湖南·课后作业）一个袋中有除颜色外其余完全相同的3个白球和4个红球． (1)从袋中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，则有求X的分布列； (2)从袋中任意摸出两个球，用“0”表示两个球全是白球，用“”表示两个球不全是白球，求Y的分布列． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析 【解析】（1）由题意符合两点分布，且，， 的分布列如下： 0 1 （2）从中任意摸出两个球，用“”表示两个球全是白球，用“”两个球不全是白球， 符合两点分布， ， ． 的分布列为： 0 1 题型五 二项分布 1．（25-26高三上·河北保定·期末）某公司研发的图像识别模型用于检测工业零件是否为次品，此模型正确识别次品的概率为0.9，将正品误判为次品的概率为0.025，每次检测相互独立．现有一大批零件，其中次品零件占20%，正品零件占80%． (1)求某个零件经过该模型检测后被判断为次品的概率； (2)若用该模型检测10个零件，记被判断为次品的零件数量为，求的均值和方差． 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）设事件 A为 “零件是次品”，事件 B 为 “零件被判断为次品”， 由题意：，，； 根据全概率公式； 所以某个零件经过该模型检测后被判断为次品的概率为. （2）由题意，检测 10 个零件，每次判断相互独立，且每次被判断为次品的概率为 ， 因此X服从二项分布. 所以均值，方差. 2.（25-26高三上·重庆·月考）校园科技节举办“无人机操控挑战”活动，共有名学生报名参赛，每位学生需完成“首轮悬停定位”和“次轮障碍穿越”两项任务．已知每位学生首轮悬停定位成功的概率为，且不同学生首轮成功与否相互独立；若某学生首轮悬停定位成功，其次轮障碍穿越成功的概率为；若首轮悬停定位失败，其次轮障碍穿越成功的概率为．两项任务均成功即最终挑战成功． (1)若随机抽取一名参赛学生，求其次轮障碍穿越成功的概率． (2)记为参赛学生中挑战成功的学生人数，求的数学期望与方差． 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）设事件为“首轮悬停定位成功”，事件为“次轮障碍穿越成功”， ， 根据全概率公式，次轮障碍穿越成功的概率为： ， 随机抽取一名参赛学生，次轮障碍穿越成功的概率为． （2）挑战成功需要两项任务均成功，即为事件，其概率为： ， 不同学生的首轮成功相互独立，并且次轮成功概率仅依赖于自身首轮结果， 各学生的挑战成功事件相互独立， 记为名学生中挑战成功的人数，则服从二项分布， 数学期望：， 方差：． 3.（25-26高二上·全国·单元测试）建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解析】（1）设甲烧制的3个建盏中成品的个数为，则的对立事件为， ，故． （2）由题可知． 的可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的期望为EX=np=. 题型六 决策性问题 1．（2026·陕西·模拟预测）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算，理由见解析 【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则. 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为. （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，500，700，1000. ，， ，. 所以（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 2．（2026·湖北宜昌·二模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 【答案】(1) (2)，， 0 1 2 3 (3)会得到推广，因为. 【解析】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则. （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， ， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. 3．某科技公司推出“AI艺术创作”线下体验项目，运营团队统计了过去10天的运营数据，整理成如下图表： 客流量等级 小客流（A） 中客流（B） 大客流（C） 天数 3 5 2 日固定收入（元） 4000 10000 22000 设备“故障”概率 0.1 0.2 0.4 ①设备“故障”分为“轻微故障”和“严重故障”，其中轻微故障的概率为，严重故障的概率为； ②轻微故障：当日收入不变，需支付维修费200元； ③严重故障：当日收入减半，需支付维修费1000元； 每日客流量等级相互独立，故障类型与客流量等级相互独立，由频率估计概率． (1)求该项目某一日客流量等级为中客流且发生设备严重故障的概率； (2)设该项目某一日的运营总损失为（单位：元），维修费+收入损失（若无故障，损失为0），求的分布列及； (3)项目团队计划引入“故障预警系统”，引入后可将各客流量等级下的故障概率均降低至原来的，但每日需额外支付系统使用费100元，判断是否值得引入该系统，并说明理由． 【答案】(1)； (2)分布列如下表，； 0 200 3000 6000 12000 (3)值得引入，因为期望总成本从578元降至389元 【解析】（1）由频率估计概率，根据表中数据，客流量等级为中客流（B）的概率为：， 记某一日客流量等级为中客流且发生设备严重故障为事件， 则其概率为 （2）该项目某一日的运营总损失的可能取值为， 当时，当日设备没有发生故障，； 当时，当日设备发生轻微故障，； 当时，当日为小客流且发生严重故障，； 当时，当日为中客流且发生严重故障， 当时，当日为大客流且发生严重故障， 所以的分布列为： 0 200 3000 6000 12000 所以 （3）由于引入“故障预警系统”后，各客流量等级下的故障概率降至原来的一半， 故当客流量等级为小客流（A）时，设备“故障”概率为0.05； 客流量等级为中客流（B）时，设备“故障”概率为0.1； 客流量等级为大客流（C）时，设备“故障”概率为0.2； 设引入“故障预警系统”后，某一日的运营总损失为（不含系统使用费100元） 则的可能取值仍为，对应的概率分别为： ； ； ；； ， 所以 所以引入系统后，每天的损失大约为， 因此引入系统后期望成本降低，值得引入. 题型七 赛制问题 1．（2026·陕西商洛·一模）甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响． (1)求比赛进行四局且甲获胜的概率： (2)比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【解析】（1）由题意可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜， 则所求概率 （2）由题意可知的所有可能取值分别是3，4，5． 则的分布列为 3 4 5 故． 2．（25-26高三上·安徽·开学考试）为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各5名同学进行羽毛球友谊赛，每人至多参加一场比赛，各场比赛互不影响，比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0，其中甲班5名参赛学生的情况如下表： 学生 A B C D E 获胜概率 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 获胜积分 8 7 6 5 4 (1)若进行5场比赛，求甲班至多获胜4场的概率； (2)若进行3场比赛，依据班级积分期望超过10为参赛资格，请问甲班三人组合是否具有参赛资格？请说明理由. 【答案】(1)0.9328； (2)三人组合具有参赛资格，理由见解析. （2）记三人组合班级得分为,的取值分别为0,7,6,5,11,12,13,18,求出对应的概率，即可求出期望. 【解析】（1）记参赛获胜事件分别用表示， 5场全胜的概率为：， 甲班至多获胜4场与5场全胜为对立事件， 故甲班至多获胜4场的概率为, 故甲班至多获胜4场的概率为0.9328； （2）记三人组合班级得分为，的取值分别为0，7，6，5，11，12，13，18，由已知得 ，， ，， ，， ，， ， 因为， 所以BCD三人组合具有参赛资格. 3．（25-26高三上·广东潮州·期末）甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下:先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛，直到分出胜负．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，每局比赛结果相互独立． (1)求甲校以3:1获胜的概率； (2)记比赛结束时女生比赛的局数为，求的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解析】（1）解：甲校以获胜的情况有： ①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛中甲负，第四局比赛甲胜，概率为： ， ②前两局男排比赛中甲1胜1负，第三局比赛中甲胜，第四局比赛甲胜，概率为： ， 甲校以获胜的概率为：； （2）解：记比赛结束时女生比赛的局数为，则的可能取值为1，2，3， ， ， ， 的概率分布为： 1 2 3 所以. 4．（25-26高三下·北京·月考）为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响． (1)若 ，求乙队以2：0获胜的概率； (2)若 ，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望； (3)若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义. 【答案】(1) (2) (3)最大值为 ，此时 ，意义见解析 【解析】（1）乙队以2:0获胜意味着乙队在前两局中均获胜.乙队每局获胜的概率为 ，因此乙队以2:0获胜的概率为： 代入 ，得： （2）比赛结束时甲队获胜的局数 的可能取值为0、1或2.计算各情况的概率如下： ：甲队一局未胜，即乙队以2:0获胜，概率为 . ：甲队仅胜1局，乙队胜2局，可能的情况有两种（甲胜第1局或第2局），概率为： ：甲队胜2局，可能的情况有两种（甲胜前2局或前2局胜1局），概率为： 因此， 的期望为： 代入 ，得： 化简后得 . （3）比赛打满3局的概率 表示比赛进行到第3局才分出胜负. 这种情况发生当且仅当前两局双方各胜1局，因此： 将 视为关于 的函数，其最大值出现在 处，最大值为： 实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满3局的概率最大. 题型八 概率最大问题 1．（25-26高二下·湖南郴州·月考）在某军事训练基地，新兵小张进行实弹射击考核，考核要求连续进行10次移动靶射击，每次击中目标可获得优秀评分．根据小张平日训练记录，他每次射击命中目标的概率为．小张在这10次射击考核中，求： (1)恰好有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (2)至少有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (3)最有可能击中目标多少次？ （参考数据：） 【答案】(1)0.30 (2)0.68 (3)8次． 【解析】（1）记击中目标的次数为，则， 则，其中，1，2，…，10 记事件“小张恰好击中8次目标”，则 （2）记事件“小张至少击中8次目标”， 则 （3）设击中k次概率最大，则 ，即 化简得，解得， 小张在10次射击中，最有可能击中目标8次． 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n？ (3)若，参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，（），则m为何值时，概率. 【答案】(1)，，事件与相互不独立 (2)当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小 (3)或14时，概率的值最大 【解析】（1）当时，盒中有6个白球，14个黑球， 则，，， 所以， 则，所以事件与相互不独立． （2）从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率，, 设， 当时，， ， 当时，， 当时，， 因此， 而， 则，， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小． （3）若，盒中有9个白球，11个黑球，则每次取到白球的概率为， 参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，则， 所以， 若概率最大，则有， 所以，解得，又，故或14， 所以或14时，概率的值最大. 3．（2026·广西北海·一模）近几年，我国旅游兴起.某个知名景区为提高服务质量，随机抽取了300名到该景区旅游的游客做问卷调查，其中甲、乙、丙三个省的游客人数恰好分别为：30，90，60，其他省的有120人．假设景区中的每名游客都对应一个随机的不同的景区票号． (1)按省份进行分层随机抽样，从调查的这些游客景区票号中随机抽取10个号，再从这10个中随机选4个，该景区奖励这4个号对应的游客每人一份大礼包，记抽取到乙、丙两个省的人数分别为，，设，求X的分布列与期望； (2)若景区邀请这些被抽到的甲、乙、丙三省的游客按照票号从小到大的顺序参加一项游戏，且每一个游客都参加，做完游戏后每人可领取一份纪念品，求甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏（甲省被抽到的所有游客完成游戏后，乙、丙两个省都还有被抽到的游客未完成游戏）的概率； (3)若这次问卷调查抽取的各省游客作为样本，把样本中丙省游客的频率作为景区所有游客中丙省游客的概率，从该景区所有游客票号中随机抽取30个，给予这30人全年免票游玩，丙省游客最有可能被抽取到多少人？ 【答案】(1)分布列为： 0 1 2 3 期望为 (2) (3)6人 【解析】（1）分层抽样比例为，因此，甲省抽取人，乙省抽取人， 丙省抽取人，其他省抽取人，从10人中选4人，设乙省人数为， 丙省人数为，，可取，可取，且. 时，； 时，； 时，； 时，； 所以分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. （2）记事件：表示甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏； 事件：表示最后完成游戏的游客是乙省游客； 事件：表示最后完成游戏的游客是丙省游客； 所以. . （3）设丙省游客被抽到的人数为，丙省游客的概率是， 则， 当，即时，， 当，即时，， 所以 所以当时，最大. 故丙省游客最有可能被抽取到6人. 4．（江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题）某篮球比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛规则如下： 第一阶段由参赛队中一名队员投篮2次，记投中次数为m． 第二阶段由另一名队员投篮3次，每次投中得1分，没有投中得0分；但如果3次全中，得5分，记这名队员的得分为，那么该队的比赛总得分为． 某队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，甲参加第一阶段比赛，求该队的比赛成绩为0分的概率． (2)假设，为使得该队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）利用独立事件概率公式进行求解即可； （2）利用独立事件概率、互斥事件的概率公式、数学期望公式，运用分类讨论思想进行求解即可. 【解析】（1）甲参加第一阶段比赛，则乙参加第二阶段比赛， 所以该队的比赛成绩为0分的概率为 . （2）因为，， 所以， 当甲参加第一阶段比赛，乙参加第二阶段比赛时， 则， ， ， ， ， ， 所以该队的比赛成绩的数学期望为 ， 化简，得； 同理，当乙参加第一阶段比赛，甲参加第二阶段比赛时，该队的比赛成绩的数学期望为， 则， 因为， 所以， 因此为使得该队的比赛成绩的数学期望最大，应该由甲参加第一阶段比赛. 题型九 切比雪夫不等式的应用 1．（2026·吉林长春·模拟预测）概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔可夫和切比雪夫分别提出的马尔可夫不等式和切比雪夫不等式.马尔可夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，马尔可夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.当为非负离散型随机变量时，马尔可夫不等式的证明如下：设的分布列为，，其中，，，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和.切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有. (1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立. (2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%.现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信. 【答案】(1)证明见解析； (2)不可信. 【解析】（1）方法一：由题意， . 方法二：设的分布列为，，2，…，， 其中，，，记， 则对任意，； （2）设在100名患者中治愈的人数为， 假设药企关于此新药对治疗某种疾病的有效率的宣传内容是客观真实的， 那么在此假设下，，，. 由切比雪夫不等式，有. 即在此假设下，100名患者中治愈人数不超过60的概率不超过0.04，此概率很小， 据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信. 2．（25-26高三上·湖南益阳·期末）某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）不可信． 【解析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ，， ； （2）（i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知， 一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 3．（2026高二·全国·专题练习）某保险公司推出一种意外伤害保险，每份保单保费为500元.根据历史数据，每年每份保单的赔付金额X（单位：元）的分布为： x 0 10000 50000 0.95 0.04 0.01 (1)求每份保单的期望利润和方差； (2)若保险公司卖出n份保单，设总利润为，求的期望和方差； (3)保险公司希望总利润为正的概率不低于，利用切比雪夫不等式，求最小保单数量n； (4)保险公司还希望平均每份保单的利润不低于100元的概率不低于，求最小保单数量n. 【答案】(1)， (2)， (3)176188 (4) 【解析】（1）每份保单的利润. 期望利润： 方差： 所以 （2）设为第i份保单的利润，则独立同分布， 总利润 （3）要求 根据切比雪夫不等式： 要求，即 令，解得 因此，最小保单数量为176188. （4）平均每份保单的利润为，要求 即，等价于， 根据切比雪夫不等式： 令，解得 因此，最小保单数量为2256. 题型十 泊松分布的应用 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)设，且，求； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有. （ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率； （ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】（1）由得， 且，解得. 故. （2）（ⅰ）设为甲地区某天需要的水电工数目，则，且. 因为，，， 所以. 那么，某天至少需要2名水电工的概率约为 （ⅱ）设为乙地区某天需要的水电工数目，则，且. 因为，，， 所以. 于是 . 那么，某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率约为 . 2．（25-26高二下·广东江门·月考）泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis  Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为的泊松分布（记作，则其概率分布为，，其中为自然对数 (1)对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积大小适中，二项分布就可以近似的看作参数的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1个次品的概率（用泊松分布近似计算）； (2)已知，为正整数，若的最大值是，求的值； (3)若，试比较与0.99的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2)4或5 (3) 【解析】（1）根据题意比较大，而大小适中， 所以满足近似泊松分布， 则，， ， 在1000个产品中至多有1个次品的概率为. （2），， 则，又为正整数， 所以当时，，概率单调递减，当时，，概率单调递增， 的最大值是， 或， 综上，或. （3），则， ， ， 所以， 即. 题型十一 马尔科夫链的应用 1．（2026·四川成都·模拟预测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为． (1)求、； (2)求； (3)证明：是等比数列． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 【解析】（1）、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率， 由题可知：，. （2）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，易得， 由题易得的所有可能取值为、、、， 且，       ，     ，      ，        所以的分布列为： 数学期望为. （3）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为， 由题，可得，           而， ， ， 于是，， 也即，       首项为， 因此是首项为，公比为等比数列. 2．（25-26高三上·重庆·月考）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.已知甲盒子中装有2个黄球和1个黑球，乙盒子中装有1个黄球和2个黑球(6个球的大小形状完全相同).记操作:从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中.在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有3个黄球的概率为，恰有2个黄球的概率为，并记的数学期望为. (1)求; (2)求; (3)证明:. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【解析】（1）分别表示操作一次后，甲盒子中恰有3个、2个黄球的概率， 由题可知:. （2）记重复次操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为， 易得. 由题易得的所有可能得取值为3，2，1，0， 且， ， ， ， 所以的分布列为： 3 2 1 0 数学期望为. （3）记重复次操作后，甲盒子中恰有1个黄球的概率为， 由题，可得， 而， ， ， 于是，， 也即， 因此是等比数列，公比为， 首项为， 所以. 因此:， ， . 3．（25-26高三上·广东·开学考试）马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【解析】（1）设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知， （2）因为. 所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以， （3）因为，① ② 所以①一②，得. 又因为，所以，所以. 的可能取值是， 所以的概率分布列为 0 1 2 所以. 所以的数学期望为定值1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是寻求、 之间的关系，利用等比数列的定义进行求解. 题型十一 概率与数列的综合 1．（2026·山东青岛·一模）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. (1)求，； (2)求的分布列； (3)求. 【答案】(1)， (2) 1 2 3 … … (3) 【解析】（1）表示第一次就生成并结束过程，即第一次预测为，且审核生成， . 表示第二次生成并结束过程，情况有：第一次预测为，且审核生成，第二次预测为；第一次预测为，审核必生成，第二次预测为，且审核生成. . （2）（，）时，第个词元输出为， 若前面个词元都预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故， 当时， 若前面个词元都没有预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故 所以的分布列为： 1 2 3 … … （3）由（1）得， 由（2）得， ， ， ， ， 所以 所以 2．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)1 【解析】（1）由题意得. （2）当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为， 则没有“黑币”的概率为， ， 故. 又，故为等比数列,故, . （3）由题的可能取值为0，1，2，其概率分布列为： 0 1 2 依题意，即.于是 故. 3．（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 【答案】(1) X 0 1 2 3 P ， (2)①；；② 【解析】（1）由题意可知：， 则，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的均值，且方差. （2）①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是， 若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他门入园，所以； 若人气值为2点，则仅有1人且选择东门入园，或仅有2人入园且均选择其他门入园， 所以； ②若人气值为点，可知在人气值为点的前提下仅有1人且选择东门入园，或在人气值为点的前提下仅有1人且选择其他门入园， 则，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则， 当时，则 ， 且符合上式，所以. 题型十二 概率与导数的综合 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）为备战年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）.初赛从道题中任选题作答，题均答对则进入决赛.已进入决赛的参赛者允许连续抽奖次，中奖次奖励元，中奖次奖励元，中奖次奖励元，若次均未中奖，则只奖励元.假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立. (1)已知初赛道题中甲能答对其中道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)记一名进入决赛的同学恰好中奖次的概率为，求的极大值； (3)假设该校共选拔出名同学进入决赛，若这名同学获得的总奖金的期望值不小于元，试求此时的取值范围. 【答案】(1)； (2)极大值 (3) 【解析】（1）记总题数，甲会做的题数，从中任选题作答，则答对题数服从超几何分布， 数学期望 事件“已答对一题”即；“仍未进入决赛”即， 由条件概率公式得：. （2）设一次抽奖中奖概率为，次抽奖中中奖次数， 则“恰好中奖次”的概率：， 对求导： 令，得（舍去）， 当时，当时，故为极大值点， 极大值为. （3）设进入决赛的同学获得的奖金为元， 其分布为，， ，， 期望，化简得 名同学总奖金的期望， 即整理得 令，由知在单调递增， 又，因此不等式解为， 结合，得. 2．（2025·山东聊城·模拟预测）“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估计某一参数的值时，常采用最大似然估计的方法．最大似然估计是由高斯首次提出，费尔希推广并使之得到广泛应用的一种估计方法，其原理是从总体中抽出具有个值的采样，求出似然函数，似然函数表示样本同时取得的概率，当似然函数取得最大值时参数的取值即为该参数的最大似然估计值． (1)已知一工厂生产产品的合格率为，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取20件进行检测，有2件不合格； （i）估计该批次产品合格率； （ii）若用随机变量表示产品是否合格，表示不合格，表示合格，求合格率的最大似然估计值，并判断与（i）中估计值是否相等； (2)设一次试验中随机变量的概率分布如下： 1 2 3 现做次独立重复试验，出现了次，出现了次，出现了次，求的最大似然估计值； (3)泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为，设一次试验中随机变量的取值服从泊松分布，进行次试验后得到的值分别为，已知的最大似然估计值为2，求数列的前项和． 【答案】(1)（i）；（ii）0.9，与（i）中的估计值相等； (2)； (3). 【解析】（1）（ⅰ）由题该批次产品合格率； （ⅱ）由题意得，似然函数，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则当时，取得最大值，即的最大似然估计值为0.9，与（ⅰ）中的估计值相等； （2）， 令， 则，令，解得， 易知在上单调递减， 则当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则时，取得最大值，所以的最大似然估计值为. （3），， 设，则函数与单调性相同， 因为为减函数，令得， 则时，函数单调递增；时，，函数单调递减， 所以为极大值点也及最大值点，所以为极大值点也及最大值点， 则由题的最大似然估计值为，即. 3．（2024·河北·模拟预测）为增强学生身体素质，提高学生健康水平，促进学生的全面发展，更好地推进“一核四翼”高质量发展，丰富全校师生的校园文化生活，某学校开展了为期两天的秋季运动会，运动会设置了多个项目，小宇参加了“定点投篮”的比赛，规定：一场比赛总共投篮10次，若未命中不得分，单独命中1球得1分，连续命中2球得3分，连续命中3球得6分，连续命中4球得10分，以此类推，连续命中球得分，假设小字每次投篮命中率为，且每次投篮之间相互独立. (1)求小宇在一场比赛中最终得分为10分的概率； (2)小宇在赛前进行了大量练习，在一次训练中，小宇决定只要连续命中3球就回家，在以下三种方法中选择一种，求解小宇投篮次数的均值. ①马尔科夫链：以代表当小宇已经连续命中球时，最终达到连续命中3球状态所需的平均投篮次数，那么当小宇一开始投篮时，若他下一次投篮将球命中，他只需要再投中个球就能回家，若下次投篮未命中，则需要再投中个球才能回家.由此我们得出，若将来的状态仅与当下的状态有关，与过去的状态无关，根据下图，推导其余关系式. ②概率母函数：小明投篮的情况可划分为四种，（i）未命中；（ii）命中，未命中；（iii）命中，命中，未命中；（iv）命中，命中，命中，概率分别为，则小宇投篮次数的均值恰好为函数在处的导数值；（当时，） ③鞅的停时定理：试想小宇在和球场管理员玩一个赌博游戏，每次投篮都要下注，当小宇下注为元时，若命中就会赢得元，未命中就会输掉元，小宇一开始没有钱，小华决定每次投篮前都会借给小宇1元钱，而小宇每次都会将自己所有的钱全部押为下一次投篮的赌注，已知此游戏是“公平的”，也就是小宇停止时的赌本的期望值和他开始时的赌本相同. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据题中的连续投中得分公式，得. 总得分为10，只能从连续投中4次、3次、2次、1次中选择组合.将总得分10的可能情况分类求解如下； ①连续投中4次得分，其余6次均不中，并且这样的选择有7种．其发生的概率为. ②连续投中1个3次得分分. 要总得分为10分，在10次投篮中出现一个连续投中3次、一个连续投中2次，一个投中1次， 它的得分为6分+3分+1分分.用捆绑法和插空法：， 可得这样的不同投法有种，该情况下发生的概率为． ③连续投中一个2次得分分，要总得分为10分，可以3个连续2次投中，1个1次投中，总得分为分+1分分， 用捆绑法和插空法：，选择投中1次的位置有种. 该情况下发生的概率为， 另外，如果由2个连续投中2次，4个投中1次，可得总分分+4分分， 但是2个连续2次中间至少要有一次不中，这需要至少5次，4个1次要间隔， 中间至少有3次失败，一共至少需要次，所以该情况不满足题意，其它亦如此. 根据概率加法公式，总得分为10分的概率为， 所以总概率为． （2）①马尔科夫链法：已知， 化简可得， 同理，当已经连续命中1球时候，若下一次命中， 只需要再投个球回家，若未命中，则需要投个球回家， 则. 当已经连续命中2球时候，若下一次命中就能回家（投篮次数为0）， 若未命中，则需要再投个球回家， 则. 联立求解可得，即小宇投篮次数的均值是14. ②概率母函数法：小宇投篮的情况可以分为四种：（i）未命中；（ii）命中，未命中： （iii）命中，命中，未命中;（iv）命中，命中，命中. 这四种情况概率分别为. 则小宇投篮次数的均值恰为函数在处的导数值. 先对当,时，, 则， 故，，即小宇投篮次数的均值是14. ③鞅的停时定理： 设小宇的投篮次数为，因为游戏是“公平的”，小宇开始时资本为0， 设为第次后的投篮的资本，根据停时定理， 每次投篮的命中概率，未命中的概率为. 当资本为0时，， （表示资本为0开始到连续命中3球所需要的投篮次数期望， 表示资本为2开始到连续命中3球所需要的投篮次数期望），化简得. 当资本为2时，（表示资本为4开始到连续命中3球所需要的投篮次数期望）. 当资本为4时，. 联立求解,即小宇投篮次数的均值是14. 4．（2026·河北唐山·一模）某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励. (1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率； (2)若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张. （ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p； （ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值. （估值参考：当时，，，，.） 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）所以的最大值约为0.3679，此时． 【分析】（1）合理设出事件，再根据全概率公式即可得到答案； （2）（i）设：抽到的第张奖券金额为，再利用全概率公式求出概率通式，再代入即可； （ii）根据估值参考公式得，再设函数，求导得其最值，从而得到的估计值，最后结合其整数范围即可得到答案. 【解析】（1）设抽到的第张奖券的金额为． 设甲获得最大金额奖励． 注意到． 则． （2）（i）仍设：甲获得最大金额奖励， 若，则，故只需考虑的情况． 设：抽到的第张奖券金额为． 由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额的机会均等，则． 只有当是前张奖券中的最大金额，甲才会保留第张奖券，则． 则． 若，当时，． （ii）由估值参考得，则． 令，则． 当时，． 当时，单调递增； 当时，单调递减， 因此，当时，取得最大值． 此时，不是整数， 又， 所以的最大值约为0.3679，此时． 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $