1.3.1 直角三角形的性质与判定课件 2025 -2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质（两锐角互余、勾股定理）与判定（两角互余、勾股定理逆定理）及互逆命题，通过回顾旧知引出证明需求，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以“探索—发现—猜想—证明”为主线，通过定理证明培养推理意识，用表格结构化小结知识，结合分类讨论、面积计算等实例发展几何直观与应用意识。学生能提升逻辑思维，教师可借助清晰脉络高效教学。

1.3 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力. 2.探索并证明等腰三角形的判定定理，借助实例了解反证法的含义. 学习目标 回 顾 我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？ 角：①直角三角形的两个锐角互余. ②在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 边：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 判定(定义)：有一个角是90°的三角形为直角三角形. 性质 这节课我们一起来证明直角三角形的判定定理与性质定理. 新课引入 思 考1 为什么直角三角形的两个锐角互余？你会证明吗？ 已知：Rt△ABC 中，∠C＝90°. 求证：∠A＋∠B＝90°. 证明：在△ABC 中， ∠A ＋∠B ＋∠C ＝ 180°(三角形内角和定理)， 又∵∠C ＝ 90°， ∴∠A＋∠B＝180°－∠C ＝180°－90° ＝ 90°. ∟ A B C 新知学习 证明：在△ABC 中， ∠A ＋∠B ＋∠C ＝ 180°(三角形内角和定理)， ∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠C＝180°－(∠A＋∠B) ＝180°－90°＝ 90°. ∴△ABC 是直角三角形. 思 考2 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ A B C 已知：在△ABC 中，∠A＋∠B＝90°. 求证：△ABC 是直角三角形. 新知学习 定理①：直角三角形的两个锐角互余. 归纳总结 数学语言： 在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°. 定理②：有两个角互余的三角形是直角三角形. 数学语言： 在△ABC中，∠A＋∠B＝90°， ∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形 新知学习 例1 在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值为_____. 解析：分两种情况： ①当∠C是直角时，∠A＋∠B＝∠C＝90°， ∵∠A：∠B：∠C＝2：m：4， ∴∠A＝ ∠C＝45°， ∴∠B＝90°－∠A＝45°， ∴∠A＝∠B， 此时m＝2， ②当∠B是直角时，∠A＋∠C＝∠B， ∵∠A：∠B：∠C＝2：m：4，∴m＝2＋4＝6， 2或6 在直角三角形中，当题干没有明确直角顶点的位置，或两条边是否都是直角边时，需要分类讨论． 新知学习 回 顾 我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理. 实际上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理. 同学们还记得哪些证明勾股定理的方法呢？ 赵爽弦图证明法 “青朱出入图”证明法 古印度“无字证明”法 新知学习 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 归纳总结 数学语言： 在Rt△ABC中， ∵∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2. 注意：(1)“直角三角形”是应用勾股定理的前提，如果已知条件中没有说明直角三角形，必须先证明或构造直角三角形； (2)利用勾股定理求直角边或斜边时，最后都不要忘记开方． 新知学习 勾股定理反过来怎么描述？ 在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是直角三角形. 我们曾用度量的办法得出这个结论，你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗? 新知学习 已知：如图，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2 求证：△ABC是直角三角形. 分析：要证明△ABC是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角.这里的已知条件是边的关系，由此你能想到什么?借助边的关系，你能构造一个直角三角形，使它与△ABC全等吗? A B C 新知学习 已知：如图，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2 求证：△ABC是直角三角形. A B C 则 A′B′2＋A′C′2＝B′C′2 (勾股定理). ∵AB2＋AC2＝BC2， ∴BC2＝B′C′2. ∴BC＝B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′ (SSS). ∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等). 因此，△ABC是直角三角形. 证明：如图，作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′＝AC， A B C A′ B′ C′ ∟ 新知学习 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 归纳总结 数学语言： 在△ABC中， ∵AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°. 新知学习 例2 如图所示，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积． 解：如图，连接BD. ∵AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝90°， ∴BD＝5cm，S△ABD＝ ×3×4＝6cm2， 又∵BD＝5cm，BC＝13cm，CD＝12cm， ∴BD2＋CD2＝BC2，∴∠BDC＝90° ∴S△BDC＝ ×5×12＝30cm2， ∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝6＋30＝36cm2． 新知学习 利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的步骤： (1)“找”：找出三边边长； (2)“算”：计算两个较短边的平方和及最长边的平方； (3)“判”：若两者相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角． 方法总结 新知学习 观 察 下面这两组定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？ 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余. 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件． 新知学习 探 究 再观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 如果a＝b，那么a²＝b²； 如果a²＝b²，那么a＝b. 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？ 新知学习 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题；如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题. 互逆命题和逆命题： 归纳总结 新知学习 尝试·思考 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： (1)四边形是多边形； ( ) (2)两直线平行，同旁内角互补； ( ) (3)如果a＝b，那么a2＝b2. ( ) 逆命题：多边形是四边形. ( ) 逆命题：同旁内角互补，两直线平行. ( ) 逆命题：如果a2＝b2，那么a＝b. ( ) √ × √ √ × √ 你发现了什么？ 新知学习 归纳总结 原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理． 你还能举出一些互逆定理的例子吗？ 新知学习 例4 写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． (1) 同位角相等，两直线平行； (2) 全等三角形的对应角相等； (3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等. 解： (1) 逆命题：如果两直线平行，那么同位角相等； 由于原命题及逆命题均为真命题，因此原命题和逆命题是互逆定理； (2) 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等．由于逆命题为假命题，因此原命题和逆命题不是互逆定理． 新知学习 例4 写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． (1) 同位角相等，两直线平行； (2) 全等三角形的对应角相等； (3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等. (3)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 由于逆命题为假命题，因此原命题和逆命题不是互逆定理． 注意：①逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题. ②不是所有的定理都有逆定理. 新知学习 1.下列说法中，正确的是( ) A．每个命题都有逆命题 B．假命题的逆命题一定是假命题 C．每个定理都有逆定理 D．真命题的逆命题一定是真命题 A 2.若直角三角形的两直角边长分别为m，n，且满足(m－4)2＋|n－3|＝0，则该直角三角形的第三边长为( ) A．5 B．4 C．3 D． A 随堂练习 3.在下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A:∠B:∠C＝1:2:3；③∠A＝ ∠B＝2∠C；④∠A＝ ∠B＝ ∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 C 4.沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示)，则长方形的对角线 长为_______ . 随堂练习 5.先判断下列命题的真假，再写出它的逆命题，最后指出其中的互逆定理. (1)直角都相等； (2)如果a＞b，那么am2＞bm2. 解： (1) 逆命题：如果两个角相等，那么它们都是直角； 由于逆命题为假命题，因此原命题和逆命题不是互逆定理； (2) 逆命题：如果am2＞bm2，那么a＞b． 由于逆命题为真命题，因此原命题和逆命题是互逆定理． 随堂练习 6.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝50°，CD是△ABC的角平分线，点F为BC边上一点，当△CDF为直角三角形时，求∠BDF的度数． 解：∵∠BAC＝90°，∠B＝50°， ∴∠ACB＝90°－50°＝40°， ∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝ ∠ACB＝20° 当△CDF为直角三角形时，有以下两种情况： ①如图，当∠CFD＝90°时， ∵∠B＝50°，∴∠BDF＝90°－50°＝40°； ∟ C A B D F ∟ 随堂练习 6.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝50°，CD是△ABC的角平分线，点F为BC边上一点，当△CDF为直角三角形时，求∠BDF的度数． ②如图，当∠CDF＝90°时， ∴∠CFD＝90°－20°＝70°， ∴∠BFD＝180°－∠CFD＝110°， ∴∠BDF＝180°－∠B－∠BFD＝20°， 综上所述，∠BDF的度数为20°或40°. ∟ F ∟ C A B D 随堂练习   内容 几何语言 图示 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余(性质定理) 在Rt△ABC中， ∵∠B＝90°，∴∠A＋∠C＝90°. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理) 在Rt△ABC中， ∵∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2. 课堂小结   内容 几何语言 图示 直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形(判定定理) 在△ABC中，∵∠A＋∠C＝90°，∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形. 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 (勾股定理的逆定理) 在△ABC中，∵AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， 且∠B＝90°. 课堂小结 逆命题与逆定理： 逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题；如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题. 逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理． 课堂小结 $