专题4.9 平行四边形常考几何模型专训（7大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 聚焦平行四边形7大核心题型，通过15道拓展题系统构建从多边形基础到中位线综合应用的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多边形内角和与外角和|1典例+3拓展|内外角性质综合计算|从多边形定义到内外角和公式推导| |平行四边形性质|1典例+3拓展|动态几何与面积计算|性质定理直接应用与变式| |旋转性质|1典例+3拓展|旋转背景下线段关系证明|旋转不变性与全等转化| |旋转坐标|1典例+3拓展|坐标变换与几何结合|数形结合思想应用| |平行四边形判定|1典例+3拓展|判定定理的多情境应用|定义与判定定理的逻辑递进| |判定与性质综合|1典例+3拓展|复杂图形中的性质判定综合|性质与判定的双向推理| |三角形中位线|1典例+3拓展|中位线与平行四边形结合|中位线定理的迁移应用|

专题4.5 平行四边形常考几何模型专训（7大题型+15道拓展培优题） 题型一 多边形内角和与外角和综合应用 题型二 利用平行四边形的性质求解及证明 题型三 旋转的性质及辨析 题型四 求绕原点旋转的点的坐标 题型五 证明四边形是平行四边形 题型六 利用平行四边形的判定与性质求解及证明 题型七 三角形中位线的综合应用 【经典例题一 多边形内角和与外角和综合应用】 【例1】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知在四边形中，． （1）如图1，若，则________． （2）如图2，若、分别平分、，判断与位置关系并证明理由． （3）如图3，若、分别五等分、（即，），则_______． 【答案】（1）70°；（2）DE∥BF，证明见解析；（3）54° 【分析】（1）根据四边形内角和计算即可； （2）根据平角的定义和等量代换可得∠MBC+∠CDN=180°，再根据角平分线的定义得到∠CBF+∠CDE=90°，从而推出∠EDB+∠FBD=180°，可得结论； （3）根据五等分得到∠CDP+∠CBP=36°，连接PC并延长，证明∠DCB=∠DPB+∠CBP+∠CDP，即可计算． 【详解】解：（1）∵∠A=∠C=90°，∠ABC=70°， ∴∠ADC=360°-90°-90°-70°=110°， ∴∠NDC=180°-110°=70°； （2）DE∥BF，如图，连接BD， ∵∠ABC+∠ADC=180°， 且∠MBC+∠ABC=180°，∠CDN+∠ADC=180°， ∴∠MBC+∠CDN=180°， ∵∠CBF=∠MBC，∠CDE=∠CDN， ∴∠CBF+∠CDE=90°， ∵∠C=90°， ∴∠CBD+∠CDB=90°， ∴∠EDB+∠FBD=∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB=180°， ∴DE∥BF； （3）∵∠MBC+∠CDN=180°， ∴∠CDP+∠CBP=（∠MBC+∠CDN）=36°， 连接PC并延长， ∵∠DCE=∠CDP+∠CPD，∠BCE=∠CPB+∠CBP， ∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=∠DPB+∠CBP+∠CDP， ∴∠DPB=90°-36°=54°． 【点睛】本题考查多边形内角和与外角，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 2．（2023八年级下·河北·专题练习）（1）填表： n（凸多边形的边数） 3 4 5 … m（凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值） 　　 　　 　　 　…　 （2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？ （3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由． 【答案】（1）1，2，3；（2）m＝n﹣2；（3）不成立，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°，理由见解析 【分析】（1）根据三角形、四边形、五边形的内角和，可求得答案； （2）根据（1）可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2； （3）设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，由凸n边形的n个外角和为360°，分类讨论，可确定凸n边形中最多有多少个内角等于135°． 【详解】解：（1）∵三角形中只有一个钝角， ∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1； ∵四边形的内角和为360°， ∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2； ∵五边形的内角和为540°， ∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3； 答案：1，2，3； （2）由（1）得：凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2． 即m＝n﹣2； （3）取n＝7时，m＝6，验证猜想不成立； 设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°， ∵凸n边形的n个外角和为360°， ∴k≤＝8，只有当n＝8时，m才有最大值8， 讨论n≠8时的情况： （1）当时n＞8，m的值是7； （2）当n＝3，4，5时，m的值分别为1，2，3； （3）当n＝6，7时，m的值分别为5，6； 综上所述，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度较大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·月考）请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 【答案】(1) (2)甲的边数为3，乙的边数为9 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形外角和定理，一元一次方程的几何应用： （1）根据多边形的外角和均为360度进行求解即可； （2）设甲的边数为n，则乙的边数为，根据n边形的内角和为结合题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵多边形外角和都为360度， ∴甲与乙的外角和相加的度数为； （2）解：设甲的边数为n，则乙的边数为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴甲的边数为3，乙的边数为9． 【经典例题二 利用平行四边形的性质求解及证明】 【例2】（25-26八年级下·山东济南·月考）如图，在梯形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度在线段间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．          (1)当______时，四边形的面积为； (2)若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值． 【答案】(1)2 (2)2或6 【分析】（1）用t表示出，，再根据梯形面积求解即可； （2）分点P未到达点C时，点P到达点C返回时两种情况，用t表示出、，然后根据平行四边形对边相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且点Q的速度为，点P的速度为， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为， 解得， ∴当时，四边形的面积为； （2）解：∵点Q的速度为，到达点D时，两点同时停止运动． ∴， 当点P未到达点C时，则， 若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 则有，则， 解得，满足； 当点P到达点C返回时，则， ∴，， 若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 则有，则， 解得，满足； 综上，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，t的值为2或6． 1．（2026·八年级下 四川南充）如图，的边恰是等腰直角三角形的斜边，的延长线与交于，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先利用平行四边形和等腰直角三角形的性质得到对应边相等、角相等，再结合垂直条件和同角的余角相等，用证明，最后由全等性质及平行四边形对边相等，证得． 【详解】证明∵ 四边形是平行四边形， ∴，且，即， ∴， ∵是等腰直角三角形，为斜边， ∴，， ∵， ∴，可得， 在中，， 又∵， ∴ ， 在和中： ， ∴， ∴， ∵ ∴． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图平行四边形，对角线，交于点，的平分线交延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，连接; ①若，求平行四边形的面积； ②设，试求与满足的关系． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）由平行四边形的性质、角平分线及等边三角形的判定即可证明； （2）①由，得为等边三角形．由得点C是的中点，即；再由勾股定理求得，即可求得平行四边形的面积； ②证为等边三角形，再证明，则有，从而得，由此即可求得m与k的关系． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴． ∴． ∴． （2）解：①∵， ∴为等边三角形． ∵， ∴， ∴． 在中，， 由勾股定理得：，即， ∴． ∴平行四边形的面积为． ②∵为等边三角形，， ∴， ∴为等边三角形． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些知识是关键． 3．（25-26八年级下·重庆开州·期中）在平行四边形中，． (1)如图1，若，，求四边形的面积； (2)如图2，若，点为边上一点，连接．点为上一点，连接交于点，连接，若点为边的中点，连接，且．求证：； (3)如图3，已知，，点P与点Q分别为线段与上的动点，满足，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，先求出的长，再求出的长即可； （2）延长，交于点，先得出，再证出，则，进而可得，然后求出，，据此即可得证； （3）过点作，且使得，连接，先证出，则，可得，进而可得当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，再求出的长，的值，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴平行四边形的面积为． （2）证明：如图，延长，交于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵点为边的中点， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作，且使得，连接， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长， 又∵，，，， ∴，， ∴在中，， ∴在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形． 【经典例题三 旋转的性质及辨析】 【例4】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法．下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务，问题情境：已知，是过点A的直线，于点B． 问题探究： (1)如图（1），求证；（提示：过点C作于点C，与交于点E） (2)当绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，，，满足什么样关系式，请直接写出你的猜想； (3)在绕点A旋转过程中，当，时，则___________，___________． 【答案】(1)见解析； (2)图（2）：；图（3）：； (3)，或． 【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定的应用、等腰直角三角形的判定与性质等，添加恰当的辅助线证明三角形全等是解题的关键； （1）过点C作于点C，与交于点E，证，则为等腰直角三角形得，根据，即可得出结论； （2）过点C作于点C，与交于点E，证明，则为等腰直角三角形，据此即可得到，根据即可证得; （3）分两种情况，证明是等腰直角三角形，求得的长，在直角中，利用直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得答案， 【详解】（1）如图，过点C作于点C，与交于点E， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ，， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：如图（2）：．理由如下： 过点C作于点C，与交于点E， ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 又∵， ∴， ∴． 如图（3）：． 理由如下： 过点C作于点C，与交于点E， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 又∵， ∴， ∴； （3）在绕点A旋转的过程中，，有两种情况： 第一种情况： 如图①的位置，， 过点D作于点H．   ∵，，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∵， ∴， ∴等腰直角三角形． ∵，， ∴． ∵，， ∴，． ∴； 第二种情况：如图②的位置，， 过点C作交于点E，过点D作交延长线于点H，与相交于点O， ∵，，， ∴，，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形． ∵，，， ∴． ∵，，， ∴，， ∴． 综上所述：的长为2，的长为或． 1．（23-24八年级下·广东汕头·期中）综合探究： (1)问题背景：如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．       请直接写出四边形 ABCD的面积； (2)类比迁移：如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积； (3)拓展延伸：如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． 【答案】(1)25 (2) (3) 【分析】（1）根据四边形的面积等于正方形的面积计算即可； （2）如图乙中，延长至，取，连接．只要证明，即可推出四边形的面积等于的面积； （3）如图丙中，延长至，连接、、．只要证明五边形的面积等于四边形的面积即可． 【详解】（1）由题可知． 故答案为25． （2）如图，延长至，取，连接．   等边中，，， ， 四边形中，， ， 又，， ， ，． ， ， 为等边三角形且， ． （3）如图，延长至，连接、、．   ，，， ， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题。 2．（24-25八年级下·重庆）如图1，已知直线，点E在直线，之间，点F在直线上方，点G，H分别在直线，上，连接．其中，线段是线段的反向延长线． (1)若于点H，，分别是，的角平分线．其中，请求出的度数； (2)如图2，若，，请求出的度数并探究其中的数量关系； (3)已知，，，是的平分线．若点G，H固定不动，绕点E以的速度顺时针旋转．设运动时间为，当时，任意一条边与平行，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)； (2)，．理由见解析； (3)33秒或15秒或6秒． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，则可求，根据三角形内角和定理求出，然后结合求解即可； （2）根据平行线的性质求出，根据三角形外角的性质求出，即可求解； （3）根据平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等求出，然后分三种情况讨论：；；， 根据平行线的性质，旋转的性质求解即可． 【详解】（1）解∶∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 理由：如图： ∵，， ∴， 又， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线． ∴， ∴， 当时，如图： ∴， ∴， ∴秒． 当时，如图： ∴， 由旋转， ∴秒． 当时，如图： ∴． ∵， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴秒． 综上所述，秒或15秒或6秒． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，旋转的性质等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． (1)若，，求的度数； (2)如图②，绕点H逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； (3)在（1）的条件下，将三角尺绕E点以每秒的速度按逆时针方向，设旋转时间为．请直接写出当与的一边平行时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或40或10 【分析】（1）求出，再利用平行线的性质求解即可； （2）如图②中，设，利用平行线的性质用表示出，可得结论； （3）根据（1）可得，，，进而分类讨论，根据平行线的性质，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图①中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：结论：． 理由：如图②中，设． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）可得，，， ∴，， 过点F作直线，则， ∴， ∴， ∴， ∵将三角尺绕E点以每秒的速度按逆时针方向， ∴，， ①当时，延长交于点P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或或（舍去）； ②当时， 同理或， 解得或（舍去）或（舍去）； ③当时， 同理或， 解得或（舍去）或（舍去）； 综上，t的值为或40或10． 【经典例题四 求绕原点旋转的点的坐标】 【例5】（2026·八年级下 安徽阜阳）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点），已知点A和点B的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出点B关于原点对称的点，并写出点的坐标． (2)在所给的网格图中画出绕点O顺时针旋转后的． 【答案】(1)见详解； (2)见详解 【详解】（1）解：如图，点即为所求，． （2）解：如图，即为所求． 1．（25-26八年级下·天津津南·月考）在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点恰在轴上． (1)如图1，当时，求点的坐标和的长； (2)如图2，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）过点作轴于，根据旋转的性质得到，，推出是等腰直角三角形，得到，，，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论； （2）由（1）知，，先根据点，求得，再根据旋转的性质得到，，求得，于是得到． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于， 由旋转的性质得：，， 是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ． 又， ． ∴． （2）解：由（1）知，，， ， ∴点． ． 由旋转的性质得：，， ． ， ∴． 2．（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图：在平面直角坐标系中，已知点，点是轴的正半轴上一点，横坐标为，联结，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点．    (1)在图中描出点和点（不写结论） (2)点的坐标为______（用含的代数式表示），四边形的面积为______； (3)联结． i）______； ii）说明点和点到线段的距离之和等于线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，16 (3)i）45；ii）见解析 【分析】（1）先描出点，再描出点，根据旋转的性质，即可得到点； （2）过点作轴于点，过点作的延长线于点，利用证明，可得，进而求得，可得点的坐标，利用四边形的面积等于长方形的面积减去两个三角形的面积求解即可； （3）i）根据等腰直角三角形的性质可得到答案；ii）过点作于点，过点作于点，由i)可知，根据等腰直角三角形的性质可得，再利用证明，可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：点和点如图所示， （2）解：如图，过点作轴于点，过点作的延长线于点，   ， 由旋转的性质可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由图可知， ， 故答案为：，16． （3）解：i）， ， 故答案为：； Ii）如图，过点作于点，过点作于点，   ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 线段绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ， 即点和点到线段的距离之和等于线段的长． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平面直角坐标系，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，求不规则四边形的面积，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 3．（24-25八年级下·天津红桥·期末）在平面直角坐标系中，点，点，点．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点的对应点分别为．记旋转角为． (1)如图①，当点C落在上时，求点D的坐标； (2)如图②，当时，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，过点D作DE⊥OA于点E．解直角三角形求出OE，DE，可得结论； （2）如图②，过点C作CT⊥OA于点T，解直角三角形求出OT，CT可得结论； （3）如图②中，过点D作DJ⊥OA于点J，在DJ上取一点K，使得DK=OK，设OJ=m．利用勾股定理构建方程求出m，可得结论． 【详解】（1）如图，过点作，垂足为． ∵ ，， ∴ ，，． ∵ ， ∴ ． 在中，由， 得．解得． ∴ ，． ∵ 是由旋转得到的， ∴ ，． ∴ ． ∴ ．∴ ． 在中，． ∴ 点的坐标为． （2）如图，过点作，垂足为． 由已知，得． ∴ ． ∴ ． ∵ 是由旋转得到的， ∴ ． 在中，由，得． ∴ 点的坐标为． （3）如图②中，过点D作DJ⊥OA于点J，在DJ上取一点K，使得DK=OK，设OJ=m． ∵∠DOC=30°，∠COT=45°， ∴∠DOJ=75°， ∴∠ODJ=90°-75°=15°， ∵KD=KO， ∴∠KDO=∠KOD=15°， ∴∠OKJ=∠KDO+∠KOD=30°， ∴OK=DK=2m，KJ=m， ∵OD2=OJ2+DJ2， ∴22=m2+（2m+m）2， 解得m=（负根已经舍弃）， ∴OJ=，DJ=， ∴D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 【经典例题五 证明四边形是平行四边形】 【例6】（25-26八年级下·四川泸州·期中）如图，，，，四点在同一条直线上，，线段与线段平行，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】证明，得到，，利用等角的补角相等，继而得到平行线，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴； ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 1．（2023八年级下·江苏无锡）如图，以的三边为边作等边三角形． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)设的中点为，延长交于点，延长交于点，连接，若，①试探究线段与的数量关系；②请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，，分别得出：，，从而由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”得证结论； （2）①由已知等边三角形、得出， 从而由“等腰三角形‘三线合一’”得出，；连接，相交于点交于点交于点，则是的中位线，是的中位线，得到四边形是平行四边形、；由已知和（1）可证明，得到，，从而得出；②由①知：、，通过等量代换、三角形内角和定理可得：． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①线段与的数量关系是，理由如下： 设的中点为，延长交于点，延长交于点，连接、， ∵，为的中点， ∴， ，， ∵， ，， ， 如图，连接，相交于点交于点交于点， 则是的中位线，是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， 由（1）知：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②由①知：，， ， ， ， 的度数为． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，正确理解上述知识点是解题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等可得到，由中点的性质得到，接着通过判定，由全等三角形的性质得到，最后通过对角线互相平分的四边形为平行四边形可证四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得，根据，结合等高的三角形的面积比等于底之比得到，由此可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ． ，的边上的高与的边上的高相等， ， ， ． 3．（24-25八年级下·河南焦作·期末）某数学兴趣小组发现平行四边形（邻边不相等）的对角平分线互相平行． 合作探究：同学们讨论时，甲同学提出一组对角平分线互相平行的四边形是平行四边形；乙同学说“不对，应该是一组对角相等，且这一组对角的平分线互相平行的四边形是平行四边形”． （1）哪位同学的意见正确？________．（填写序号：①甲正确②乙正确③都不正确） （2）如果你认为哪位同学的意见正确，请就下面的图形写出已知条件并给予证明；如果认为两个人的说法都不正确，请说明理由． 已知：如图，四边形中，________，． 求证：四边形是平行四边形． 拓展探究：同学们改变条件，继续研究，请帮助同学们计算下面的问题： （3）一组对角互补，且这一组对角的平分线互相平行的四边形相邻三边的长依次是、2、，这个四边形的面积是___________． 【答案】（1）②；（2）分别是，的平分线，且；证明见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，注意进行分类讨论． （1）举反例说明甲的说法不正确即可；根据解析（2）证明乙的说法正确即可； （2）根据平行线的判定和性质证明，，即可证明四边形为平行四边形； （3）分两种情况：四边形中，，、分别平分、，且，，，；四边形中，，、分别平分、，且，，，，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）一组对角平分线互相平行的四边形是平行四边形说法不正确，如图所示： 四边形中，分别是，的平分线，且，但四边形不是平行四边形，故甲同学说法不正确； “一组对角相等，且这一组对角的平分线互相平行的四边形是平行四边形”，因此乙同学说法正确；理由见解析（2）； （2）已知：如图，四边形中，分别是，的平分线，且，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）如图，四边形中，，、分别平分、，且，，，，连接， ∵、分别平分、， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴， 如图，连接， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得： ， ∴ ； 如图，四边形中，，、分别平分、，且，，，，连接， 同理可得：， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得： ， ∴ ； 综上分析可知：四边形的面积为：或． 【经典例题六 利用平行四边形的判定与性质求解及证明】 【例7】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， (1)探究与的数量关系，并说明理由． (2)设，求S关于t的关系式； (3)Q在内部，当时，求t的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，设点P到的距离为，利用三角形面积公式和平行四边形面积公式求出和，进而探究二者的数量关系即可； （2）过点D作于点E，根据勾股定理求出长，利用“等面积法”求出长，进而求出，由（1）知，，据此解答即可； （3）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，利用求出，进而求出长，利用，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，垂直于D， ， 设点P到的距离为， 、， ； （2）解：如图，过点D作于点E， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 由（1）知，， ； （3）解：设交于点M， 四边形是平行四边形， 、， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 在内部， ， ， 整理得：， 解得． 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，，平分，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，于是得到答案； （2）取的中点E，连接，根据直角三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，推出，得到四边形是平行四边形，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：取的中点E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)图见解析；理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质，结合对顶角相等，即可得解； （2）观察可得：，即可得出比值； （3）将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形，即可得解． 【详解】（1）解：， ， 是边上的中点， ， ， ； （2）解：如图5，由操作知，点为中点，将四边形绕点旋转得到四边形， ， ； （3）解：如图所示，四边形即为所求的平行四边形； 理由如下：将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形， ，， ， ∴点在同一直线上， 同理，点在同一直线上，点在同一直线上，点在同一直线上， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 3．（25-26八年级下·山西长治·月考）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，，．点D是线段上的一个动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，点E，F分别是A，B的对应点．    (1)如图2，当点D位于中点处时，连接，，判断的形状，并说明理由； (2)如图3，当点D在线段上时（），连接，，猜想，的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)当点D在线段上运动时，是否存在某一时刻，使得是直角三角形，若存在，直接写出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)且，理由见解析 (3)存在，或 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由旋转可得，，从而得到，，即可判定是等边三角形； （2）连接，，，并延长交于点G，由等腰求出，由旋转可得，，，，从而证得，得到，根据三角形内角和求出，因此，又，即可判定四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答； （3）分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 由旋转可得，， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． （2）解：，．理由如下： 连接，，并延长交于点G，    ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，． （3）解：存在，理由如下： 分两种情况讨论： ①如图，当时，连接，，，    由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， 由（2）同理可证， ∴，在同一直线上，即点B，E，F三点共线， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． ②如图，当时，连接，，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点D与点C重合，如图所示，    过点A作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述，存在某一时刻，使得是直角三角形，此时的长为或． 【经典例题七 三角形中位线的综合应用】 【例8】（25-26八年级下·湖南永州·期中）【三角形中位线定理】 (1)如图1，已知：在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出与之间的数量关系和位置关系； 【应用】 (2)如图2，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理求解即可； （2）连接，利用三角形中位线定理，勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：根据三角形中位线定理，得； （2）解：连接， 因为点E，F分别是边，的中点， 故， ， ，， ， ，，且 ， ， ． （2023·八年级下江西赣州）探究解题： 【母题呈现】 (1)如图1，是的中位线，以为斜边作，，求证：． 【母题变式】 (2)如图2，是的中位线，分别以，为斜边作，，，过点作交的延长线于点，线段与相交于点． ①求证：； ②求的度数． 【母题运用】 (3)如图3，在中，分别以，为斜边作，，，是线段上的点，且，连接和．请直接写出与之间的关系，不用给出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3)，且 【分析】（1）由三角形中位线定理得，再根据角所对直角边等于斜边一半可得，从而可得结论； （2）①证明，得，再证，可证明，从而可得结论；②设与，与的交点分别为，，由全等三角形的性质以及三角形外角的性质可得结论； （3）分别作，的中点，，过作交的延长线于点，连接，，它们相交于点，，分别是与，与的交点．证明是等边三角形．得出．，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在中，， ． 是的中位线 ． （2）①证明：由（1）可知．同（1）得 点是的中点 ， 即． 又 是的中位线 ∴ ， 即 ②解：如图，设与，与的交点分别为，． 在中，， （3），且 理由如下：分别作，的中点，，过作交的延长线于点，连接，，它们相交于点，，分别是与，与的交点． 由（2）可知，，． 点是的中点，， ∴是线段的中点， 由（2）得 ， ，即点是的中点， ， ，． 取的中点，连接． ， ． 是等边三角形． ，． ． ，即， ∴， ∴ 27．（25-26八年级下·江苏·期中）如图1，在中，与相交于点O，点E为的中点，连接交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，点P为的中点，连接、、，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】（1）如图1，连接，根据已知和平行四边形的性质可知，，然后设，，根据三角形的面积公式和三角形面积的和差表示出，，从而表示出，，然后再根据面积的和差表示出，，从而得到，利用因式分解得到a和b关系，即可证得结论； （2）根据，，利用（1）中的结论，通过线段的和差可推出，进而得到，结合即可证得结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，即， ，即； （2）解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点P为的中点， ∴， 由（1）可知，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 28．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，，． (1)求线段的长； (2)如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）由，可得，根据，可得，，又是等腰直角三角形，即得； （2）连接，证明，得，从而，根据G为的中点，有，证明，得，故； （3）在上取一点H，使，连接，证明，可得，当最小时，最小，此时，故的最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴线段的长为； （2），理由如下： 连接，如图： ∵把线段绕点E逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）在上取一点H，使，连接，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵把线段绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，此时，如图： ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 1．（24-25八年级下·江西赣州·期末）计算题： (1)计算：． (2)一个多边形的每个内角都相等，并且其中一个内角比它相邻的外角大，求这个多边形的边数． 【答案】(1)2 (2)9 【分析】（1）根据负整指数幂与零指数幂运算法则计算即可； （2）设每个外角度数为度，根据内角与相邻外角和为180度、内角比它相邻的外角大100°，构造方程求出外角度数，最后利用外角和360°可求边数． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：设每个外角度数为度， 根据题意可得． 解得． 所以这个多边形的边数为． 【点睛】本题主要考查负整指数幂与零指数幂，多边形的内角与外角，多边形的外角和360°知识，解题的关键是利用内、外角转化求边数． 2．（25-26八年级下·天津宁河·月考）如图，中，，平分，交于点E，平分，交于点F． (1)求的长． (2)与有什么位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)2 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的定义，等角对等边可得，然后根据得出答案； （2）根据平行四边形的性质得，再根据等边对等角得，然后求出，即可得出，则此题可证． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 3．（2025·八年级下 浙江衢州）数学课上，老师提出一个问题：在平行四边形的边上取一点P，使得是以为底边的为等腰三角形．小明同学按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N；②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E：③以点E为圆心，以长为半径作弧，在内部交前弧于点F；④连接并延长，交于点P． (1)通过作图可以得到的依据是______； (2)小聪同学表示他可以借助无刻度直尺和圆规用另外一种方法作出点P，请在图2中完成作图，要求保留作图痕迹； (3)如图3，小聪同学继续用无刻度直尺和圆规作了射线，发现恰好经过点P，此时小聪同学发现，，都是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据作图过程和三角形全等的判定方法可得答案； （2）作线段的垂直平分线交于点P，即可得到； （3）分①当时，②当时，③当时三种情况，利用等腰三角形的性质，结合平行线的性质和三角形的内角和定理分别求解即可． 【详解】（1）解：由作图过程可得，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，点P，即为所求作： （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 根据作图痕迹，平分，设，则， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况： ①当时，则， 由，， 解得， ∴； ②当时，， 由得， 解得， ∴； ③当时，，则， 由得，则，不符合题意， 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 4．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在中，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点E，与交于点F，连接： (2)在（1）所作的图形中，若，求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴① ，， ∴， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∴② ∴， ∴③ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴④ 在和中， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质得到，，则由角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，由等边对等角得到，则可证明，据此根据全等三角形的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 在和中， ∴． 5．（25-26八年级下·河北沧州·月考）如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)成立，图和证明见解析 (3) (4)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，可得； （2）画出图形，同（1）的方法证明即可； （3）根据全等三角形的性质得到，，等量代换可得，即可证明； （4）分别找出两个平行四边形对角线的交点，再连接即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立，理由是： 在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；    （3）同（1）可证：，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：； （4）能，如图，直线即为所求．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用平行四边形的性质得到线段，面积之间的关系． 6．（24-25八年级下·江西赣州·月考）已知绕点逆时针旋转后得到，若点在边上，延长交于点，交于点， (1)旋转角为______，的形状是______ (2)判断与的位置关系，并说明理由． (3)判断之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)，等腰直角三角形； (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用旋转的性质进行解答即可； （2）利用旋转得到，进一步得到，则，即得到证明结论； （3）证明，得到的形状是等腰直角三角形，，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵绕点逆时针旋转后得到， ∴与是对应边，等于旋转角， ∴旋转角为，的形状是等腰直角三角形； 故答案为：，等腰直角三角形； （2），理由如下： ∵绕点逆时针旋转后得到， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ （3），理由如下： 由旋转可知，， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∵的形状是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即 【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 7．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）探究学习是课程学习的一种重要方式．请依次解答下列问题： (1)如图1，、均为顶角为的等腰三角形，、分别是底边，连接，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？ (2)如图2，为等边三角形，点为边上一点（不与点A、B重合），于点．将绕点顺时针旋转后得到．连接并延长交于点，证明点是的中点． (3)如图3，点在等边外部，已知，，连接，直接写出的取值范围． 【答案】(1)由绕点A逆时针旋转得到或者由绕点A顺时针旋转得到 (2)证明详见解析 (3) 【分析】（1）利用旋转变换的性质进行判断即可； （2）过点C作交延长线于点G，结合题干容易证出，可得结论； （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接，利用全等三角形的性质证明，根据三角形的基本性质求出的范围即可． 【详解】（1）解：∵、均为顶角为的等腰三角形， ∴，，， ∴， 则由绕点A逆时针旋转得到，或者由绕点A顺时针旋转得到； （2）证明：如图，过点C作交延长线于点G， ∵， ∴，， 由旋转的性质可知，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是的中点 （3）如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 当点T落在线段上时，如图， 此时，， 当点T落在线段的延长线上时，如图， 此时，， 综上所述，， ∴． 【点睛】本题是几何变换的综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质和三角形的基本性质，根据旋转的性质，去寻找和构造全等三角形是解题关键． 8．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示） （3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒 【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断； （2）根据“友好线”定义即可求解； （3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可． 【详解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分线， ∴∠BOD＝∠COD， ∵∠COA＝∠BOC， ∴∠BOD＝∠AOD， ∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”． （2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n， ∴∠BOM＝∠AOB＝n， ∵ON平分∠AOB， ∴∠BON＝∠AOB＝n， ∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n； （3）设运动时间为x（x≤36）秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”． 当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB， 所以3x＝（180﹣5x﹣3x）， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”． 当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOB， 所以180﹣5x﹣3x＝×3x， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OB是射线OC的“友好线”． 当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOC， 所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x）， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”． 当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠AOC＝∠COB， 所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180）， 解得x＝30（符合题意）， 即运动时间为30秒时，射线OC是射线OA的“友好线”． 综上所述，当运动时间为或或或30秒时，符合题意要求． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的运算，理解新定义，并用数形结合思想解答是解题的关键． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【初步探究】 （1）如图1，在等边三角形中，点，分别为边，上的动点（不与端点重合），．将线段绕点顺时针旋转一定角度得到线段，当时， ①___________； ②若，求的长； （2）如图2，在中，，，点，分别为边，上的动点（不与端点凪合），．过点作于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接．请判断四边形的形状，并说明理由： 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点为边上的点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求周长的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）四边形是平行四边形，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）①由等边三角形的性质得到，再由平行线的性质可得答案；②由等边三角形的性质得到，，由平行线的性质得到，求出，则由旋转的性质可得；过点B作于H，则，，则，由勾股定理得，由勾股定理； （2）求出，，可证明；由旋转的性质可得，证明，得到，则，，再由，得到，则四边形是平行四边形； （3）取的中点G，连接，可求出，由旋转的性质可得，再证明，得到的周长等于的周长；作点B关于直线的对称点H，连接，则；可得到的周长，则当三点共线时，有最小值；可证明，由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ②∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， 由旋转的性质可得； 如图所示，过点B作于H，则， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理； （2）四边形是平行四边形，理由如下： ∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 由旋转的性质可得， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）如图所示，取的中点G，连接， ∵在中，，， ∴， ∵G为的中点， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴的周长等于的周长； 如图所示，作点B关于直线的对称点H，连接， ∴； ∴的周长， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， ∴的周长的最小值为． 10．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕原点O顺时针旋转得到(分别是A，B的对应点)． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)若点位于内(不含边界)，点为点M绕原点O顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质解答即可； （2）由旋转的性质可确定点M旋转后对应点在线段上，且不与点C，D重合，如图，然后作答即可． 【详解】（1）解：由旋转作图可知，点的坐标为，点的坐标是， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴旋转后对应点在线段上，且不与点C，D重合，如图， ∴． 11．（25-26八年级下·全国·课前预习）在四边形中，已知，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，平行四边形的判定．解二元一次方程组求得，进一步计算得到，，根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：由， 得， ∵， ∴． ∴，． ∴四边形是平行四边形． 12．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）我们曾借助学习“图形的全等判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究． 【知识回顾】 如图1，四边形中，我们用符号语言表示出所有的8个边，角、对角线的数量关系： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧． 我们曾任意选择2个作为条件来探索四边形是否为平行四边形． （1）请选择上面8个条件中的2个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及3条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法： （请用文字语言表述）； 【数学思考】 若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ （2）若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形．如图2，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形．小明的同学思路如下： 证明：延长并截取． ∵ ∴，即 ∵ ∴四边形是平行四边形． … 请同学们按照小明的思路完成证明过程． （3）在①或者③中选择一个条件和⑩组成条件也可以判定四边形是平行四边形，并证明．如图3，在四边形中，相交于点O， ，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题是四边形综合题，考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定． （1）由平行四边形的判定方法可得出答案； （2）证出，由平行四边形的判定方法可得出答案； （3）选择①，选择③，由平行四边形的判定方法可得出答案． 【详解】解：（1）一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形．或两组对角相等的四边形是平行四边形．（答案不唯一）； 故答案为：一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形； （2）证明：延长，并截取， ∵， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）选择①， 分别在上截取．延长，过点B、D作、，垂足为点G、H， ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 即． ∴， 即． ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 即． ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 选择③，分别在上截取， ． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 即． ∴， 即． ∴． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 13．（2026·八年级下 浙江丽水）如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，． (1)若，求的长； (2)证明：； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得是的中位线，推出，结合，即可求解； （2）连接，根据题意可得是的中位线，，推出，进而得到，结合推出，由是的中位线，推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）根据为的中点，得到，再根据为的中点，得到，即可求解． 【详解】（1）解：为的中点，为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ； （2）证明：连接， 为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：为的中点， ， 为的中点， ， ． 14．（2026·八年级下 安徽安庆）如图，在中，对角线，相交于点O，，点E在线段上，且．连接． (1)求证：； (2)若M，N分别是，的中点，且，连接，． ①求证：； ②当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②480 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，，．结合，得出，证明是等腰三角形，结合，即可证明； （2）①根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出．证明是的中位线，得出，即可证明． ②根据，是的中位线，得出，结合，得出，根据垂直平分线的性质得出．设，则，，得出．在中，根据勾股定理列方程求出再根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 又∵， ∴； （2）①证明：∵， ∴． ∵N为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵E，M分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． ②解：∵是的中位线， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵N是的中点， ∴． 设，则，． ∴． 在中，， ∴， 即， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∴． 15．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在四边形中，，．      (1)求证：四边形是平行四边形 (2)点在上，点在上，连接、，若，，求证： (3)在（2）的条件下，连接，过点作分别交、于、两点，过点作交的延长线于点，若，，求的面积 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）求证，从而判定平行四边形； （2）如图，作，交于点Ｋ，可求证，，，从而，于是； （3）解：如图，延长，交于点J，连接，可证，进一步求证，于是；过点A作，垂足为M，过点K作,是等腰直角三角形，四边形是平行四边形；由（2）知，得，；过点A作，交于L，连接，可证，于是，；进一步求证，于是．中,运用勾股定理求得，于是．过点F 作，垂足为O，可求得.求证，得．所以． 【详解】（1）证明：∵ ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图，作，交于点Ｋ， ∵， ∴． ∴．   ∴． ∵ ∴ ∴． ∵ ∴ ∴ ∴．    （3）解：如图，延长，交于点J，连接 ∵ ∴. ∵, ∴． ∴．   ∴． ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． 过点A作，垂足为M，过点K作，是等腰直角三角形，四边形是平行四边形； 由（2）知， ∴ ∴．   ∴． 过点A作，交于L，连接， ∵ ∴． ∵， ∴． ∴，．   ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． 设，则， ∴，解得，即 ∴． 过点F 作，垂足为O， ∵ ∴. ∴. ∵ ∴ ∴ ∴． ∴． ∴．        【点睛】本题考查等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，中位线定理，通过全等三角形判定寻求线段相等是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 平行四边形常考几何模型专训（7大题型+15道拓展培优题） 题型一 多边形内角和与外角和综合应用 题型二 利用平行四边形的性质求解及证明 题型三 旋转的性质及辨析 题型四 求绕原点旋转的点的坐标 题型五 证明四边形是平行四边形 题型六 利用平行四边形的判定与性质求解及证明 题型七 三角形中位线的综合应用 【经典例题一 多边形内角和与外角和综合应用】 【例1】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知在四边形中，． （1）如图1，若，则________． （2）如图2，若、分别平分、，判断与位置关系并证明理由． （3）如图3，若、分别五等分、（即，），则_______． 2．（2023八年级下·河北·专题练习）（1）填表： n（凸多边形的边数） 3 4 5 … m（凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值） 　　 　　 　　 　…　 （2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？ （3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·月考）请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 【经典例题二 利用平行四边形的性质求解及证明】 【例2】（25-26八年级下·山东济南·月考）如图，在梯形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度在线段间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．          (1)当______时，四边形的面积为； (2)若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值． 1．（2026·八年级下 四川南充）如图，的边恰是等腰直角三角形的斜边，的延长线与交于，且．求证：． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图平行四边形，对角线，交于点，的平分线交延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，连接; ①若，求平行四边形的面积； ②设，试求与满足的关系． 3．（25-26八年级下·重庆开州·期中）在平行四边形中，． (1)如图1，若，，求四边形的面积； (2)如图2，若，点为边上一点，连接．点为上一点，连接交于点，连接，若点为边的中点，连接，且．求证：； (3)如图3，已知，，点P与点Q分别为线段与上的动点，满足，连接，，直接写出的最小值． 【经典例题三 旋转的性质及辨析】 【例4】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法．下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务，问题情境：已知，是过点A的直线，于点B． 问题探究： (1)如图（1），求证；（提示：过点C作于点C，与交于点E） (2)当绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，，，满足什么样关系式，请直接写出你的猜想； (3)在绕点A旋转过程中，当，时，则___________，___________． 1．（23-24八年级下·广东汕头·期中）综合探究： (1)问题背景：如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．       请直接写出四边形 ABCD的面积； (2)类比迁移：如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积； (3)拓展延伸：如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． 2．（24-25八年级下·重庆）如图1，已知直线，点E在直线，之间，点F在直线上方，点G，H分别在直线，上，连接．其中，线段是线段的反向延长线． (1)若于点H，，分别是，的角平分线．其中，请求出的度数； (2)如图2，若，，请求出的度数并探究其中的数量关系； (3)已知，，，是的平分线．若点G，H固定不动，绕点E以的速度顺时针旋转．设运动时间为，当时，任意一条边与平行，请直接写出此时t的值． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． (1)若，，求的度数； (2)如图②，绕点H逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； (3)在（1）的条件下，将三角尺绕E点以每秒的速度按逆时针方向，设旋转时间为．请直接写出当与的一边平行时t的值． 【经典例题四 求绕原点旋转的点的坐标】 【例5】（2026·八年级下 安徽阜阳）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点），已知点A和点B的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出点B关于原点对称的点，并写出点的坐标． (2)在所给的网格图中画出绕点O顺时针旋转后的． 1．（25-26八年级下·天津津南·月考）在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点恰在轴上． (1)如图1，当时，求点的坐标和的长； (2)如图2，当时，求点的坐标． 2．（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图：在平面直角坐标系中，已知点，点是轴的正半轴上一点，横坐标为，联结，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点．    (1)在图中描出点和点（不写结论） (2)点的坐标为______（用含的代数式表示），四边形的面积为______； (3)联结． i）______； ii）说明点和点到线段的距离之和等于线段的长． 3．（24-25八年级下·天津红桥·期末）在平面直角坐标系中，点，点，点．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点的对应点分别为．记旋转角为． (1)如图①，当点C落在上时，求点D的坐标； (2)如图②，当时，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【经典例题五 证明四边形是平行四边形】 【例6】（25-26八年级下·四川泸州·期中）如图，，，，四点在同一条直线上，，线段与线段平行，．求证：四边形是平行四边形． 1．（2023八年级下·江苏无锡）如图，以的三边为边作等边三角形． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)设的中点为，延长交于点，延长交于点，连接，若，①试探究线段与的数量关系；②请直接写出的度数． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 3．（24-25八年级下·河南焦作·期末）某数学兴趣小组发现平行四边形（邻边不相等）的对角平分线互相平行． 合作探究：同学们讨论时，甲同学提出一组对角平分线互相平行的四边形是平行四边形；乙同学说“不对，应该是一组对角相等，且这一组对角的平分线互相平行的四边形是平行四边形”． （1）哪位同学的意见正确？________．（填写序号：①甲正确②乙正确③都不正确） （2）如果你认为哪位同学的意见正确，请就下面的图形写出已知条件并给予证明；如果认为两个人的说法都不正确，请说明理由． 已知：如图，四边形中，________，． 求证：四边形是平行四边形． 拓展探究：同学们改变条件，继续研究，请帮助同学们计算下面的问题： （3）一组对角互补，且这一组对角的平分线互相平行的四边形相邻三边的长依次是、2、，这个四边形的面积是___________． 【经典例题六 利用平行四边形的判定与性质求解及证明】 【例7】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， (1)探究与的数量关系，并说明理由． (2)设，求S关于t的关系式； (3)Q在内部，当时，求t的值． 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，，平分，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：      (1)操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ． (2)发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形． (3)探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由． 3．（25-26八年级下·山西长治·月考）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，，．点D是线段上的一个动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，点E，F分别是A，B的对应点．    (1)如图2，当点D位于中点处时，连接，，判断的形状，并说明理由； (2)如图3，当点D在线段上时（），连接，，猜想，的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)当点D在线段上运动时，是否存在某一时刻，使得是直角三角形，若存在，直接写出的长度，若不存在，请说明理由． 【经典例题七 三角形中位线的综合应用】 【例8】（25-26八年级下·湖南永州·期中）【三角形中位线定理】 (1)如图1，已知：在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出与之间的数量关系和位置关系； 【应用】 (2)如图2，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，，，，求的度数． （2023·八年级下江西赣州）探究解题： 【母题呈现】 (1)如图1，是的中位线，以为斜边作，，求证：． 【母题变式】 (2)如图2，是的中位线，分别以，为斜边作，，，过点作交的延长线于点，线段与相交于点． ①求证：； ②求的度数． 【母题运用】 (3)如图3，在中，分别以，为斜边作，，，是线段上的点，且，连接和．请直接写出与之间的关系，不用给出证明过程． 27．（25-26八年级下·江苏·期中）如图1，在中，与相交于点O，点E为的中点，连接交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，点P为的中点，连接、、，判断四边形的形状，并证明你的结论． 28．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，，． (1)求线段的长； (2)如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值． 1．（24-25八年级下·江西赣州·期末）计算题： (1)计算：． (2)一个多边形的每个内角都相等，并且其中一个内角比它相邻的外角大，求这个多边形的边数． 2．（25-26八年级下·天津宁河·月考）如图，中，，平分，交于点E，平分，交于点F． (1)求的长． (2)与有什么位置关系，并证明你的结论． 3．（2025·八年级下 浙江衢州）数学课上，老师提出一个问题：在平行四边形的边上取一点P，使得是以为底边的为等腰三角形．小明同学按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N；②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E：③以点E为圆心，以长为半径作弧，在内部交前弧于点F；④连接并延长，交于点P． (1)通过作图可以得到的依据是______； (2)小聪同学表示他可以借助无刻度直尺和圆规用另外一种方法作出点P，请在图2中完成作图，要求保留作图痕迹； (3)如图3，小聪同学继续用无刻度直尺和圆规作了射线，发现恰好经过点P，此时小聪同学发现，，都是等腰三角形，求的度数． 4．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在中，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点E，与交于点F，连接： (2)在（1）所作的图形中，若，求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴① ，， ∴， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∴② ∴， ∴③ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴④ 在和中， ∴． 5．（25-26八年级下·河北沧州·月考）如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    6．（24-25八年级下·江西赣州·月考）已知绕点逆时针旋转后得到，若点在边上，延长交于点，交于点， (1)旋转角为______，的形状是______ (2)判断与的位置关系，并说明理由． (3)判断之间的关系，并说明理由． 7．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）探究学习是课程学习的一种重要方式．请依次解答下列问题： (1)如图1，、均为顶角为的等腰三角形，、分别是底边，连接，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？ (2)如图2，为等边三角形，点为边上一点（不与点A、B重合），于点．将绕点顺时针旋转后得到．连接并延长交于点，证明点是的中点． (3)如图3，点在等边外部，已知，，连接，直接写出的取值范围． 8．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示） （3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【初步探究】 （1）如图1，在等边三角形中，点，分别为边，上的动点（不与端点重合），．将线段绕点顺时针旋转一定角度得到线段，当时， ①___________； ②若，求的长； （2）如图2，在中，，，点，分别为边，上的动点（不与端点凪合），．过点作于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接．请判断四边形的形状，并说明理由： 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点为边上的点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求周长的最小值． 10．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕原点O顺时针旋转得到(分别是A，B的对应点)． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)若点位于内(不含边界)，点为点M绕原点O顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标n的取值范围． 11．（25-26八年级下·全国·课前预习）在四边形中，已知，，．求证：四边形是平行四边形． 12．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）我们曾借助学习“图形的全等判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究． 【知识回顾】 如图1，四边形中，我们用符号语言表示出所有的8个边，角、对角线的数量关系： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧． 我们曾任意选择2个作为条件来探索四边形是否为平行四边形． （1）请选择上面8个条件中的2个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及3条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法： （请用文字语言表述）； 【数学思考】 若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ （2）若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形．如图2，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形．小明的同学思路如下： 证明：延长并截取． ∵ ∴，即 ∵ ∴四边形是平行四边形． … 请同学们按照小明的思路完成证明过程． （3）在①或者③中选择一个条件和⑩组成条件也可以判定四边形是平行四边形，并证明．如图3，在四边形中，相交于点O， ，．求证：四边形是平行四边形． 13．（2026·八年级下 浙江丽水）如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，． (1)若，求的长； (2)证明：； (3)当时，求的值． 14．（2026·八年级下 安徽安庆）如图，在中，对角线，相交于点O，，点E在线段上，且．连接． (1)求证：； (2)若M，N分别是，的中点，且，连接，． ①求证：； ②当时，求的面积． 15．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在四边形中，，．      (1)求证：四边形是平行四边形 (2)点在上，点在上，连接、，若，，求证： (3)在（2）的条件下，连接，过点作分别交、于、两点，过点作交的延长线于点，若，，求的面积 学科网（北京）股份有限公司 $