专题4.8 平行四边形52道压轴题型专训（13大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 聚焦平行四边形与旋转综合应用，以13大题型52道压轴题构建“概念-性质-判定-综合应用”逻辑体系，渗透构造全等、转化思想，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多边形基础|2题型/8题|内角和公式逆用、对角线规律推导|从多边形定义到边角关系，为平行四边形铺垫| |平行四边形性质与判定|3题型/15题|性质证线段角关系、判定定理灵活选用|性质为判定提供依据，判定深化性质应用| |旋转与坐标|5题型/18题|旋转全等构造、坐标变换规律总结|旋转性质与坐标结合，体现数形结合思想| |中位线综合|1题型/11题|中位线转化线段关系、中点联想策略|中位线联结三角形与四边形，提升综合解题能力|

专题4.8 平行四边形52道压轴题型专训（13大题型） 题型一 多边形内角和与外角和综合应用 题型二 解决多边形对角线相关问题 题型三 利用平行四边形的性质解决相关问题 题型四 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型五 旋转的性质及辨析 题型六 坐标与旋转规律问题 题型七 求绕原点旋转的点的坐标 题型八 坐标系中的旋转 题型九 中心对称图形规律问题 题型十 已知两点关于原点对称求参数 题型十一 证明四边形是平行四边形 题型十二 平行四边形的性质与判定综合应用 题型十三 三角形中位线的综合应用 【经典例题一 多边形内角和与外角和综合应用】 1．（2023·八年级下 甘肃陇南）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和定理求出正六边形的内角为，进而得正n边形的外角为，再根据外角和定理即可求解． 【详解】解：由多边形的内角和定理可知，正六边形的内角为， ∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍， ∴正n边形的外角为， ∴正n边形的边数为：． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若一个三角形的三个外角度数之比为，则最大内角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角和定理，设三个外角的度数分别为，，，根据三角形外角和定理进一步求出，即可得出最小的外角，进而可求出最大内角度数． 【详解】解：设三个外角的度数分别为，，， 根据三角形外角和定理，可知， 解得， 所以最小的外角为， 故最大的内角为． 故选C． 3．（2023·八年级下 河北保定）如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________． 【答案】36 【分析】机器人行走的路程为10米，每次走1米，回到O点时，组成一个封闭的图形，则多边形的边数为十，且每条边长度相等，由于每次右转的角度相同，故为正十边形，每次右转的角度为正十边形的外角，因而可求得答案． 【详解】根据题意可得，机器人行走的路程是边长为1米的正十边形，而每次向右转的角度为正十边形的外角度数，所以． 故答案为：36°． 【点睛】本题主要考查了正多形的定义及外角和的性质． 4．（23-24八年级下·山东聊城·专项练习）在五边形ABCDE中，，，． (1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线； (2)如图②，若比小，求出的度数； (3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据对角线的定义作出所有对角线即可； （2）先根据多边形的内角和公式求得内角和，再求出∠C+∠D的度数，最后求得∠D即可； （3）先根据多边形内角结合外角的定义求得，然后根据角平分线的定义、等量代换、角的和差解答即可． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）解：五边形ABCDE的内角和为， ∵，，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：五边形ABCDE的内角和为， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∵CP平分，DP平分， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角、对角线以及角平分线的定义等知识点，灵活运用多边形的内角和定理成为解答本题的关键． 【经典例题二 解决多边形对角线相关问题】 1．（25-26八年级下·山东·专项练习）若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形外角和定理， 利用多边形外角和恒为的性质，结合内角和公式建立方程求边数n，再计算从一个顶点引出的对角线条数． 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意，得 ， 解得， 从一个顶点引出的对角线条数为． 故选：A． 2．（25-26八年级下·贵州遵义·专项练习）观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解． 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 3．（25-26八年级下·河北邯郸·专项练习）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2026个三角形，那么这个多边形的边数是_____． 【答案】2028 【分析】本题主要考查了多边形的对角线、一元一次方程的应用等知识点，掌握从n边形的一个顶点出发作对角线，最多将多边形分成个三角形是解题的关键． 设多边形的边数为n，再根据多边形对角线的特点列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n，根据多边形性质，从一个顶点出发作对角线，最多分成个三角形． 由题意可得，，解得：． 故答案为：2028． 4．（25-26八年级下·全国·周测）如图所示的多边形分别为正五边形、正六边形、正十边形、正十二边形． (1)在以上各正多边形中分别任选一个顶点作对角线，把各多边形分割为若干个三角形． (2)根据（1）中你的分割结果提出猜想，并说明过正三十边形的一个顶点作对角线，能把正三十边形分割成多少个三角形． (3)在（2）中，当把正三十边形换为任意三十边形时，结论是否还能成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)猜想：分割成的三角形个数与多边形边数之间的关系为三角形的个数多边形的边数．正三十边形能分割成28个三角形． (3)结论仍能成立．理由见解析 【分析】（1）依题意画出对角线即可； （2）根据过正五边形、正六边形、正十边形、正十二边形的一个顶点作对角线把多边形分割成三角形的个数总结出规律：过正边形从一个顶点作对角线把正边形分割成个三角形，从而可得过正三十边形的一个顶点作对角线，能把正三十边形分割成三角形的个数； （3）根据过多边形的一个顶点作对角线，把多边形分割成三角形的个数与边的长短，角的大小无关即可得出答案． 【详解】（1）解：分割情况如图所示（答案不唯一）． （2）解：过正五边形一个顶点作对角线把正五边形分割成个三角形，而； 过正六边形一个顶点作对角线把正六边形分割成个三角形，而； 过正十边形一个顶点作对角线把正十边形分割成个三角形，而； 过正十二边形一个顶点作对角线把正十二边形分割成个三角形，而； 根据分割结果猜想：分割成的三角形个数与多边形边数之间的关系为三角形的个数多边形的边数． ∴过正三十边形的一个顶点作对角线把正三十边形分割成个三角形， （3）解：结论仍能成立． 理由：因为分割成的三角形个数只与多边形的边数有关，而与多边形边的长短、角的大小无关． 【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，解决问题的关键是根据作图总结出规律：过正边形从一个顶点作对角线把正边形分割成个三角形，理解过多边形的一个顶点作对角线，把多边形分割成三角形的个数与边的长短，角的大小无关． 【经典例题三 利用平行四边形的性质解决相关问题】 1．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，的对角线与相交于点O，，垂足为E．，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平行四边形的性质求得，再由勾股定理的逆定理判定出，然后由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，相交于点O．下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用平行四边形的性质判断所给结论即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 无法根据已知条件得到， 所以正确的是①②④⑤． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接、，则下列结论中：①；②；③；④．一定成立的有的结论有_________．（填正确结论的序号）    【答案】①②/②① 【分析】①先证出，得到，再根据平行线性质得到，即可得到，可得，故①正确； ②延长，交延长线于M，先证，得到即，再通过在中斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得到，故②正确； ③根据，可得，那么，再通过当E、A不重合时，则有，得到，即，当E、A重合时，则有，则故③错误； ④先证，设，那么，再通过证，那么，则，进一步证得，即可证得，故④错误． 【详解】解：①∵F是的中点， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②延长，交延长线于M，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∴， 当E和A不重合时，， ∴ ∴， 当E、A重合时，则有，则 故③错误； ④设， ∵，， ∴， ∵F 是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵； ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误． 综上所述正确的是：①②． 故答案为：①②． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质等知识，能准确找到边与边之间、角与角之间的关系是解答此题的关键． 4．（24-25八年级下·辽宁鞍山·月考）如图所示，平行四边形和平行四边形有公共边，边和在同一条直线上，且，过点A作交于点G，交于点H，连接． (1)判断的形状，并证明； (2)若，，求的周长； (3)求证：． 【答案】(1)是等腰直角三角形，证明见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考压轴题． （1）根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的判定定理即可得到结论； （2）由平行四边形的性质可得，，，可得，由勾股定理可求，的长，即可求解； （3）如图，在上取一点M，使得，连接．利用全等三角形的性质证明即可解决问题． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， 证明：∵四边形，四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵四边形，四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； （3）证明：如图，在上取一点M，使得，连接． ∵四边形，四边形都是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 即． 【经典例题四 根据旋转的性质说明线段或角相等】 1．（23-24八年级下·广东深圳·专项练习）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，、分别与交于、两点，将绕着点顺时针旋转得到；①,②平分；③若，,则；④若则，其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，判断出①正确；证明，判断出②正确；证明，然后利用勾股定理得到③正确；根据角的度数得到∠ADE=∠BEA，然后利用“角角边”证明△ABD和△ACE全等，根据三角形面积公式即可求得，判断出④错误． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴, 由旋转得 ∴ ∴ ∴ ∴，故①正确； ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， 即， ∴， 在△ADH和△ADE中， ， ∴， ∴，， ∴平分， 故②正确； 由①知， 在中，， 由②知, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设A到边距离为h， ∵，， ∴， ∴， 故④错误； 综上①②③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 2．（2024 八年级下·河北）如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转变换的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 根据图象旋转的性质，得，，从而得，结合，，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到． ∴，， ∴， ∴，， ∴； 故选：B 3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点，均在轴上．将绕顶点旋转得到，则的坐标为________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：逆时针旋转；顺时针旋转；分别利用等边三角形的性质，旋转的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 逆时针旋转， 如图， 是等边三角形， ， 又， ， 绕顶点逆时针旋转得到， 落在轴上，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， ， ， 设， 落在轴上， ， ， ， 的坐标为； 顺时针旋转， 如图， 是等边三角形， ， 又， ， 绕顶点顺时针旋转得到， 落在轴上，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， ， 过作于点， ， 是等边三角形，且， ， ， ， 设， 则， ， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，旋转的性质，已知两点坐标求两点距离，垂线的性质，含度角的直角三角形，勾股定理，直接开平方法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握上述知识点并运用分类讨论思想是解题的关键． 4．（23-24八年级下·辽宁大连·月考）按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 【答案】(1)答案不唯一，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路，证明，再证出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得，即可得出结论；②选择小光同学的解题思路，证明，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）过作于，过作于，证明，得到，；再证明，即可得出结论； （3）在边上截取，连接，过作于，可得，证明，，根据含角直角三角形的性质得到的长，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 【详解】（1）解：选择小辉同学的解题思路． 证明：如图2，过作交的延长线于， ， ， ，， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，，， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 选择小光同学的解题思路． 证明：如图3，在上截取，连接． ， ， ． ， ，即． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ； （2）证明：如图4，过作于，过作于． ，， ， ，，， ， ，． ，，， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ，， ， ，即， ； （3）解：如图5，在边上截取，连接，过作于， 由题意得，，． ， ． ，， ∴， ， 在和中， ，，， ， ． ，， ， ， ， ． 又， ，， ． ，， ， 根据勾股定理得，， ． 【经典例题五 用旋转的性质求解和辨析】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）下面是假命题的是（    ） A．底边和一腰对应相等的两个等腰三角形全等 B．勾股定理和勾股定理的逆定理是一对互逆定理 C．经过旋转，对应线段平行且相等 D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法，勾股定理和逆定理，旋转的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．底边和一腰对应相等的两个等腰三角形全等，正确，是真命题，不符合题意； B．勾股定理和勾股定理的逆定理是一对互逆定理，正确，是真命题，不符合题意； C．经过旋转，对应线段相等但不一定平行，故原命题错误，是假命题，符合题意； D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查判断命题的真假，熟练掌握全等三角形的判定方法，勾股定理和逆定理，旋转的性质，是解题的关键． 2．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图1，在中，，，E，F分别是，的中点，连接．如图2，将绕点C按逆时针方向旋转得到，连接．若平分，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，由题意可得，延长交于，连接，证明，得出，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，求出，最后再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，E，F分别是，的中点， ∴， 如图：延长交于，连接， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，点D为等边三角形的中点，连接，将绕点D顺时针旋转（）得到，边、分别与交于点E、F，当的内角是与另两个内角中的一个存在两倍关系时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及三角形内角和定理．根据题意，先计算，，再分四种情况逐一探讨得出结论． 【详解】解：∵点D为等边三角形的中点， ∴，， ∵将绕点D顺时针旋转得到， ∴，， ∴． ①当时， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当时， ， ∴， ∵， ∴， 与实际情况矛盾，不符题意，舍去； ③当时， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ④当时， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）【特例感知】 在中，，， (1)如图1，若，将绕点逆时针旋转得到，连接，则________； (2)如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时点，，恰好共线，连接，求的面积； 【问题解决】 (3)如图3，某旅游开发公司计划在某荒岛周边修建观光公园．岛屿中心有一座瞭望塔（视为点），用于监控全园生态及安保．计划在海岸线处设立主入口，在岛屿内部规划两个配套的生态休息驿站和．经测量，休息驿站到休息驿站和入口的距离相等（），且．测得瞭望塔到驿站的距离为米，到驿站的距离为米．为了提升游客体验，需要修建一条连接入口与瞭望塔的全景栈道．为保证视野，要求此栈道长度尽可能最长．在此条件下，求四边形区域的占地面积． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）证明为等边三角形，得到，点B，C，E共线，再由即可求解； （2）设与相交于点F，由旋转得，，，则，，利用勾股定理求出，，求出，然后利用三角形面积公式求解； （3）将绕点A逆时针旋转，得到，连接，设与相交于点F，得到当C，D，E三点共线时，取得最大值，即的最大值，过点A作于点G，过点B作于点H，如图，由旋转得到，然后求出，进一步利用勾股定理求出，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：由旋转得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴点B，C，E共线， ∴； （2）解：设与相交于点F， 由旋转得，，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，设与相交于点F， ∴， ∵， ∴当C，D，E三点共线时，取得最大值，即的最大值，过点A作于点G，过点B作于点H，如图， 由旋转得，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 由旋转得，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． ∴当最大时，四边形的面积为． 【经典例题六 坐标与旋转规律问题】 1．（23-24八年级下·山东青岛）如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转中的规律问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由周角的定义可知机器狗从P出发，按逆时针方向绕点O作匀速圆周运动，经过一周所需的时间为8分钟，然后根据可进行求解． 【详解】解：由图可得：机器狗走一分钟，所转的度数为， ∴机器狗经过一周所需的时间为（分钟）， ∵， ∴， ∴经过101分钟后，机器狗回到出发点P后还走了， 即选项D符合题意； 故选D． 2．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·专项练习）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，中，，，点A与数轴上表示的点重合，将沿数轴正方向旋转一次使得点B落在数轴上，第二次旋转使得点C落在数轴上，依此类推，第2025次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是____________________ ． 【答案】 【分析】旋转3次的总长度恰为三角形的周长，旋转过程中每三次一个循环，确定2025次需要的循环次数，计算总距离，根据点A与数轴上表示的点重合，距离为旋转的总距离，解答即可． 本题考查了旋转的性质，规律的探索，勾股定理，正确探索规律是解题的关键． 【详解】解：∵中，，， ∴． ∴的周长为． ∵有三个顶点， ∴2025次旋转中每三次一个循环． ∵， ∴2025次旋转共经历675个循环． ∴2025次旋转后共经历的总长为． ∵第一次的起点为， ∴右边的点表示的数是， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏盐城·专项练习）【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示） （3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒 【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断； （2）根据“友好线”定义即可求解； （3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可． 【详解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分线， ∴∠BOD＝∠COD， ∵∠COA＝∠BOC， ∴∠BOD＝∠AOD， ∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”． （2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n， ∴∠BOM＝∠AOB＝n， ∵ON平分∠AOB， ∴∠BON＝∠AOB＝n， ∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n； （3）设运动时间为x（x≤36）秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”． 当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB， 所以3x＝（180﹣5x﹣3x）， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”． 当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOB， 所以180﹣5x﹣3x＝×3x， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OB是射线OC的“友好线”． 当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOC， 所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x）， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”． 当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠AOC＝∠COB， 所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180）， 解得x＝30（符合题意）， 即运动时间为30秒时，射线OC是射线OA的“友好线”． 综上所述，当运动时间为或或或30秒时，符合题意要求． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的运算，理解新定义，并用数形结合思想解答是解题的关键． 【经典例题七 求绕原点旋转的点的坐标】 1．（25-26八年级下·全国）如图，将先向上平移1个单位长度，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键． 根据平移的规律找到A点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标． 【详解】解：如图所示： A的坐标为，向上平移1个单位后为，再绕点P逆时针旋转后对应点的坐标为． 故选：D． 2．（24-25八年级下·全国·专项练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，将绕原点按顺时针方向旋转，得到，其中与对应，与对应，则的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的性质；作轴于，作轴于，可得，进而根据全等三角形的性质得出，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：作轴于，作轴于， 根据题意，如图： ，； 将绕原点按顺时针方向旋转， 在直角和直角中， ； 的坐标为 故选：B． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）在平面直角坐标系中，点B在y轴正半轴处，点在处，线段绕着点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为________(用字母m表示）；连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】作轴于点，连接，由旋转的性质可得，，证明得出，，求出，再结合点在第二象限，得出点的坐标为，由勾股定理表示出的长度，即可得出结果． 【详解】解：如图，作轴于点，连接， ， ∵线段绕着点B顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点B在y轴正半轴处，点在处， ∴，， ∴， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， ∴ ， ∵， ∴时，的值最小，为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，，记旋转角为． （1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标； （2）如图②，当时，求的长及点的坐标． 【答案】（1），（2）的长为， 【详解】（1）点， 是等腰直角三角形 当点落在边上时， 过点作于点 （2）如图，连接，过作轴于点，轴于点， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 设，则 在中 即 解得（舍） 的长为， 【点睛】本题考查了旋转变换，坐标与图形，勾股定理，解一元二次方程，三角形全等的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 【经典例题八 坐标系中的旋转】 1．（25-26八年级下·山西忻州·月考）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点绕着原点逆时针旋转得到点，连接、、得，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点坐标与图形、旋转的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．过点作轴于点，先求出，，，再根据旋转的性质可得点落在轴正半轴上，，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 过点作轴于点， ∵点的坐标为， ∴， ∴，， ∵将点绕着原点逆时针旋转得到点， ∴点落在轴正半轴上，， ∴的面积为． 故选：D． 2．（24-25八年级下·山西大同·专项练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点到轴的距离为4，，点为轴上一点，且．将绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第79秒时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，勾股定理，根据题意利用勾股定理求得的长，再根据题意得到点的坐标每8次一循环，求出此时点的坐标即可解决问题．能根据题意发现点的坐标每8次一循环是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，点到轴的距离为4， ， 根据勾股定理可得， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， 根据将绕点顺时针旋转，每秒旋转， 当时间为第1秒时，如图，过点作交于点， ， 此时， 则， ， 当时间为第2秒时，点落在轴负半轴上，则， 当时间为第3秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第4秒时，点落在轴负半轴上，可得， 当时间为第5秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第6秒时，点落在轴正半轴上，可得， 当时间为第7秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第8秒时，点落在轴正半轴上，可得， 点的坐标为8秒一循环， ， 第79秒时点的坐标为， 故选：A 3．（25-26八年级下·天津河西·专项练习）已知点，点，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角，全等三角形对应角相等是解题的关键． 设点的对应点为，过点作轴的垂线，垂足为点，由旋转的性质得到，，进而证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，设点的对应点为，过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ． 由旋转性质得，，， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·月考）如图1，与都是等腰三角形，，，且． (1)求证：； (2)如图2，若，试判断线段与的关系，并说明理由； (3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)的最小值为4，. 【分析】（1）根据题意得，即可求证； （2）根据题意得，再证，即可求解； （3）把绕点顺时针旋转 得到 （与 重合），则 ，，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵与都是等腰三角形， ∴ ∴ 在和中 ∴ （2） 理由：∵与都是等腰三角形， ∴ ∴ 在和中 ∴        ∴ （3）由题意得：，，把绕点顺时针旋转 得到 （与 重合），则 ，如图； ∵， ∴ ∵， ∴，即线段长度最小时，的长度最小， ∴当轴时，的长度最小，此时， ∴，的最小值为4 ∴. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，通过旋转变换，构造相似三角形或全等三角形，是解题的关键． 【经典例题九 中心对称图形规律问题】 1．（23-24八年级上·山东济宁·月考）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 2．（23-24八年级下·河北保定·专项练习）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解． 【详解】解：由题意，，，，，，，， …… 可得每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律． 3．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去．则（n是正整数）的顶点的坐标是________． 【答案】(4041，) 【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可． 【详解】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2-1=3，2×0-=-， ∴点A2的坐标是（3，-）， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×3-1=5，2×0-（-）=， ∴点A3的坐标是（5，）， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×4-1=7，2×0-=-， ∴点A4的坐标是（7，-）， … ∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×4-1，…， ∴An的横坐标是2n-1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）-1=4n+1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是-， ∴顶点A2n+1的纵坐标是， ∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）， 当n=2021时，顶点A2n+1的坐标是（4041，）， 故答案为：（4041，）． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出An的横坐标、纵坐标各是多少． 4．（23-24八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析， 【分析】（1）由题意确定点，，的位置，再连线即可； （2）根据中心对称的性质求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴的交点即为所求的点． 【详解】（1）解：如图所示：   即为所求； （2）解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点， ，， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图所示：   点即为所求，． 【点睛】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的性质是解答本题的关键． 【经典例题十 已知两点关于原点对称求参数】 1．（25-26八年级下·山西阳泉·专项练习）点和点关于原点对称．则值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据关于原点对称的点坐标关系求出m和n的值，再计算的值． 本题考查了原点对称，熟练掌握对称的意义是解题的关键． 【详解】解：点和点关于原点对称， 故， 解得， 故， 故选：C． 2．（25-26八年级下·四川达州·专项练习）下列命题中，真命题的是（   ） ①若，则；②已知点和点关于原点对称，则的值为14；③若一组数据，极差为，则x的值是或．④． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【分析】判断每个命题的真假：①由等式得，与结论矛盾；②由对称点坐标求和，计算；③极差为时可能为或；④计算化简后等式成立. 【详解】∵命题①：==，∴，即，与结论矛盾，故为假命题； ∵命题②：点与关于原点对称，∴且，解得，，∴，故为假命题； ∵命题③：数据2，4，x，的极差为7，最小值可能为或，最大值可能为或. 若为最大值，则，；若为最小值，则，；其他情况极差不为7，∴或，故为真命题； ∵命题④：，与右边相等，故为真命题； ∴真命题为③④． 故选D. 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）已知点与点关于原点对称，则_________． 【答案】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·河南新乡·期中）（1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求，的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程，关于原点对称的点的坐标特征， （1）将原方程转化为，然后将方程的左边进行因式分解，再转化为两个一元一次方程进行求解即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴或， 解得：，； （2）∵点与点关于原点对称， ∴， 解得：． 【经典例题十一 证明四边形是平行四边形】 1．（2026·八年级下 河北石家庄）如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接并延长至点，连接．有下列条件：①；②；③．要使四边形为平行四边形，可以增加的一个条件是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或②或③ 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定条件分析即可； 【详解】， ， ， 当时，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形； 当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形． 2．（24-25八年级下·山西运城·专项练习）如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明和可得，由等边三角形的性质得，得四边形是平行四边形；；可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故可得结论． 【详解】解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则的值为__________． 【答案】9 【分析】利用平行四边形的对角线互相平分性质，建立方程求解和的值，再计算． 【详解】解：要使四边形为平行四边形，则对角线与互相平分，即． 由，得，即． 由，得，即． 解方程组: 解得： 故． 故答案为：9. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握对角线互相平分的四边形为平行四边形． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为的对角线，的平分线交于F，延长交于，连接，当时． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，写出图中所有与长度相等的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，等量代换思想求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ； ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十二 平行四边形的性质与判定综合应用】 1．（25-26八年级下·浙江·期中）如图，已知，，．若的面积是5，则四边形的面积是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】根据平行线之间的距离处处相等，以及，得到四边形、、面积之间的关系，即可求解． 【详解】解：设直线与直线之间的距离为， 则， ， ． ，， 四边形是平行四边形． ． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，点，分别在边，上，线段，相交于点，且互相平分．若，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与交于点且互相平分，得，证明，再证出四边形是平行四边形，根据等量关系，得，即可求出四边形的周长． 【详解】解：线段与交于点且互相平分， 得， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为 ． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·专项练习）如图，已知的面积为a，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×hCF的值即可． 【详解】解：连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M， ∵四边形CDEF是平行四边形， ∴DE∥CF，EF∥CD， ∴AM∥DE∥CF，AC∥FM， ∴四边形ACFM是平行四边形， ∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同， ∴△BDE的面积和△CDE的面积相等， 同理△ADE的面积和△AME的面积相等， 即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF， ∵△ABC的面积是，， ∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝a， ∴CF×hCF＝a， ∴阴影部分的面积是CF×hCF＝a＝， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，正确得出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半是解题关键． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，四边形是平行四边形，点从点运动到点的速度与点从点运动到点的速度相同，点从点运动到点的速度与点从点运动到点的速度相同，连接，． (1)四点出发前，与是否互相平分？请说明理由． (2)若四点同时出发且均没到终点，则（1）中的结论还成立吗？为什么？ 【答案】(1)与互相平分，理由见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）由四边形为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可判定； （2）首先连接，，，，然后通过证明三角形全等，得到四边形的两组对边分别相等，证得四边形为平行四边形，则与相互平分． 【详解】（1）解：四点出发前，与互相平分．理由如下： 如图①，设对角线与相交于点． 四边形是平行四边形， ，，即与互相平分． （2）解：（1）中的结论还成立．理由如下： 如图②，连接，，，． 四边形是平行四边形， ，，，． 由题意，得，， ，． 在和中， ， ． 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解决本题的关键． 【经典例题十三 三角形中位线的综合应用】 1．（24-25八年级下·上海浦东新·专项练习）已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识．连接并延长交于点H，由，得，而，，即可根据证明，得，，因为，，所以，由三角形中位线定理得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接并延长交于点H， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点E为的中点，点F为的中点，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·广东深圳·专项练习）如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中，各点始终在同一平面内，下列说法错误的是（    ） A．四边形的形状为平行四边形 B．四边形的面积始终在变小 C．四边形的面积是四边形面积的 D．四边形的周长等于四边形的对角线之和 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，掌握相关知识点并灵活运用，连接相交于点O是解题的关键． 连接相交于点O，根据三角形的中位线定理可判定选项A，D；利用与三角形的中线有关的面积关系，可判定选项B，C． 【详解】解：如图，连接相交于点O， 分别为的中点， 为的中位线， ， 同理可得，，， ， 四边形的形状为平行四边形， 故选项A正确； ， 四边形的周长等于四边形的对角线之和， 故选项D正确； 如图2，连接，设与交于点M，与交于点N， H为的中点， ， 又，即 M为的中点， ， 同理可得，， ， 四边形的面积等于的面积的一半， 对角线将平行四边形分割得到的四个四边形均等于各自所在大三角形的面积的一半， 四边形的面积是四边形面积的， 故选项B错误，选项C正确； 故选：B． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·专项练习）如图是一张面积为的纸片，其中，，是三角形的中位线，，分别是线段，上的动点．沿着虚线将纸片裁开，并将两侧的纸片按箭头所示的方向分别绕点，旋转在同一平面内拼图，使得与重合，与重合．则拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值之差为_________． 【答案】 【分析】首先说明拼成的四边形是平行四边形，周长=2MN+10，求出MN的最小值，最大值，可得结论． 【详解】解：如图， 由旋转的性质可知，BC=N′N″，M′M″=2DE， ∵AD=DB，AE=EC， ∴DE∥BC，BC=2DE， ∴M′M″∥N′N″，M′M″=N′N″， ∴四边形M′M″N″N′是平行四边形， ∴四边形M′M″N″N′的周长=2MN+10， 如图，连接BE，过点A作AH⊥BC于H，EJ⊥BC于J． ∵S△ABC=•BC•AH=10，BC=5， ∴AH=4， ∵∠ABC=45°， ∴AH=BH=4， ∴CH=CB-BH=5-4=1， ∵AH∥EJ，AE=EC， ∴JH=JC=， ∴EJ=AH=2，BJ=BH+JH=， ∴BE=， 当MN⊥BC时，MN的值最小，此时拼成的四边形纸片周长的值最小，最小值=14， 当MN与线段BE重合时，MN的值最大，此时拼成的四边形纸片周长的最大，最大值= ， ∴拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值的差为． 故答案为． 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，三角形面积，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是求出MN的最大值和最小值，属于中考填空题中的压轴题． 4．（25-26八年级下·江西南昌·月考）综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践中提出这样一个问题：分别以的边、为腰，向外作等腰和等腰，使，，，点，，分别是边、，的中点，连接，，探究，的数量关系． 特例感知 （1）如图，当，，，的数量关系为：______； 类比探究 （2）如图，当为任意三角形时，猜想并证明，的数量关系； 拓展应用 （3）如图，若，直接写出的度数；（用含的式子表示） （4）如图，点，分别在外，，，点是的边的中点，连接，，证明：． 【答案】（1） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，中位线的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定； （1）根据题意得出三点共线，根据已知得，进而根据中位线的性质，即可得出结论； （2）证明，得出，进而根据中位线的性质，即可得出结论； （3）设交于点，交于点，根据全等三角形的性质可得，进而可得，则，设交于点，交于点，根据中位线的性质可得则四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求解； （4）延长至，连接，同理可得则，进而根据中位线的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴三点共线， 又∵， ∴ 即 ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （2）如图，连接， ∵ ∴即 又∵， ∴ ∴ ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （3）解：如图，设交于点，交于点， ∵ ∴即 又∵ ∴ ∴ 如图，设交于点，交于点， ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， （4）如图，延长至，使得，连接， ∵ ∴ 同理可得 ∴ 又∵点是的边的中点，分别为的中点 ∴ ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.8 平行四边形52道压轴题型专训（13大题型） 题型一 多边形内角和与外角和综合应用 题型二 解决多边形对角线相关问题 题型三 利用平行四边形的性质解决相关问题 题型四 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型五 旋转的性质及辨析 题型六 坐标与旋转规律问题 题型七 求绕原点旋转的点的坐标 题型八 坐标系中的旋转 题型九 中心对称图形规律问题 题型十 已知两点关于原点对称求参数 题型十一 证明四边形是平行四边形 题型十二 平行四边形的性质与判定综合应用 题型十三 三角形中位线的综合应用 【经典例题一 多边形内角和与外角和综合应用】 1．（2023·八年级下 甘肃陇南）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若一个三角形的三个外角度数之比为，则最大内角度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·八年级下 河北保定）如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________． 4．（23-24八年级下·山东聊城·专项练习）在五边形ABCDE中，，，． (1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线； (2)如图②，若比小，求出的度数； (3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数． 【经典例题二 解决多边形对角线相关问题】 1．（25-26八年级下·山东·专项练习）若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26八年级下·贵州遵义·专项练习）观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北邯郸·专项练习）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2026个三角形，那么这个多边形的边数是_____． 4．（25-26八年级下·全国·周测）如图所示的多边形分别为正五边形、正六边形、正十边形、正十二边形． (1)在以上各正多边形中分别任选一个顶点作对角线，把各多边形分割为若干个三角形． (2)根据（1）中你的分割结果提出猜想，并说明过正三十边形的一个顶点作对角线，能把正三十边形分割成多少个三角形． (3)在（2）中，当把正三十边形换为任意三十边形时，结论是否还能成立？请说明理由． 【经典例题三 利用平行四边形的性质解决相关问题】 1．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，的对角线与相交于点O，，垂足为E．，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，相交于点O．下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接、，则下列结论中：①；②；③；④．一定成立的有的结论有_________．（填正确结论的序号）    4．（24-25八年级下·辽宁鞍山·月考）如图所示，平行四边形和平行四边形有公共边，边和在同一条直线上，且，过点A作交于点G，交于点H，连接． (1)判断的形状，并证明； (2)若，，求的周长； (3)求证：． 【经典例题四 根据旋转的性质说明线段或角相等】 1．（23-24八年级下·广东深圳·专项练习）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，、分别与交于、两点，将绕着点顺时针旋转得到；①,②平分；③若，,则；④若则，其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024 八年级下·河北）如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点，均在轴上．将绕顶点旋转得到，则的坐标为________． 4．（23-24八年级下·辽宁大连·月考）按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 【经典例题五 用旋转的性质求解和辨析】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）下面是假命题的是（    ） A．底边和一腰对应相等的两个等腰三角形全等 B．勾股定理和勾股定理的逆定理是一对互逆定理 C．经过旋转，对应线段平行且相等 D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等 2．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图1，在中，，，E，F分别是，的中点，连接．如图2，将绕点C按逆时针方向旋转得到，连接．若平分，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，点D为等边三角形的中点，连接，将绕点D顺时针旋转（）得到，边、分别与交于点E、F，当的内角是与另两个内角中的一个存在两倍关系时，的度数为______． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）【特例感知】 在中，，， (1)如图1，若，将绕点逆时针旋转得到，连接，则________； (2)如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时点，，恰好共线，连接，求的面积； 【问题解决】 (3)如图3，某旅游开发公司计划在某荒岛周边修建观光公园．岛屿中心有一座瞭望塔（视为点），用于监控全园生态及安保．计划在海岸线处设立主入口，在岛屿内部规划两个配套的生态休息驿站和．经测量，休息驿站到休息驿站和入口的距离相等（），且．测得瞭望塔到驿站的距离为米，到驿站的距离为米．为了提升游客体验，需要修建一条连接入口与瞭望塔的全景栈道．为保证视野，要求此栈道长度尽可能最长．在此条件下，求四边形区域的占地面积． 【经典例题六 坐标与旋转规律问题】 1．（23-24八年级下·山东青岛）如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·专项练习）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，中，，，点A与数轴上表示的点重合，将沿数轴正方向旋转一次使得点B落在数轴上，第二次旋转使得点C落在数轴上，依此类推，第2025次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是____________________ ． 4．（23-24八年级下·江苏盐城·专项练习）【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示） （3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 【经典例题七 求绕原点旋转的点的坐标】 1．（25-26八年级下·全国）如图，将先向上平移1个单位长度，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·专项练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，将绕原点按顺时针方向旋转，得到，其中与对应，与对应，则的坐标是(   ) A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）在平面直角坐标系中，点B在y轴正半轴处，点在处，线段绕着点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为________(用字母m表示）；连接，则的最小值为________． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，，记旋转角为． （1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标； （2）如图②，当时，求的长及点的坐标． 【经典例题八 坐标系中的旋转】 1．（25-26八年级下·山西忻州·月考）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点绕着原点逆时针旋转得到点，连接、、得，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西大同·专项练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点到轴的距离为4，，点为轴上一点，且．将绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第79秒时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·天津河西·专项练习）已知点，点，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为______． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·月考）如图1，与都是等腰三角形，，，且． (1)求证：； (2)如图2，若，试判断线段与的关系，并说明理由； (3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【经典例题九 中心对称图形规律问题】 1．（23-24八年级上·山东济宁·月考）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北保定·专项练习）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去．则（n是正整数）的顶点的坐标是________． 4．（23-24八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【经典例题十 已知两点关于原点对称求参数】 1．（25-26八年级下·山西阳泉·专项练习）点和点关于原点对称．则值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级下·四川达州·专项练习）下列命题中，真命题的是（   ） ①若，则；②已知点和点关于原点对称，则的值为14；③若一组数据，极差为，则x的值是或．④． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）已知点与点关于原点对称，则_________． 4．（25-26八年级下·河南新乡·期中）（1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求，的值． 【经典例题十一 证明四边形是平行四边形】 1．（2026·八年级下 河北石家庄）如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接并延长至点，连接．有下列条件：①；②；③．要使四边形为平行四边形，可以增加的一个条件是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或②或③ 2．（24-25八年级下·山西运城·专项练习）如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则的值为__________． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为的对角线，的平分线交于F，延长交于，连接，当时． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，写出图中所有与长度相等的线段． 【经典例题十二 平行四边形的性质与判定综合应用】 1．（25-26八年级下·浙江·期中）如图，已知，，．若的面积是5，则四边形的面积是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，点，分别在边，上，线段，相交于点，且互相平分．若，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·专项练习）如图，已知的面积为a，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为______． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，四边形是平行四边形，点从点运动到点的速度与点从点运动到点的速度相同，点从点运动到点的速度与点从点运动到点的速度相同，连接，． (1)四点出发前，与是否互相平分？请说明理由． (2)若四点同时出发且均没到终点，则（1）中的结论还成立吗？为什么？ 【经典例题十三 三角形中位线的综合应用】 1．（24-25八年级下·上海浦东新·专项练习）已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东深圳·专项练习）如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中，各点始终在同一平面内，下列说法错误的是（    ） A．四边形的形状为平行四边形 B．四边形的面积始终在变小 C．四边形的面积是四边形面积的 D．四边形的周长等于四边形的对角线之和 3．（23-24八年级下·湖北武汉·专项练习）如图是一张面积为的纸片，其中，，是三角形的中位线，，分别是线段，上的动点．沿着虚线将纸片裁开，并将两侧的纸片按箭头所示的方向分别绕点，旋转在同一平面内拼图，使得与重合，与重合．则拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值之差为_________． 4．（25-26八年级下·江西南昌·月考）综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践中提出这样一个问题：分别以的边、为腰，向外作等腰和等腰，使，，，点，，分别是边、，的中点，连接，，探究，的数量关系． 特例感知 （1）如图，当，，，的数量关系为：______； 类比探究 （2）如图，当为任意三角形时，猜想并证明，的数量关系； 拓展应用 （3）如图，若，直接写出的度数；（用含的式子表示） （4）如图，点，分别在外，，，点是的边的中点，连接，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $