专题10角的复习讲义(知识梳理+题型突破)2025-2026学年人教版五四制六年级数学下册

专题10角的复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解角的定义，熟记角的构成要素（顶点、两条边），明确角的本质。 2.掌握角的规范表示方法，牢记表示规则，能区分不同表示方式的注意事项。 3.认识角的度量单位（度、分、秒），掌握度、分、秒之间的换算关系。 4.理解角的大小比较方法，掌握角的和、差运算，了解角的平分线定义及核心结论。 1.能准确识别角，规范表示不同的角，避免表示错误。 2.能熟练进行度、分、秒的换算，会用量角器测量角的大小。 3.会用度量法、叠合法比较角的大小，能进行简单的角的和差运算，会找角的平分线。 4.结合生活实例，能运用角的知识解释生活中的几何现象，培养几何直观和推理能力。 1.基础概念题零失误，快速识别角、判断表示方法和换算对错，秒杀选择填空。 2.熟练掌握角的度量、换算、和差运算及角平分线相关计算，杜绝易错点扣分。 3.规范完成角的相关计算题，步骤清晰、计算无误，不出现单位混淆、换算错误。 4.夯实几何基础，衔接后续角的分类、余补角等知识，提升几何答题准确率，稳拿基础分。 题型01.角的概念理解 题型02.角的表示方法 题型03.画特殊角 题型04.钟面角 .题型05.方向角的表示 题型06:与方向角有关的计算题 题型07.角的单位与角度制 题型08.角的度数大小比较 题型09.角的比较 题型10.三角板中角度计算问题 题型11.几何图形中角度计算问题 题型12.角度的四则运算 题型13.实际问题中角度计算问题 题型14.角平分线的有关计算 题型15.角n等分线的有关计算 题型16.求一个角的余角 题型17.求一个角的补角 题型18.与余角.补角有关的计算 题型19.同(等)角的余(补)角相等的应用 解答题8题 知识点01:角的核心基础 （一）角的定义（精准易懂） 静态定义：由两条有公共端点的射线组成的图形，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边（无厚度、无长度，仅表示位置关系）。 动态定义：一条射线绕着它的端点旋转，从起始位置（始边）转到终止位置（终边），所形成的图形就是角。 核心备注：角的大小只和 “两条边张开的程度” 有关，和边的长短无关（比如长射线和短射线组成的角，大小完全一样）。 （二）角的表示方法（规范无错误，考试必考点） （三）角的度量（基础核心，无复杂计算） 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″） ，遵循 “六十进制”（和时间换算一致，易理解）。 换算关系（必背，考试直接考）：1∘=60′，1′=60′′，1∘=3600′′（简单记：大单位换小单位乘 60，小单位换大单位除以 60）。 度量工具：用直尺配套的量角器，测量时注意 “顶点对齐量角器中心、一条边对齐 0 刻度线”，避免读错刻度。 知识点02:角的分类 角的类型 度数范围 核心特征 简单举例 锐角 大于0∘，小于90∘ 开口小，尖尖的 三角尺上的30∘、45∘角 直角 正好等于90∘ 两条边互相垂直，有直角符号 “┐” 课本的角、黑板的角 钝角 大于90∘，小于180∘ 开口比直角大，比平角小 张开的剪刀形成的角 平角 正好等于180∘ 两条边在同一直线上，方向相反 一条直线上的角（如直尺的边缘） 周角 正好等于360∘ 两条边完全重合，形成一个完整的圆 钟表一圈的角度 补充说明 平角、周角仅作基础了解，不深入考查计算，重点掌握前 3 种（锐角、直角、钝角）。 易错点：平角不是 “一条直线”，而是 “两条反向射线组成的角”，考试常考辨析。 知识点03:角的核心运算（基础易懂，无复杂步骤） （一）角的和差运算 核心逻辑：两个角可以直接相加、相减，结果仍为角（单位统一为度、分、秒）。 示例：∠1=30∘20′，∠2=25∘40′，则∠1+∠2=56∘，∠1−∠2=4∘40′（注意分的加减，满 60 进 1、不够减借 1 当 60）。 （二）角的平分线（高频考点） 定义：从角的顶点出发，画一条射线，把这个角分成两个完全相等的小角，这条射线就是角的平分线。 核心结论：若 OC 是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC（简单记：平分就是 “平均分”，两个小角相等）。 易错提醒：平分线是 “射线”，不是线段，没有长度，只表示平分角度的位置。 高频易错点（精准避坑，避免扣分） 1.角的表示错误：顶点字母放中间（如把∠AOB写成∠OAB），导致混淆顶点。 2.度量错误：量角时，量角器的中心没对齐顶点、0 刻度线没对齐边，导致读数偏差。 3.换算错误：把度、分、秒的六十进制当成十进制（如1∘30′当成1.3∘）。 4.概念混淆：把 “平角” 当成 “直线”，把 “周角” 当成 “圆形”。 5.平分线理解错误：认为 “平分就是把边平分”，忽略 “角度平分” 的核心。 题型01.角的概念理解 【典例】如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪专练1】在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角…照此规律，画9条不同的射线，可以画出_________个锐角． 【跟踪专练2】如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（           ） A． B． C． D．不能确定 题型02.角的表示方法 【典例】在下列图形中，能用三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图所示的图形中有______个小于平角的角，写出以为一边的所有角：______． 【跟踪专练2】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03.画特殊角 【典例】用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【跟踪专练1】如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【跟踪专练2】如图， 点O在直线上，， 是直角． (1)根据题意，补全图形； (2)求的度数． 题型04.钟面角 【典例】早上4时在钟面上，时针和分针所夹的角的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】颈椎不适的症状包括：酸胀、隐痛、发紧、僵硬等，而将两臂向上抬，举到10点10分处，每天连续走200米，能有效缓解此症状．这里的10点10分处指的是时钟在10点10分时，时针和分针的夹角（如图所示），则此时时针与分针的夹角是________． 【跟踪专练2】在周六下午，小明计划出门去图书馆学习，当他准备出门时，偶然间发现时针与分针形成了一个特定的夹角．已知此时是下午，那么这时时针与分针的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型05.方向角的表示 【典例】如图，若以雷达站为观测点，则护卫舰的位置是（    ） A．东偏北 B．北偏东 C．北偏西 D．西偏南 【跟踪专练1】茂名市电白区博贺渔港是全国十大渔港之一，如题图所示，，是两个海上观测站的位置，在博贺渔港北偏东方向上，，则在博贺渔港的______方向上． 【跟踪专练2】如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 题型06:与方向角有关的计算题 【典例】如图，已知点D在点O的北偏西方向，点E在点O的北偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，一艘轮船行驶在处，小岛在处的北偏西，点在正西方向上，已知平分，则的度数是__________． 【跟踪专练2】2026年4月20日是春季的最后一个节气——谷雨．古人观察发现，每日初昏（日落小时）时分，北斗七星的位置较前一天绕北极星沿东→南→西→北的方向移动了大约．古人将观察到的结果与气候和农耕结合，创造了二十四节气．如图，谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向辰位（南偏东），古人称“斗指辰，雨生百谷”．观察图形，立春初昏时分斗柄指向的方向与谷雨初昏时分斗柄指向的方向的夹角约为（    ） A． B． C． D． 题型07.角的单位与角度制 【典例】已知与互余，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，是一条直线，如果，则______度． 【跟踪专练2】若，，，则（     ） A． B． C． D． 题型08.角的度数大小比较 【典例】若，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练1】比较大小：_______（选填“”“”“”）． 【跟踪专练2】已知和，以下方法一定能说明比小的是(        ) A．通过观察猜测比小 B．用量角器量得 C．移动，使顶点与顶点重合，边与边重合，边和边在重合的边的同侧，边在内部 D．移动，使顶点与顶点重合，边与边重合，边和边在重合的边的同侧，边在外部 题型09.角的比较 【典例】如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 【跟踪专练1】小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 【跟踪专练2】在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 题型10.三角板中角度计算问题 【典例】如图，一副三角板按如图方式摆放，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于______． 【跟踪专练2】将一副三角板按如图所示的四种位置摆放，其中的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 题型11.几何图形中角度计算问题 【典例】如图，在长方形的台球桌面上，，，那么的度数为（　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点A，O，B在一条直线上，，且与互余，，那么的大小为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，且，，则下列四个结论正确的个数有（      ） ；射线平分；图中与互余的角有个；图中互补的角有对． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型12.角度的四则运算 【典例】计算的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】人们很早就借助工具度量角．我国夏商时代就出现了校验直角的工具——矩”．如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型13.实际问题中角度计算问题 【典例】如图，一棵小树生长时与地面所成的角，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么等于___________度．    【跟踪专练1】如图，点A，B，C在同一直线上，是直角，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】入射光线和平面镜的夹角为，转动平面镜，使入射角减小，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（    ） A．减小 B．减小 C．减小 D．不变 题型14.角平分线的有关计算 【典例】已知射线是的角平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点在一条直线上，是的平分线，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知三条不同的射线，，，有下列条件： ①； ②； ③； ④． 其中，能确定平分的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型15.角n等分线的有关计算 【典例】一个角的七等分线将角分成7个相等的小角，若一个小角为，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 题型16.求一个角的余角 【典例】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日德州正午太阳光线与水平面的夹角为．当光能利用率最高时，集热板与水平面夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，则的余角等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】与互为补角，且，则的余角可以为（    ） A． B． C． D． 题型17.求一个角的补角 【典例】已知，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果一个角的余角是，那么这个角的补角的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型18.与余角.补角有关的计算 【典例】如图，已知是直角，是的倍，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列说法中： 已知，则的余角是； 若，则和互为余角； 若，则互补； 一个角的补角必为钝角． 其中正确的有：______．（填所有正确的序号） 【跟踪专练2】如图，不同的位置摆放，摆放位置中与一定相等的图形个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型19.同(等)角的余(补)角相等的应用 【典例】如图所示的是某交叉路口的示意图．若，则，理由是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 【跟踪专练1】如图所示，如果将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，若，那么______°． 【跟踪专练2】已知，， ．那么与的关系是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【解答题】 1．学校举办运动会，小明和小颖负责规划跳远场地．小明从点沿北偏东走30米到点，小颖从点沿南偏东走60米到点．现计划将跳远场地设置在方向上，且为助跑道起点，为沙坑远端．已知跳远场地标准为：助跑道至少35米，起跳板到沙坑近端1米，沙坑长7米． (1)按图上1厘米代表实际距离10米，画出、及的示意图； (2)通过测量计算，判断的长度是否符合跳远场地的要求？（图上距离精确到毫米） 2．计算： (1)． (2)． 3．李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是37.22°，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 4．如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角尺的直角顶点放在点处，且直角三角尺在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)若时，求的值． 5．新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 6．已知，在内部，． (1)如图1，若，求度数； (2)如图2，若平分，请说明：； (3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 7．如图，和都是直角． (1)如果，那么的度数为 °． (2)找出图中相等的角．如果，它们还会相等吗？ (3)若的度数越来越小，则的度数将如何变化？ 8．如图1，点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，边在射线上．绕点顺时针旋转直角三角板，当边旋转至射线上时，旋转停止．过点作射线，使射线平分． (1)如图2，若，求的度数； (2)探究和的数量关系，写出你的结论，并说明理由； (3)若，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10角的复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解角的定义，熟记角的构成要素（顶点、两条边），明确角的本质。 2.掌握角的规范表示方法，牢记表示规则，能区分不同表示方式的注意事项。 3.认识角的度量单位（度、分、秒），掌握度、分、秒之间的换算关系。 4.理解角的大小比较方法，掌握角的和、差运算，了解角的平分线定义及核心结论。 1.能准确识别角，规范表示不同的角，避免表示错误。 2.能熟练进行度、分、秒的换算，会用量角器测量角的大小。 3.会用度量法、叠合法比较角的大小，能进行简单的角的和差运算，会找角的平分线。 4.结合生活实例，能运用角的知识解释生活中的几何现象，培养几何直观和推理能力。 1.基础概念题零失误，快速识别角、判断表示方法和换算对错，秒杀选择填空。 2.熟练掌握角的度量、换算、和差运算及角平分线相关计算，杜绝易错点扣分。 3.规范完成角的相关计算题，步骤清晰、计算无误，不出现单位混淆、换算错误。 4.夯实几何基础，衔接后续角的分类、余补角等知识，提升几何答题准确率，稳拿基础分。 题型01.角的概念理解 题型02.角的表示方法 题型03.画特殊角 题型04.钟面角 .题型05.方向角的表示 题型06:与方向角有关的计算题 题型07.角的单位与角度制 题型08.角的度数大小比较 题型09.角的比较 题型10.三角板中角度计算问题 题型11.几何图形中角度计算问题 题型12.角度的四则运算 题型13.实际问题中角度计算问题 题型14.角平分线的有关计算 题型15.角n等分线的有关计算 题型16.求一个角的余角 题型17.求一个角的补角 题型18.与余角.补角有关的计算 题型19.同(等)角的余(补)角相等的应用 解答题8题 知识点01:角的核心基础 （一）角的定义（精准易懂） 静态定义：由两条有公共端点的射线组成的图形，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边（无厚度、无长度，仅表示位置关系）。 动态定义：一条射线绕着它的端点旋转，从起始位置（始边）转到终止位置（终边），所形成的图形就是角。 核心备注：角的大小只和 “两条边张开的程度” 有关，和边的长短无关（比如长射线和短射线组成的角，大小完全一样）。 （二）角的表示方法（规范无错误，考试必考点） （三）角的度量（基础核心，无复杂计算） 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″） ，遵循 “六十进制”（和时间换算一致，易理解）。 换算关系（必背，考试直接考）：1∘=60′，1′=60′′，1∘=3600′′（简单记：大单位换小单位乘 60，小单位换大单位除以 60）。 度量工具：用直尺配套的量角器，测量时注意 “顶点对齐量角器中心、一条边对齐 0 刻度线”，避免读错刻度。 知识点02:角的分类 角的类型 度数范围 核心特征 简单举例 锐角 大于0∘，小于90∘ 开口小，尖尖的 三角尺上的30∘、45∘角 直角 正好等于90∘ 两条边互相垂直，有直角符号 “┐” 课本的角、黑板的角 钝角 大于90∘，小于180∘ 开口比直角大，比平角小 张开的剪刀形成的角 平角 正好等于180∘ 两条边在同一直线上，方向相反 一条直线上的角（如直尺的边缘） 周角 正好等于360∘ 两条边完全重合，形成一个完整的圆 钟表一圈的角度 补充说明 平角、周角仅作基础了解，不深入考查计算，重点掌握前 3 种（锐角、直角、钝角）。 易错点：平角不是 “一条直线”，而是 “两条反向射线组成的角”，考试常考辨析。 知识点03:角的核心运算（基础易懂，无复杂步骤） （一）角的和差运算 核心逻辑：两个角可以直接相加、相减，结果仍为角（单位统一为度、分、秒）。 示例：∠1=30∘20′，∠2=25∘40′，则∠1+∠2=56∘，∠1−∠2=4∘40′（注意分的加减，满 60 进 1、不够减借 1 当 60）。 （二）角的平分线（高频考点） 定义：从角的顶点出发，画一条射线，把这个角分成两个完全相等的小角，这条射线就是角的平分线。 核心结论：若 OC 是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC（简单记：平分就是 “平均分”，两个小角相等）。 易错提醒：平分线是 “射线”，不是线段，没有长度，只表示平分角度的位置。 高频易错点（精准避坑，避免扣分） 1.角的表示错误：顶点字母放中间（如把∠AOB写成∠OAB），导致混淆顶点。 2.度量错误：量角时，量角器的中心没对齐顶点、0 刻度线没对齐边，导致读数偏差。 3.换算错误：把度、分、秒的六十进制当成十进制（如1∘30′当成1.3∘）。 4.概念混淆：把 “平角” 当成 “直线”，把 “周角” 当成 “圆形”。 5.平分线理解错误：认为 “平分就是把边平分”，忽略 “角度平分” 的核心。 题型01.角的概念理解 【典例】如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了角的识别，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解答本题的关键． 的角即为平角，要找小于的角，即是找小于平角的角观察图形，分别找出以O为顶点的角有哪些，就可找出所有的角． 【详解】解：小于的角有， ∴有5个， 故选：C． 【跟踪专练1】在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角…照此规律，画9条不同的射线，可以画出_________个锐角． 【答案】55 【分析】分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题． 【详解】解：∵在锐角内部，画1条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画2条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画3条射线，可得个锐角， …… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 ∴画9条不同的射线，可得锐角 故答案为：55． 【点睛】考查了角的概念，解决改题的关键是找到规律，从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 【跟踪专练2】如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（           ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个10倍的放大镜看一个30度的角，仍然是30度，放大镜放大的只是两边的长短． 【详解】解：用一个10倍的放大镜看一个30度的角，那么看到的仍然是30度的角， 故选：A． 题型02.角的表示方法 【典例】在下列图形中，能用三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的表示方法，根据角的表示方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能用表示，不符合题意； B、不能用表示，不符合题意； C、能用三种方法表示同一个角，符合题意； D、不能用表示，不符合题意； 故选C． 【跟踪专练1】如图所示的图形中有______个小于平角的角，写出以为一边的所有角：______． 【答案】 7 ，，， 【分析】本题考查了角的表示及分类熟练掌握角的表示及分类是解答本题的关键．根据角的表示方法及角的分类，即可得到答案． 【详解】题图中小于平角的角有，，，，，，，共7个；其中以为一边的角有，，，． 故答案为：7； ，，，． 【跟踪专练2】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 题型03.画特殊角 【典例】用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【答案】C 【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出． 【详解】解：105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画； 75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画； 110°角用一副三角板不能画出； 135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画。 故选：C． 【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍． 【跟踪专练1】如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，熟练掌握角的和差是解题关键．根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，，， ∴可以用这副三角尺画出来的是①③④， 故选：D． 【跟踪专练2】如图， 点O在直线上，， 是直角． (1)根据题意，补全图形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了角的计算，角的作图以及平角的定义，掌握角的计算，角的作图以及平角的定义是解本题的关键． （1）根据题意作图即可． （2）根据（1）可得有两种情况：点C在的内部，点C在的外部，再利用平角的定义计算即可． 【详解】（1）如图所示： （2）若点C在的内部， ， 是直角， ， 若点C在的外部， ， 是直角， ． 综上的度数为或． 题型04.钟面角 【典例】早上4时在钟面上，时针和分针所夹的角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查钟面角，钟面角度计算，每个小时格对应，4时时针与分针相差4格，故夹角为． 【详解】解：∵ 钟面一圈为，等分为12小时， ∴ 每个小时格角度为， ∵ 早上4时，时针指向4，分针指向12， ∴ 两针相差4个小时格， ∴ 所夹角度为． 故选：A． 【跟踪专练1】颈椎不适的症状包括：酸胀、隐痛、发紧、僵硬等，而将两臂向上抬，举到10点10分处，每天连续走200米，能有效缓解此症状．这里的10点10分处指的是时钟在10点10分时，时针和分针的夹角（如图所示），则此时时针与分针的夹角是________． 【答案】 【分析】本题考查钟面角的计算，核心知识点是钟面每大格对应，分针每分钟转动，时针每分钟转动． 【详解】解：∵钟面一圈为，平均分成个大格， ∴每个大格的度数为；时针每分钟转动的角度为， ∴数字与数字2的夹角为，时针分钟转动的角度为=5°， ∴点分时，时针和分针的夹角为． 故答案为：． 【跟踪专练2】在周六下午，小明计划出门去图书馆学习，当他准备出门时，偶然间发现时针与分针形成了一个特定的夹角．已知此时是下午，那么这时时针与分针的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角问题，先算出时针每分钟走几度，分针每分钟走几度，再利用分针走的角度减去时针走的角度即可得到答案； 【详解】解：∵钟表一圈， ∴分针每分钟转，时针每分钟转， ∴时针分针角度为：， 故选：A． 题型05.方向角的表示 【典例】如图，若以雷达站为观测点，则护卫舰的位置是（    ） A．东偏北 B．北偏东 C．北偏西 D．西偏南 【答案】C 【详解】解：若以雷达站为观测点，则护卫舰的位置是北偏西． 【跟踪专练1】茂名市电白区博贺渔港是全国十大渔港之一，如题图所示，，是两个海上观测站的位置，在博贺渔港北偏东方向上，，则在博贺渔港的______方向上． 【答案】南偏东 【分析】解：设正南方向与的夹角为，根据题意，得，根据方向角的意义解答即可． 【详解】解：设正南方向与的夹角为，根据题意，得， 故在博贺渔港的南偏东方向． 【跟踪专练2】如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【答案】A 【分析】本题考查了方位角．由方位角可得，进而得到，据此计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ， 的方向是北偏东， 故选：A． 题型06:与方向角有关的计算题 【典例】如图，已知点D在点O的北偏西方向，点E在点O的北偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据方向角的定义得到，再由求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，, ∴． 【跟踪专练1】如图，一艘轮船行驶在处，小岛在处的北偏西，点在正西方向上，已知平分，则的度数是__________． 【答案】/80度 【分析】先利用正北与正西方向的垂直关系，结合北偏西的条件求出的度数，再根据角平分线的定义计算的度数． 【详解】解：如图，根据题意，， ∵． ∴． ∵平分， ∴． 【跟踪专练2】2026年4月20日是春季的最后一个节气——谷雨．古人观察发现，每日初昏（日落小时）时分，北斗七星的位置较前一天绕北极星沿东→南→西→北的方向移动了大约．古人将观察到的结果与气候和农耕结合，创造了二十四节气．如图，谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向辰位（南偏东），古人称“斗指辰，雨生百谷”．观察图形，立春初昏时分斗柄指向的方向与谷雨初昏时分斗柄指向的方向的夹角约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干图得到立春初昏时分斗柄指向的方向，进而计算即可． 【详解】解：由图可知立春初昏时分斗柄指向的方向为东偏北， ∵谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向辰位（南偏东）， ∴谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向东偏南， ∴立春初昏时分斗柄指向的方向与谷雨初昏时分斗柄指向的方向的夹角约为． 题型07.角的单位与角度制 【典例】已知与互余，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：与互余， ， ，， ，选项符合题意． 【跟踪专练1】如图，是一条直线，如果，则______度． 【答案】36.25 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练2】若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需将三个角统一单位后比较大小，利用角度单位换算：，，把的度数换算成度分秒形式，再与、比较． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ 即 故选：B． 题型08.角的度数大小比较 【典例】若，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查度数的大小比较，解题的关键是统一单位再进行比较，注意：、．据此解答即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】比较大小：_______（选填“”“”“”）． 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握角的单位制是解题关键．根据进行换算即可得． 【详解】解：∵ ， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知和，以下方法一定能说明比小的是(        ) A．通过观察猜测比小 B．用量角器量得 C．移动，使顶点与顶点重合，边与边重合，边和边在重合的边的同侧，边在内部 D．移动，使顶点与顶点重合，边与边重合，边和边在重合的边的同侧，边在外部 【答案】C 【分析】本题考查了角度的大小比较．根据比较大小的方法，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、通过观察猜测不可靠； B、用量角器量得的度数大于的度数； C、通过叠合法能确定在内部，说明比小． D、通过叠合法能确定在外部，说明比大； 故选：C． 题型09.角的比较 【典例】如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 【答案】A 【详解】解：当点A从左向右运动时，变小，变大． 故选：A． 【跟踪专练1】小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，解题的关键是添加适当的辅助线．取格点E，使，作射线，则，然后比较和的大小，根据等量代换，即可作答． 【详解】解：如图，取格点E，使，作射线， 则， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和与差，由网格线可知，，可得：，又因为，可得． 【详解】解：如下图所示，由网格可知，， ， 即， ， ． 故选：B． 题型10.三角板中角度计算问题 【典例】如图，一副三角板按如图方式摆放，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图得 ， ． 【跟踪专练1】如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于______． 【答案】150度/ 【分析】根据题意，可知，结合可求得的度数，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，可知， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】将一副三角板按如图所示的四种位置摆放，其中的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了余角，三角形板中的角度计算，掌握余角和补角的概念、正确进行角的大小比较是解答本题的关键．根据题意计算、结合图形比较，得到答案． 【详解】解：如图， ①图形中，均为的余角，则； ②图形中，，则； ③图形中，； ④图形中，，则． 所以的是①③． 题型11.几何图形中角度计算问题 【典例】如图，在长方形的台球桌面上，，，那么的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差计算，解题的关键是利用已知的和的度数，直接求出的度数． 直接将代入，通过减法计算出的度数，再匹配选项． 【详解】解：由题意得：， ． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，点A，O，B在一条直线上，，且与互余，，那么的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵与互余 ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，且，，则下列四个结论正确的个数有（      ） ；射线平分；图中与互余的角有个；图中互补的角有对． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】首先利用已知得出的度数，再计算出、、、的度数，然后再分析即可． 【详解】解：平分， ， ， 设，则， ， ， ， 解得：， ，故正确； ，， ，则， 射线平分，故正确； ，，， ，， 图中与互余的角有个，故正确； ， ， ，，，， ，，，，， 图中互补的角有对，故错误； 综上，四个结论正确的个数有3个． 题型12.角度的四则运算 【典例】计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算度、分与乘数的乘积，再根据进率进位即可得到结果． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． ∴的值为． 【跟踪专练1】人们很早就借助工具度量角．我国夏商时代就出现了校验直角的工具——矩”．如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知，可得 ． 【跟踪专练2】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型13.实际问题中角度计算问题 【典例】如图，一棵小树生长时与地面所成的角，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么等于___________度．    【答案】10 【分析】根据列式计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了角的和差计算，准确识别图形是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，点A，B，C在同一直线上，是直角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键是掌握平角为．根据平角为，减去和的度数即可． 【详解】解：． 故选：A． 【跟踪专练2】入射光线和平面镜的夹角为，转动平面镜，使入射角减小，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（    ） A．减小 B．减小 C．减小 D．不变 【答案】C 【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角． 【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是，所以入射角为． 根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为，所以入射光线与反射光线的夹角是． 入射角减小，变为，所以反射角也变为，此时入射光线与法线的夹角为． 则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小． 故选：C． 【点睛】本题考查了有关角的计算，首先要熟记光的反射定律的内容，搞清反射角与入射角的关系，特别要掌握反射角与入射角的概念，它们都是反射光线和入射光线与法线的夹角． 题型14.角平分线的有关计算 【典例】已知射线是的角平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，掌握角平分线是将角平均分成相等的两份的射线是解题的关键． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵射线是的角平分线，， ∴． 故选C． 【跟踪专练1】如图，点在一条直线上，是的平分线，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是的平分线，，得，；由邻补角可求得，结合，解得，进而即可求解． 【详解】解：∵是的平分线，且， ∴， ∵点在同一直线上， ∴ ， ∵， ， ∴ ∴， ∴． 【跟踪专练2】已知三条不同的射线，，，有下列条件： ①； ②； ③； ④． 其中，能确定平分的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】结合的位置（内部或外部），逐一分析各条件是否符合角平分线的判定要求即可；本题主要考查了角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，熟练掌握角平分线的定义并分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①∵，即将分成两个相等的角，且在内部， ∴能确定平分； ②如图，当在外部时，也可满足， ∴不能确定平分； ③如图，只要在内部，就有，但与不一定相等， ∴不能确定平分； ④如图，当在外部时，符合，但不是的平分线， ∴不能确定平分； 综上，只有①能确定平分； 故选：C． 题型15.角n等分线的有关计算 【典例】一个角的七等分线将角分成7个相等的小角，若一个小角为，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的等分线的有关计算．角的七等分线将角分成个相等的小角，每个小角，因此总角度为． 【详解】解：角被七等分，每个小角为， 总角度． 故选：C． 【跟踪专练1】射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 【详解】解：∵射线是的四等分线，， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 题型16.求一个角的余角 【典例】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日德州正午太阳光线与水平面的夹角为．当光能利用率最高时，集热板与水平面夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ∴， ∴． 【跟踪专练1】已知，则的余角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查余角的定义及度分的换算，利用互为余角的两个角之和为，结合的换算规则计算即可． 【详解】解：∵ 互为余角的两个角的和为， 又∵，， ∴的余角为：， 故选：D． 【跟踪专练2】与互为补角，且，则的余角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查补角与余角的定义，先根据补角性质得到与的数量关系，再将的余角用、的代数式表示并化简，最后对比选项得出结果． 【详解】解：∵与互为补角， ∴， ∴， ∵的余角为， ∴将代入得： ， ∴的余角为， 故选：D． 题型17.求一个角的补角 【典例】已知，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和为180度的两个角互为补角，计算即可. 【详解】解：. 【跟踪专练1】如果一个角的余角是，那么这个角的补角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角与补角的定义，先依据余角的定义求出该角的度数，再根据补角的定义计算其补角的度数即可． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角的度数为， ∴这个角的补角的度数为． 故选：A． 【跟踪专练2】给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查余角和补角，根据两个角的度数和为90度，两个角互为余角，两个角的度数和为180度时，两个角互为补角，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则，即互余；故①说法正确； 两个角的度数和为180度时，两个角互为补角；故②说法错误； 若，，则；故③说法正确； 若的余角为，则，故它的补角为；故④说法正确； 故选D． 题型18.与余角.补角有关的计算 【典例】如图，已知是直角，是的倍，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的倍， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】下列说法中： 已知，则的余角是； 若，则和互为余角； 若，则互补； 一个角的补角必为钝角． 其中正确的有：______．（填所有正确的序号） 【答案】 【分析】根据余角与补角的定义，逐一判断各说法即可得到结论． 【详解】解：根据定义，若两个角的和为，则两个角互为余角；若两个角的和为，则两个角互为补角， 已知，可得的余角为，故正确； 若，符合互为余角的定义，故正确； 若，这三个角不能称为互为补角，互为补角是两个角之间的关系，故错误； 钝角的补角是锐角，例如的补角为，是锐角不是钝角，故错误； 综上，正确的序号是． 【跟踪专练2】如图，不同的位置摆放，摆放位置中与一定相等的图形个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查余角和补角，根据“等角或同角的余角相等”以及余角和补角的定义，即可求得答案． 【详解】第一个图形中，，与不一定相等； 第二个图形中，根据“同角的余角相等”， 可知； 第三个图形中，，与不一定相等； 第四个图形中，根据“等角的余角相等”， 可知； 综上所述，∠α与∠β一定相等的图形个数共有个． 故选：B 题型19.同(等)角的余(补)角相等的应用 【典例】如图所示的是某交叉路口的示意图．若，则，理由是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】本题考查了补角的性质，判断与互补，与互补即可求解, 【详解】解：, 与互补. , 与互补. （同角的补角相等）。 故选：． 【跟踪专练1】如图所示，如果将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，若，那么______°． 【答案】20 【分析】本题考查了余角，解题的关键是利用了同角的余角相等的性质． 根据同角的余角相等可得，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，， ．那么与的关系是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查互余和互补的性质，先利用同角的补角相等得出，再结合与互余的关系，推导与的关系. 【详解】解：∵， ， ∴，（同角的补角相等） ∵， ∴， ∴与互余， 故选：B． 【解答题】 1．学校举办运动会，小明和小颖负责规划跳远场地．小明从点沿北偏东走30米到点，小颖从点沿南偏东走60米到点．现计划将跳远场地设置在方向上，且为助跑道起点，为沙坑远端．已知跳远场地标准为：助跑道至少35米，起跳板到沙坑近端1米，沙坑长7米． (1)按图上1厘米代表实际距离10米，画出、及的示意图； (2)通过测量计算，判断的长度是否符合跳远场地的要求？（图上距离精确到毫米） 【答案】(1)见解析 (2)符合，理由见解析 【分析】本题主要考查了方位角的应用，解题的关键是熟练掌握方位角的定义． （1）根据方位角，画出图形即可； （2）先测量出图上距离约厘米，得出实际距离，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，、及即为所求； （2）解：符合要求；理由如下： 测量得图上距离约厘米，实际距离约52米， （米）， 因为，所以的长度符合跳远场地的要求． 2．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：，计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 3．李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是37.22°，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，关键是统一单位，再进行大小的比较．根据度、分、秒的换算1度分，即，1分秒，即．将，，的单位统一，再进行大小的比较． 【详解】解：∵， ，， ∴，即最大， 4．如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角尺的直角顶点放在点处，且直角三角尺在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)若时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的和差运算及平角的性质，数形结合是解题的关键，根据直角三角尺旋转时与的相对位置关系进行计算即可． （1）中当时，在的右侧，利用求出，再结合求出； （2）当时，在的右侧，利用与互余求出，再计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ， （2）解：， ， 当时，在的右侧， ． 5．新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 【答案】（1）；（2）或；（3）有． 【分析】本题考查新定义的角度关系、角平分线，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可； （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间的一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1），与互为“相伴角”， ， ， ， ； （2）如图，当在上方时， OM平分角， ， 根据题意得， ， ， ， 当在下方时， 平分角， ， 根据题意得， ， ， 综上所述，为或； （3）已知，射线以每秒顺时针旋转，射线以每秒逆时针旋转， 当秒时：，， 则，， 三条射线形成的角为，，，验证两角和是否为，如下： ，， 因此当时，由，，三条射线形成的角中与互为“相伴角”． 6．已知，在内部，． (1)如图1，若，求度数； (2)如图2，若平分，请说明：； (3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)，理由见详解 【分析】本题考查了角的和差、角平分线的定义及余角的概念． （1）通过与的关系求出，进而求出； （2）利用角平分线性质和角的和差关系进行推导； （3）根据余角的性质得到与、与的关系，再结合角的和差关系探究三者数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7．如图，和都是直角． (1)如果，那么的度数为 °． (2)找出图中相等的角．如果，它们还会相等吗？ (3)若的度数越来越小，则的度数将如何变化？ 【答案】(1)151； (2)相等的角有，；当时，它们仍然相等； (3)的度数会越来越大． 【分析】（1）利用直角的度数减去的度数求出的度数，再将与直角的度数相加，通过角的和差求出的度数； （2）先根据直角的定义直接得到与相等，再利用角的和差得出和均为的余角，结合同角的余角相等的性质，判断即使的度数改变，这些角仍保持相等； （3）先通过角的和差推导出与的数量关系式，再根据该关系式分析当度数越来越小时，的度数变化情况． 【详解】（1）解：∵和都是直角， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：相等的角有，， ∵， ∴， ∴， 即使，和仍然是的余角， 根据同角的余角相等，它们仍然相等，和始终是直角，也仍然相等； （3）解：由， 可知当的度数越来越小时，的度数会越来越大． 8．如图1，点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，边在射线上．绕点顺时针旋转直角三角板，当边旋转至射线上时，旋转停止．过点作射线，使射线平分． (1)如图2，若，求的度数； (2)探究和的数量关系，写出你的结论，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查的是角平分线的定义和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质并灵活运用． （1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）设，则，根据角平分线的定义得到，根据余角的性质得到，于是得到结论； （3）设，则，分以下两种情况：当在上方时；当在下方时，分别根据角平分线的定义和余角的性质，再结合，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由已知得， 又∵是直角，平分， ∴； （2）解：，理由如下： 设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设，则， 分以下两种情况讨论： 当在上方时，如图 ， ， ∵， ∴， 解得， ∴； 当在下方时，如图， ， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $