1.2.3 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月2日 1.2.3 等边三角形的判定与含30 °角的 直角三角形的性质 第一章 三角形的证明及其应用 北师大版数学八年级下册1.2.3 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质两大核心知识点设计，侧重两个知识点的理解、辨析及基础应用，结合等腰三角形性质、三角形内角和定理，贴合本节课重难点，帮助巩固知识、规避常见错误，总字数控制在800字左右。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列条件中，不能判定三角形为等边三角形的是（ ） A. 三条边都相等的三角形 B. 三个角都相等的三角形 C. 有一个角是60°的等腰三角形 D. 有两个角是60°的直角三角形 2. 含30°角的直角三角形的核心性质是（ ） A. 30°角所对的直角边等于斜边的一半 B. 30°角所对的直角边等于另一条直角边的一半 C. 斜边等于30°角所对直角边的一半 D. 两条直角边相等 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2cm，则斜边AB的长度为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 4. 下列关于等边三角形的说法，正确的是（ ） A. 等边三角形是特殊的等腰三角形 B. 等边三角形的每个内角都是45° C. 等边三角形的高与边长相等 D. 等边三角形只有一条对称轴 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=8cm，若一条直角边等于4cm，则这条直角边所对的角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 等边三角形的判定：三条边相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是________°的等腰三角形是等边三角形。 2. 含30°角的直角三角形中，30°角所对的________等于斜边的一半。 3. 等边三角形的每个内角都等于________°，它有________条对称轴。 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，则BC的长度为________cm（结果保留根号）。 5. 若一个等腰三角形的顶角为60°，则这个三角形是________三角形。 三、解答题（每题15分，共30分） 1. 运用相关知识点，完成下列计算与判定（写出完整步骤）。 （1）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，判定△ABC是否为等边三角形，并说明理由； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=10cm，求直角边BC和AC的长度。 2. 辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合本节课知识点）。 （1）有一个角是60°的三角形是等边三角形； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6cm，则BC=6×2=12cm。 四、拓展题（30分） 已知在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，连接DE，求证：DE=AE（要求写出完整步骤，结合等边三角形性质、含30°角的直角三角形的性质及相关知识点说明理由）。 参考答案提示 一、1.D 2.A 3.C 4.A 5.A；二、1.60 2.直角边 3.60，3 4.3√3 5.等边； 三、1.（1）是，等腰三角形中一个角为60°，则三个角均为60°，故为等边三角形；（2）BC=5cm，AC=5√3 cm；2.（1）不正确，缺少“等腰”条件，有一个角是60°的等腰三角形才是等边三角形；（2）不正确，应利用30°角性质，BC=AB÷2=3cm； 四、证明：等边△ABC中，AD⊥BC，故∠ADC=90°，∠C=60°，则∠CAD=30°；E是AC中点，Rt△ADC中，DE=AC÷2（直角三角形斜边中线等于斜边一半），又AE=AC÷2，故DE=AE。 1 探索等边三角形的判定条件并证明。 2 探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程。 3 运用所学知识进行相关的证明和计算 学习目标 进行新课 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？ 请证明自己的结论，并与同伴进行交流。 知识点1 等边三角形的判定 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形。 A B C 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠A=∠B=∠C， ∴∠A=∠B=∠C=60°。 ∵∠B =∠A = 60° ， ∴AC = BC（等角对等边）。 ∵∠B =∠C = 60°， ∴AC = AB ， ∴AC = AB = BC ， ∴△ABC 是等边三角形。 （2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 A B C 证明： ①若 AB =AC，∠A =60°， 则∠B = ∠C = (180°– ∠A)÷2=60°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°， ∴AB=AC=BC， ∴△ABC 是等边三角形。 60° （2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 A B C 60° 证明： ②若AB＝AC，∠B= 60°， ∴∠C=∠B=60°。 则∠A = 180°– ∠B –∠C = 60°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°， ∴AB=AC=BC， ∴△ABC 是等边三角形。 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 几何语言： 在△ABC中， ∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°) ∴△ABC是等边三角形 等边三角形的判定 证明等边三角形的思路： 三角形 等边 三角形 等腰三角形 有一个角等于60° 等腰三角形的判定 思路1：三边相等 思路2：三角相等 练一练 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE // DA。若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是_________________________。 ∠BCE=60° (或∠BEC=∠BCE等，答案不唯一) 尝试·思考 知识点2 含30°角的直角三角形的性质 （1）用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？ （2）在上述拼接过程中，你发现了什么结论？ 发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半。 如何证明这个结论？ A B C 发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半。 已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。 求证：BC = AB。 D A B C 证明：如图，延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD。 ∵∠ACB = 90°， ∴∠ACD = 90°。 ∵AC = AC， ∴△ABC ≌ △ADC（SAS）。 ∴AB = AD(全等三角形的对应边相等)。 已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。 求证：BC = AB。 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理)。 ∵∠BAC = 30°，∠ACB=90°， ∴∠B= 180°－30°－90°=60°。 已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。 求证：BC = AB。 ∴△ABD 是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)。 ∴BC = BD = AB。 D A B C 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言： A B C 30° 含30°角的直角三角形的性质： 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵∠A=30°， ∴BC= AB 例3 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半。 B A D C 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°，CD 是腰 AB 上的高。 求证：CD = AB。 B A D C 证明：在△ABC 中， ∵AB = AC，∠B = 15°， ∴∠ACB =∠B = 15°(等边对等角)。 ∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)。 ∵CD 是腰 AB 上的高， ∴∠ADC = 90°。 ∴CD = AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)。 ∴CD= AB。 1. 若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为 ，则这 个三角形一定是( ) C A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 中考考法 17 （第2题） 2. 如图，嘉琪想测量一座古塔 的高度，在 处测得 ，再往前行进 到达 处，测得 ，点，， 在 B A. B. C. D. 同一条直线上，根据测得的数据，可得这座古塔 的高度为 ( ) 中考考法 18 （第3题） 3. 如图，已知 ， 点在边上，，点，在边 上，.若，则 的长是 ( ) B A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 中考考法 19 4.如图，等边三角形纸片的边长为6，，是边 上的 三等分点.分别过点，沿着平行于， 方向各剪一刀， 则剪下的 的周长是___. 6 （第4题） 中考考法 20 5.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置， 已知 ，点，表示的刻度分别为， ，则 线段的长为___ . 2 （第5题） 中考考法 21 课堂小结 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 等边三角形的判定： 含30°角的直角三角形的性质： 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 A B C 30° A B C $