专题05 离散型随机变量的分布列与数字特征6大考点（期末真题汇编，天津专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 离散型随机变量专题汇编，覆盖6个高频考点，精选天津各区近年期末真题，注重基础巩固与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约10题|分布列性质、均值方差计算|结合考试、盲盒等生活情境| |解答|约20题|分布列构建、均值方差应用及决策|融入2025春晚机器人、端午节包粽子等时代与文化素材|

专题05 离散型随机变量的分布列与数字特征 高频考点概览 考点 01 求离散型随机变量的分布列 考点 02 离散型随机变量分布列的性质及其应用 考点 03 求离散型随机变量的均值 考点 04 由离散型随机变量的均值求参数 考点 05 求离散型随机变量的方差 考点 06 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 考点01 求离散型随机变量的分布列 1．（2023春•河北区期末）一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球． （1）求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； （2）用表示摸出的2个球中的白球个数，求的分布列． 2．（2021春•南开区期末）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： （Ⅰ）抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布； （Ⅱ）他能过关的概率． 3．（2025春•河西区期末）若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为 ． 考点02 离散型随机变量分布列的性质及其应用 0 1 2 3 4．（2023春•西青区期末）已知随机变量的分布列为，2，3，4，，则实数（　　） A． B． C． D． 5．（2023春•河北区期末）设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则的值为（　　） 0 1 A． B． C． D． 6．（2021春•河北区期末）某位同学求得一个离散型随机变量的分布列如表： 0 1 2 3 0.2 0.3 0.15 则常数的值为（　　） A．0.45 B．0.2 C．0.35 D．0.3 考点03 求离散型随机变量的均值 7．（2021春•西青区期末）已知随机变量的分布列： 0 1 满足，，则的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 8．（2025春•西青区期末）已知随机变量的分布列如下图，若，则　　 ． 2 3 5 9．（2022春•河东区期末）已知随机变量的概率分布列为： 2 3 4 5 已知的数学期望为，则　　． 10．（2025春•宝坻区校级期末）已知随机变量的分布列如表：其中，，若，则的最小值为 　　 ． 考点04 由离散型随机变量的均值求参数 11．（2024秋•天津期末）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会．小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为 　　；他在一年内参加考试次数的数学期望为 　　． 12．（2025春•天津期末）哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、两个结界兽、四大龙王共8个人物手办，小明随机购买3个盲盒个盲盒内人物一定不同），求在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙王有且仅有一位的概率为 　　 ，记小明抽到的龙王盲盒个数为，则 　　 ． 13．（2025春•和平区校级期末）大学生甲去某企业应聘，需要进行英语和专业技能两个项目的考核，先进行英语考核．每个项目有一次补考机会，补考不合格者被淘汰，不能进入下一个项目的考核．若每个学生英语考核合格和补考合格的概率都是，专业技能考核合格和补考合格的概率都是，每一次考试是否合格互不影响．则大学生甲不被淘汰的概率是 　　；若大学生甲不放弃每次考试的机会，表示他参加补考的次数，则的数学期望是 　　． 14．（2021秋•南开区期末）对某实验项目进行测试，测试方法：①共进行3轮测试；②每轮测试2次，若至少合格1次，则本轮通过，否则不通过．已知测试1次合格的概率为，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概率为 　　 ；在3轮测试中，通过的次数的期望是 　　 ． 15．（2025春•西青区期末）2025年蛇年春晚舞台上，由中国某科技企业制造的人形机器人扭秧歌表演《秧》成为一大亮点，引发世界热议，这一节目完美的展示了中国的科技进步与文化自信，更为人形机器人的创新发展注入新的动力，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻．某企业为了测试某型号谐波减速器运行情况必须对其中三项不同运行指标甲、乙、丙进行通过量化检测：假设该谐波减速器运行情况的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． （1）求该型号谐波减速器运行情况量化得分不低于8分的概率； （2）记该型号谐波减速器运行情况的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望． 16．（2025春•河西区期末）端午节吃粽子是我国的传统习俗，在2025年度第五届天津市中小学劳动技能大赛包粽子项目比赛中，李明5分钟内包了7个粽子，其中豆沙粽3个，红枣粽4个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个，设表示取到的豆沙粽个数．求 的分布列； （Ⅱ）的期望； （Ⅲ）求至少取到一个豆沙粽的概率． 17．（2025春•和平区校级期末）学校将举行以“爱我中华”为主题的辩论赛，高二年级某班准备在5名男辩手和4名女辩手中选出4名同学组成辩论队参赛，在选出的辩论队员中既有男队员又有女队员的条件下，回答下列问题： （1）女队员甲必须入选的概率是多少？ （2）设辩论队中男队员的人数为，求的分布列和期望． 18．（2025春•天津期末）已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球． （1）求取出的4个球颜色相同的概率； （2）求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率； （3）记取出的4个球中红球的个数为，求的分布列和数学期望． 19．（2025春•天津期末）某军事院校招生要经过考试和体检两个过程，在考试通过后才有体检的机会，两项都合格则被录取，若甲、乙、丙三名考生能通过考试的概率分别为0.4，0.5，0.8，体检合格的概率分别为0.5，0.4，0.25，每名考生是否被录取相互之间没有影响． 求恰有一人通过考试的概率； （Ⅱ）设被录取的人数为，求的分布列和数学期望． 20．（2025春•天津期末）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． （1）若甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩为5分的概率； （2）若乙参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望． 21．（2025春•滨海新区期末）甲同学参加数学、物理2门课程的考试，假设甲同学在这2门课程考试中取得优秀成绩的概率分别是，，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立． （Ⅰ）求甲同学2门课程均未取得优秀成绩的概率； （Ⅱ）求甲同学取得优秀成绩的课程数的分布列及均值． 22．（2025春•南开区期末）某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响． （1）求甲的累计得分的分布列和期望； （2）在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 23．（2025春•和平区期末）现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试． （Ⅰ）求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； （Ⅱ）设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望． 24．（2023秋•和平区校级期末）已知袋内有大小相同的1个红球和3个白球，袋内有大小相同的2个红球和4个白球．现从、两个袋内各任取1个球，则恰好有1个红球的概率为　　；记取出的2个球中红球的个数为随机变量，则的数学期望为 　　． 考点05 求离散型随机变量的方差 25．（2025春•滨海新区期末）已知随机变量的分布列为： 1 2 3 当取最小值时， 　　 ， 　　 ． 26．（2022春•天津期末）随机变量的分布列为： 0 1 若，则（　　） A．0.49 B．0.69 C．1 D．2 27．（2024春•天津期末）已知离散型随机变量的方差为2，则（　　） A．2 B．3 C．7 D．8 28．（2021春•武清区期末）某大学毕业生响应国家号召，到某村参加村委会主任应聘考核．考核依次分为笔试、面试．试用共三轮进行，规定只有通过前一轮考核才能进入下一轮考核，否则将被淘汰，三轮考核都通过才能被正式录用．设该大学毕业生通过三轮考核的概率分别为，且各轮考核通过与否相互独立． （Ⅰ）求该大学毕业生未进入第三轮考核的概率； （Ⅱ）设该大学毕业生在应聘考核中考核次数为，求的数学期望和方差． 29．（2023春•天津期末）在中国，大熊猫是每个中国人都非常熟悉的动物，有着不可撼动的地位．随着国宝“萌兰”、“花花”可爱搞笑视频的流行，也掀起了一波热爱、保护动物的热潮．某动物园为了向游客宣传保护动物知识，对来访者开设小型知识问答游戏．游戏规则：每位游客回答判断、选择两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得2分，答错得0分，两组题目得分的和作为该游客的成绩，不低于6分，即可得到一个熊猫玩偶．小明估计答对每道判断题的概率均为，答对每道选择题的概率均为． （1）按此估计求小明判断题得分比选择题得分多2分的概率； （2）估计小明得到熊猫玩偶的概率； （3）记小明在比赛中的得分为，按此估计的分布列和数学期望． 考点06 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 30．（2024春•和平区校级期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． （1）求甲公司至少答对2道题目的概率； （2）分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 离散型随机变量的分布列与数字特征 高频考点概览 考点 01 求离散型随机变量的分布列 考点 02 离散型随机变量分布列的性质及其应用 考点 03 求离散型随机变量的均值 考点 04 由离散型随机变量的均值求参数 考点 05 求离散型随机变量的方差 考点 06 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 ( 考点01 求离散型随机变量的分布列 ) 1．（2023春•河北区期末）一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球． （1）求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； （2）用表示摸出的2个球中的白球个数，求的分布列． 【解答】解：（1）记 “摸出的2个球中有1个白球和1个红球”， 从3个白球、2个红球中摸出2个球共有种情况， 从中摸出的2个球中有1个白球和1个红球有种情况， 所以， 摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为； （2）表示摸出的2个球中的白球个数，则可取0，1，2， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 2．（2021春•南开区期末）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： （Ⅰ）抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布； （Ⅱ）他能过关的概率． 【解答】解：（Ⅰ）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3， 又，，1，2，3， 所以， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 （Ⅱ）他能过关的概率为． ( 考点02 离散型随机变量分布列的性质及其应用 ) 3．（2025春•河西区期末）若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为 ． 0 1 2 3 【解答】解：随机变量的分布列如表所示， 0 1 2 3 ，， ， 当且仅当时，取等号， 的最小值为． 故答案为：． 4．（2023春•西青区期末）已知随机变量的分布列为，2，3，4，，则实数（　　） A． B． C． D． 【解答】解：随机变量的分布列为，2，3，4，， ， 解得实数． 故选：． 5．（2023春•河北区期末）设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则的值为（　　） 0 1 A． B． C． D． 【解答】解：由题可得， ，解得． 故选：． 6．（2021春•河北区期末）某位同学求得一个离散型随机变量的分布列如表： 0 1 2 3 0.2 0.3 0.15 则常数的值为（　　） A．0.45 B．0.2 C．0.35 D．0.3 【解答】解：由题意可知：，解得． 故选：． ( 考点0 3 求离散型随机变量的均值 ) 7．（2021春•西青区期末）已知随机变量的分布列： 0 1 满足，，则的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 【解答】解：由题意可得：， ，， 可得， 解得． 故选：． 8．（2025春•西青区期末）已知随机变量的分布列如下图，若，则　　 ． 2 3 5 【解答】解：因为， 所以， 解得， 则． 故答案为：． 9．（2022春•河东区期末）已知随机变量的概率分布列为： 2 3 4 5 已知的数学期望为，则　　． 【解答】解：，又， 解得：． 则． 故答案为：． 10．（2025春•宝坻区校级期末）已知随机变量的分布列如表：其中，，若，则的最小值为 　　 ． 【解答】解：根据离散型随机变量的分布列性质可得， 进而求得， 将数据代入期望公式可得， 又因为，， 根据基本不等式可得： ， 并且当且仅当，即时，可以取得等号， 所以的最小值为． 故答案为：． ( 考点0 4 由离散型随机变量的均值求参数 ) 11．（2024秋•天津期末）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会．小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为 　　；他在一年内参加考试次数的数学期望为 　　． 【解答】解：由题意可知，小王在一年内领到资格证书的概率为， 设小王在一年内参加考试次数为，则的所有可能取值为1，2，3， 则， ， ， 所以． 故答案为：0.94；1.7． 12．（2025春•天津期末）哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、两个结界兽、四大龙王共8个人物手办，小明随机购买3个盲盒个盲盒内人物一定不同），求在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙王有且仅有一位的概率为 　　 ，记小明抽到的龙王盲盒个数为，则 　　 ． 【解答】解：已知条件限定下，从剩下6个人物手办选2个构成组合，样本空间组合数． 先从4位龙王选1位，再从2个非龙王角色选1个，满足条件组合数， 根据古典概型公式，此条件下概率为； 取值为0，1，2，3， 计算各取值概率．， ， ， ， 根据期望公式． 故答案为：；． 13．（2025春•和平区校级期末）大学生甲去某企业应聘，需要进行英语和专业技能两个项目的考核，先进行英语考核．每个项目有一次补考机会，补考不合格者被淘汰，不能进入下一个项目的考核．若每个学生英语考核合格和补考合格的概率都是，专业技能考核合格和补考合格的概率都是，每一次考试是否合格互不影响．则大学生甲不被淘汰的概率是 　　；若大学生甲不放弃每次考试的机会，表示他参加补考的次数，则的数学期望是 　　． 【解答】解：英语合格概率为，专业技能考核合格的概率为， 设事件表示“大学生甲不被淘汰”， 则（A）， 的所有可能取值为0，1，2， 则， ， ， 所以． 故答案为：；． 14．（2021秋•南开区期末）对某实验项目进行测试，测试方法：①共进行3轮测试；②每轮测试2次，若至少合格1次，则本轮通过，否则不通过．已知测试1次合格的概率为，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概率为 　　 ；在3轮测试中，通过的次数的期望是 　　 ． 【解答】解：由题意可得，一轮测试2次都不合格的概率， 故在一轮测试中，通过的概率为， 在3轮测试中，通过的次数的所有可能取值为0，1，2，3， 各次测试合格与否互不影响，通过的次数服从二项分布，即． ． 故答案为：；． 15．（2025春•西青区期末）2025年蛇年春晚舞台上，由中国某科技企业制造的人形机器人扭秧歌表演《秧》成为一大亮点，引发世界热议，这一节目完美的展示了中国的科技进步与文化自信，更为人形机器人的创新发展注入新的动力，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻．某企业为了测试某型号谐波减速器运行情况必须对其中三项不同运行指标甲、乙、丙进行通过量化检测：假设该谐波减速器运行情况的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． （1）求该型号谐波减速器运行情况量化得分不低于8分的概率； （2）记该型号谐波减速器运行情况的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望． 【解答】解：（1）设甲通过量化检测为事件，乙通过量化检测为事件， 丙通过量化检测为事件，得分不低于8分为事件， 因为假设该谐波减速器运行情况的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为， 所以，，， 则； （2）易知的所有可能取值为0，1，2，3． 此时， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 期望． 16．（2025春•河西区期末）端午节吃粽子是我国的传统习俗，在2025年度第五届天津市中小学劳动技能大赛包粽子项目比赛中，李明5分钟内包了7个粽子，其中豆沙粽3个，红枣粽4个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个，设表示取到的豆沙粽个数．求 的分布列； （Ⅱ）的期望； （Ⅲ）求至少取到一个豆沙粽的概率． 【解答】解：根据题意可得，3，， 所以的分布列为：，，1，2； （Ⅱ）由及超几何分布的期望的结论可得的期望为； （Ⅲ）由可知由至少取到一个豆沙粽的概率为． 17．（2025春•和平区校级期末）学校将举行以“爱我中华”为主题的辩论赛，高二年级某班准备在5名男辩手和4名女辩手中选出4名同学组成辩论队参赛，在选出的辩论队员中既有男队员又有女队员的条件下，回答下列问题： （1）女队员甲必须入选的概率是多少？ （2）设辩论队中男队员的人数为，求的分布列和期望． 【解答】解：（1）记事件为女队员甲必须入选，由古典概型计算公式可得． （2）随机变量的可能取值为1，2，3， ， ， ， 故的分布列为： 1 2 3 数学期望． 18．（2025春•天津期末）已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球． （1）求取出的4个球颜色相同的概率； （2）求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率； （3）记取出的4个球中红球的个数为，求的分布列和数学期望． 【解答】解：（1）记“取出的4个球颜色相同”为事件， 则， 故取出的4个球颜色相同的概率为； （2）记“取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球”为事件， 则， 故取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率为； （3）易知的所有可能取值为1，2，3，4， 所以，， ，， 则的分布列为： 1 2 3 4 故． 19．（2025春•天津期末）某军事院校招生要经过考试和体检两个过程，在考试通过后才有体检的机会，两项都合格则被录取，若甲、乙、丙三名考生能通过考试的概率分别为0.4，0.5，0.8，体检合格的概率分别为0.5，0.4，0.25，每名考生是否被录取相互之间没有影响． 求恰有一人通过考试的概率； （Ⅱ）设被录取的人数为，求的分布列和数学期望． 【解答】解：设恰有一人通过考试为事件， 则（A）（5分） （Ⅱ）的可能值为：0，1，2，3， 计算得三人被录取的概率均为0.2．（7分） 所以 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.512 0.384 0.096 0.008 因为服从二项分布，所以（13分） 20．（2025春•天津期末）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． （1）若甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩为5分的概率； （2）若乙参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望． 【解答】解：（1）因为甲、乙所在对的比赛成绩为5分， 则甲在第一阶段至少投中一次，乙在第二阶段恰好投中一次， 又由甲在第一阶段至少投中一次的概率为， 乙在第二阶段恰好投中一次的概率为， 所以甲、乙所在队的比赛成绩为5分的概率． （2）设乙参加第一阶段比赛，甲、乙所在队的比赛成绩为随机变量，则，5，10，15， 当时，即乙参加第一阶段比赛，至少投中一次，且甲在第二阶段恰好投中三次， 可得； 当时，即乙参加第一阶段比赛，至少投中一次，且甲在第二阶段恰好投中两次， 可得； 当时，即乙参加第一阶段比赛，至少投中一次，且甲在第二阶段恰好投中一次， 可得； 当时，即乙参加第一阶段比赛，三次未中或乙参加第一阶段比赛， 至少投中一次且甲第二阶段未投中可得， 所以随机变量的分布列为： 0 5 10 15 所以成绩的期望为． 21．（2025春•滨海新区期末）甲同学参加数学、物理2门课程的考试，假设甲同学在这2门课程考试中取得优秀成绩的概率分别是，，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立． （Ⅰ）求甲同学2门课程均未取得优秀成绩的概率； （Ⅱ）求甲同学取得优秀成绩的课程数的分布列及均值． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意可得甲同学2门课程均未取得优秀成绩的概率为； （Ⅱ）根据题意可得，1，2， 且； ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以． 22．（2025春•南开区期末）某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响． （1）求甲的累计得分的分布列和期望； （2）在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 【解答】解：（1）由题意知：甲累计得分的可能取值有：0，30，40，60，70，100， 所以， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 30 40 60 70 100 所以； （2）根据题意得：得分不低于70分即可获奖， 由（1）知：甲获奖的概率为， 乙获奖的概率为：， 乙只得70分的概率为：， 所以甲、乙两人同时获奖的概率为：， 甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为：， 所以在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率为：． 23．（2025春•和平区期末）现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试． （Ⅰ）求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； （Ⅱ）设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意可以得到，4名同学全是男生的概率为， 故至少有1名女生的概率； （Ⅱ）由题意知，随机变量的所有可能取值为1，2，3，4， 根据古典概型可得：， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 4 ． 24．（2023秋•和平区校级期末）已知袋内有大小相同的1个红球和3个白球，袋内有大小相同的2个红球和4个白球．现从、两个袋内各任取1个球，则恰好有1个红球的概率为　　；记取出的2个球中红球的个数为随机变量，则的数学期望为 　　． 【解答】解：袋内取得红球的概率为，袋内取得白球的概率为，从、两个袋内各任取1个球，则恰好有1个红球的概率为； 由题意得的可能取值为0，1，2， ， ， ， ． 故答案为：；． ( 考点0 5 求离散型随机变量的方差 ) 25．（2025春•滨海新区期末）已知随机变量的分布列为： 1 2 3 当取最小值时， 　　 ， 　　 ． 【解答】解：由题意可得，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以， ． 故答案为：6；2． 26．（2022春•天津期末）随机变量的分布列为： 0 1 若，则（　　） A．0.49 B．0.69 C．1 D．2 【解答】解：由题意可得， 解得，， 所以． 故选：． 27．（2024春•天津期末）已知离散型随机变量的方差为2，则（　　） A．2 B．3 C．7 D．8 【解答】解：因为离散型随机变量的方差为2， 所以． 故选：． 28．（2021春•武清区期末）某大学毕业生响应国家号召，到某村参加村委会主任应聘考核．考核依次分为笔试、面试．试用共三轮进行，规定只有通过前一轮考核才能进入下一轮考核，否则将被淘汰，三轮考核都通过才能被正式录用．设该大学毕业生通过三轮考核的概率分别为，且各轮考核通过与否相互独立． （Ⅰ）求该大学毕业生未进入第三轮考核的概率； （Ⅱ）设该大学毕业生在应聘考核中考核次数为，求的数学期望和方差． 【解答】解：（Ⅰ）记“该大学毕业生通过第一轮考核”为事件， “该大学毕业生通过第一二轮考核”为事件， “该大学毕业生通过第三轮考核”为事件， 则（A），（B），（C）， 所以该大学毕业生未进入第三轮考核的概率为； （Ⅱ）的可能取值为1，2，3， 所以， ， （A）（B）， 所以的数学期望为， 方差为． 29．（2023春•天津期末）在中国，大熊猫是每个中国人都非常熟悉的动物，有着不可撼动的地位．随着国宝“萌兰”、“花花”可爱搞笑视频的流行，也掀起了一波热爱、保护动物的热潮．某动物园为了向游客宣传保护动物知识，对来访者开设小型知识问答游戏．游戏规则：每位游客回答判断、选择两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得2分，答错得0分，两组题目得分的和作为该游客的成绩，不低于6分，即可得到一个熊猫玩偶．小明估计答对每道判断题的概率均为，答对每道选择题的概率均为． （1）按此估计求小明判断题得分比选择题得分多2分的概率； （2）估计小明得到熊猫玩偶的概率； （3）记小明在比赛中的得分为，按此估计的分布列和数学期望． 【解答】解：（1）事件表示“小明判断题得分比选择题得分多2分”， 则事件包含小明判断题答对1道，选择题答对0道， 或者小明判断题答对2道，选择题答对1道， 则． 所以小明判断题得分比选择题得分多2分的概率． （2）事件表示“小明得到熊猫玩偶”， 则事件包含小明得分6分，或者得分8分， 且小明得分6分表示判断题答对2题且选择题答对1题， 或者判断题答对1题且选择题答对2题， 概率为， 小明得分8分表示判断题答对2题且选择题答对2题， 概率为，所以． 所以小明得到熊猫玩偶的概率为． （3）由题意可知，的可能取值有0，2，4，6，8， 则， ， ， ， ， 则分布列为： 0 2 4 6 8 则． ( 考点0 6 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 ) 30．（2024春•和平区校级期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． （1）求甲公司至少答对2道题目的概率； （2）分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【解答】解：（1）由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题， 所求概率； （2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为1，2，3， ，，， 则的分布列为： 1 2 3 所以，， 设乙公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以， ， 由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $