1.3.1 直角三角形的性质与判定课件--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月2日 1.3.1 直角三角形的性质与判定 第一章 三角形的证明及其应用 北师大版数学八年级下册1.3.1 直角三角形的性质与判定练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕直角三角形的性质（两锐角互余、斜边中线等于斜边一半等）和判定定理（有一个角是直角、两锐角互余、勾股定理逆用基础）设计，侧重知识点的理解、辨析及基础应用，结合三角形内角和定理，贴合本节课重难点，帮助巩固知识、规避常见错误，总字数控制在800字左右。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列条件中，不能判定三角形为直角三角形的是（ ） A. 有一个角是90°的三角形 B. 两个锐角互余的三角形 C. 三个角都相等的三角形 D. 一个角是60°，另一个角是30°的三角形 2. 直角三角形的核心性质之一是（ ） A. 两锐角互补 B. 两锐角互余 C. 斜边等于直角边的一半 D. 直角边相等 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则下列说法正确的是（ ） A. ∠B=60° B. AB=AC C. AC=BC D. 斜边AB最短 4. 直角三角形斜边中线的性质是（ ） A. 斜边中线等于斜边的一半 B. 斜边中线等于一条直角边的一半 C. 斜边中线垂直于斜边 D. 斜边中线平分直角 5. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则△ABC是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 直角三角形的判定：有一个角是________°的三角形是直角三角形；两个锐角________的三角形是直角三角形。 2. 直角三角形中，两锐角之和等于________°（互余）。 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=10cm，则斜边中线CD的长度为________cm。 4. 若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数为________°。 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则斜边AB与直角边BC的关系是________。 三、解答题（每题15分，共30分） 1. 运用直角三角形的性质与判定，完成下列计算与判定（写出完整步骤）。 （1）在△ABC中，∠A=50°，∠B=40°，判定△ABC是否为直角三角形，并说明理由； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=12cm，CD是斜边中线，求CD的长度及∠A+∠B的度数。 2. 辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合本节课知识点）。 （1）直角三角形的两锐角互补，所以它们的度数之和为180°； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=8cm，斜边中线CD=4×2=8cm。 四、拓展题（30分） 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的中线，∠A=30°，CD=3cm，求△ABC的三边长及三个内角的度数（要求写出完整步骤，结合直角三角形性质、斜边中线性质说明理由）。 参考答案提示 一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.B；二、1.90，互余 2.90 3.5 4.40 5.AB=2BC； 三、1.（1）是，∠A+∠B=90°，两锐角互余的三角形是直角三角形；（2）CD=6cm，∠A+∠B=90°；2.（1）不正确，直角三角形两锐角互余，和为90°，互补是和为180°；（2）不正确，斜边中线等于斜边一半，CD=8÷2=4cm； 四、解：Rt△ABC中，CD是斜边中线，故AB=2CD=6cm；∠A=30°，则BC=AB÷2=3cm；由勾股定理得AC=√(AB²-BC²)=3√3 cm；三个内角分别为∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。 1 会证明直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用性质进行计算和证明。 2 能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假，会识别两个互逆命题。 3 通过勾股定理及其逆定理的证明，体会同一个定理可以从不同角度，用不同方法加以证明。 学习目标 进行新课 探究1：直角三角形的两个锐角互余，为什么？ 根据三角形内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”。 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ A B C 如图，在△ABC中，∠A+∠C=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°， 又∠A+∠C=90°， ∴∠B=90°。 于是△ABC是直角三角形。 几何语言： 在Rt△ABC中， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90° 定理 直角三角形的两个锐角互余。 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A+∠B=90°， ∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形 直角三角形的性质 直角三角形的判定 探究2：你能说出勾股定理的内容并证明吗？ 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 即 c2 = a2 + b2 a b c 你能利用基本事实和已有定理，证明勾股定理吗？ D E F G H I A B C a b c 勾股定理的证明方法之一： 如图，在△ABC 中，∠C = 90°， BC = a，AC = b，AB = c。 分别以 Rt△ABC 的三边为边作正方形AHIB，ACDE，CBFG。 连接 EB，CH。过点 C 作 AB 的垂线，分别交 AB 和 HI 于点 M，N。 M N 正方形ACDE、长方形AHNM、长方形MNIB，以及△EAB和△CAH的面积分别记作S正方形ACDE，S长方形AHNM， S长方形MNIB，S△EAB，S△CAH。 D E F G H I A B C a b c ∵EA = CA， ∠EAB =∠CAH = 90°+∠CAB， AB = AH， ∴△EAB ≌△CAH（SAS）。 又∵S正方形 ACDE = 2S△EAB， S长方形AHNM = 2S△CAH， ∴b2 = S长方形AHNM。 同理 a2 = S长方形MNIB。 ∴ c2 = a2 + b2。 M N 练一练 如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为________。 (0，6) 尝试·交流 探究3：你能用基本事实和已有定理证明这个结论吗？ 勾股定理反过来，怎么叙述呢？ 在一个三角形中，当两条边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是直角三角形。 a b c A B C 已知：如图，在△ABC 中，AB2 + AC2 = BC2。 求证：△ABC 是直角三角形。 要证明△ABC是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角。这里的已知条件是边的关系，由此你能想到什么？ 借助边的关系，你能构造一个直角三角形，使它与△ABC全等吗？ 分析： 证明：如图，作 Rt△A'B'C'， 使∠A' = 90°，A'B' = AB，A'C' = AC， 则 A'B'2 + A'C'2 = B'C'2（勾股定理）。 ∵AB2 + AC2 = BC2， ∴BC2 = B'C'2。 ∴BC = B'C'。 ∴△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）。 ∴∠A =∠A' = 90° （全等三角形的对应角相等）。 因此，△ABC 是直角三角形。 A' B' C' 已知：如图，在△ABC 中，AB2 + AC2 = BC2。 求证：△ABC 是直角三角形。 A B C 定理 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 A B C 几何语言： 在△ABC中，∵AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90° 勾股定理逆定理： 练一练 如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，则△ABC的面积是______。 24 观察·交流 （1）观察下面的第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴进行交流。 直角三角形的两个锐角互余。 有两个角互余的三角形是直角三角形。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 两个定理的条件和结论互换了位置 （2）观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果a=b，那么a2=b2； 如果a2=b2，那么a=b。 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？ 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 条件 结论 结论 条件 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。 互逆命题 如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题。 原命题 逆命题 尝试·思考 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？ 逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等。 原命题是真命题，逆命题是假命题。 原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 直角三角形的两个锐角互余。 有两个角互余的三角形是直角三角形。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 互逆定理 互逆定理 你还能举出一些互逆定理的例子吗？ 归纳：定理与逆定理的关系 命题 定理 逆命题 逆定理 条件、结论互换 正确 正确 条件、结论互换后仍为真命题 1. 下列说法错误的是( ) B A. 任何命题都有逆命题 B. 任何定理都有逆定理 C. 命题的逆命题不一定是真命题 D. 定理的逆定理一定是真命题 中考考法 21 （第2题） 2. 如图，在中， , ，以点 为圆心，适当长为半 径画弧，交于点，交于点 ；再分 别以点,为圆心，大于 的长为半径 B A. B. C. D. 画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点 ； 画射线，与相交于点，则 的大小为( ) 中考考法 22 （第3题） 3. 如图是由两个直角三角形和 三个正方形组成的图形，其中 阴影部分的面积是( ) C A. 169 B. 144 C. 25 D. 16 中考考法 23 4. 在中，，，分别是，， 的对边，在下 列条件中，不能确定 的形状是直角三角形的是( ) A. B. C. D. A 中考考法 5.如图，在中，，，，是 边上的中线，则 的长度为____. （第5题） 中考考法 25 （第6题） 6.如图，在一条东西走向河流的一侧有 一村庄，河边原有两个取水点， ， 道路 因为施工需要封闭，该村为方便 村民取水，决定在河边新建一个取水点 （，， 在同一条直线上），并新 0.5 修一条道路，已知，， ， 新的取水点与原取水点相距，则新建后 比原 来（）少走____ . 中考考法 26 课堂小结 定理 直角三角形的两个锐角互余。 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 定理 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 原命题 逆命题 原命题 逆命题 互逆命题 互逆命题 $