8.2第2课时 一元线性回归模型的综合问题 导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

人教A版高中数学选择性必修三 8.2第2课时-一元线性回归模型的综合问题-导学案 学习目标　1.了解残差的推导过程，理解残差的概念.2.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果． 一、残差及残差分析 问题1　上节课中我们知道儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为＝0.839x＋28.957，那么当x＝172时，＝0.839×172＋28.957＝173.265(cm)，如果一位父亲的身高为172 cm，他儿子长大成人后的身高一定是173 cm吗？为什么？ 问题2　对于课本105页表8.2－1中的第6个观测，我们发现当父亲身高为172 cm时，儿子的身高实际为176 cm，实际身高与预测的身高相差了多少？ 知识梳理 1．残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为________，通过经验回归方程得到的称为________，________减去__________称为残差． 2．残差分析：________是随机误差的估计结果，通过对________的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为________． 例1　(1)对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是(　　) (2)已知一系列样本点(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)的经验回归方程为＝2x＋a，若样本点(r,1)与(1，s)的残差相同，则有(　　) A．r＝s B．s＝2r C．s＝－2r＋3 D．s＝2r＋1 反思感悟　残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适．这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高． 跟踪训练1　(1)已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的是从左到右第________个． (2)某种产品的广告支出x与销售额y(单位：万元)之间有如表关系，y与x的经验回归方程为＝6.5x＋17.5，当广告支出为5万元时，随机误差的残差为(　　) x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 A.10 B．20 C．30 D．40 二、对数函数模型y＝c1＋c2ln x 例2　噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D(单位：dB)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i＝1,2，…，10)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． (Ii－)2 (Wi －)2 (Ii－)· (Di－) (Wi－)· (Di－) 1.04×10－11 45.7 －11.5 1.56×10－21 0.51 6.88×10－11 5.1 表中Wi＝lg Ii，＝Wi . (1)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的经验回归方程＝＋·lg I； (2)当声音强度大于60 dB时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且＋＝1010.已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据(1)中的经验回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由． 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－·. 反思感悟　对数函数模型y＝c1＋c2ln x的求法 (1)确定变量，作出散点图． (2)根据散点图，做出y＝c1＋c2ln x的函数选择． (3)变量置换，令z＝ln x，通过变量置换把问题转化为＝1＋2z的经验回归问题，并求出经验回归方程＝1＋2z. (4)根据相应的变换，写出＝1＋2ln x的经验回归方程． 跟踪训练2　生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重W(单位：g)与脉搏f存在着一定的关系．如表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了体重W与脉搏率f的散点图，图2画出了lg W与lg f的散点图． 动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 体重 25 200 300 2 000 5 000 30 000 50 000 脉搏率 670 420 300 200 120 85 70 图1 图2 为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择： ①f＝kW＋b；②lg f＝klg W＋b. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)不妨取表中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出f关于W的函数解析式． 参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.5. 三、残差平方和与决定系数R2 问题3　例2中给出了两个模型，那么如何比较这两个模型的拟合效果？ 知识梳理 1．残差平方和法 残差平方和(yi－i)2越______，模型的拟合效果越______． 2．决定系数R2 可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越______，模型的拟合效果越______，R2越______，模型的拟合效果越______． 例3　假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下表： x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 并由最小二乘法计算得经验回归方程为＝0.29x＋34.7. (1)计算各组残差，并计算残差平方和； (2)求R2. 参考数据：(yi－)2＝50.18. 反思感悟　刻画回归效果的三种方法 (1)残差图法：残差点比较均匀地落在水平带状区域内说明选用的模型比较合适． (2)残差平方和法：残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好． (3)决定系数R2法：R2＝1－越接近1，表明模型的拟合效果越好． 跟踪训练3　已知某种商品的价格x(单位：元)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 求y关于x的经验回归方程，并借助残差平方和及R2说明回归模型拟合效果的好坏． 参考公式及数据：＝，＝－，＝1 660，iyi＝620. 1．知识清单： (1)残差的概念． (2)对模型刻画数据效果的分析：残差图法、残差平方和法和R2法． 2．方法归纳：数形结合、转化化归． 3．常见误区： 混淆残差图法、残差平方和法和R2法的概念，导致刻画回归效果出错． 1．在回归分析中，决定系数R2 的值越小，说明残差平方和(　　) A．越小 B．越大 C．可能大也可能小 D．以上都不对 2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得R2与残差平方和m如下表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性的同学是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．(多选)关于残差图的描述正确的是(　　) A．残差图的横坐标可以是样本编号 B．残差图的横坐标也可以是解释变量或响应变量 C．残差点分布的带状区域的宽度越窄，R2越小 D．残差点分布的带状区域的宽度越窄，残差平方和越小 4．下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x(单位：°C)的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的经验回归方程为＝x＋27，则相应于点(10,20)的残差为________． 气温x/°C 5 10 15 20 25 杯数y 26 20 16 14 14 参考答案与详细解析 例1　解　(1)三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，故共可排成 5×5×5＝125(个)不同的三位数字的密码． (2)三位数的百位不能为0，但可以有重复数字， 首先考虑百位的排法，除0外共有4种排法，十位、个位都可以排0，有5种排法， 因此，共可排成4×5×5＝100(个)不同的三位数． (3)能被2整除的数即偶数，个位数字可取0,2,4， 因此，可以分两类，一类是个位数字为0，则有4×3＝12(种)排法； 一类是个位数字不为0，则个位有2种排法，即2或4，再排百位，因0不能在百位，故有3种排法，十位有3种排法， 则有2×3×3＝18(种)排法． 故共有12＋18＝30(种)排法， 即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． 跟踪训练1　(1)B　[由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种“奇偶奇”的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位有2种情况，共12种；如果是第二种“偶奇奇”的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位不能是0，只有一种情况，共6种，因此总共有12＋6＝18(个)奇数．] (2)B　[0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)， ∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．] 例2　(1)C　[方法一　(直接法) 以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类： 第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况； 第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4＝16(种)； 第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4＝96(种)； 第四类，有一个班级去甲工厂，其他三个班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4＝256(种)． 综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(种)． 方法二　(间接法) 先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即5×5×5×5－4×4×4×4＝369(种)方案．] (2)2 解析　不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有了一种选择，所以不同取法共有2×1×1＝2(种)． 跟踪训练2　(1)C　[方法一　设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法． 方法二　让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法．] (2)B　[由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法．后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240(种)选派方案．] 例3　(1)B　[按A→B→C→D的涂色顺序分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；涂D部分时，有2种涂法． 由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有4×3×2×2＝48(种)．] (2)18 解析　方法一　(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法． 同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)． 方法二　(间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有24－6＝18(种)不同的种植方法． 跟踪训练3　(1)420 解析　按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类： 第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180(种)不同的染色方法． 第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240(种)不同的染色方法． 根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420(种)不同的染色方法． (2)72 解析　①当使用4种颜色时，先着色区域1，有4种方法，剩下3种颜色涂其他4个区域，即有1种颜色涂相对的2块区域，有3×2×2＝12(种)，由分步乘法计数原理得，共有4×12＝48(种)． ②当使用3种颜色时，从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色区域1，有3种方法，剩下2种颜色涂4个区域，只能是一种颜色涂第2,4区域，另一种颜色涂第3,5区域，有2种着色方法．由分步乘法计数原理得有4×3×2＝24(种)． 综上，共有48＋24＝72(种)． 随堂演练 1．B　[先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方法，故共有6×5＝30(种)不同的组队方法．] 2．D　[分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成三位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．] 3．C　[若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有3＋3＝6(种)不同的传法．] 4．72 解析　先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4×3×2×3＝72(种)． 学科网（北京）股份有限公司 $$