1.2.3 等边三角形的判定与含30 °角的直角三角形的性质课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦等边三角形的判定与含30°角直角三角形的性质，通过“三角形满足什么条件是等边三角形”等问题驱动，引导学生从等腰三角形复习入手，经拼接三角尺等活动探索新知，构建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于融入中考考点与教材变式题，通过分情况证明判定定理培养推理能力，用几何语言规范表达发展数学语言，如拼接三角尺发现30°角对边性质。学生提升逻辑推理与应用能力，教师可高效利用丰富例题与练习资源。

北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 1.2.3 等边三角形的判定与含30 °角的直角三角形的性质 第一章 三角形的证明及其应用 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1 学习目标 1. 探索等边三角形的判定条件并证明，运用所学知识进行相关的证明和计算。 2.探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程。 2 进行新课 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？ 请证明自己的结论，并与同伴进行交流。 知识点1 等边三角形的判定 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形。 A B C 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠A=∠B=∠C， ∴∠A=∠B=∠C=60°。 ∵∠B =∠A = 60° ， ∴AC = BC（等角对等边）。 ∵∠B =∠C = 60°， ∴AC = AB ， ∴AC = AB = BC ， ∴△ABC 是等边三角形。 （2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 A B C 证明： ①若 AB =AC，∠A =60°， 则∠B = ∠C = (180°– ∠A)÷2=60°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°， ∴AB=AC=BC， ∴△ABC 是等边三角形。 60° （2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 A B C 60° 证明： ②若AB＝AC，∠B= 60°， ∴∠C=∠B=60°。 则∠A = 180°– ∠B –∠C = 60°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°， ∴AB=AC=BC， ∴△ABC 是等边三角形。 1．根据下列条件，不能判定△ABC是等边三角形的是(　　) A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，且∠B＝∠C C．∠A＝∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝60° B 返回 中考考法 7 2．在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的长为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C 返回 中考考法 8 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 几何语言： 在△ABC中， ∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°) ∴△ABC是等边三角形 等边三角形的判定 证明等边三角形的思路： 三角形 等边 三角形 等腰三角形 有一个角等于60° 等腰三角形的判定 思路1：三边相等 思路2：三角相等 练一练 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE // DA。若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是_________________________。 ∠BCE=60° (或∠BEC=∠BCE等，答案不唯一) 3．将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为________。 2 cm 返回 中考考法 12 4．[延安期中]如图，一艘轮船从A地出发，向南偏西40°的方向行驶100 n mile到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100 n mile到达C地，则A，C两地相距__________。 100 n mile 返回 中考考法 13 尝试·思考 知识点2 含30°角的直角三角形的性质 （1）用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？ （2）在上述拼接过程中，你发现了什么结论？ 发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半。 如何证明这个结论？ A B C 发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半。 已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。 求证：BC = AB。 D A B C 证明：如图，延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD。 ∵∠ACB = 90°， ∴∠ACD = 90°。 ∵AC = AC， ∴△ABC ≌ △ADC（SAS）。 ∴AB = AD(全等三角形的对应边相等)。 已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。 求证：BC = AB。 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理)。 ∵∠BAC = 30°，∠ACB=90°， ∴∠B= 180°－30°－90°=60°。 已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。 求证：BC = AB。 ∴△ABD 是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)。 ∴BC = BD = AB。 D A B C 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言： A B C 30° 含30°角的直角三角形的性质： 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵∠A=30°， ∴BC= AB 5．(4分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，CE∥DA，∠ECB＝60°，求证：△BCE是等边三角形。 证明：∵CE∥DA，∴∠A＝∠BEC。 又∵∠A＝∠B，∴∠B＝∠BEC。 ∵∠ECB＝60°，∴∠B＝∠BEC＝60°， ∴△BCE是等边三角形。 返回 中考考法 19 6．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，则AC的长为(　　) A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 C 返回 中考考法 20 例3 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半。 B A D C 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°，CD 是腰 AB 上的高。 求证：CD = AB。 B A D C 证明：在△ABC 中， ∵AB = AC，∠B = 15°， ∴∠ACB =∠B = 15°(等边对等角)。 ∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)。 ∵CD 是腰 AB 上的高， ∴∠ADC = 90°。 ∴CD = AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)。 ∴CD= AB。 D 返回 中考考法 23 8．[教材P16“随堂练习”第2题变式]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AB的长等于(　　) A．5 B．6 C．8 D．12 C 返回 中考考法 24 D 返回 中考考法 25 10．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D。求证：CD＝2AD。 证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°。 ∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°， ∴在Rt△ACD中，CD＝2AD。 返回 中考考法 26 11．如图，直线AB∥CD，EG＝FG，∠1＝100°，∠2＝20°，则△EFG的形状为(　　) A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 C 返回 中考考法 27 B 返回 中考考法 28 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8。若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为________。 6或12 返回 中考考法 29 14．(8分)[永州期中]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE，CE交AD于点F，且AF＝DF。 中考考法 30 (1)求证：AE＝DC； 证明：∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD。 ∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D。 又∵AF＝DF，∠AFE＝∠DFC， ∴△AFE≌△DFC，∴AE＝DC。 中考考法 31 (2)若∠E＝60°，CE平分∠BCD，请判断△BCE的形状，并说明理由。 解：△BCE是等边三角形。理由如下：由(1)知∠EAD＝∠D， ∴BE∥CD。∴∠ECD＝∠E＝60°。 ∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD＝60°， ∴∠BCE＝∠E＝60°，∴∠B＝180°－∠BCE－∠E＝60°， 即∠BCE＝∠E＝∠B，∴△BCE是等边三角形。 返回 中考考法 32 课堂小结 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 等边三角形的判定： 含30°角的直角三角形的性质： 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 A B C 30° A B C 7．如图是某商场一楼与二楼之间的电梯示意图。∠ABC＝150°，BC的长是10 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　　) A．7.5 m B．5 m C．10 m D．5 m 9．[教材P15“例3”变式]如图，小亮设计了一面彩旗，其中 ∠DCB＝90°，∠D＝15°，BA交CD于点A，AD＝AB＝8 cm，则AC的长为(　　) A．4 cm B．8 cm C．8 cm D．4 cm 12．[安徽中考]如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D为AC的中点，ED⊥AC交BC于点E，若DE＝，则AC的长是(　　) A．4 B．6 C．2 D．3 $