8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第八章 成对数据的统计分析 8.2 一元线性回归模型 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时） 【学习目标】 1. 进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用残差分析和决定系数 判断模型的拟合效果. 1. 了解非线性回归模型，能将简单的非线性回归模型通过变量代换转化为线性回归模型. 1. 会利用统计软件（或计算工具）计算经验回归方程，并能进行预测和解释. 【学习重点】 1. 残差分析：残差图、残差平方和，判断模型拟合效果. 2. 决定系数 ，理解 越接近 1，拟合效果越好. 3. 非线性回归模型的转化方法（如对变量取对数、倒数等）. 【学习难点】 1. 理解残差图的含义（残差点均匀分布在水平带状区域内，带状越窄拟合越好）. 2. 从散点图识别非线性关系，并选择合适的函数模型进行变换. 学习任务一 残差分析与模型诊断 【合作探究】 1. 问题引入： · 在例（树高与胸径关系）中，建立经验回归方程后，如何评估它的拟合效果？ · 解：可以通过计算残差 （观测值减去预测值），并绘制残差图（横坐标为 ，纵坐标为 ）进行分析. (1) 若残差点随机分布在横轴两侧且宽度稳定，说明模型合适； (2) 若残差呈现某种规律（如曲线、漏斗型），则模型可能存在问题. 1. 残差平方和与决定系数： (1) 残差平方和 ，反映预测误差大小. (2) 总偏差平方和 . (3) 决定系数 ，表示模型解释了 的变异比例. · 越接近 1，拟合效果越好. 1. 实例分析： · 树高与胸径数据的残差表（略）和残差图（描述：残差点分布在宽度小于 2 的带状区域内，无明显规律），说明线性模型拟合较好. 【自主梳理】 1. 残差：，用于诊断模型. 1. 残差图：以 （或预测值）为横坐标，残差为纵坐标的点图.理想情况：残差随机分布在水平带状区域，无趋势. 1. 决定系数：，取值范围 ，越大拟合越好. 1. 异常点：残差绝对值特别大的点，需检查数据是否有误. 学习任务二 非线性回归模型的转化 【合作探究】 1. 问题背景： · 男子短跑 100m 世界纪录与年份数据的散点图（描述：前半段点分散，后半段趋于平缓，整体不呈直线关系），简单线性回归效果不佳. · 观察到 （纪录）随年份 增加而递减，但后期变化变慢，可尝试使用对数模型. 1. 变量代换： · 设 ，进行变换后，新散点图（描述：点大致呈直线关系）.然后用线性回归拟合 关于 ，得到 ，再回代得到原变量间的非线性回归方程. 1. 常见非线性模型转化： (1) 幂函数 → 取对数得 (2) 指数函数 → (3) 对数函数 → 令 得线性 (4) 倒数变换 → 令 得线性 【自主梳理】 非线性回归转化为线性回归的步骤： 1. 画散点图，根据分布形状选择合适的曲线类型. 1. 对自变量和（或）因变量进行适当变换（如取对数、倒数、平方等）. 1. 对变换后的新变量建立线性回归模型. 1. 将回归方程还原为原始变量的方程. 学习任务三 模型评估与预测 【合作探究】 1. 利用 比较模型优劣： · 例如，GDP 与年份的线性模型 ，说明年份可以解释 92.13% 的 GDP 变化，拟合较好；但残差图显示有一定规律（中间负、两边正），可能更适合用非线性模型. 1. 预测的注意事项： (1) 回归模型只适用于观测数据的范围，外推需谨慎. (2) 预测值是响应变量的均值估计，不是精确值. (3) 随时间推移，模型可能需要更新. 1. 实例： · 利用 1997‑2006 年数据建立模型，预测 2017 年 GDP 误差很大；而使用 1997‑2016 年数据建立的模型预测 2017 年更准确.说明模型的适用范围有限，外推不宜超出太多. 【自主梳理】 回归分析的基本流程： 1. 收集数据，画散点图，判断线性/非线性. 1. 选择模型，估计参数. 1. 计算残差、残差图、，评估拟合效果. 1. 必要时进行非线性变换. 1. 利用模型进行预测，注意适用范围. 【自查自纠】（正误判断） 1. 残差图中，残差点应随机分布在横轴两侧. （ ） 1. 决定系数 越大，表示模型拟合效果越好. （ ） 1. 对于非线性关系，只能使用非线性回归模型，不能转化为线性模型. （ ） 1. 残差的绝对值较大的点可能是异常点. （ ） 1. 回归模型可以随意外推到任意远处. （ ） 答案：1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.× 【典例分析】 例1：某公司对 10 个销售点的广告支出 （万元）与销售额 （万元）进行回归分析，得 ，计算得 ，.求 并解释. 解：，说明广告支出可以解释销售额变异的 96%，模型拟合很好. 例2：已知数据 的散点图呈指数下降趋势，拟用模型 .应如何变换后用线性回归？ 解：两边取自然对数，得 .令 ，则 ，可对 进行线性回归. 【习题巩固】 1. 在残差分析中，残差图的横坐标通常取（ ） · A. 样本序号 B. 自变量  C. 因变量  D. 预测值 · （多选题）正确答案：ABD 1. 决定系数 的计算公式为 ，其中 指（ ） · A. 总平方和 B. 残差平方和 C. 回归平方和 D. 均方误差 1. 对于非线性模型 （），通过取对数转化为线性模型，应设（ ） · A. ， B. ， · C. ， D. ， 1. 某研究得到 ，下列说法正确的是（ ） · A. 模型解释了 85% 的响应变量变异 · B. 模型完全合适 · C. 残差平方和占总平方和的 15% · D. 模型预测误差很大 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. ABD（残差图横坐标可用样本序号、自变量 或预测值 ） 1. B 1. B 1. A、C 学科网（北京）股份有限公司 $