专题4.4 平行四边形的判定定理重难点题型专训（1个知识点+8大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本初中数学讲义聚焦平行四边形的判定定理这一核心知识点，系统梳理边（三组判定）与对角线（一组判定）的判定方法及灵活选择策略，衔接平行四边形性质学习，为特殊平行四边形学习搭建逻辑支架。 资料以8大题型（如证明、添条件、坐标找点）和拓展训练构建分层体系，融入光线折射、道闸等生活实例，培养几何直观与推理意识，课中助力教师高效突破重难点，课后通过自我检测帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题4.4 平行四边形的判定定理重难点题型专训 （1个知识点+8大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 证明四边形是平行四边形 题型二 判断能否构成平行四边形 题型三 添一个条件使四边形成为平行四边形 题型四 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型五 全等三角形拼平行四边形问题 题型六 利用平行四边形的判定与性质求解 题型七 利用平行四边形性质和判定证明 题型八 平行四边形性质和判定的应用 拓展训练一 平行四边形的性质与判定综合应用 知识点一：平行四边形的判定 1. 平行四边形的判定方法 图示 判定方法 符号语言 边 判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 AB∥CD且AB＝CD， 四边形ABCD是平行四边形 判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 AB＝CD，AD＝BC， 四边形ABCD是平行四边形 判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 AB∥CD，AD∥BC， 四边形ABCD是平行四边形 对角线 判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 OA＝OC，OB＝OD， 四边形ABCD是平行四边形 2. 灵活选择平行四边形的判定方法 （1）若已知一组对边平行，可证明该组对边相等或证明另一组对边平行； （2）若已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等； （3）若已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分； （4）若已知条件与角有关，可证明两组对角分别相等． 【即时训练】 1．（2024·八年级下 贵州遵义）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，能推出四边形是平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【详解】解：由题意可知，，， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 2．（2024·八年级下 浙江宁波）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和． 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键． 延长到E，使，连接，，根据线段中点的定义得到，推出四边形是平行四边形，得到，，根据阿波罗尼奥斯定理解方程即可得出结论． 【详解】解：延长到E，使，连接，， 点D是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 由阿波罗尼奥斯定理得：， ， ， ， 故答案为：． 【经典例题一 证明四边形是平行四边形】 【例1】（23-24八年级下·河北廊坊·月考）如图，是的中线，延长至点，使，连接，．求证：四边形是平行四边形．下面是被打乱的证明步骤，则正确的顺序是（    ） ①四边形是平行四边形；    ②； ③是的中线；    ④ A．①②③④ B．②①④③ C．③②④① D．④②③① 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据是的中线得出，结合，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：③是的中线； ②； ④ ①四边形是平行四边形； 则正确的顺序为③②④① 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【详解】解：根据尺规作图可知，， ∴四边形为平行四边形， 其依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 1．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）在四边形中，由下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐个分析各选项是否满足判定条件即可． 【详解】解：A、由，不能判定四边形是平行四边形，等腰梯形也可满足此条件，故此选项不符合题意； B、由，不能判定四边形是平行四边形，直角梯形也可满足此条件，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D、由，不能判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 2．（2026·八年级下 江苏无锡）四边形中，对角线相交于点O，给出下列四个条件：①；②；③；④；从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐个分析所有任选两个条件的组合，判断能否判定四边形为平行四边形，统计符合要求的选法数量即可． 【详解】解：从四个条件中任选两个，有①②，①③，①④，②③，②④，③④共6种组合，逐个分析如下： 选①②：，，四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，不符合； 选①③： ∵， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，符合； 选①④： ∵， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，符合； 选②③：，，无法满足平行四边形的判定条件，不能判定为平行四边形，不符合； 选②④：，，无法满足平行四边形的判定条件，不能判定为平行四边形，不符合； 选③④： ∵，，即对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形，符合； 综上，能使四边形为平行四边形的选法共3种． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是直线外一点，在上取两点，，连接．分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是__________．理由是______________． 【答案】 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】先根据分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，得出，再判断四边形是平行四边形的依据． 【详解】解：根据尺规作图的画法可得:， 四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是根据尺规作图得到两组对边分别相等，进而判定出四边形为平行四边形． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，若，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）根据题意，利用可证得，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论； （2）根据平行四边形对角线相互平分和勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题二 判断能否构成平行四边形】 【例1】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）学习平行四边形一章时王老师要求某一小组A、B、C、D四名同学每人准备四根小木棒（单位：），把四人准备的小木棒首尾顺次连接，可以拼成一个平行四边形的是（   ） A．2，3，4，5 B．3，2，3，5 C．3，4，5，3 D．2，3，2，3 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定， 根据平行四边形的判定条件，四根木棒首尾顺次连接构成平行四边形的必要条件是两组对边分别相等，据此求解即可． 【详解】选项A：2，3，4，5．四根长度均不同，无法形成两组相等的对边，排除． 选项B：3，2，3，5．仅有两根3，其余为2和5，无法使对边相等（如对边为3和3，另一组为2和5，不相等），排除． 选项C：3，4，5，3．对边为3和5，4和3，均不相等，排除． 选项D：2，3，2，3．对边为2和2，3和3，满足两组对边相等，符合条件． 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）梦梦拿出两段长度相等的木棒平行摆放，然后顺次连接四个端点，得到的图形一定是______，理由是_______． 【答案】 平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】将两段平行且相等的木棒对应为四边形的一组对边，利用平行四边形的核心判定条件分析． 【详解】解：设两段木棒为线段和，由题意得且，顺次连接四个端点得到四边形． ∵，， ∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)． 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）下列说法中错误的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和判定定理，逐个判断选项正误即可． 【详解】解：A、根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，该说法正确，不符合题意； B、在四边形中，若且，仅能推出，无法推出，例如等腰梯形满足两对邻角互补，但不是平行四边形，该说法错误，符合题意； C、根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该说法正确，不符合题意； D、设四边形中，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，该说法正确，不符合题意； 故选B． 2．（25-26八年级下·北京·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、两组对角都不相等，不能判定是平行四边形，故A不符合题意； B、一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形，故B不符合题意； C、根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形，故C符合题意； D、根据，判定一组对边平行，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形，故D不符合题意． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为________________． 【答案】平行且相等/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 根据已知条件且，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质，得出与的关系． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴且，即与的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等（或）． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)在图1中，画一个斜边长为，面积为的直角三角形； (2)在图2中，画一个有一条边长为，面积为的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点、、，连接、、即可； （2）取格点、、、，连接、、、即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知，，，， ∴，的面积为； （2）解：如图，四边形即为所求． 由图及勾股定理可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∵的底，边上的高为 ∴的面积为． 【经典例题三 添一个条件使四边形成为平行四边形】 【例1】（2024·八年级下 河北邯郸）在四边形中，，其中部分线段的长已标记在图中，要使四边形为平行四边形，有如下三种添加条件的方案：甲：应添加条件“”；乙：应添加条件“”；丙：应添加条件“”．其中正确的是（    ）． A．甲和丙 B．甲和乙 C．只有乙 D．甲、乙和丙 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 首先根据得到，然后分别利用全等三角形的性质和判定以及平行四边形的判定定理求解即可． 【详解】∵ ∴ 若添加条件“” ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形，故甲正确； 若添加条件“” ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形，故乙正确； 若添加条件“” ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形，故丙正确； 综上所述，其中正确的是甲、乙和丙． 故选：D． 【例2】（2026·八年级下 河北邯郸）如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为______． 【答案】 【分析】根据已知条件结合平行线的判定得出，要使四边形为平行四边形，则需满足，即可求解． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． 1．（2024·八年级下 河北邯郸）如图，在中，M，N分别是边上的点，延长至点P，连接，，要使四边形为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加； 乙：添加； 丙：添加． 则正确的方案（    ） A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对 C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对 【答案】B 【分析】本题考查添加条件使四边形成为平行四边形，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：， ， 甲：添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形为平行四边形； 乙：添加后，满足两组对边平行，能证明四边形为平行四边形； 丙：添加后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形为平行四边形； 综上可知，只有乙、丙才对， 故选B． 2．（2026·八年级下 河北保定）如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知条件中有，因此被覆盖住的条件应为，或者能够推导出． 【详解】解：A．添加后，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，不合题意； B．由可得，仅有一组对边平行，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； C．添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； D．由可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，符合题意． 3．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（或或或） 【分析】利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定证明即可． 【详解】解：， ； 添加， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：（或或或）． 4．（2025·八年级下 江苏宿迁）如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【答案】①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先证明，得到，，推出，添加①，得到，可证明四边形是平行四边形；添加③， 由，可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：点为的中点，， 在和中， ， ， ，， ， 添加①，理由如下， ， ， 四边形是平行四边形； 添加③，理由如下， ， 四边形是平行四边形． 【经典例题四 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例1】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解．如图，三点不共线，连接、、，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：如图，三点不共线，连接、、， 分别以、、为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：，，； 综上所述，可以作3个平行四边形， 故选：B． 【例2】（2023八年级下·浙江·专题练习）在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 【答案】3/三 【分析】在同一直线上的三点为，连接，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：设已知三点为，连接， 分别以为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及分类讨论的数学思想，熟练掌握判定定理是解题的关键． 1．（2024·八年级下 湖南娄底）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 2．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 3．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·月考）已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：设点D的坐标为，当、为平行四边形对角线或当、为对角线或、为对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， 当、为平行四边形对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 4．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向左平移个单位后的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的： (3)若点在第三象限，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】（）根据平移的性质画图即可； （）根据旋转的性质画图即可； （）根据平行四边形的判定解答即可； 本题考查了平移作图，旋转作图，平行四边形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图，当点的坐标是时，点在第三象限，可知且，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：． 【经典例题五 全等三角形拼平行四边形问题】 【例1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】因为直角边不等，直角三角形三条边长度均不同，每种对应边重合可得到不同平行四边形，统计个数即可． 【详解】解：分别将两条不同直角边、斜边依次重合拼接，共得到3种不同的平行四边形，如图： ∴能拼成的不同平行四边形的个数是3． 【例2】（23-24八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 1．（25-26八年级下·上海松江·月考）下列说法正确的有（    ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形；    ②平行四边形的对角互补． ③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；    ④平行四边形的四个内角之比可以是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定和性质，逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，故①正确； ②平行四边形的性质为对角相等，邻角互补，并非对角互补，故②错误； ③将两个全等三角形的一组相等边重合反向拼接，即可得到平行四边形，故③正确； ④平行四边形对角相等，邻角互补，若四个内角比为，满足对角占比相等，根据四边形内角和为，可计算得四个角分别为，，，，满足对角相等，邻角和为，符合平行四边形的性质，故④正确， 综上，正确的说法共有3个． 2．（23-24·八年级下 河北）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 3．（23-24·八年级下 青海）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 【答案】． 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）图1可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；图3以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可； （2）根据平行四边形的判定方法证明即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：如图1中，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝， ∴四边形ABCD是平行四边形．（同理，图2和图3均可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行证明） 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用直角三角形和平行四边形的性质进行拼接． 【经典例题六 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角相等，由此即可得到答案． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【例2】（25-26八年级下·上海松江·月考）如图，点A、B在的对角线所在的直线上且．若，则_________． 【答案】/35度 【分析】利用平行四边形的性质证明即可． 【详解】解：∵中， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在梯形中，，，，，，为边上一点，，则，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形，从而得出，，然后求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长，即为，之间的距离． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在中，， ，即，且， ，之间的距离为的长，即． 2．（25-26八年级下·四川南充·月考）如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】C 【分析】由题意先判断四边形和四边形都是平行四边形，再根据，可得，再根据比例关系即可求解． 【详解】解：∵,, ∴, ∵ ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ， ∴． 3．（25-26八年级下·上海·月考）我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 【答案】 8或 【分析】根据平行线的性质可得，结合“等形点”对应关系不确定的条件，分两种全等对应情况讨论，利用全等三角形的性质、勾股定理求出四边形各边长，进而计算周长． 【详解】解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图1，当时，可得，， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为； 如图2，当时，可得，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， 四边形的周长为， 综上所述，四边形的周长为或． 4．（25-26八年级下·四川内江·期末）四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）由平行线的性质得到，，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）可证明四边形是平行四边形，，则可证明四边形的周长，同理可得四边形的周长，则可推出，再根据三角形的周长公式可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ，， ∵O为对角线的中点， ∴ ∴， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长； 同理可得四边形的周长， ∵四边形与四边形的周长分别是16与10， ∴， ∴， ∴的周长． 【经典例题七 利用平行四边形性质和判定证明】 【例1】（23-24八年级下·河北衡水·期中）下面是投影屏上出示的嘉嘉同学的作业内容： 如图，在平行四边形中，点E、F分别在，上，． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形，   ∴，． ∵， ∴ ▲ ∴四边形是平行四边形， ∴． 其中，横线上“▲”符号代表的内容是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得，，由可得，即，即可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴，， 又， ， 四边形是平行四边形， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练运用平行四边形的判定是本题的关键． 【例2】（2024八年级下·全国）如图，在中，点D、E在边上，点F、G在边上，点H、K在边上，且，，，设，，则x、y的大小关系是________. 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，证明，，，，，，然后相加即可得出． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 同理可得：，，，， ∴ ， 即． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（     ） A．mn B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行四边形判定和性质，勾股定理，关键是判定四边形是平行四边形，推出，由勾股定理得到． 过A作于H，由等腰三角形的性质推出，判定四边形AEDC是平行四边形，推出，由勾股定理得到定值． 【详解】解：过A作于H， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 设，， ，， 定值， 故选：B 2．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，是沿方向平移得到，延长，相交于点F，则下列结论不正确的是（   ） A．四边形为平行四边形 B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质； 根据平移的性质可得，，，则四边形为平行四边形，然后可得出，即，再根据，可知，问题得解． 【详解】解：由平移的性质可得：，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，A正确； ∴， ∴，，B正确； ∵， ∴， ∵， ∴，C正确； 根据已知条件无法得出，D错误； 故选：D． 3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 设，，则，判定四边形是平行四边形，得到．当时，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．当时，过点作于点，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．根据O，E两点的距离减小了，得到，求得，进而点C的竖直高度上升即可求解． 【详解】解：设，， 则，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，如图， 则， 过点C作于点H， ∴，则， ∴在中，， ， ∵，， ∴． 当时，如图， 则， 过点作于点， ∴，则， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴． ∵O，E两点的距离减小了， 即， ∴， ∴， ∴点C的竖直高度上升． 故答案为： 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）请将下列题目的证明过程补充完整：如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形． 证明：如图，延长，，并截取，， ，，即， …… 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，得到，，再由等边对等角得到，，即可证明，从而有，再证明即可得证． 【详解】解：补充证明过程如下： ∵，即， 四边形是平行四边形， ，． ，， ，， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 【经典例题八 平行四边形性质和判定的应用】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，根据平行四边形的性质可判断A选项，根据点到直线的距离为垂线段的长度，平行线间的距离处处相等，可判断BCD选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故A选项正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项B错误，符合题意； ∵，，， ∴；故选项C正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质；平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形的面积等于三角形的面积．三角形的面积等于的面积，三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到5对四边形的面积分别相等． 【详解】解：为平行四边形，为对角线， 的面积等于的面积， 同理三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积， 四边形和的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等， 共5对， 故答案为：5． 1．（24-25八年级下·全国·期末）如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出；根据平行线的性质，然后根据等腰三角形的性质得平分；由，四边形是平行四边形，可得，进而由等边对等角可得：，然后由，可得，然后由角的和差计算及等量代换可得：，然后根据外角的性质可得：，进而可得：；根据等底等高的三角形面积相等即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故④错误； ∵， ∴的边上的高和的边上的高相等， ∴由三角形面积公式得：， 都减去的面积得：，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用等． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论： （1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点； （2）直线必经过点O； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和关于点O成中心对称． 其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，根据与关于点O成中心对称，得到，，，即有四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质特点，对上述结论进行判断，即可解题． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ，，， 即四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心， 点O是的对称中心，则有： （1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点，所以（1）正确． （2）为是对角线，所以直线必经过点O，即（2）正确． （3）四边形是中心对称图形，（3）正确． （4）经过对角线交点的直线，平分的面积，所以四边形和四边形的面积相等，即（4）正确． （5）由题知绕点O旋转能得到，所以和关于点O成中心对称，即（5）正确． 综上所述，正确的有5个， 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江·期末）如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是___________． 【答案】①② 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．连接，证明．同理可证，则；即可判断①正确；证明四边形是平行四边形．则，即可判断②；若四边形的面积是的2倍．则，证明三点共线，即，但没法证明，即可判断③． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴． 同理可证，， ∴， 故①正确； 连接， ∵， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴； 故②正确； 若四边形的面积是的2倍．则， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，的边上的高为， ∵， ∴， 即点和点到的距离相等， ∴， ∵， ∴三点共线，即， 但没法证明， 故③错误， 故答案为：①②． 4．（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． 【答案】(1)见解析（答案不唯一，过对角线交点O即可） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． （1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形作图即可； （2）如图，点向右4个格点，向下3个格点为，连接，则是等腰直角三角形，则，与的交点即为所求； 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴四边形是平行四边形； 则连接，交于O，做一条过O的线段即可； （2）解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求； 证明：由勾股定理可知：，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即． 【拓展训练一 平行四边形的性质与判定综合应用】 【例1】（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，等腰中，，，点D，F是边上的动点，且，过点D，F作的平行线交于点E，G．下列两条线段的和，不随D，F的运动而改变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，过G作交于H，证明四边形是平行四边形，得出，，证明，得出，证明，根据，即可得出． 【详解】解：过G作交于H， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故B符合题意； 当F向上运动时，变小，反之变大，故A不符合题意； 当D向上运动时，变小，反之变大，故C不符合题意； 当D向上运动，F向下运动时，变大，反之变小，故D不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·河北唐山·月考）如图，某同学在研究“抖空竹”时发现，当空竹在点E处时，，，已知，，且，，则的长为______． 【答案】/130厘米 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 根据平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，延长交于点F，利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 延长交于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 利用全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ，， ， ， ， ，，故①正确； ， ， ∴， ，即， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ，而不一定等于，故③错误； ，， ， ∴平分的周长，故④正确； 如图，过点E作，并延长交于点N， ∵， ， ∴， ， ， ，故⑤正确， 综上，正确的有4个． 故选；C． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若．则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作交于，交于，由是平行四边形可得，；进而得到四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及三角形面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ∵ ， ， ． 3．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键．设点，的运动时间为，根据题意，得，，，然后分类计算即可． 【详解】解：设点，的运动时间为，根据题意，得，，， 当点P到达点D时所用时间为， 根据题意，得， 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第二次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得，大于，舍去， 故答案为：或或． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得到不等式组，求出，进而得到，即可得出A、D两点坐标； （2）①连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，证明，得到，，再根据等腰直角三角形的性质，证明，，，从而推出是等腰直角三角形，然后证明，得到，即可求解． ②分两种情况讨论：当点在原点右侧时，过点作交延长线于点，先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，即可得出数量关系；当点在原点左侧时，过点作交于点，同理求证即可． 【详解】（1）解：， ，解得：， ， ， ； （2）解：①如图，连接，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵ ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴ ②当点在原点右侧时，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 当点在原点左侧时，过点作交于点， 同理可证，四边形是平行四边形，， ，， ， ， 即， 综上可知，、、三条线段之间的数量关系为或． 1．（25-26八年级下·重庆江北·期中）下列命题中，是假命题的是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定规则逐一判断选项，即可找出假命题. 【详解】∵选项A，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，是真命题，不符合要求. ∵选项B，对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，是真命题，不符合要求. ∵选项C，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合要求. ∵选项D，两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形，例如筝形满足两组邻边分别相等，但不是平行四边形，因此原命题是假命题，符合要求. 故选：D. 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出四边形中，，，的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用到“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，只需判断四个选项中，对角所占的份数是否相等，即可得出结论． 【详解】解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形， 若四边形为平行四边形，需要满足，，即四个角度数之比中，与的份数相等，与的份数相等， 观察四个选项，只有选项D满足上述条件，因此能判定四边形是平行四边形． 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．，其中为对角线与的交点 D． 【答案】D 【详解】解：A、 ∵ ，即两组对边分别相等， ∴ 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B 、∵ ，即两组对边分别平行， ∴ 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C 、∵ ，即对角线互相平分， ∴ 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； D 、∵ ， ∴ 四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故此选项符合题意． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，M是的中点，且，，则平行四边形的面积为（　　） A．32 B．40 C．48 D．60 【答案】A 【分析】过点M作于点N，作交延长线于点E，可得四边形是平行四边形， ， ，，得是直角三角形，，由，得，即得． 【详解】解：过点M作于点N，作交延长线于点E， ∵在平行四边形中，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形是平行四边形．如图，有甲、乙、丙三种方案，其中正确的方案有（    ） A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 【答案】A 【分析】甲方案：连接交于点O，证明，即可，乙方案：证明，且即可，丙方案的思路与乙方案相似求解． 【详解】解：甲方案：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 乙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴     ∴， ∴四边形是平行四边形． 丙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴     ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角形的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 6．（23-24八年级下·湖北襄阳）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 【答案】C 【分析】延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小． 【详解】解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．    ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理：=， 延长交的延长线于点． ∴，， ∴，， 在中，， ， 的最小值为14． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 7．（25-26八年级下·安徽安庆·月考）如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是(    ) A． B． C．四边形是平行四边形 D． 【答案】A 【分析】由是的中点，是上的动点，可知与不一定垂直，可判断A错误；由平行四边形的性质及，分别是，的中点，推导出，，而，即可根据“”证明，得，可判断B正确；由等角的补角相等推导出，则，因为，所以四边形是平行四边形，可判断C正确，证明四边形是平行四边形得出，根据即可判断D正确． 【详解】解：是的中点，是上的动点， 与不一定垂直，故A错误； 四边形是平行四边形，，分别是，的中点， ，，且，， ，， 在和中， ， ， ，故B正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故C正确； ∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 又∵ ∴，故D正确． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下面有四个命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； ③一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； ④一组对角相等，连结这组对角的顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题是（    ） A．④ B．③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解决本题的关键． 根据平行四边形的判定求解即可． 【详解】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形，故是假命题； ②一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，故是假命题； ③一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形不是平行四边形，故是假命题； ④一组对角相等，连结这组对角的顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形，真命题． 理由：如图，在四边形中，，． 假设四边形不是平行四边形，则， 不妨设，则在上取点E，使得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，这与矛盾， ∴假设的四边形不是平行四边形不成立，即四边形是平行四边形． 综上：正确的命题是④． 故选：A． 9．（24-25八年级下·内蒙古包头）如图入口进入，沿框内问题的正确判断方向，最后到达的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，全等三角形的判定，平行四边形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．逐个判断命题的真假，假命题要举出反例，最后得出结论即可． 【详解】解：“有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等”是假命题， 如图，和，如果这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时， 满足， 但与不全等； ∴“有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等”是假命题； “一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题， 如图，等腰，在底边上取一点D（非中点），使得； 再以点A为圆心、为半径画弧，以点D为圆心、为半径画弧，两弧交于点E； 连接，得到四边形． 由作法可知，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时四边形中，一组对角相等（），一组对边相等（）， 但四边形不是平行四边形，故“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题． 综合以上到达的是丁， 故选：D 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，含30°角的三角板的直角边靠在直尺上平移得到．已知，，平移距离为12，则四边形的面积是（   ） A．96 B． C．192 D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，根据平移的性质求出，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在中，， 由平移的性质可知： ∴四边形为平行四边形， 平移距离为， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平移的性质、平行四边形的判定和性质以及解直角三角形，解题的关键是得出四边形为平行四边形. 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）图①是四连杆平开窗铰链，图②是其示意图．已知，，，．当时，窗户为完全开启状态，此时点A到点E的距离为________cm． 【答案】28 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键． 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得，通过勾股定理可求出，最后再根据线段的和与差即可求解． 【详解】解：，， ∴四边形为平行四边形， ． ， ． 在中，，， ， ，即点到点的距离为． 故答案为：． 12．（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知与关于点O成中心对称，过点O作直线MN分别交AD，BC于点M，N．现有下列结论：①点M和点N，点B和点D分别关于点O对称；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等；⑤和关于点O成中心对称．其中正确的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题主要考查了中心对称的性质以及平行四边形的性质的运用，熟练掌握平行四边形的性质及中心对称图形的性质是解决此题的关键． 由于与关于点成中心对称，那么可得到、，即四边形是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，可根据上述特点对各结论进行判断． 【详解】解：与关于点成中心对称， 、， ∴四边形是平行四边形， ∴点就是的对称中心，则有： ①点和点；和是关于中心的对称点，正确，符合题意； ②直线必经过点，正确，符合题意； ③四边形是中心对称图形，正确，符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴四边形与四边形成中心对称， ∴四边形与四边形的面积相等，正确，符合题意； ⑤与关于点成中心对称，正确，符合题意； 其中正确的有①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 13．（23-24八年级下·天津和平·期末）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，，，，均为格点． （1）四边形是______ 四边形，四边形面积等于______ ； （2）请用无刻度直尺，在所示的网格中求作一点，使得以为底边的等腰三角形的面积等于并简要说明点的位置是如何找到的______（不要求证明） 【答案】 平行 2 见解析． 【分析】（1）利用一组对边平行且相等可判断四边形是平行四边形；根据平行四边形的面积公式计算四边形面积； （2）如图，点、、分别为小正方形网格的边的中点，连接、，与的交点为点，为与网格线的交点，再把绕点顺时针旋转得到，由得，即垂直平分，所以；然后利用四边形的面积为得到等腰三角形的面积等于，从而可判断点满足条件． 【详解】解：（1），， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， 四边形面积为：； （2）如图，与网格线的交点为，为中点， 小正方形网格的边的中点、、， 连接、， 四边形的面积为， 与的交点为点， 将绕点顺时针旋转得到， 由网格知：， ， 垂直平分， ； 四边形的面积为， 等腰三角形的面积等于， 则点即为所求． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的面积． 14．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n． （1）若点P是平行四边形的对称中心，则________； （2）平行四边形的面积为________（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、三角形中位线的判定及性质，中心对称的性质． （1）连接、，根据平行四边形的判定及性质得出四边形，，，，，为平行四边形，再根据中心对称的性质得出点E，F，G，H分别为，，，的中点，设四边形面积为，即可得到则，，再作比即可得出答案； （2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，分别表示出，，，再根据图形的面积和整理即可得出答案． 【详解】（1）连接、 四边形为平行四边形 ，    ，，，， ，， 四边形，，，，，为平行四边形， 点P是平行四边形的对称中心， 点E，F，G，H分别为，，，的中点， ∴平行四边形，，，的面积都相等，且等于四边形面积的， 设四边形面积为，则， ，，， ∴， ， 故答案为：； （2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·重庆·月考）如图，于点E，且，若点I是的角平分线的交点，点F是的中点．则_______；若，则的面积为_______． 【答案】 /135度 【分析】根据，可得，再根据角平分线的定义可得，即可得出；然后延长至G，使，连接，过点I作，交于点H，即可证明四边形是平行四边形，可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据“边角边” 证明，可得，接下来得出，即可得，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得，然后根据“边角边” ，再说明，进而得出，然后求出，即可得出答案． 【详解】∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴， ∴； 延长至G，使，连接，过点I作，交于点H， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 16．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先证，则，，可得，可证四边形是平行四边形． 【详解】解：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ． 在和中 ，． ． 四边形是平行四边形． 17．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．（每个方格的边长均为1个单位长度） (1)画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标： (2)画出绕点逆时针旋转后的图形： (3)画出点，使四边形为平行四边形；过点画直线，垂足为．（要求：只用直尺并标记必要的点） 【答案】(1)见解析； (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了中心对称，旋转，平行四边形的判定和性质，作垂线，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）取格点，连接，可得，故四边形为平行四边形；取格点，连接交于点，则． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，取格点，连接，可得，故四边形为平行四边形；取格点，连接交于点，则． 18．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点D是边上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转至，连接，取的中点M，连接． (1)求证：； (2)问与有何数量关系？写出你的结论并证明； (3)若点D在上运动，则四边形能否形成平行四边形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)能， 【分析】（1）由旋转的性质得出，．证明，由全等三角形的性质得出； （2）延长到，使，交于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）证出CM∥BE，若，则四边形是平行四边形，由全等三角形的性质及可列出关于的方程，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：证明：把绕点逆时针旋转得到线段， ，． 又， ， 在和中， ， ， ； （2）． 证明：延长到，使，交于点， ，， ， ， ，， ， 为的中点， ， 在的垂直平分线上， 又， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）四边形能形成平行四边形． ，， ， ， ∴CM∥BE， 若，则四边形是平行四边形， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键． 19．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①________，________（用含的式子表示）； ②若，求的长． (2)请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)存在，或12 【分析】（1）①由运动知，，即可得出结论； ②作于M，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方程，解方程即可； （2）分两种情况：当点Q、E在线段上时；当点Q、E在线段的延长线上时；由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①由运动知，，， ∵在线段上取点，使得， ∴； ②作于M，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在， ∵， ∴若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则， 分以下两种情况讨论： （ⅰ）当点Q、E在线段上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ∴， ∴， 解得：； （ⅱ）当点Q、E在线段的延长线上时， 若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 则， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，此时或12秒． 20．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． (1)当点在边上时，如图，求证：； (2)当点在边的延长线上时，请直接写出图中，，之间的数量关系______； (3)若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明四边形是平行四边形， 由平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质和判定结合平行线的性质，证明， 等量代换即可得结论； （2）证明四边形是平行四边形， 由平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质和判定结合平行线的性质，证明， 等量代换即可得结论； （3）分三种情况讨论，当点在边上时，当点在边的延长线上时，当点在边的反向延长线上时，结合所证结论即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：当点在边上时，由（1）可知：， ，， ； 当点在边的延长线上时，由（2）可知：， ； 当点在边的反向延长线上时，如图， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， 此情况不存在； 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 平行四边形的判定定理重难点题型专训 （1个知识点+8大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 证明四边形是平行四边形 题型二 判断能否构成平行四边形 题型三 添一个条件使四边形成为平行四边形 题型四 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 题型五 全等三角形拼平行四边形问题 题型六 利用平行四边形的判定与性质求解 题型七 利用平行四边形性质和判定证明 题型八 平行四边形性质和判定的应用 拓展训练一 平行四边形的性质与判定综合应用 知识点一：平行四边形的判定 1. 平行四边形的判定方法 图示 判定方法 符号语言 边 判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 AB∥CD且AB＝CD， 四边形ABCD是平行四边形 判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 AB＝CD，AD＝BC， 四边形ABCD是平行四边形 判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 AB∥CD，AD∥BC， 四边形ABCD是平行四边形 对角线 判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 OA＝OC，OB＝OD， 四边形ABCD是平行四边形 2. 灵活选择平行四边形的判定方法 （1）若已知一组对边平行，可证明该组对边相等或证明另一组对边平行； （2）若已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等； （3）若已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分； （4）若已知条件与角有关，可证明两组对角分别相等． 【即时训练】 1．（2024·八年级下 贵州遵义）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，能推出四边形是平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2．（2024·八年级下 浙江宁波）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和． 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为_____________． 【经典例题一 证明四边形是平行四边形】 【例1】（23-24八年级下·河北廊坊·月考）如图，是的中线，延长至点，使，连接，．求证：四边形是平行四边形．下面是被打乱的证明步骤，则正确的顺序是（    ） ①四边形是平行四边形；    ②； ③是的中线；    ④ A．①②③④ B．②①④③ C．③②④① D．④②③① 【例2】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 1．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）在四边形中，由下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·八年级下 江苏无锡）四边形中，对角线相交于点O，给出下列四个条件：①；②；③；④；从中任选两个条件，能使四边形为平行四边形的选法有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是直线外一点，在上取两点，，连接．分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是__________．理由是______________． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，若，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【经典例题二 判断能否构成平行四边形】 【例1】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）学习平行四边形一章时王老师要求某一小组A、B、C、D四名同学每人准备四根小木棒（单位：），把四人准备的小木棒首尾顺次连接，可以拼成一个平行四边形的是（   ） A．2，3，4，5 B．3，2，3，5 C．3，4，5，3 D．2，3，2，3 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）梦梦拿出两段长度相等的木棒平行摆放，然后顺次连接四个端点，得到的图形一定是______，理由是_______． 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）下列说法中错误的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 2．（25-26八年级下·北京·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为________________． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，在下列网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)在图1中，画一个斜边长为，面积为的直角三角形； (2)在图2中，画一个有一条边长为，面积为的平行四边形． 【经典例题三 添一个条件使四边形成为平行四边形】 【例1】（2024·八年级下 河北邯郸）在四边形中，，其中部分线段的长已标记在图中，要使四边形为平行四边形，有如下三种添加条件的方案：甲：应添加条件“”；乙：应添加条件“”；丙：应添加条件“”．其中正确的是（    ）． A．甲和丙 B．甲和乙 C．只有乙 D．甲、乙和丙 【例2】（2026·八年级下 河北邯郸）如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为______． 1．（2024·八年级下 河北邯郸）如图，在中，M，N分别是边上的点，延长至点P，连接，，要使四边形为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加； 乙：添加； 丙：添加． 则正确的方案（    ） A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对 C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对 2．（2026·八年级下 河北保定）如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 4．（2025·八年级下 江苏宿迁）如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【经典例题四 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【例1】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（2023八年级下·浙江·专题练习）在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 1．（2024·八年级下 湖南娄底）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·月考）已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 4．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向左平移个单位后的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的： (3)若点在第三象限，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【经典例题五 全等三角形拼平行四边形问题】 【例1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 1．（25-26八年级下·上海松江·月考）下列说法正确的有（    ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形；    ②平行四边形的对角互补． ③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；    ④平行四边形的四个内角之比可以是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24·八年级下 河北）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 3．（23-24·八年级下 青海）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 【经典例题六 利用平行四边形的判定与性质求解】 【例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·上海松江·月考）如图，点A、B在的对角线所在的直线上且．若，则_________． 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在梯形中，，，，，，为边上一点，，则，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川南充·月考）如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 3．（25-26八年级下·上海·月考）我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 4．（25-26八年级下·四川内江·期末）四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长． 【经典例题七 利用平行四边形性质和判定证明】 【例1】（23-24八年级下·河北衡水·期中）下面是投影屏上出示的嘉嘉同学的作业内容： 如图，在平行四边形中，点E、F分别在，上，． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形，   ∴，． ∵， ∴ ▲ ∴四边形是平行四边形， ∴． 其中，横线上“▲”符号代表的内容是（） A． B． C． D． 【例2】（2024八年级下·全国）如图，在中，点D、E在边上，点F、G在边上，点H、K在边上，且，，，设，，则x、y的大小关系是________. 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（     ） A．mn B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，是沿方向平移得到，延长，相交于点F，则下列结论不正确的是（   ） A．四边形为平行四边形 B．， C． D． 3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）请将下列题目的证明过程补充完整：如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形． 证明：如图，延长，，并截取，， ，，即， …… 【经典例题八 平行四边形性质和判定的应用】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【例2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． 1．（24-25八年级下·全国·期末）如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论： （1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点； （2）直线必经过点O； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和关于点O成中心对称． 其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级下·浙江·期末）如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是___________． 4．（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． 【拓展训练一 平行四边形的性质与判定综合应用】 【例1】（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，等腰中，，，点D，F是边上的动点，且，过点D，F作的平行线交于点E，G．下列两条线段的和，不随D，F的运动而改变的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河北唐山·月考）如图，某同学在研究“抖空竹”时发现，当空竹在点E处时，，，已知，，且，，则的长为______． 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若．则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 1．（25-26八年级下·重庆江北·期中）下列命题中，是假命题的是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出四边形中，，，的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．，其中为对角线与的交点 D． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，M是的中点，且，，则平行四边形的面积为（　　） A．32 B．40 C．48 D．60 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形是平行四边形．如图，有甲、乙、丙三种方案，其中正确的方案有（    ） A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 6．（23-24八年级下·湖北襄阳）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 7．（25-26八年级下·安徽安庆·月考）如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是(    ) A． B． C．四边形是平行四边形 D． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下面有四个命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； ③一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； ④一组对角相等，连结这组对角的顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题是（    ） A．④ B．③ C．②③ D．①④ 9．（24-25八年级下·内蒙古包头）如图入口进入，沿框内问题的正确判断方向，最后到达的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，含30°角的三角板的直角边靠在直尺上平移得到．已知，，平移距离为12，则四边形的面积是（   ） A．96 B． C．192 D． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）图①是四连杆平开窗铰链，图②是其示意图．已知，，，．当时，窗户为完全开启状态，此时点A到点E的距离为________cm． 12．（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知与关于点O成中心对称，过点O作直线MN分别交AD，BC于点M，N．现有下列结论：①点M和点N，点B和点D分别关于点O对称；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等；⑤和关于点O成中心对称．其中正确的有________（填序号）． 13．（23-24八年级下·天津和平·期末）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，，，，均为格点． （1）四边形是______ 四边形，四边形面积等于______ ； （2）请用无刻度直尺，在所示的网格中求作一点，使得以为底边的等腰三角形的面积等于并简要说明点的位置是如何找到的______（不要求证明） 14．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n． （1）若点P是平行四边形的对称中心，则________； （2）平行四边形的面积为________（用含m、n的代数式表示）． 15．（24-25八年级下·重庆·月考）如图，于点E，且，若点I是的角平分线的交点，点F是的中点．则_______；若，则的面积为_______． 16．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 17．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．（每个方格的边长均为1个单位长度） (1)画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标： (2)画出绕点逆时针旋转后的图形： (3)画出点，使四边形为平行四边形；过点画直线，垂足为．（要求：只用直尺并标记必要的点） 18．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点D是边上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转至，连接，取的中点M，连接． (1)求证：； (2)问与有何数量关系？写出你的结论并证明； (3)若点D在上运动，则四边形能否形成平行四边形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由． 19．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①________，________（用含的式子表示）； ②若，求的长． (2)请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． (1)当点在边上时，如图，求证：； (2)当点在边的延长线上时，请直接写出图中，，之间的数量关系______； (3)若，，则______． 学科网（北京）股份有限公司 $