专题4.3 图形的旋转重难点题型专训（3个知识点+29大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本讲义聚焦初中数学图形的旋转核心知识点，系统梳理旋转的定义、性质及中心对称（含定义、性质、作图），构建从生活现象判断到旋转要素（中心、角、对应点）分析，再到坐标旋转、综合应用的递进式学习支架。 该资料以29大题型分层设计为亮点，结合“坐地日行八万里”等生活实例培养数学眼光，通过旋转规律探究（如坐标变化）发展数学思维，坐标作图与综合题训练数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后即时训练与拓展训练帮助学生查漏补缺。

专题4.3 图形的旋转重难点题型专训 （3个知识点+29大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 题型四 根据旋转的性质求解 题型五 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型六 旋转的性质及辨析 题型七 旋转中的规律性问题 题型八 画旋转图形 题型九 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型十 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型十一 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型十二 坐标与旋转规律问题 题型十三 线段问题（旋转综合题） 题型十四 面积问题（旋转综合题） 题型十五 角度问题（旋转综合题） 题型十六 其他问题（旋转综合题） 题型十七 坐标系中的旋转 题型十八 中心对称图形的识别 题型十九 判断中心对称图形的对称中心 题型二十 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型二十一 中心对称图形规律问题 题型二十二 成中心对称 题型二十三 画已知图形关于某点对称的图形 题型二十四 画两个图形的对称中心 题型二十五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型二十六 求关于原点对称的点的坐标 题型二十七 已知两点关于原点对称求参数 题型二十八 判断两个点是否关于原点对称 题型二十九 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 拓展训练一 用旋转的性质解决实际问题 拓展训练二 在坐标系中利用旋转的性质求点的坐标 拓展训练三 旋转综合题 拓展训练四 画图训练 知识点一：中心对称的定义及性质 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．这个点叫做对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 2. 中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形是全等图形； （2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 【即时训练】 1．（2026·八年级下 湖南）下列图形为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐项进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是______图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 【答案】中心对称 【分析】本题考查了中心对称图形知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：依题意，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是中心对称图形， 故答案为：中心对称． 知识点二：中心对称作图 作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'的一般步骤： （1）找：寻找原图形的关键点A，B，C，连接关键点和对称中心O． （2）截：延长AO，在延长线上找出关键点A的对称点A'，使OA'＝OA；重复上述操作，作出点B的对称点B'，点C的对称点C'． （3）连：按原图顺序连接A'，B'，C'，得到△A'B'C'，如图所示． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形，理解其定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，选取方格为时，整个阴影部分如图，为中心对称图形． 故选：A ． 2．（2024·八年级下 江苏泰州）如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有__________________个．    【答案】2 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：       则这样的有个 故答案为：2． 知识点三：中心对称图形及性质 1. 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点就是它的对称中心． 2. 中心对称图形的性质 （1）对称点的连线被对称中心平分； （2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分． 3. 常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【即时训练】 1．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选：C． 2．（25-26八年级下·上海金山·期末）在①圆、②等腰三角形、③等腰梯形、④平行四边形中，是中心对称图形的图形是_____．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：在①圆、②等腰三角形、③等腰梯形、④平行四边形中，是中心对称图形的图形是①④． 故答案为：①④． 【经典例题一 判断生活中的旋转现象】 【例1】（2023八年级下·香港）如图所示，绕着五个浮标划行．问绕行哪些浮标时是按顺时针方向？（   ） A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，3，5 E．2，4，5 【答案】D 【分析】根据图形结合旋转的定义逐一分析各个浮标的旋转方向即可判断． 【详解】解：由图可知，按照路线向上延伸，从浮标1的右侧绕过， ∴绕行浮标1是按逆时针方向； ∵接着路线向下延伸，从浮标2的上方绕过， ∴绕行浮标2是按顺时针方向； ∵接着路线向右延伸，从浮标3的左侧绕过， ∴绕行浮标3是按顺时针方向； ∵接着路线向上延伸，从浮标4的下方绕过， ∴绕行浮标4是按逆时针方向； ∵最后路线向右延伸，从浮标5的上方绕过，并从下方离开， ∴绕行浮标5是按顺时针方向， 综上所述，绕行浮标2，3，5时是按顺时针方向． 【例2】（24-25八年级下·湖北宜昌·月考）中国诗句韵味十足“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”“飞流直下三千尺”，如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是________． 【答案】旋转和平移 【分析】本题考查生活中的平移和旋转，根据旋转和平移的定义，进行判断即可． 【详解】解：“坐地日行八万里只考虑地球自转”蕴含的是图形的旋转， “飞流直下三千尺”蕴含的是图形的平移， 故答案为：旋转和平移． 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转． 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，在实际当中的运用，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 3．（22-23八年级下·辽宁沈阳·月考）在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． _____________________ 【答案】 ○ △ 【分析】根据方向盘是旋转，开此窗户是平移，即可解答． 【详解】解：方向盘是旋转，故后面画“○”； 开此窗户是平移，故后面画“△”， 故答案为：○，△． 【点睛】本题考查了旋转与平移现象的识别，熟练掌握和运用旋转与平移现象的识别方法是解决本题的关键． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）吊扇在运转过程中，相同的时间内吊扇上每个点运动的路程是否都一样？ 【答案】不一样 【分析】根据平移和旋转的性质判断即可； 【详解】不一样，相同的时间内，离吊扇中心越远的点运动的路程越大，这也从另一个角度反映了平移与旋转的差异． 【点睛】本题主要考查了平移和旋转的性质，准确分析判断是解题的关键． 【经典例题二 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例1】（25-26八年级下·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有________．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、旋转，掌握平移、旋转的性质是解题的关键． 平移变换是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，据此可判断给出的图形中哪些图可由平移变换得到； 旋转变换是由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图上所有的点都绕一个固定的点按同一方向，转动同一个角度，据此可判断给出的图形中哪些图可由旋转变换得到； 最后，根据上面判断的结果，找出符合平移变换、旋转变换的图形填空即可． 【详解】可以通过平移换，但不可以通过旋转变换得到的图案是：； 可以通过旋转变换，但不可以通过平移变换得到的图案是：； 既可以由平移，也可以由旋转变换得到的图案是：. 故答案为:． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列选项中，不能由如图在同一平面内经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换．根据把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换，可得答案． 【详解】解：A由图顺时针旋转得到，故A正确； B由图逆时针旋转得到，故B正确； C由图无法旋转得到，故C错误； D由图顺时针旋转得到，故D正确． 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级下·天津·期中）如图，都是等边三角形．可由绕点______，______方向，旋转______角度得到． 【答案】 顺时针 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，旋转的定义，由等边三角形的性质可得，，，进而得到，即可根据旋转的定义求解，掌握等边三角形的性质和旋转的定义是解题的关键． 【详解】解：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴ 即， ∴， ∴可由绕点顺时针方向旋转得到， 故答案为：，顺时针，． 4．（24-25八年级下·全国·暑假作业）分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案． 【答案】见解析 【分析】本题考查图形的旋转、轴对称、平移变换，根据图形的位置进行适当的旋转、轴对称、平移变换即可求解． 【详解】解：据左右两图形的位置关系可知，若要由左图得到右图，可以通过以下的途径： （1）把左图绕点A沿顺时针方向旋转一个角度，使左边的树形图案与直线垂直，然后再作轴对称变换（要注意对称轴的正确选择），即可得到右边的树形图案． （2）把左图先做轴对称变换（要注意对称轴的正确选择），使左边的树形图案与直线垂直，然后再作平移变换，即可得到右边的树形图案． 【经典例题三 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例1】（23-24八年级下·福建厦门·月考）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．根据旋转的性质可得． 【详解】解:∵绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．， ∴． 【例2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是_____ 【答案】点 【分析】根据旋转的性质，旋转点到旋转中心的距离相等即可求解． 【详解】解：观察图象，可知点对应点， 在点、、中，仅有， 故点H为旋转中心． 1．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图中的四个三角形不能由最左侧的三角形经过平移或旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平移或旋转的定义，熟练掌握平移或旋转的定义是解题的关键．根据平移或旋转的定义进行判断即可． 【详解】解：如图，选项A，C，D中的三角形可以利用平移或旋转的方法得到．选项B中的三角形不能利用平移或旋转的方法得到． 故选：B． 2．（25-26八年级下·广西崇左·月考）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转对称图形的旋转角，求各图形的最小旋转角度时，关键要看各图形可以被平分成几部分，被平分成n部分，旋转的最小角度就是． 先求出各选项图形的最小旋转角，然后比较即可解答． 【详解】解：A．图形的旋转角度； B． 图形的旋转角度； C． 图形的旋转角度； D． 图形的旋转角度． 综上，旋转角度最小的是C选项． 故选C． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，线段绕某点经过旋转后得到（点A与点C对应），则旋转角为____． 【答案】 【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素（旋转中心、旋转角、对应点）是解题的关键．根据旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心，找出旋转中心，据此得出旋转角的度数． 【详解】解：线段绕某点经过旋转后得到， 则如图所示，连接、，分别作线段、的垂直平分线， 设线段、的垂直平分线交于点，点即为旋转中心， ， 旋转角为， 故答案为：． 4．（24-25·八年级下 湖北武汉）在如图的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（3，5），B（0，1），C（5，1），D是AB与网格线的交点，AE是△ABC的高，仅用无刻度的直只在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题： （1）直接写出△ABC的形状； （2）画出点D关于AE的对称点F； （3）在AC上画点G，使EG＝EC； （4）线段AB和线段BC存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标． 【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)画图见解析，(3)画图见解析，(4) （0，1） 【分析】(1)根据勾股定理求出AB长，即可判断三角形形状； (2)连接A和点（6，1），与网格线交点就是所求点； (3)连接E和点（6，5），与AC交点就是所求点； (4)根据旋转的性质判断即可． 【详解】解：(1) △ABC是等腰三角形；理由如下： ，BC=5，所以，△ABC是等腰三角形； (2)如图所示，点F就是所求点； (3) 如图所示，点G就是所求点； (4) 因为，AB=BC,线段AB和线段BC存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，旋转中心为B，坐标为（0，1）． 【点睛】本题考查了坐标网格画图、勾股定理、旋转中心的确定和全等三角形，解题关键是熟练运用网格知识，结合全等三角形等知识进行作图和证明． 【经典例题四 根据旋转的性质求解】 【例1】（2026·八年级下 浙江衢州）如图，将绕点O逆时针方向旋转45°得到，若，则的度数是（   ） A．13° B．23° C．32° D．45° 【答案】C 【详解】解：∵ 绕点 O 逆时针方向旋转 得到 ， ∴ 旋转角， 又 ∵， ∴ . 【例2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，将绕着点O顺时针旋转，得到，若，，则_______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】解：∵将绕着点O顺时针旋转，得到， ∴， ∴． 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，将绕点旋转得到，使边恰好经过点，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可知，从而得到对应边、对应角相等．利用得出为等腰三角形，结合，求出等腰三角形的顶角．由旋转角相等，，从而得到答案． 【详解】解：∵将绕点旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，将绕着点C按顺时针方向旋转，B点落在位置，点A落在位置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转可知，根据可得，由此即可求解． 【详解】解：∵将绕着点按顺时针方向旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴． 3．（2026·八年级下 江苏扬州）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点恰好落在边上，此时点恰好落在的延长线上，则的度数为______． 【答案】30 【分析】根据旋转可得，再根据等边对等角和三角形内角和的性质进行求解即可． 【详解】解：由旋转可得，， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）综合与实践 “数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题． 【问题背景】如图1所示，将线段绕点逆时针旋转得到线段，在线段上找一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，． (1)【特例研究】易证，判定理由是_______，进而可以得知； (2)【拓展探究】如图2所示，将绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由． (3)【迁移应用】如图3所示，将绕点A逆时针旋转，若点D为的中点，，在绕点A逆时针旋转过程中，若点恰好第一次在一条直线上，求出线段的长． 【答案】(1)； (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）由定理证明，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）将绕点A逆时针旋转，由定理证明，即可由全等三角形的性质得出结论；由旋转可得，，； （3）过点A作于F，先证明，得到，根据点D为的中点，得，根据等腰三角形求得，再根据勾股定理求得，继而求得，则可由求解． 【详解】（1）解：由旋转可得：，，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论依然成立； 证明：设将绕点A逆时针旋转， 由旋转可得：，，， ∴， ∴． （3）解：线段的长为；理由如下： 过点A作于F，如图3， 由旋转可得：，， 当点B，D，E恰好第一次在一条直线上时，设绕点A逆时针旋， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点B，D，E恰好第一次在一条直线上， ∴在中，， ∴， ∴． 【经典例题五 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例1】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形中的对应角相等． 利用旋转的性质得到，再利用三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵绕着点顺时针旋转后得到， ， ，， ． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 1．（25-26八年级下·云南昆明·月考）如图，将四边形绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质：旋转前后的图形，对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，据此逐一判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，，， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，是绕点顺时针旋转得到的，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理．理解旋转的性质是解题的关键．利用旋转的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵是绕点旋转得到的， ， ∵， ∴． 故选：C． 3．（22-23八年级下·广西南宁·月考）如图，将绕点，按逆时针方向旋转，得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质易得，再根据平行线的性质即可得． 【详解】解：∵将绕点，按逆时针方向旋转，得到（点的对应点是点，点的对应点是点）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（23-24八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【经典例题六 旋转的性质及辨析】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）一个图形经过旋转有以下说法，其中正确的说法是（   ）． ①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：∵旋转是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小， ∴旋转后对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都不发生变化，即②③④正确； 旋转后对应线段不一定平行，可能相交，因此①错误； 故正确的说法是②③④，选D． 【例2】（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点____ ，逆时针方向旋转了____度. 【答案】 N 90 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可． 【详解】解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°， 故答案为：N，90． 【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 1．（23-24八年级下·上海·单元测试）平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了旋转变换与平移变换，根据旋转变换与平移变换都是只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小即可求解，掌握旋转变换与平移变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移和旋转都不改变图形的形状和大小， ∴平移和旋转前后的两个图形形状不变，且大小相等， 故选：． 2．（24-25八年级下·全国·专题练习）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180． 【详解】B选项中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，符合题意； 其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了图形平移，旋转的性质，轴对称的性质，分析题意是解题的关键． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）在平面内把一个图形绕着某__________沿着某个方向转动__________的图形变换叫做旋转．这个点O叫做__________，转动的角叫做__________．因此，图形的旋转是由__________，__________和__________决定的． 【答案】 点O 一个角度 旋转中心 旋转角 旋转中心 旋转方向 旋转角 【分析】根据旋转的定义解答即可. 【详解】在平面内把一个图形绕着某点O沿着某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转．这个点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．因此，图形的旋转是由旋转中心，旋转方向和旋转角决定的． 故答案为：点O；一个角度；旋转中心；旋转角；旋转中心；旋转方向；旋转角 【点睛】此题考查了旋转的定义，掌握定义是解答此题的关键. 4．（2025八年级下·全国·专题练习）将一副三角板按如图1所示放置在直线上，，，．若三角板固定不动，三角板绕点C以每秒顺时针旋转一周，旋转时间为． (1)当面积最大时，求t的值． (2)如图2，是的平分线，当t的值为____________时，． (3)若在三角板旋转的同时，三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1)10或70 (2)35或95 (3)的度数为定值， 【分析】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握它们的性质，能进行分类讨论是解题的关键． （1）分在的左侧和右侧两种情况讨论，根据当，此时的边上的高最大，最大值为的长，用旋转度数除以旋转速度即可； （2）根据平分求出和的度数，当时，分旋转度数小于和大于两种情况讨论； （3）分、重合；、重合前；、重合后讨论，用含t的代数式分别表示出旋转后，，，的度数，再根据平分，平分，求出，，，，再求出的度数，即可求出的度数为定值． 【详解】（1）解：当在的右侧时，如图1，当绕点C顺时针旋转时，，此时的边上的高最大，最大值为的长， 所以，此时面积最大． 因为，， 当在的左侧时，如图2，当绕点C顺时针旋转时，，此时的边上的高最大，最大值为的长， 所以，此时面积最大． 因为，， 所以，当面积最大时，或70． （2）解：如图3， ∵在中，，，平分， ∴， ∴． 当时，设交直线于点G， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， 解得． 如图4： 当时，设交直线于点G， ∴． ， ∴， ∴， ∴绕点C再旋转， ∴． 综上所述，当t的值为35或95时，． （3）解：的度数为定值，．理由如下： 当和重合时，如图5， 则，解得， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 当和重合前时，如图6， 由题意，可知旋转后，，，． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴； 当和重合时，如图7， 由题意，可知旋转后，，，． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． 综上，． 【经典例题七 旋转中的规律性问题】 【例1】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、数字类规律，熟练找准规律是解题的关键． 根据题意，发现规律第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为，令，解出的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题知， 第1次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为4， 第2次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为8， 第3次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为9， 第4次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为13， 第5次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为14， 第6次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为18， 依此类推， 所以第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为， 当，即时， ， 即第99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为249， 故选：B． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 【答案】8081 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 由图形可知：每旋转次为一个循环组依次循环， 又∵， ∴． 故答案为：． 1．（2026·八年级下 河北沧州）如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到如图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到如图3，称为2次整理⋯；若从如图1开始，经过次整理后，得到的顺序与如图1相同，则的值可以是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查图形规律，解题的关键是读懂题干整理规律，写出几种变换得到重复规律．根据题干信息得到整理规律，按照规律将接下来的几次整理罗列出来，找到重复规律，即可得到答案； 【详解】解：用12345分别表示语文、数学、英语、理综、文综， 12345第一次：14253，第二次：15432，第三次：13524，第四次：12345（与图一相同)， ∴经4次整理后可得到的顺序与图1相同， ∴n的值应为4的倍数， 故选：A． 2．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第________个箭头方向相同．（填序号） 【答案】1 【分析】本题考查了图形的旋转规律，解题的关键是找出图案循环的周期并通过除法运算确定对应位置． 通过分析图案的旋转规律，确定循环周期为4，用总个数除以周期，根据余数判断对应图案． 【详解】观察可知，图案每4个为一个循环周期．计算，其中余数为1．这表明第2025个图案经过了506个完整周期后，处于新周期的第1个位置，与第1个图案的箭头方向相同．所以第2025个图案与第1个图案箭头方向相同． 故答案为：1． 4．（25-26八年级下·上海虹口·期中）旋转的齿轮 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 逆时针 慢 小齿轮B ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮，小齿轮________（填“加速”或“降速”）； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等．如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动________圈． (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（3）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，求齿轮C的齿数并描述它的转动方向________（填“顺时针”或“逆时针”）． 【答案】(1)顺时针 (2)加速 (3) (4)；逆时针 【分析】（1）根据大齿轮顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反，即可确定小齿轮转动方向； （2）根据大齿轮齿数多，转速慢，小齿轮齿数少，转速快即可得到答案； （3）根据大齿轮转速大齿轮齿数小齿轮转速小齿轮齿数即可得到答案； （4）根据齿轮转速齿轮齿数齿轮转速齿轮齿数即可得到答案． 【详解】（1）解：大齿轮顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反， 则小齿轮顺时针转动； （2）解：大齿轮齿数多，转速慢，小齿轮齿数少，转速快，因此大齿轮带动小齿轮加速； （3）解：设小齿轮每分钟转圈， ， 解得， 因此小齿轮每分钟转动圈； （4）解：设齿轮齿数为， ， 解得， 齿轮顺时针转动，故齿轮逆时针转动． 【经典例题八 画旋转图形】 【例1】（25-26八年级下·浙江·期中）如图，在正方形网格中，，，，，，，，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点，则点的落在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了画旋转图形．根据旋转的性质作出图形即可． 【详解】解：点落在点， 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·江西南昌·月考）如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点重合，然后作答即可． 【详解】解：∵点位于内， ∴， 旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形旋转的概念，特别是绕中心点旋转后图形位置的变化.通过观察原图和选项，判断旋转之后图形的正确位置. 【详解】解：首先分析圆的位置： 原图中圆位于左上角的方格内，绕中心O逆时针旋转后，圆会旋转到右下角的方格内，通过选项可得：C和D符合； 其次，分析阴影三角形的位置变化： 原图中左下角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，旋转到右上角且斜边的方向不变.原图中右上角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，会旋转到左下角，观察C和D,C选项中阴影三角形的位置和形状符合，而D选项中位置不符合. 故选：C． 2．（22-23八年级下·上海·期末）如图，方格纸上的直线m与直线n交于点O，对分别作下列运动： ①先以点A为中心顺时针方向旋转，再向右平移6格、向下平移3格； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，再向下平移3个单位，再沿直线n翻折； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，再向下平移4格、向右平移2格． 其中，能将变换成的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据图形的平移、旋转的性质，画出图形，即可一一判定． 【详解】解：①先以点A为中心顺时针方向旋转，得到的图形如下： 再向右平移6格、向下平移3格，即可得到， 故①符合题意； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，得到的图形如下： 再向下平移3个单位，再沿直线n翻折，即可得到， 故②符合题意； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，得到的图形如下： 再向下平移4格、向右平移1格，即可得到， 故③不符合题意． 故其中，能将变换成的是①②， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的变化，熟练掌握平移、旋转变化的性质与运用是解决本题的关键． 3．（2025·八年级下 四川泸州）在平面直角坐标系中，的半径为1，点为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．如图，已知点，点，点为点的“对应点”，则__________ 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，三角形全等的判定与性质，两点距离公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，，，过点作轴于点，接着证明，得到，，从而知道，然后得到点坐标，求出即可． 【详解】解：利用网格，画出以下示意图，如图所示： 由题意可知，，，过点作轴于点， ， 点，点， ， 过点关于点的对称点为，， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）在中，，以为中心，将线段逆时针旋转，得到线段，以为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接． (1)根据题意补全图1，并证明； (2)如图2，点在的延长线上，且，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)作图见解析，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质与判定，等角对等边； （1）根据题意画出图形，即，，根据，即可求解； （2）过点作，，依题意，，由①可得，即，则，证明得出，，证明得出，进而根据已知以及三角形的外角的性质证明得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示， 依题意，， ∴ ∴； （2）解：如图，过点作，并截取，连接交于点P， 依题意，， ∴， ∵， ∴， 由①可得，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 【经典例题九 求绕原点旋转90度的点的坐标】 【例1】（2025·八年级下 广东梅州）如图，以下四条线段中，不能通过线段绕原点O旋转得到的对应序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质并结合图形即可得解，熟练掌握旋转的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据旋转的性质可得②③④可以通过线段绕原点O旋转得到，①不能通过线段绕原点O旋转得到， 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）如图，电子光点P绕着点O做圆周运动，直线的右侧为危险区，光点初始位置在点处，顺时针旋转后电子光点P______危险区．（填“进入”或“不进入”） 【答案】进入 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转变换，先根据旋转性质求得旋转后的点P坐标，再根据题意即可得出结论． 【详解】解：由图可知，点顺时针旋转后的点P坐标为， ∵直线的右侧为危险区，， ∴点P在直线的右侧，为危险区，即点P进入危险区， 故答案为：进入． 1．（2025·八年级下 广东）如图，等边的边长为2．以的中点为原点建立平面直角坐标系，把绕点顺时针旋转得到与相交于点，连接，下列判断不正确的是（　　） A．点的坐标是 B．是等腰三角形 C．的长是 D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出，即可得出点的坐标为，根据平分，等边三角形的性质，得出，即可判断B选项，根据，进而求得，即可判断C选项，同B选项可证，，，证明，进而得出，求得，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，轴，将等边绕点顺时针旋转，则点的对应点在轴上，且， 即点的坐标为，选项A正确，不符合题意； 在等边中， ．在等边中，平分 ， 是等腰三角形，选项B正确，不符合题意； ，选项C正确，不符合题意； 同B选项可证，， ．根据旋转可知 ， ，选项D不正确，符合题意． 故选： D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）无人机编队表演，在空中先组成如图所示的四边形图案，然后整体向右平移5个单位，再绕点O逆时针旋转，此时点C的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：画出菱形如图所示： 由图形可得，点的坐标为． 3．（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知：点，，为坐标原点，将线段绕原点顺时针方向旋转到线段，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】先根据旋转变换的坐标规律得到旋转后，的坐标，得到四边形为梯形，再利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：，，将线段绕原点顺时针方向旋转到线段， ，， 如图，四边形为梯形，设梯形的高为， ，，， 四边形的面积为． 4．（2026·八年级下 安徽淮南）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和点均为格点（网格线的交点）．已知点． (1)将平移得到，使得点的对应点为，在所给的网格中画出； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转得到，请在所给的网格中画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，点的坐标为 【分析】（1）根据平移的性质找到点A，B，C的对应点，即可求解； （2）根据旋转的性质找到点A，B，C的对应点，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求；点的坐标为． 【经典例题十 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点P旋转，得到，则点，，的坐标分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，根据题意可得和关于点P成中心对称，则点P分别为的中点，据此根据两点中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵将绕点P旋转，得到， ∴和关于点P成中心对称， ∴点P分别为的中点， ∵，， ∴，，， 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·天津武清·月考）如图，把绕点A顺时针方向旋转，则点B旋转后的坐标是 ___________ ． 【答案】 【分析】题目主要考查图形的旋转，根据题意画出图形，读出点的坐标即可． 【详解】解：如图所示，绕点A顺时针方向旋转后的图形为， ∴点B旋转后的对应点是点， 故答案为： ． 1．（2026·八年级下 山东青岛）如图，将先向右平移，使点与点重合，再将所得的三角形绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平移得到和旋转所得图形，过点作轴垂线，垂足为，连接，过点作轴垂线，垂足为，连接，先求出的各点坐标，再求出，利用三角形的性质即可得点，即为点． 【详解】解：依题意，平移得到和旋转所得图形，过点作轴垂线，垂足为，连接，过点作轴垂线，垂足为，连接，如图所示， ∵的坐标为，，，点与点重合， ∴三角形整体向右平移个单位长度， ∴的坐标为，，， 由图可得，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴将点逆时针旋转，点的对应点即为点， 故选：A． 2．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、，把绕点A逆时针旋转后得到，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转的性质得出相等的边和角，然后根据点的坐标得出线段的长度，即可求解． 【详解】解：根据旋转的性质得，，， ∵、， ∴， 则， ∴点C坐标为， 又∵， ∴点D坐标为， 故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标是_____．    【答案】 【分析】分别过、向轴作垂线，可得，利用全等得到到轴，轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标． 【详解】解：∵旋转， ∴， 作轴于点，轴于点，如图所示：    ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为． 4．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）（1）如图1，已知点O坐标为，点A绕点O顺时针旋转后得到点B． ①若点A坐标为，则点B的坐标为___________； ②当点A的坐标为___________，点B的坐标为． （2）如图2，点M坐标为，点N在直线上，若点N绕点M顺时针旋转得到点Q在x轴上，求点Q的坐标． （3）已知点，，平面内一点D绕点B顺时针旋转至点C，点C在过点且平行于x轴的直线上，当为等腰三角形时，请直接写出点C的坐标， 【答案】（1）①；② ；（2）；（3），，，， 【分析】（1）由旋转的性质即可求解； （2）设点，点N向上平移1个单位得到，再顺时针得到，再向下1个单位得到点，即可求解； （3）设点，根据题意求得点D的坐标表达式，分别讨论当，，的情况，即可求解． 【详解】解：（1）由旋转的性质可知，点、点， 故答案为：①，②； （2）设点，点N向上平移1个单位得到，再顺时针得到，再向下1个单位得到点， ∵点Q在x轴上，则， ∴， ∴点Q的坐标为． （3）设点， 如图，过点B作x轴的平行线交过点C和y轴的平行线于点M，交过点D和y轴的平行线于点N， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为， 由点A、B、D的坐标得，，，， ①当时，， 解得或， ∴点C的坐标为或； ②当时，， 解得或； ∴点C的坐标为或； ③当时，， 解得， ∴点C的坐标为， 综上所述，点C坐标为或或或或． 【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到图象的旋转、等腰三角形的性质，分类求解和熟悉旋转的性质是解题的关键． 【经典例题十一 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 【例1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，将绕点O旋转得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质． 根据坐标系得出，根据旋转的性质即可求解． 【详解】解：根据坐标系可得，将绕点O旋转得到，则点的坐标为． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②，则其旋转中心的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；先确定点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，所以作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心． 【详解】解：∵经过旋转后得到， ∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为M点，如图， 即旋转中心为M点． ∵， ∴其旋转中心的坐标为， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·山东德州·期末）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质．先根据旋转性质确定线段长度与角度关系，再构造等腰直角三角形，利用边角关系求出点到坐标轴的距离，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，∵三角板绕原点顺时针旋转得到， ∴，． ∵， ∴． 过点作于，则， 在中，，， ∴，即为等腰直角三角形，． 在中，由勾股定理得， ∴． ∵点在第四象限， ∴点的坐标为； 故选：C． 2．（2025·八年级下 浙江衢州）平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键，过点作轴于点，可得，，则，可得．由旋转得，，可知点在轴正半轴上，进而可得点的坐标为． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点的坐标为， ，， ， ， ． 线段绕点逆时针旋转， ，， ， 点在轴正半轴上， 点的对应点的坐标为． 故选：B． 3．（2026·八年级下 宁夏银川）如图，矩形的顶点，，与轴负半轴的夹角为，若矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第秒时，矩形的对角线交点的坐标为______． 【答案】 【分析】先根据勾股定理可得点的初始位置为，再根据题意可得次一个循环，从而得出与轴负半轴夹角为，即点的位置与关于轴对称． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由题意可得：， ∴， ∵与轴负半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的初始位置为， ∵矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转， ∴次一个循环，， ∴第秒与起始位置夹角为， ∵与轴负半轴夹角为， 此时，与轴负半轴夹角为，即点的位置与关于轴对称， 故此时，． 4．（25-26八年级下·云南昆明·期中）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出将绕原点逆时针方向旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)画出将绕原点按顺时针旋转所得的． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）将绕点旋转得到，即作了一个中心对称变换，根据中心对称坐标特点，确定坐标后，画图即可； （2）根据旋转的性质画图解答即可； 本题考查了中心对称作图，旋转作图，熟练掌握变换的基本特征是解题的关键． 【详解】（1）解：将绕点旋转得到，即作了一个中心对称变换，根据题意，， 则，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据旋转的性质，画图如下： 则即为所求． 【经典例题十二 坐标与旋转规律问题】 【例1】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律，理解题意，得到每次旋转后点D的坐标是关键． 根据题意得到，，结合图形得到每次旋转后点D的坐标，再根据旋转规律即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转， 如图所示， 当第一次旋转时，，第二次旋转时，，第三旋转时，，第四次旋转时， ∴经过4次后点回到起始位置， ∴， ∴第2025次旋转结束时，点的坐标为位置的坐标，即， 故选：D ． 【例2】（25-26八年级下·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律是解题的关键． 根据旋转的性质可得点的坐标与点的坐标相同，利用已知条件求出即可得解． 【详解】正方形绕点逆时针旋转， ，每旋转次回到原来位置， 余， 点的坐标与点的坐标相同， 已知点，则点，旋转后点，再旋转后点， 点的坐标为． 故答案是． 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据初始点和绕原点顺时针转的坐标变换规律，算出前次旋转后的坐标，发现周期为；再用除以，余数为，故第次旋转后坐标与第次相同，为． 【详解】解：由图可得，初始点的坐标为， 绕原点顺时针旋转的坐标，旋转后的对应点坐标： 第次旋转后：； 第次旋转后：； 第次旋转后：； 第次旋转后：，回到初始坐标， ∴每旋转次，坐标会循环一次（旋转，回到原位置），周期为， ∴，余数为， 说明第次旋转后坐标和第次旋转后坐标相同，为 2．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）在平面直角坐标系中，正方形按照如图所示放置，其边长为1，将正方形按照如下方式进行变换：将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形；将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形，…，则正方形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给变换方式可知，每旋转八次，点B对应点的位置出现循环，再根据正方形边长的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，每次旋转， 则， 即每旋转八次，点B对应点的位置循环出现， 又∵， ∴点在第一象限． ∵正方形的边长为1，且每次旋转后边长扩大为原来的2倍， ∴正方形的边长为2；正方形的边长为； 则正方形的边长为； …， 依次类推，正方形的边长为， 当时，正方形的边长为， ∴点的坐标为． 3．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且，将绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，将，绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，．．．．．．依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与同在一个象限内， ∴点； 故答案为：． 4．（2023·八年级下 安徽淮北）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为． 观察应用：    (1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：　　． (2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，，则、的坐标分别为：　　、　　． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）设，利用题中公式分别计算出和的值即可； （2）利用中心对称的性质画图可得到点、，从而得到它们的坐标． 【详解】（1）设， 点、的对称中心是点， ，， 点坐标为， 故答案为：； （2）点、的坐标分别为，．   故答案为：，． 【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 【经典例题十三 线段问题（旋转综合题）】 【例1】（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【例2】（2023·八年级下 陕西渭南）如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 _____． 【答案】/ 【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】如图，连接，过点A作，截取，连接， ∵将线段绕着点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵，且当点G，P，E三点共线时取等号， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 1．（2023·八年级下 浙江湖州）年是癸卯兔年，“瑞兔呈祥”，小明同学查阅资料后得知，兔子的耳朵有很多功能，其中包括通过竖起耳朵利用风来散热，起到调节体温的功能．小明用图中的七巧板拼成图所示的一只奔跑中的兔子，已知小正方形的边长为，点是边的中点，通过旋转“耳朵”这块七巧板，可以将“耳朵”耷拉的状态转到竖直（如图），在旋转过程中，耳朵尖的点离小兔子的前脚掌尖的距离的最大值为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据小正方形的边长为，结合等腰直角三角形以及勾股定理可求出七巧板中各个边的长度，根据题意可知耳朵尖（平行四边形）的点绕D点旋转，当M、D、O点三点共线时，耳朵尖点离前脚掌尖的距离有最大值，再分别求出、，问题得解． 【详解】根据小正方形的边长为，结合等腰直角三角形以及勾股定理可求出七巧板中各个边的长度，如下图所示：    ∵耳朵尖（平行四边形）的点绕D点旋转， ∴当M、D、O点三点共线时，耳朵尖点离前脚掌尖的距离有最大值， 如图，    ∵点是边的中点， ∴， ∴， 如图，连接，过D点作，    根据等腰直角三角形的性质可知：， 即， 利用勾股定理可得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及旋转的性质等知识，明确题意，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出各边是解答本题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点在方格线的格点上，将AB 绕点 P 顺时针方向旋转 90°，得到线段A′B′，则点 P 的坐标为（  ） A．(1，2) B．(1，4) C．(0，4) D．(2，1) 【答案】A 【分析】依据旋转的性质可得，将AB绕点P顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点P到对应点的距离相等，因此作出两对对应点连线的垂直平分线，其交点即为所求． 【详解】解：如图所示，作线段AA'和BB'的垂直平分线，交于点P，则点P即为旋转中心， 由图可得，点P的坐标为（1，2）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换，解决问题的关键是掌握旋转的性质．一般情况，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标． 3．（22-23八年级下·辽宁抚顺·月考）如图，在中， ，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】将绕着点顺时针旋转得线段，连接，然后证明，由全等三角形的性质可知，接着利用三角形三边关系可以得到当三点共线时，最小，由此即可求解． 【详解】解：如下图，将绕着点顺时针旋转得线段，连接， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴当三点共线时，最小，的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，综合运用所学知识是解题关键． 4．（25-26八年级下·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 【经典例题十四 面积问题（旋转综合题）】 【例1】（25-26八年级下·浙江杭州·开学考试）剪两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上．旋转其中一个正方形，重叠部分所形成的图形如何变化？三位同学经过研究后得到以下结论，你的意见是（   ） 小天：重叠图形的形状在变化，所以面积也在发生变化． 小亮：我选择几个特殊位置试一试，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一． 小丽：通过割补，我发现重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变． A．小天对 B．小亮对 C．小丽对 D．小亮和小丽都对 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的形状、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，过点作，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可知小亮和小丽的说法正确． 【详解】解：如下图所示，过点作，， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， ， 两个图形都是正方形， ， ， ， 点是正方形的中心， ， 在和中，， ， ， 重叠部分的面积没有发生变化， 故小天的说法错误； 点是正方形的中心， ， 重叠部分的面积是原正方形面积的， 故小亮的说法正确； 把割下来补到的位置，可以得到正方形， 故小丽的说法正确； 综上所述，小亮和小丽的说法都对，小天的说法错误． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到点E，则的面积为______ 【答案】 【分析】过点作交延长线于点，过点作于点，则，利用平行线间的距离可得，进而得出，利用旋转的性质证明，得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 1．（22-23八年级下·天津滨海新区·期中）将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，如果把图①中的绕点C逆时针旋转得，连接，如图②．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定方法一一进行判断即可得到答案． 【详解】解：∵和是等腰直角三角形，且斜边相等， ∴，     ∴(ASA)    ， 故选项A正确； 根据旋转的性质可得， 故选项B正确； ∵，，并不一定相等， ∴不一定全等， 故选项C错误； ∵， ∴, ∵, ∴， ∴， ∴, ∵ ， ∴， 故选项D正确； 故选C． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质和全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 2．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接PQ．由题意△PQA是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明∠PQB＝90°即可解决问题． 【详解】解：如图，连接PQ． ∵△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ， ∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°， ∴△PAQ是等边三角形， ∴PQ＝PA＝2， ∵PB＝4， ∴， ∴∠PQB＝90°， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 3．（2023·八年级下 河北唐山）小明遇到一个问题：个同样大小的正方形纸片，边长是，排列形式如图所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图所示的方法分割后，将三角形纸片①绕的中点旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形．则新正方形的面积是______；如图，在面积为的平行四边形中，点分别是边的中点，分别连接得到一个新的平行四边形．则平行四边形面积的大小是______．    【答案】 5 /0.4 【分析】由旋转的性质可得图形①和图形②面积相等，则新正方形面积等于个小的正方形面积的和，采用逆向思维的方式得到所求的图形进而求出所求图形的面积，把它返回到个相同的平行四边形的状态，进而得出平行四边形的面积． 【详解】解：将三角形纸片①绕的中点旋转至三角形纸片②处， 图形①和图形②面积相等， 新正方形的面积等于个小的正方形面积的和， 新正方形的面积等于， 根据题意可得出：图形是个相同的平行四边形的状态， 那么其中一个面积为原图形的，那么平行四边形的面积=， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，图形的剪拼，培养学生动手操作能力及想象力，是热点题型，多思考、多总结，注意问题过程的形成． 4．（25-26八年级下·天津·月考）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，绕点B顺时针旋转，得，点A、O旋转后的对应点为，，记旋转角为． (1)若，边上的一点M旋转后的对应点为N，如图1，当时，求点N的坐标和的长度； (2)如图3，若，求点的坐标； (3)如图4，P为上一点，且，连接，，在绕点B顺时针旋转一周的过程中，设的面积为S，直接写出S的取值范围为________． 【答案】(1)(1) ； (2) (3) 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． （1）利用旋转变换的性质求解即可； （2）过分别作轴、轴的垂线交轴、轴于点、，连接，根据旋转性质得，，，可得，解直角三角形得，由勾股定理得，从而可得； （3）如图③-1中，当点落在的延长线上时，的面积最大，如图③-2中，当点落在上时，的面积最小，分别求解即可． 【详解】（1）解： 点，点， ， 由旋转的性质可知， ， 由题意，横坐标为，纵坐标为， ， 点坐标， ； （2）过分别作轴、轴的垂线交轴、轴于点、，连接，如图， 绕点顺时针旋转得， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ， ； （3）如图③-1中， 当点落在的延长线上时，的面积最大， 由题意， ， ， ， ， 的面积的最大值， 如图③-2中，当点落在上时，的面积最小， 最小值为； 故答案为：． 【经典例题十五 角度问题（旋转综合题）】 【例1】（2025·八年级下 甘肃酒泉）如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键． 由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出，再依据计算即可得出结论． 【详解】解：在三角形中，，， ， 由旋转的性质可知：， ， 又， ， ， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·陕西延安·月考）如图，绕点A 顺时针旋转某个角度得到．已知，，、相交于点，、相交于点，则的度数为________．    【答案】20 【分析】由旋转知，，得，，可证，于是．可证． 【详解】解：由旋转知，，得，， ∴． ∴ ∴． ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查旋转的性质，全等的性质，三角形内角和定理；理解旋转的性质是解题的关键． 1．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单． 2．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绕点逆时针旋转一个角度得到，可得，在中，根据三角形内角和定理，可得，从而算出旋转角的度数． 【详解】∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点是， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． ∵，，三点在同一条直线上， ∴在中，， 即， ∴， 解得． ∴旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的旋转变换，熟练掌握三角形内角和定理和旋转的性质是解本题的关键． 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·月考）将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为_____ 【答案】6或9或18 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角度的计算等知识，分三种情况讨论：第一种情况当时，a为，第二种情况当时，a为，第三种情况，当时，a为，根据角度转动速度分别求解t即可． 【详解】解：I．如图，当时，   ，， ， ， ， a为 （秒）， II．如图，当时，   ， ， a为， （秒）， III． 如图，当时，    此时与在同一条直线上， a为， （秒）， 综上所述：三角板的某一边恰好与所在的直线平行， t的值为：6或9或18 故答案为：6或9或18 4．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则______； (2)若，，求和的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先根据旋转的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （）先根据旋转的性质可得，利用勾股定理可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， （2）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴在中，． 【经典例题十六 其他问题（旋转综合题）】 【例1】（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． 【例2】（22-23八年级下·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转45°后得到正方形，继续旋转至2019次得到正方形，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】由题意依次写出前几个，找到规律，根据规律求即可． 【详解】解：由题意可得：，，，，，，，，．．． 故周期为8， 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转找规律，准确计算出每个点变化之后的坐标是解题关键． 1．（23-24八年级下·北京丰台·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 【详解】解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时，°， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时，， ∵， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在， 故正确； 故选：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 2．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（    ） A．n＝1可以，n＝2，3不可 B．n＝2可以，n＝1，3不可 C．n＝1，2可以，n＝3不可 D．n＝1，2，3均可 【答案】D 【分析】利用旋转变换的性质一一判断即可． 【详解】解：将左边的阴影四边形绕点E顺时针旋转90°得到右边的阴影四边形，此时n＝1． 左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四边形，此时n＝2． 左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时n＝3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转变换，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 3．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，把绕顶点C顺时针旋转得到，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF、CE，且．下面四个结论：①；②；③；④的面积为，其中正确的结论有__________． 【答案】①②④ 【分析】利用旋转的性质，易证BC=CF，则△BCF为等腰直角三角形，结合垂直平分线的性质，可证；；结合三角形的外角定理和等腰三角形两底角相等，可证；过点E作EG⊥BC与点G，证明EG是△ABC的中位线，． 【详解】①∵△绕顶点C顺时针旋转得到， ∴BC=CF，∠BCF=90°，则△BCF为等腰直角三角形， ∵， ∴BF= ∵直线DF垂直平分AB， ∴，故①正确； ②∵△绕顶点C顺时针旋转得到， ∴△ABC≌△DCF， ∴AB=DF， ∵直线DF垂直平分AB， ∴，故②正确； ③∵△BCF为等腰直角三角形， ∴∠BCF=45°， ∵AF=BF， ∴，故③错误； ④ 过点E作EG⊥BC与点G， ∵BC=CF=2，BF=AF= ∴AC=CD= ∵EG⊥BC，AC⊥BC， ∴， ∵点E为AB中点， ∴EG为△ABC中位线，则EG= ∴，故④正确； 综上：正确的有①②④， 故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转是一种全等的变化，旋转前后的图形是全等的，对应点与旋转中心的连线所成的夹角等于旋转角，熟练地掌握旋转的性质是解题的关键． 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·月考）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接． (1)当点E在线段上，时，如图①，求证：： (2)当点E在线段延长线上，时，如图②；当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段，，的数量关系； (3)在（1）、（2）的条件下，若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)1或7 【分析】（1）根据，，推出，，根据旋转的性质得出，则，即可得出，最后根据即可求证； （2）用和（1）相同的方法证明，得出即可得出结论； （3）先根据勾股定理求出，再根据（1）（2）得出的结论进行分类讨论即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴，， ∵绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，如图②： ∵，， ∴，， ∴，， ∵绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图③： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上：或； （3）解：由（1）可知，当点E在线段上，时，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由②可知：或， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 或(不符合题意，舍去)， 或， 综上：或7． 故答案为：1或7． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的全等的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法，证明，以及掌握全等三角形对应边相等，平行四边形对边相等． 【经典例题十七 坐标系中的旋转】 【例1】（2026·八年级下 辽宁葫芦岛）如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分析原三角形的边长与垂直关系，结合旋转的性质和旋转后点所在的象限，确定旋转后点的坐标． 【详解】解：，原中轴， 因此，， 绕逆时针旋转后，如图： 在中轴， 因此，， 旋转后落在第二象限（横坐标为负，纵坐标为正）， 因此坐标为． 【例2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，，，将绕点旋转，则点的对应点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转性质，坐标与图形，全等三角形的性质，进行分类讨论，即逆时针和顺时针两个情况，以及作图，再结合点所在的象限，即可作答． 【详解】解：依题意，当将绕点逆时针旋转，得，如图： ． ，． 点在第二象限， ． 当将绕点顺时针旋转，得， ． ，． 点在第四象限， ． 综上，点的坐标为或． 1．（25-26八年级下·浙江温州·开学考试）在直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意作平面直角坐标系，过点作轴于点，由得，，逆时针旋转后，，与轴夹角变为，即落在轴正半轴，即可得出的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵ ， ∴ ，， 由勾股定理得 ， 又∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， 由旋转的性质得 ，旋转角， ∴ ， ∴ 点在轴正半轴上， ∴ 的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的旋转变换，题目未给出图形，解题时需根据题意画出图形，再结合勾股定理与旋转性质进行分析． 2．（2025·八年级下 吉林松原）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，勾股定理求出，，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作，交y轴于点F， 的坐标为 ∴， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）将一个边长为的正方形绕其一个顶点按顺时针方向旋转，则旋转后所得图形与原正方形重叠部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转，熟练掌握以上知识是解题的关键．正方形绕一个顶点顺时针旋转后，新正方形与原正方形的重叠部分为一条公共边（线段），因此面积为． 【详解】解：设原正方形，其中， 绕顶点顺时针旋转后，新正方形为，其中， ∴原正方形区域为，，新正方形区域为，， ∴两区域交集为线段从到，面积为． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，在网格（每个小正方形的边长都是一个单位长度）中建立平面直角坐标系，的三个顶点，，都在格点（网格线的交点）上． (1)通过旋转，可使与重合，请在图中标出旋转中心． (2)将绕原点旋转，得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画旋转图形，确定旋转中心，解题的关键是熟练掌握画旋转图形的方法及步骤． （1）连接对应点，则对应点连线的交点即为旋转中心； （2）将点分别绕原点旋转，得到点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：旋转中心即为所求； （2）解：如图，即为所求； 【经典例题十八 中心对称图形的识别】 【例1】（25-26八年级下·山东青岛·期中）下面四幅图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，，且，E是BC的中点，则可以看成是由向左平移得到的，平移的距离为________；与是成中心对称的两个三角形，它们的对称中心是________． 【答案】 的中点 【分析】本题考查了中心对称，平行线的性质，平移的性质等知识，解题的关键是理解平移变换，中心对称的性质，属于中考常考题型． 利用平移的性质，中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵可以看成是由向左平移得到， ∴ 平移的距离为线段的长 ， ∴平移的距离为, ∵与是成中心对称的两个三角形， ∴它们的对称中心是线段的中点． 故答案为：，的中点． 1．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合，不是轴对称图形，但是中心对称图形．故错误； B、不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转后它的两部分能够重合，不满足中心对称图形的定义．故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转后它的两部分能够重合，不满足中心对称图形的定义．故错误． 故选C． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） A．科克曲线 B．笛卡尔心形线 C．赵爽弦图 D．斐波那契螺旋线 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 3．（25-26八年级下·上海·月考）下列图形中，绕某个点旋转能与自身重合的有______． ①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形． 【答案】①②④⑥ 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，熟练掌握“中心对称图形是绕某点旋转后能与自身重合的图形”是解题的关键． 判断每个图形是否为中心对称图形（绕某点旋转能与自身重合的图形），依次分析每个图形的旋转性质． 【详解】解：①正方形：绕对角线交点旋转能与自身重合； ②长方形：绕对角线交点旋转能与自身重合； ③等边三角形：绕某点旋转不能与自身重合； ④线段：绕中点旋转能与自身重合； ⑤角：绕某点旋转不能与自身重合； ⑥平行四边形：绕对角线交点旋转能与自身重合． 故答案为：①②④⑥． 4．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)在、、中： ___________与___________成轴对称； ___________与___________成中心对称，且对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)，；，， 【分析】本题考查平移作图，轴对称作图，旋转作图，轴对称图形和中心对称图形的辨认，掌握好相应的作图技巧是关键． （1）描出平移后的点、、，连接成三角形即可； （2）关于轴对称的点。横坐标相等，纵坐标互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （3）绕原点旋转的点，横纵坐标都互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （4）结合图形进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图所示： （4）解：由图可知，与成轴对称，与成中心对称，对称中心为． 故答案为：，；，，． 【经典例题十九 判断中心对称图形的对称中心】 【例1】（25-26八年级下·贵州黔西南·期末）兴仁市开展“非遗文化进校园”活动，将布依族刺绣图案进行旋转设计，若将一个图案绕某点旋转后与原图案重合，则该图案的旋转中心是对应点连线的（    ） A．中点 B．端点 C．三等分点 D．四等分点 【答案】A 【分析】图案旋转后与原图案重合，说明图案是中心对称图形，旋转中心是对应点连线的中点． 本题考查了中心对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设点P旋转后得到点，旋转中心为O， ∵ 旋转相当于关于点O的中心对称， ∴ O是线段的中点， 因此，旋转中心是对应点连线的中点， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是_________． 【答案】C 【分析】此题属于识别中心对称图形的问题，中心对称图形的定义； 中心对称图形是把图形的一部分绕某一点旋转，两部分能完全重合； 接下来试着将图①的正方形放在规定的各个位置上，结合中心对称图形的定义进行分析即可． 【详解】解：图①中的正方形放在图②中的C的位置，组成的图形是中心对称图形，故放在C的位置． 故答案为：C． 1．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键． 根据对称中心的确定方法即可解答． 【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．    则线段与线段的对称中心为点I． 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称的性质，根据中心对称的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴，，，故A不符合要求；B符合要求； ∵，，， ∴ ∴，故C不符合题意； ∴与关于点成中心对称，故D不符合要求； 故选：B． 3．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是______． 【答案】线段的中点 【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键． 【详解】解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点， ∴线段中点即为对称中心， 故答案为：线段中点． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的的网格，小正方形的顶点称为格点．图中，，，均为格点，是线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在下列给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画出线段绕点逆时针旋转后得到的线段； (2)在图（1）中，画出点绕点逆时针旋转后得到的点； (3)在图（2）中，画出点，使点是四边形的对称中心，并连接； (4)在图（2）中，令，画出点绕点逆时针旋转得到的点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，旋转的性质，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）取格点F，，使，根据与格线的交点确定点 （3）连接对角线的交点为点，则即为所求； （4）取格点J，连接，取格点K，连接，使，，则与的交点即为点 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）如上图，点即为所求； （3）如图，点O即为所求； （4）如图,点即为所求． 由作图可知， ∵， ∴点D与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 【经典例题二十 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例1】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图所示是的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查设计中心对称图形，根据中心对称图形的定义，进行设计，即可得出结果． 【详解】解：由题意，选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形的涂法只有如图所示的一种方法： 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有____个． 【答案】2 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，它是中心对称图形，两对角线的交点是其对称中心；根据这一性质即可完成． 【详解】解：如图1、如图2所示，添加后的空白小等边三角形与原来的3个小等边三角形组成平行四边形，因而是中心对称图形． 故答案为：2． 1．（22-23八年级下·广西钦州·周测）在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可得出结果． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可得，该小正方形的序号是②． 2．（2026·八年级下 江西吉安）如图所示的是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行分析即可． 【详解】解：如图，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有3种： 3．（25-26八年级下·浙江·课后作业）如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 _______． 【答案】点，点 【分析】本题主要考查旋转的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．画出中心对称图形即可判断． 【详解】解：画出中心对称图形， 观察图象可知，点，点满足条件． 故答案为：点，点． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）按照要求画图： (1)如图甲，在平面直角坐标系中，将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点为点．画出旋转后的； (2)如图乙，网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，找出点A、B、C的对应点即可； （2）根据中心对称图形的性质进行画图即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 【经典例题二十一 中心对称图形规律问题】 【例1】（24-25八年级下·广东河源·期末）甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界．规定谁在桌面上放下最后一枚硬币，谁就获胜．获胜的策略是（　　） A．先放者获胜 B．后放者获胜 C．先放者将硬币放到桌面的圆心处 D．后放者将硬币放到桌面的圆心处 【答案】C 【分析】本题考查逻辑推理能力，解题的关键是理解圆桌的中心对称性质．根据圆桌的中心对称性质来探讨放置硬币的策略以及获胜情况． 【详解】解：先放者把第一枚硬币放在桌面的圆心处． 因为圆桌是中心对称图形，圆心是其对称中心，这一放置具有关键意义．此后，无论后放者将硬币放在桌面的哪个位置，先放者都能依据中心对称的原理，在以圆心为对称中心的对称位置放置硬币．由于按照这样的放置方式，每次后放者放置后，先放者都能找到对应的对称位置放置，随着放置过程的持续，最终必然是先放者能够在桌面上放下最后一枚硬币， 所以先放者获胜． 故选：C． 【例2】（2025·八年级下 江西上饶）如图，小轩同学用计算机软件绘制函数的图象，发现该图象关于点成中心对称．若点，，，，…，都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小，则的值是________． 【答案】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质．根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次减少， ∴， ∴， ∴， ∵， 当时，，即， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出前若干个对称点的坐标，总结循环周期，再根据计算结果确定的对应坐标． 【详解】解：设 ∵点关于点的对称点为，是的中点 ∴ ， ． 解得，， 即． 同理可得 ，，，，， ∴点的坐标每次循环一次． ∵ ，余数为， ∴ 的坐标与坐标相同，为． 故选：B． 2．（2025·八年级下 广东广州）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【详解】解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·贵州黔西南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将绕原点旋转得到． (1)在平面直角坐标系中画出，并写出点、、的坐标； (2)作关于轴对称的，并写出的坐标． 【答案】(1)见解析，点、、的坐标分别为，， (2)见解析，的坐标为 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的旋转与轴对称变换，核心是掌握绕原点旋转和关于轴对称的坐标变化规律： （1）绕原点旋转：点的对应点为； （2）关于轴对称：点的对应点为． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 点、、的坐标分别为，，； （2）解：如图，即为所求，的坐标为． 【经典例题二十二 成中心对称】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【例2】（2024八年级下·广东·学业考试）若点与点关于点中心对称．则___________． 【答案】 【分析】本题考查了成中心对称的点的坐标特征，掌握中心对称的性质是解题的关键．根据成中心对称的两个点之间的坐标关系即可解决问题． 【详解】解：点与点关于点中心对称， ，， 解得，， ． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，一个电动玩具从坐标原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称…照此规律重复下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标与规律．根据坐标的变化找出变化规律是解题关键．设，根据中心对称点是对应点的中点，结合中点坐标公式求得前几个点的坐标，得到规律，根据规律即可求解． 【详解】解：设， 根据题意：点是点的中点， 故：，解得：， 则， 点是点的中点， 故：，解得：， 则， 点是点的中点， 故：，解得：， 则， 点是点的中点， 故：，解得：， 则， 点是点的中点， 故：，解得：， 则， 点是点的中点， 故：，解得：， 则，； 依此类推，可得则，，，，，， 由此可知，点的坐标每6次一循环， ∵， 则的坐标与的坐标相同， ， 故选：A． 2．（2024·八年级下 湖南邵阳）如图，与关于点 O 成中心对称，连接．下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识．熟练掌握成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解题的关键． 由与关于点 O 成中心对称，可得，则，，可判断A；证明，可判断D；由，可得，可判断B；不一定成立，可判断C． 【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴， ∴，，故A不符合要求； ∵，，， ∴，故D不符合要求； ∴， ∴，故B不符合要求； 不一定成立，故C符合要求； 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点处开始依次关于点，做循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处……，如此下去．则经过第次跳动之后，棋子落点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，成中心对称，解题关键是找出点P跳动前三次的轨迹． 根据对称的性质，先求出点M和点N的坐标，进而得到棋子跳动3次后又回到了点P，则点P的跳动每3次一个循环；用除以3，结合余数，即可找出第次跳动后的位置，进而求解． 【详解】解：根据题意可得， 棋子第一次跳动到M点，M点的坐标是，第二次跳动到N点，N点的坐标为，第三次跳动后回到P点， ， ∴棋子跳动次后，棋子落在点P， ∴经过第次跳动之后，棋子落点的坐标为． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在网格中，小正方形的边长均为1个单位，点A，B，C，O都在格点上，直线l经过点O． (1)画图： ①画，使绕点顺时针旋转； ②画，使与关于直线对称； ③在直线上找一点，使最小． (2)发现：与形成__________关系（用“轴对称”“旋转对称”“中心对称”填空）． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析 (2)轴对称 【分析】（1）①根据旋转的性质作图即可； ②根据轴对称的性质作图即可； ③连接交直线l于P即可； （2）根据与的位置判断即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求， ； ②如图，即为所求， ③如图，点P即为所求， （2）解：由图可知：与形成轴对称关系． 【经典例题二十三 画已知图形关于某点对称的图形】 【例1】（24-25八年级下·浙江杭州·月考）在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形的性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 【例2】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于对称的点是解题的关键． 【详解】根据题目要求作出点B关于对称的点如图所示， 由图可知，的坐标为， 故答案为：． 1．（2024·八年级下 广东广州）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】C 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 2．（2023·八年级下 河北衡水）三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 3．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点的坐标为_________． 【答案】（-2,0） 【分析】计算出前几次跳跃后，点P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7的坐标，可以得出规律，继而可求出点的坐标． 【详解】解：根据题意得： 点P1（0,2）、P2（2，-2）、P3（-4,2）、P4（4,0）、P5（-2,0）、P6（0,0）、P7（0,2），， ∴每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标与点P5的坐标相同，即为（-2,0）， 故答案为：（-2,0）． 【点睛】此题考查坐标的变化规律探究，中心对称的定义，正确掌握中心对称的定义确定点的坐标，发现规律并运用解决问题是解题的关键． 4．（25-26八年级下·上海普陀·期末）小明在学习乘法公式时，通过计算图形的面积发现了平方差公式及完全平方公式，他课后遇到了这样一个问题，请帮他一起解决： (1)如图，已知是直角三角形，，，，，请分别画出绕点顺时针旋转得到，关于点O成中心对称的，绕点逆时针旋转得到． (2)第（1）问画出的四边形是一个什么图形？______． 一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为______；另一方面，它的面积等于四个三角形和四边形的面积之和，为______．于是，我们得到______．（用含、、且化简后的整式表示） (3)请你借助，再画出一种示意图推出第（2）题得到的等式，并简要说明推导过程． 【答案】(1)见详解 (2)正方形，，， (3)见详解 【分析】本题为开放性问题，考查了通过数形结合思想﹒理解利用图形证明平方差公式，完全平方公式的过程是解题关键﹒ （1）根据题意进行作图即可求解； （2）根据题意分别计算图形面积，再进行整理即可求解； （3）类比（1）（2）进行拼图，计算面积即可求解﹒ 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）解：四边形是一个正方形，一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为，另一方面，它的面积等于四个三角形和四边形的面积之和，为，于是，我们得到﹒ 故答案为：正方形，，，； （3）解：如图，已知是直角三角形，，，，，分别画出绕点顺时针旋转得到，关于点O成中心对称的，绕点逆时针旋转得到． 则四边形是一个正方形，一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为，另一方面，它的面积等于四边形的面积减去四个三角形，为，于是，我们得到﹒ 【经典例题二十四 画两个图形的对称中心】 【例1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，与关于某点成中心对称，则对称中心是点（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图，连接交于点P， 所以对称中心是点P． 故选：C 【例2】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了求对称中心，分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， ∴的中点坐标均为， ∴与的对称中心是， 故答案为：． 1．（23-24八年级下·广东珠海·期中）已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称，熟知关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键．根据中心对称的定义解得即可． 【详解】解： 与成中心对称，、是对称点， 对称中心可能是线段的中点， 故选：D． 2．（23-24八年级下·河北邢台·月考）如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接（或或），根据中心对称的性质逐一判断即得． 【详解】解：连接，发现经过点M，且被点M平分， 故对称中心为M点． 故选：A． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是________．   【答案】（1，1） 【分析】根据旋转的性质“一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等”可求解． 【详解】解：如图点O′即为所求．旋转中心的坐标是(1，1)． 故答案为(1，1)． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是知道旋转中心是对应点的连线段的垂直平分线的交点即可； 4．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）正方形网格中（每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点）的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：    (1)画出绕点B逆时针旋转的，并写出点C的对应点的坐标为___________； (2)画出关于点O的中心对称图形，并写出点C的对应点的坐标为___________； (3)在平面直角坐标系内找点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D坐标为___________； (4)可由绕点M旋转得到，请写出点M的坐标为___________． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3)或或． (4) 【分析】（1）根据旋转的性质作图，然后直接读取点的坐标即可； （2）根据中心对称的性质作图，然后直接读取点的坐标即可； （3）分别以对角线时，结合平行四边形的性质可得答案． （4）连接，分别作的垂直平分线，交点即为旋转中心M，然后确定点M的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求．    点的坐标为． 故答案为：． （2）解：如图，即为所求． 点的坐标为． 故答案为：． （3）解：当以为对角线时，，此时点D的坐标为； 当以为对角线时，，此时点D的坐标为； 当以为对角线时，，此时点D的坐标为． ∴点D的坐标为或或． （4）解：如图，连接，分别作的垂直平分线，交点即为旋转中心M， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换、中心对称、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握旋转和中心对称的性质、平行四边形的性质是解答本题的关键． 【经典例题二十五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例1】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，根据中心对称图形的特点得到，，，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，． ． ， ． 故选：C ． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 【答案】 92° 3 【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：四边形与四边形关于点O成中心对称， ， 故答案为：，3． 1．（25-26八年级下·江西鹰潭·月考）数轴上，点表示的数分别为、4和，若这三点中，其中两个点关于第3个点成中心对称，则的值不可能为（   ） A． B．3 C．1 D．10 【答案】B 【分析】中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分． 【详解】解：①如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； ②如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； ③如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； 综上，的可能值为、、，不可能为． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，，，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合中心对称图形的性质求解即可． 【详解】解：因为平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，且选项中各图形可看作是由两个平行四边形构成的， 所以只要直线经过两个平行四边形的对称中心，即可这个图形分成面积相等的两个部分，观察可得，选项BCD符合题意， 故选：A． 3．（25-26八年级下·全国·期末）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点， 如下图，过点作于点，则阴影部分面积等于矩形的面积， ，， ， 阴影部分的面积之和为． 故答案为：． 4．（2026·八年级下 江西新余）按要求完成下列各题： (1)计算： (2)如图， 与 关于点O成中心对称，求证: ． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再计算加减即可求解； （2）由中心对称得到，可得，再根据内错角相等，两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）解：原式． （2）证明：∵与 关于点O成中心对称， ∴， ∴， ∴． 【经典例题二十六 求关于原点对称的点的坐标】 【例1】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）已知的对角线交点在原点，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意A，C关于原点对称，可得点C的坐标． 【详解】解：∵的对角线交点在原点， ∴A，C关于原点对称， ∵， ∴． 【例2】（25-26八年级下·河南许昌·期末）平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为. 【详解】解：由题意知，，， . 1．（2023八年级下·山东济宁·专题练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即或或等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称的性质求出顺时针或者逆时针转动的角度，然后根据极坐标的表示方法求解． 【详解】解：∵或或，点P关于点O成中心对称的点Q， ∴，，， ∴点Q的极坐标可以表示为或或． 2．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线、交于点O，过点O的直线分别与边交于点E，F，若点E的坐标为，则点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，推导出，得到点和点关于点成中心对称，根据坐标特征即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵平行四边形的对角线、交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点和点关于点成中心对称， ∵点E的坐标为， ∴点F的坐标为， 故选：D． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别为，，．一动点从原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，……这个动点照此规律跳下去，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得、、、、、的坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 【详解】解：∵的坐标分别为，，，点与点关于点A成中心对称， 的坐标为， ∵点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ∵点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ∵点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ∵点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ∵点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ……， 以此类推可知，每6个点为一个循环， ∵， 点的坐标是：． 4．（2023·八年级下 江苏淮安）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图： (1)将先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到，画出； (2)画出与关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查了作图—平移和中心对称，解题的关键是掌握中心对称和平移的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点． （1）将点分别向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到对应点，连接，即为所求； （2）找出的三个顶点关于原点O成中心对称的对应点位置，再顺次连接可得，然后根据所作图形写出点的坐标． 【详解】（1）解：即为所求，如下图所示， （2）解：即为所求，且 【经典例题二十七 已知两点关于原点对称求参数】 【例1】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）若点关于原点的对称点是，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于原点对称的点，它们的横纵坐标互为相反数，由此得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴． 【例2】（25-26八年级下·广东韶关·月考）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征及有理数的乘方运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出和的值，进而求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数， ∴，， 则， ∴． 1．（25-26八年级下·全国·周测）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特征和二元一次方程组的应用． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求解． 【详解】解：∵点 与点 关于原点对称， ∴将， 解得， 故选：D 2．（2026·八年级下 陕西西安）一个正比例函数的图像经过点和点．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，求正比例函数解析式等知识，首先根据关于原点对称的点坐标关系，求出a和b的值，进而确定点坐标，再代入正比例函数的一般式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴和点， 设该正比例函数为， 将点代入，可得， 解得， ∴这个正比例函数的表达式为． 故选：D． 3．（25-26八年级下·天津河西·月考）在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值是_____． 【答案】1 【分析】本题考查了其他问题(二元一次方程组的应用)，已知两点关于原点对称求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据关于原点对称的点的性质，点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求解． 【详解】解∶∵点与点关于原点对称， ∴，且． 解得：． ∴． 故答案为：1． 4．（25-26八年级下·河南安阳·月考）（1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用因式分解法求解，即可解题； （2）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：（1） 则或， 解得，； （2）点与点关于原点对称， ①，②， 由①②得，， 整理得． 【经典例题二十八 判断两个点是否关于原点对称】 【例1】（24-25八年级下·云南德宏·期末）下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：关于原点对称的两点坐标满足：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 选项A中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项B中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，符合关于原点对称的坐标特征，该项符合要求． 选项C中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项D中，与的横坐标相同，不互为相反数，该项不符合要求． 【例2】（2023·八年级下 福建福州）平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是_________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出B与D关于原点对称，得出，解出即可． 【详解】解：∵平行四边形的四个顶点坐标分别是， ∴点A与点C关于原点对称， ∴点B与点D关于原点对称， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质，坐标与图形性质是解题的关键． 1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称与坐标变化，做本题时需注意①关于x轴对称的图形，横坐标不变纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的图形，纵坐标不变横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，根据把各点的横、纵坐标都乘得到关于原点对称，即可解题． 【详解】解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称， 得到的图形是关于原点对称的图形， 故选：C． 2．（22-23八年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】根据这两点的坐标特点，即可判定． 【详解】解：点和点的横纵坐标都互为相反数， A、两点关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 3．（2023·八年级下 广西柳州）已知点与点，则这两个点关于______对称． 【答案】轴或原点 【分析】根据点与点的坐标，这两个点在轴上，并且到原点的距离相等，从而根据点的对称性得到答案． 【详解】解：点与点， 这两个点关于轴或原点对称， 故答案为：轴或原点． 【点睛】本题考查点的坐标特征，熟记点关于点对称、点关于线对称是解决问题的关键． 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)关于原点对称 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据点的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图所示，即为所求； 这个新图案与关于原点对称． 【经典例题二十九 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，该图案在设计思路中没有体现的变换方式是（   ） A．旋转 B．中心对称 C．轴对称 D．平移 【答案】D 【分析】根据这四种变换的特点来判断图案所体现的变换方式即可． 【详解】解：A、旋转是指图形绕着一个定点(旋转中心)按某个方向转动一个角度的变换。观察该图案，其可通过绕中心旋转一定角度后与自身重合，因此图案体现了旋转变换，不符合题意； B、中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。该图案绕其中心旋转后能与自身重合，因此图案体现了中心对称变换，不符合题意； C、轴对称是指如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。该图案存在多条对称轴(如过中心的竖直直线、水平直线等)，沿这些对称轴折叠后图形两部分能重合，因此图案体现了轴对称变换，不符合题意； D、平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动。该图案中不存在图形沿某一方向移动相同距离得到部分图形的情况，因此图案没有体现平移变换，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查图形的变换方式，包括旋转、中心对称、轴对称和平移，解题的关键是掌握上述知识点． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图是小亮设计地板砖的图案过程： 方法一：由图1到图2采用的是________方法，由图2到图3也是采用________方法设计的； 方法二：由图1到图2采用的是________方法，旋转中心是正方形的________，由图2到图3也采用的是________方法，顺时针旋转________度． 【答案】 轴对称 轴对称 旋转 中心 旋转 90 【分析】根据轴对称，旋转的思想求解即可． 【详解】解：方法一：由图1到图2采用的是轴对称方法，由图2到图3也是采用轴对称方法设计的； 方法二：由图1到图2采用的是旋转方法，旋转中心是正方形的中心，由图2到图3也采用的是旋转方法，顺时针旋转90度． 1．（25-26八年级下·上海·月考）下边的图案是由下面五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠），这两种基本图形是（   ） A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 【答案】D 【分析】此题考查了平面图形的分割与组合，主要培养学生的观察能力和空间想象能力． 根据已知图形，利用分割与组合的原理对图形进行分析即可． 【详解】解：如图所示：图案是由五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠）， 这两种基本图形是②⑤． 故选：D． 2．（2025·八年级下 江苏无锡）如图1，现有长，宽的、两种卡片各若干张，卡片上都有一条对角线花纹，请用这些卡片正好拼成一个的大正方形，要求每张卡片与卡片的对角线都不相连（例如图2中所示的两种拼法就都不符合要求），则、两种卡片各需要的张数可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查图形的拼接，解题的关键是正确理解题意，通过平移、旋转、轴对称或中心对称等方法拼成符合题意的正方形，即可得出答案． 【详解】解：∵用长，宽的、两种卡片各若干张拼成一个的大正方形， ∴每张卡片的面积为：， 大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为， 设卡片的数量为，卡片的数量为， ∴， ∴， 为避免对角线相连，将卡片顺时针旋转使对角线为左上到右下（横向），卡片为左上到右下（纵向），如图所示， ​其中卡片（横向）共有张，卡片（纵向）共有张． 故选：A． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察如图所示的图形，然后填空． 在图①中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形；在图②中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形；在图③中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形；在图④中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形．（填一种方法即可） 【答案】 轴对称（或旋转） 平移（或轴对称或旋转） 旋转 轴对称（或旋转） 【分析】本题考查了轴对称、旋转、平移，根据轴对称、旋转、平移的定义解答即可求解，掌握轴对称、旋转、平移的定义是解题的关键． 【详解】解：在图①中，左边的图形可以通过轴对称（或旋转）变换得到右边的图形；在图②中，左边的图形可以通过平移（或轴对称或旋转）变换得到右边的图形；在图③中，左边的图形可以通过旋转变换得到右边的图形；在图④中，左边的图形可以通过轴对称（或旋转）变换得到右边的图形， 故答案为：轴对称（或旋转）；平移（或轴对称或旋转）；旋转；轴对称（或旋转）． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）习近平总书记在2018年9月10日的全国教育大会上，首次将劳动教育（含劳技教育）纳入党的教育方针，明确提出构建德智体美劳全面培养的教育体系，并强调劳动教育的极端重要性．学校劳技课上组织学生制作“图形变换”教具，需要将长、宽的矩形纸片按下列要求进行裁剪，使裁剪后拼接成的新图形的面积保持不变．要求：把最终拼接所得的图形打上阴影，并标注好必要的数据． (1)一个底边长为的等腰三角形； (2)一个上底，下底的等腰梯形； (3)一个长为的新矩形； (4)一个底为的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】根据题意及矩形面积保持不变设计图形即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）如图所示即为所求； （3）如图所示即为所求； （4）如图所示即为所求． 【拓展训练一 用旋转的性质解决实际问题】 【例1】（2023·八年级下 河北石家庄）在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【答案】B 【分析】利用轴对称与中心对称的定义进行分析判断即可． 【详解】解：由轴对称与中心对称的概念可知，两次轴对称，先轴对称后中心对称，先中心对称后轴对称均可由图1变换为图2；两次中心对称不能使图1变换为图2． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称与中心对称的概念，轴对称即沿着某条直线翻折，中心对称即绕某个点旋转，明确两者的概念是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，可以看成由经过怎样的图形变换得到？下列结论：次平移；次轴对称；一次旋转；次平移和次轴对称．其中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】 【分析】本题考查了平移、轴对称、旋转的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平移、轴对称、旋转的定义判断即可． 【详解】解：将向右下平移，再经过轴对称即可得到， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是三个小正方形组成的图形．若在图形中补画一个小正方形，使得补画完的图形为轴对称图形或中心对称图形，补画成轴对称图形或中心对称图形的方案分别有（   ） A．3种、2种 B．3种、3种 C．4种、2种 D．4种、3种 【答案】D 【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据定义画出图形是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的性质分别画出符合要求的答案即可． 【详解】解：如下图，补画完的图形是轴对称图形，一共有种． 如下图，补画完的图形是中心对称图形，一共有种． 故选：D． 2．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律探究，灵活运用周期性循环规律是解题的关键．根据线段的旋转方向和速度，以及点的运动路线，可确定点的坐标每秒为一个循环周期，进而通过计算秒在周期中的位置，求出此时点的坐标． 【详解】解：第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的正半轴上，， 即点的坐标每秒一个循环，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 故选：． 3．（22-23八年级下·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意得出点坐标变化规律． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，, ∴, ∴, 将绕原点O逆时针旋转得到等腰直角三角形，且, ∴, , 依此规律， ∴每4次循环一周，... 总结规律得：横纵坐标的绝对值是， ∵， ∴与在同一象限，即第三象限， ∴点． 4．（25-26八年级下·上海松江·期末）图形运动藏奥秘，动手实践出真知！某校七年级数学兴趣小组围绕直角三角形运动，解锁几何探究新乐趣． 【操作】 如图，在正方形中，点是边上一动点（不与、重合），连结． （1）将三角形绕点逆时针旋转得到三角形（点、分别与点、对应），请在图中画出旋转后的图形；（不要求写作图步骤，只写结论） 【探究】 （2）在（1）所画图形的基础上，已知，（其中），连结． ①当，时，求三角形的面积； ②如果三角形的面积为，三角形的面积为，求线段的长． 【拓展】 （3）在（2）的条件下，画出三角形关于直线成轴对称的三角形（点A与点G是对称点），设交于点，直接写出三角形与三角形的面积差．（用含b的代数式表示） 【答案】（1）详见解析；（2）①三角形的面积是；②线段的长是6；（3） 【分析】本题考查旋转的性质，图形面积的计算，以及列代数式等知识点，掌握相关的知识点，准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）①联结，根据旋转的性质，得出，根据面积公式进行计算即可；②得出面积的相关表达式，，，即可求出线段的长； （3）根据面积关系进行计算即可． 【详解】解：（1）如图1，三角形即为所求． （2）①联结，如图2所示， ∵将三角形绕点旋转到三角形， ∴，，， ∵正方形， ∴． ∴，． ∴． ∴ ． 又∵， ∴． 解得． 答：三角形的面积是． ②如图2，由①可知： ， ， ． 根据题意，得；，， ∴，． ∵， 又∵， ∴． 答：线段的长是6． （3）如图3所示： 【拓展训练二 在坐标系中利用旋转的性质求点的坐标】 【例1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令旋转1秒后点的对应点为点，分别过点和点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，证明，从而得到点D对应点E的坐标，同理可得旋转2秒、3秒、4秒、5秒后D点对应点的坐标，找出其中的规律即可求出旋转2025秒以后点D对应的点的坐标． 【详解】解：如图所示， 令旋转1秒后点的对应点为点，分别过点和点作轴和轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知，， ， 又 ． 在和中，， ， ， 点坐标为， ， ∴点的坐标为． 如图： 同理可得， 旋转2秒后点的对应点坐标为， 旋转3秒后点的对应点坐标为， 旋转4秒后点的对应点坐标为， 旋转5秒后点的对应点坐标为， 由此可见，点的对应点按循环出现， 又， 旋转2025秒后点的对应点的坐标为． 【例2】（2026·八年级下 山东济宁）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点逆时针转动，则第秒时；点的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质找到规律，点的坐标以每秒为一个周期依次循环，进而得出第秒，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图， ，叶片每秒绕原点逆时针转动， ，，，，…， 点的坐标以每秒为一个周期依次循环， ， 第秒时点的对应点的坐标为． 1．（25-26八年级下·江苏宿迁）已知，将点绕点顺时针旋转至点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，过作轴，过作轴交于点，过作于，由旋转可得，，即可证明，得到，，据此求得． 【详解】解：如图，过作轴，过作轴交于点，过作于，则， ∵， ∴，， ∵将点绕点顺时针旋转至点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴横坐标为，纵坐标为， ∴， 故选：D． 2．（22-23八年级下·湖北随州·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，点A在第一象限，点在轴正半轴上，，若将菱形绕点顺时针旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图：作轴于H点，连接，根据菱形的性质得到，再根据旋转的性质得，则，所以为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得，然后根据第四象限内点的坐标特征写出点的坐标． 【详解】解：如图：作.轴于H点，连接，作轴于D点， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∴=30°， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵菱形绕原点O顺时针旋转至第四象限的位置， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标为． 故选：A．    【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、菱形的性质、坐标与图形变化-旋转等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． 3．（24-25八年级下·湖北荆门·月考）如图，已知直线与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，且，点C为x轴的正半轴上一点，将线段绕点C按顺时针方向旋转得线段，连接，若，则________． 【答案】 【分析】如图，过点作，使得，连接．证明，推出，在中，求出，再求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点B作，使得，连接． ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 4．（22-23八年级下·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点A顺时针旋转，得，点B，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． (1)如图1，若，请利用网格画出，并求的坐标； (2)如图2，若，求点的坐标； (3)若M为边上的一动点，在上取一点，将绕点A顺时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)图见解析，的坐标为 (2) (3) 【分析】（1）作出图形，利用图象法解决问题即可； （2）连接，过点O作于点H，由旋转的性质及直角三角形的性质可求出，的长，则可得出答案； （3）画出图形，得出的最大值和最小值，则可得出答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转90°得如图所示； ∵点，点，∴， ∴的坐标为 （2）解：连接，过点O作于点H， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 则点的坐标为； （3）解：观察图形可知，当M与O重合时，的最小，最小值为1，当M与T重合时，的值最大，最大值为7， ∴的取值范围是． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【拓展训练三 旋转综合题】 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP=6，则PC的最小值是（ ） A．2 B．3 C．3-3 D．3 【答案】D 【分析】把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP’，连接PP’，得到△PP’B是等腰直角三角形，再由当P’、P、C在同一直线上，且AP’⊥P’C时，AP’最短，故可得到△APP’是等腰直角三角形，找到PC与AP的关系即可求解． 【详解】把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP’，连接PP’ 则AP’=PC，BP=BP’，∠PBP’=90°，∠AP’B=∠CPB 故△PP’B是等腰直角三角形 ∴∠PP’B=45° ∵∠BAP=∠CBP ∴∠BAP=∠ABP’ ∴BP’AP ∴∠APB=90° 当P’、P、C在同一直线上，且AP’⊥P’C时，AP’最短 ∴∠AP’B=90°+45°=135° ∴∠PAP’=180°-∠AP’B=45° ∴△APP’是等腰直角三角形 ∴AP=AP’=6 ∴PC=AP’=3 故选D． 【点睛】此题主要考查旋转的综合运用，解题的关键是根据题意找到AP’最短的情况． 【例2】（22-23八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，点，在线段上，且，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接，．给出以下结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】根据旋转的性质即可以及即可判断①；②中的两个三角形只有一条边和一个角相等，不能判定全等；根据全等的性质以及勾股定理即可判断③；根据等腰直角三角形的性质即可判断④． 【详解】解：∵为直角三角形，， ∵， ∵线段绕点顺时针旋转后得到线段， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故①正确； 在和中，只有，，两个条件不能判定全等，故②不正确； ∵， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵为直角三角形，， ∴，即， 整理得：， ∵， ∴， 故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，全等三角形对应边相等，对应角相等． 1．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由旋转的性质可证△CDE为等边三角形，当DE最短，CD最短，CD⊥AB时，CD最短，由直角三角形等面积法，即可求得． 【详解】解：由旋转的性质得，CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CD＝CE＝DE， 当DE最短，CD最短， 当CD⊥AB时，CD最短， 此时S△ABC＝AC•BC＝AB•CD， 即AC•BC＝AB•CD， 在Rt△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝5，BC＝3， 由勾股定理得，AC＝4， ∴3×4＝5CD， ∴CD＝， ∴线段DE长度的最小值是， ∴故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转以及等边三角形，熟练等面积法是解决本题的关键． 2．（22-23八年级下·贵州黔东南·期中）如图，点是等边三角形内一点，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将绕点逆时针旋转得，连接，根据旋转的性质得，，则为等边三角形，得到，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 如下图，将绕点逆时针旋转得，连接，则， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ___________________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义．根据平角的定义得到，设旋转的时间为t妙，根据题意得到，，求得，于是得到结论． 【详解】解：，， ， 三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转， 设旋转的时间为秒， ，， ， ， 故答案为：． 4．（22-23八年级下·河南平顶山·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； (3)【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)仍然成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）①根据旋转的性质得到，由等腰直角三角形的性质，继而得到，即可得解； ②根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可； （2）将绕点旋转顺时针得，与重合，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：和，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵绕点顺时针旋转得到，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②绕点顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）仍然成立． 证明：∵， ∴如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合， ∴，，，， 又∵， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图所示，当时， ∵，， ∴，， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 如图所示，当时， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，则， 由（1）得， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是旋转变换综合题，考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键． 【拓展训练四 画图训练】 【例1】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ） A．线段①与线段关于轴对称 B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的 C．线段④与线段②关于点成中心对称 D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④ 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的图形，轴对称的图形．根据旋转的图形，轴对称的图形的性质判断即可． 【详解】解：A、线段①与线段关于轴对称，正确，该选项不符合题意； B、线段①与线段关于轴对称，不是旋转得到的，原说法错误，，该选项符合题意； C、线段④与线段②关于点成中心对称，正确，该选项不符合题意； D、线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④，正确，该选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，点分别是边和上的动点，连接，若，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用完全平方公式配方．先求得，，设，利用勾股定理求得，再利用完全平方公式配方，根据非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴的最小值是， 故答案为：． 1．（2025·八年级下 黑龙江佳木斯）在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转后得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．关键是根据旋转的性质和角之间的关系确定全等三角形．如图，过点A、分别作x轴的垂线，垂足为H、P，则，由旋转的性质和角之间的关系可证，求出，的长，即可得到点的坐标． 【详解】 过点A、分别作x轴的垂线，垂足为H、P， ∵点， ∴， ∵线段绕点O顺时针旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点． 故选：A． 2．（2023·八年级下 山东青岛）如图，线段放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A、B均落在格点上，先将线段绕点O逆时针旋转得到线段，再将线段向下平移3个单位得到线段，线段，，的中点构成三角形面积为（    ） A． B．15 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查旋转作图和平移作图，三角形的面积．首先作出线段，，确定线段，，的中点，作出三角形，利用三角形的面积公式求解． 【详解】如图，点E，D，F分别是线段，，的中点， A ∴的面积是：． 故选：A． 3．（25-26八年级下·天津河西·月考）如图，在以每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点O与点A 分别为格线上一点， （1）在如图所示网格中，当点O、 A 均为所在小正方形一边的中点时，的长度为_______________个单位长度； （2）在如图所示网格中，当点O与点A分别为所在小正方形一边的任意一点时，请只用无刻度的直尺，先画出点A 关于点O 的中心对称的点B，再画出点B 向下平移3个单位长度后得到的点， 并简要说明点B 和点的位置是如何找到的．(图中画线不多于5条)__________________________ 【答案】 和到的水平距离相等，得到点A 关于点O 的中心对称的点B，再证明点O、为所在小正方形一边的中点，即可证明得到 【分析】本题考查勾股定理，平移，中心对称； （1）当点O、 A 均为所在小正方形一边的中点时，点O与点A分别左右距离1格，上下距离2格，根据勾股定理求解即可； （2）连接并延长与右边1格的竖直线交点即为点A 关于点O 的中心对称的点B，把向下平移3个单位长度到，连接与正中间水平线交点为，连接与右边1格的竖直线交点即为点． 【详解】解：（1）根据勾股定理得：， 故答案为：； （2）先画出点A 关于点O 的中心对称的点B，再画出点B 向下平移3个单位长度后得到的点，如图所示： 理由如下：如图，可以证明得到，即可得到点A 关于点O 的中心对称的点B，再证明得到，即可得到点O为所在小正方形一边的中点， 把向下平移3个单位长度到，连接与正中间水平线交点为，可以得到为中点，即，连接与右边1格的竖直线交点即为点，即可证明得到，即点B 向下平移3个单位长度后得到的点． ， 故答案为：和到的水平距离相等，得到点A 关于点O 的中心对称的点B，再证明点O、为所在小正方形一边的中点，即可证明得到． 4．（2025八年级下·江西·专题练习）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的交点称为格点． 请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)如图①，点A，B在格点上，作出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段． (2)如图②，点A，B，C，O均在格点上，以边AC的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请作出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别过点，作所在直线的对称点，，连接即可得到线段； （2）点旋转后的对应点与点重合，点旋转后的对应点与点重合，只需将点绕点逆时针方向旋转即可找出点，将三点连接起来得到的三角形即为． 【详解】（1）解：如图①，线段即为所求． （2）解：如图②，即为所求． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，作图-轴对称变换，熟知图形对称的性质是解题的关键． 1．（2023八年级下·全国·专题练习）观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 【答案】C 【分析】根据平移、旋转、轴对称的特点即可解答． 【详解】解：依次几何变换顺序是轴对称、平移、旋转． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移、旋转、轴对称的特点，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 2．（25-26八年级下·福建南平·期末）如图，在的方格纸中，格点三角形①经过一次旋转后得到格点三角形②，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，通过旋转的性质，旋转中心到旋转前、后图形的对应点的距离相等． 【详解】解：如图，连接D和两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点D的距离相等， 因此格点D就是所求的旋转中心， 故选：D． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在上，与交于点G．，，，现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边所在直线与垂直的时间为（   ） A．5秒或9秒 B．3秒或11秒 C．3秒或5秒或11秒 D．3秒或5秒或9秒 【答案】D 【分析】根据旋转的性质，垂线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可． 【详解】解：由题意知，分以下几种情况讨论： ①如图，当时，设与交点为H，与交点为K， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴旋转时间为； ②如图，当时，设与交点为H， ∵，， ∴， ∴旋转时间为； ③如图，当时，设与交点为H，与交点为K， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴旋转时间为， 综上所述，恰有一边所在直线与垂直的时间为3秒或5秒或9秒． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在和中，，，，分别是，上的点，，分别交于点，，．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①将绕点逆时针旋转得对应三角形为，结合等腰三角形的性质及旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质，即可判断；②将绕点顺时针旋转得对应三角形为，结合等腰三角形的性质及旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质，即可判断； ③由全等三角形的性质得，即可判断；④过点作交于，作交于，结合等腰三角形的性质，由判定，由全等三角形的性质及角平分线的判定定理，即可判断． 【详解】解：①，， 将绕点逆时针旋转得对应三角形为， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， ， 故①正确； ②，， 将绕点顺时针旋转得对应三角形为， 由①同理可证：，（）， ， ， ， 故②正确； ③：由②得， ， 平分， 故③正确； ④过点作交于，作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， 平分， 故④正确； ①②③④都正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，角平分线的判定定理；能利用旋转的性质构建全等三角形是解题的关键． 5．（2026·八年级下 河南安阳）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点的坐标分别为，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2026次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，平行四边形、矩形的判定和性质，图形规律等知识，根据题意得到，结合图形找出旋转规律即可求解． 【详解】解：∵风车图案的中心为正方形， ∴， 如图所示，作于点， ∴， ∵风车图案的四片叶片为全等的平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∵每次旋转， ∴旋转第一次时，点对应点为，点对应点为，则， 旋转第二次时，点对应点为，点对应点为，则， 旋转第三次时，点对应点为，点对应点为，则， 旋转第四次时，点对应点为，点对应点为，则， ∵， ∴经过第2026次旋转后，点的坐标为 ． 6．（2026·八年级下 河南）在平面直角坐标系中，正方形位置如图所示，边长为1，每一次将正方形绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到正方形，第二次旋转得到正方形，…，以此类推，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，， 每点所在象限每4个点为一个循环，横纵坐标的绝对值为， 又， 点在第三象限，坐标为． 7．（25-26八年级下·福建泉州·月考）在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】解题的核心思路是旋转构造．将绕点顺时针旋转至，连接、．首先利用证明，从而得到，并推导出．再证明，得到．这样，在中，由勾股定理得，即．最后代入已知数值，即可求出的长度． 【详解】解：如图， 将绕点顺时针旋转得到，连接． 由旋转可知，，且． ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴，． ∵中，，， ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得：． 又∵， ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴． ∴，即． 已知，， 代入得：． 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转法构造全等三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是成功构造旋转全等，并利用角证明第二次全等，从而将转移到． 8．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，再根据中点的坐标特点求出x、y的值，找出循环的规律即可得出点的坐标． 【详解】解：设， 点、、，点关于的对称点为， ，， 解得，， ． 同理可得，，，，，，，， 每个操作循环一次． ∵， 点的坐标与相同． 故选：B． 【点睛】本题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键． 9．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，矩形的顶点分别在轴、轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2022次旋转后矩形的位置是解题的关键． 过点作轴于点，连接，根据已知条件求出点的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点的坐标，发现规律，进而求出第2022次旋转结束时，点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵矩形绕点顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点的坐标为； 则第2次旋转结束时，点的坐标为； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为； 则第4次旋转结束时，点(的坐标为； 发现规律：旋转4次一个循环， 则第2022次旋转结束时，点的坐标为． 故选：C． 10．（25-26八年级下·四川宜宾·期中）如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】解：∵绕A点逆时针旋转得到， ∴，，，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴． ∴． ∴．故C结论正确，不符合题意； 在中，， ∴． ∴． ∴与不垂直．故A结论错误，符合题意； 在中，， ∴． ∴．故D结论正确，不符合题意． 故选：A． 11．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，已知，则旋转角 ______． 【答案】 【分析】先利用旋转的性质得到，，再利用四边形内角和计算出，然后利用互余计算出，从而得到的值． 【详解】解：矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，把绕点A按逆时针方向旋转得到．若，，则________ °． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．旋转之后得出，再根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：∵绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：. 13．（2026·八年级下 宁夏银川）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据题意得出点坐标的变化规律，进而得出点的坐标，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 将绕原点O逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 依此规律， ∴每4次循环一周，， …， 总结规律得：横纵坐标的绝对值是， ∵, ∴与在同一象限，即第三象限， ∴点． 14．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在四边形中，，，，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题是四边形中线段最值问题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，可得到等腰直角，通过判定，得出，因为，所以当、、三点共线时，取最大值，由，即可求出的最大值． 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、， 由旋转可得，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， 当、、三点共线时，取最大值，最大值为， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 15．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的函数表达式为__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，勾股定理，通过全等三角形求出点C的坐标是解题的关键．过点C作x轴的垂线，求出点C的坐标，然后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 则， 解得 ∴ ∴线段的函数表达式为， 故答案为：． 16．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知一副三角板按如图1的方式摆放，、、三点在同一直线上，其中，． (1)求图1中的度数． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，其中．当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． 【答案】(1)； (2)旋转角的度数为或． 【分析】（1）根据平角的性质，结合三角板中的角度计算即可求解； （2）设的平分线为射线，先求得，再分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点B、C、D在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 设的平分线为射线， ∴， 根据题意，分两种情况讨论： ①当边平分时： 此时， ∵初始位置时， ∴旋转角； ②当边平分时： 此时． ∵初始位置时与重合， ∴旋转角． 综上所述，旋转角的度数为或． 17．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）轴对称、平移和旋转是三种重要的图形变换方式，它们的共同点就是图形的大小和形状都不变，只是改变了图形的位置．这三种图形变换之间是否存在一定的联系，小明做了如下探索： (1)如图①在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作，关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与平移变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论． (2)如图②在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与旋转变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180度后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换． （1）观察本题中图案的特点，根据轴对称、平移的特征进行判断作答； （2）观察本题中图案的特点，根据轴对称、旋转的特征进行判断作答． 【详解】（1）解：作图如图，图形依次经过两条平行直线作两次轴对称变换相当于作一次平移变换； （2）解：作图如图，图形依次以某两条互相垂直的直线作两次轴对称变换相当于以垂足为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转（中心对称变换）． 18．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在网格中，的顶点均在格点上，点A和B的坐标分别是和． (1)点A关于点O中心对称点的坐标为 ； (2)绕点O顺时针旋转后得到，在方格纸中画出，并写出点的坐标 ； 【答案】(1) (2)画图见解析， 【分析】（1）先作点A关于点O中心对称的点，然后再直接写出点的坐标即可； （2）先作绕点O顺时针旋转后得到，然后写出的坐标即可． 【详解】（1）解：如图， ∴点A关于点O中心对称点的坐标为； （2）解：如图，即为所求， ∴． 19．（2025八年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，对于图形M，图形N和点P给出如下定义：若图形M绕点P逆时针旋转后，图形M上有且只有k（k为正整数）个点在旋转后落在图形N上，则称图形N是图形M关于点P的“k关联图形”，点P为图形M到图形N的“k关联中心”．已知点，． (1)在点，，中，点 为线段到直线的“1关联中心”． (2)点，点，点，若对于任意正整数k，四边形都不是自身关于点E的“k关联图形”，直接写出e的取值范围． (3)直线与x轴、y轴分别交于点M、N，将线段向上平移个单位，得到线段，若线段上存在点P，使得线段是线段关于点P的“1关联图形”，直接写出h的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查坐标系中点的旋转，新定义的理解； （1）根据“1关联中心”的定义，分别以，，为中心将线段逆时针旋转，旋转以后的线段与直线有且只有一个交点，即符合题意； （2）分类讨论：①当点E在左侧，时，以点E为中心，点D逆时针旋转后对应点是C点，此时旋转后的图形与四边形有且一个交点，此时点E为，当时，旋转后的四边形与自身没有公共点；②当点E在右侧，时，以点E为中心，点C逆时针旋转后对应点是D点，此时旋转后的图形与四边形有且一个交点，当时，旋转后的四边形与自身没有公共点； （3）利用点P在直线上设，再利用旋转和全等三角形的性质，求出点，点，使得线段是线段关于点P的“1关联图形”，向上平移的距离达到点E的下界，不能超过点F的上界，即可求解. 【详解】（1）解：分别以，，为中心将线段逆时针旋转，如图所示： 旋转以后的线段与直线有且只有一个交点，即符合题意， ∵，都在x轴上， ∴线段在x轴上， ∴将线段逆时针旋转后，线段所在的直线会垂直于x轴 ①以为中心将线段逆时针旋转后，的对应点为，的对应点为，旋转后的线段在y轴上，当时，， ∴旋转后的线段与直线没有公共点， ∴不是线段到直线的“1关联中心”； ②以为中心将线段逆时针旋转后，的对应点为，的对应点为，当时，， ∴点在直线上，旋转后的线段与直线有且只有1个公共点， ∴是线段到直线的“1关联中心”； ③以为中心将线段逆时针旋转后，的对应点为，的对应点为，当时，， ∴点在直线上，旋转后的线段与直线有且只有1个公共点， ∴是线段到直线的“1关联中心”； 综上：、为线段到直线的“1关联中心”. （2）解：∵点，点，点，点， ∴四边形为菱形，点在x轴上， ∵点，点关于x轴对称， ∴，， ①当点E在左侧，时，以点E为中心，点D逆时针旋转后对应点是C点， 此时旋转后的图形与四边形有且只有一个交点， ∴， ∴此时点E为， ∴当时，旋转后的四边形与自身没有公共点，对于任意正整数k，四边形都不是自身关于点E的“k关联图形”； ②当点E在右侧，时，以点E为中心，点C逆时针旋转后对应点是D点， 此时旋转后的图形与四边形有只有一个交点， ∴， ∴此时点E为， ∴当时，旋转后的四边形与自身没有公共点，对于任意正整数k，四边形都不是自身关于点E的“k关联图形”； 综上：∴当或时，对于任意正整数k，四边形都不是自身关于点E的“k关联图形”. （3）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点M、N， 令，即，解得：， ∴， 令，即， ∴， 过点P作轴，过点E作，如图所示， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点，点， ∴点，点， ∴， 解得： ∴，， ∴使得线段是线段关于点P的“1关联图形”，向上平移的距离达到点E的下界，不能超过点F的上界，即或 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）一块方角形钢板如图所示，请你根据中心对称的性质用一条直线将它分为面积相等的两部分（不写画法，保留画图痕迹，在图中直接画出）．你还有其他的分割方法吗？请在备用图中把它画出来． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了矩形的中心对称性，解决此题的关键是找到对称中心． 先将图形分割成两个矩形，找出各自的对称中心，过两个对称中心作直线即可． 【详解】解：如图所示． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 图形的旋转重难点题型专训 （3个知识点+29大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 题型四 根据旋转的性质求解 题型五 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型六 旋转的性质及辨析 题型七 旋转中的规律性问题 题型八 画旋转图形 题型九 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型十 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型十一 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型十二 坐标与旋转规律问题 题型十三 线段问题（旋转综合题） 题型十四 面积问题（旋转综合题） 题型十五 角度问题（旋转综合题） 题型十六 其他问题（旋转综合题） 题型十七 坐标系中的旋转 题型十八 中心对称图形的识别 题型十九 判断中心对称图形的对称中心 题型二十 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型二十一 中心对称图形规律问题 题型二十二 成中心对称 题型二十三 画已知图形关于某点对称的图形 题型二十四 画两个图形的对称中心 题型二十五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型二十六 求关于原点对称的点的坐标 题型二十七 已知两点关于原点对称求参数 题型二十八 判断两个点是否关于原点对称 题型二十九 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 拓展训练一 用旋转的性质解决实际问题 拓展训练二 在坐标系中利用旋转的性质求点的坐标 拓展训练三 旋转综合题 拓展训练四 画图训练 知识点一：中心对称的定义及性质 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．这个点叫做对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 2. 中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形是全等图形； （2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 【即时训练】 1．（2026·八年级下 湖南）下列图形为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是______图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 知识点二：中心对称作图 作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'的一般步骤： （1）找：寻找原图形的关键点A，B，C，连接关键点和对称中心O． （2）截：延长AO，在延长线上找出关键点A的对称点A'，使OA'＝OA；重复上述操作，作出点B的对称点B'，点C的对称点C'． （3）连：按原图顺序连接A'，B'，C'，得到△A'B'C'，如图所示． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·八年级下 江苏泰州）如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有__________________个．    知识点三：中心对称图形及性质 1. 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点就是它的对称中心． 2. 中心对称图形的性质 （1）对称点的连线被对称中心平分； （2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分． 3. 常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【即时训练】 1．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（25-26八年级下·上海金山·期末）在①圆、②等腰三角形、③等腰梯形、④平行四边形中，是中心对称图形的图形是_____．（填序号） 【经典例题一 判断生活中的旋转现象】 【例1】（2023八年级下·香港）如图所示，绕着五个浮标划行．问绕行哪些浮标时是按顺时针方向？（   ） A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，3，5 E．2，4，5 【例2】（24-25八年级下·湖北宜昌·月考）中国诗句韵味十足“坐地日行八万里（只考虑地球自转）”“飞流直下三千尺”，如果只从数学角度看，它们分别蕴含的图形变换是________． 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 2．（24-25八年级下·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 3．（22-23八年级下·辽宁沈阳·月考）在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． _____________________ 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）吊扇在运转过程中，相同的时间内吊扇上每个点运动的路程是否都一样？ 【经典例题二 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例1】（25-26八年级下·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有________．（填序号） 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列选项中，不能由如图在同一平面内经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 3．（23-24八年级下·天津·期中）如图，都是等边三角形．可由绕点______，______方向，旋转______角度得到． 4．（24-25八年级下·全国·暑假作业）分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案． 【经典例题三 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例1】（23-24八年级下·福建厦门·月考）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是_____ 1．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图中的四个三角形不能由最左侧的三角形经过平移或旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西崇左·月考）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，线段绕某点经过旋转后得到（点A与点C对应），则旋转角为____． 4．（24-25·八年级下 湖北武汉）在如图的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（3，5），B（0，1），C（5，1），D是AB与网格线的交点，AE是△ABC的高，仅用无刻度的直只在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题： （1）直接写出△ABC的形状； （2）画出点D关于AE的对称点F； （3）在AC上画点G，使EG＝EC； （4）线段AB和线段BC存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标． 【经典例题四 根据旋转的性质求解】 【例1】（2026·八年级下 浙江衢州）如图，将绕点O逆时针方向旋转45°得到，若，则的度数是（   ） A．13° B．23° C．32° D．45° 【例2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，将绕着点O顺时针旋转，得到，若，，则_______． 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，将绕点旋转得到，使边恰好经过点，若，则的度数为（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，将绕着点C按顺时针方向旋转，B点落在位置，点A落在位置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·八年级下 江苏扬州）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点恰好落在边上，此时点恰好落在的延长线上，则的度数为______． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）综合与实践 “数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题． 【问题背景】如图1所示，将线段绕点逆时针旋转得到线段，在线段上找一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，． (1)【特例研究】易证，判定理由是_______，进而可以得知； (2)【拓展探究】如图2所示，将绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由． (3)【迁移应用】如图3所示，将绕点A逆时针旋转，若点D为的中点，，在绕点A逆时针旋转过程中，若点恰好第一次在一条直线上，求出线段的长． 【经典例题五 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例1】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 1．（25-26八年级下·云南昆明·月考）如图，将四边形绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，是绕点顺时针旋转得到的，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·广西南宁·月考）如图，将绕点，按逆时针方向旋转，得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的度数为_____． 4．（23-24八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【经典例题六 旋转的性质及辨析】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）一个图形经过旋转有以下说法，其中正确的说法是（   ）． ①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【例2】（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点____ ，逆时针方向旋转了____度. 1．（23-24八年级下·上海·单元测试）平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 2．（24-25八年级下·全国·专题练习）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是(    ) A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）在平面内把一个图形绕着某__________沿着某个方向转动__________的图形变换叫做旋转．这个点O叫做__________，转动的角叫做__________．因此，图形的旋转是由__________，__________和__________决定的． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）将一副三角板按如图1所示放置在直线上，，，．若三角板固定不动，三角板绕点C以每秒顺时针旋转一周，旋转时间为． (1)当面积最大时，求t的值． (2)如图2，是的平分线，当t的值为____________时，． (3)若在三角板旋转的同时，三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【经典例题七 旋转中的规律性问题】 【例1】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 1．（2026·八年级下 河北沧州）如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到如图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到如图3，称为2次整理⋯；若从如图1开始，经过次整理后，得到的顺序与如图1相同，则的值可以是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 2．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第________个箭头方向相同．（填序号） 4．（25-26八年级下·上海虹口·期中）旋转的齿轮 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 齿轮是一种有齿的机械构件，它们通常以两个或多个为一组．若两个齿轮不同轴，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上的齿轮的齿啮合，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转，如图所示．现有 【操作观察】 (1)观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 逆时针 慢 小齿轮B ________ 快 【计算思考】 (2)通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮，小齿轮________（填“加速”或“降速”）； (3)我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等．如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动________圈． (4)探究三个齿轮啮合的效果：在（3）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，求齿轮C的齿数并描述它的转动方向________（填“顺时针”或“逆时针”）． 【经典例题八 画旋转图形】 【例1】（25-26八年级下·浙江·期中）如图，在正方形网格中，，，，，，，，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点，则点的落在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（25-26八年级下·江西南昌·月考）如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标的取值范围是______． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·上海·期末）如图，方格纸上的直线m与直线n交于点O，对分别作下列运动： ①先以点A为中心顺时针方向旋转，再向右平移6格、向下平移3格； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，再向下平移3个单位，再沿直线n翻折； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，再向下平移4格、向右平移2格． 其中，能将变换成的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（2025·八年级下 四川泸州）在平面直角坐标系中，的半径为1，点为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．如图，已知点，点，点为点的“对应点”，则__________ 4．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）在中，，以为中心，将线段逆时针旋转，得到线段，以为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接． (1)根据题意补全图1，并证明； (2)如图2，点在的延长线上，且，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【经典例题九 求绕原点旋转90度的点的坐标】 【例1】（2025·八年级下 广东梅州）如图，以下四条线段中，不能通过线段绕原点O旋转得到的对应序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【例2】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）如图，电子光点P绕着点O做圆周运动，直线的右侧为危险区，光点初始位置在点处，顺时针旋转后电子光点P______危险区．（填“进入”或“不进入”） 1．（2025·八年级下 广东）如图，等边的边长为2．以的中点为原点建立平面直角坐标系，把绕点顺时针旋转得到与相交于点，连接，下列判断不正确的是（　　） A．点的坐标是 B．是等腰三角形 C．的长是 D． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）无人机编队表演，在空中先组成如图所示的四边形图案，然后整体向右平移5个单位，再绕点O逆时针旋转，此时点C的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知：点，，为坐标原点，将线段绕原点顺时针方向旋转到线段，则四边形的面积为_______． 4．（2026·八年级下 安徽淮南）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和点均为格点（网格线的交点）．已知点． (1)将平移得到，使得点的对应点为，在所给的网格中画出； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转得到，请在所给的网格中画出，并写出点的坐标． 【经典例题十 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点P旋转，得到，则点，，的坐标分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】（25-26八年级下·天津武清·月考）如图，把绕点A顺时针方向旋转，则点B旋转后的坐标是 ___________ ． 1．（2026·八年级下 山东青岛）如图，将先向右平移，使点与点重合，再将所得的三角形绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为（       ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、，把绕点A逆时针旋转后得到，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标是_____．    4．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）（1）如图1，已知点O坐标为，点A绕点O顺时针旋转后得到点B． ①若点A坐标为，则点B的坐标为___________； ②当点A的坐标为___________，点B的坐标为． （2）如图2，点M坐标为，点N在直线上，若点N绕点M顺时针旋转得到点Q在x轴上，求点Q的坐标． （3）已知点，，平面内一点D绕点B顺时针旋转至点C，点C在过点且平行于x轴的直线上，当为等腰三角形时，请直接写出点C的坐标， 【经典例题十一 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 【例1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，将绕点O旋转得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②，则其旋转中心的坐标为______． 1．（25-26八年级下·山东德州·期末）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·八年级下 浙江衢州）平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·八年级下 宁夏银川）如图，矩形的顶点，，与轴负半轴的夹角为，若矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第秒时，矩形的对角线交点的坐标为______． 4．（25-26八年级下·云南昆明·期中）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出将绕原点逆时针方向旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)画出将绕原点按顺时针旋转所得的． 【经典例题十二 坐标与旋转规律问题】 【例1】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________． 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）在平面直角坐标系中，正方形按照如图所示放置，其边长为1，将正方形按照如下方式进行变换：将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形；将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形，…，则正方形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且，将绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，将，绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，．．．．．．依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______． 4．（2023·八年级下 安徽淮北）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为． 观察应用：    (1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：　　． (2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，，则、的坐标分别为：　　、　　． 【经典例题十三 线段问题（旋转综合题）】 【例1】（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2023·八年级下 陕西渭南）如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 _____． 1．（2023·八年级下 浙江湖州）年是癸卯兔年，“瑞兔呈祥”，小明同学查阅资料后得知，兔子的耳朵有很多功能，其中包括通过竖起耳朵利用风来散热，起到调节体温的功能．小明用图中的七巧板拼成图所示的一只奔跑中的兔子，已知小正方形的边长为，点是边的中点，通过旋转“耳朵”这块七巧板，可以将“耳朵”耷拉的状态转到竖直（如图），在旋转过程中，耳朵尖的点离小兔子的前脚掌尖的距离的最大值为（    ）．    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点在方格线的格点上，将AB 绕点 P 顺时针方向旋转 90°，得到线段A′B′，则点 P 的坐标为（  ） A．(1，2) B．(1，4) C．(0，4) D．(2，1) 3．（22-23八年级下·辽宁抚顺·月考）如图，在中， ，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_____． 4．（25-26八年级下·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【经典例题十四 面积问题（旋转综合题）】 【例1】（25-26八年级下·浙江杭州·开学考试）剪两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上．旋转其中一个正方形，重叠部分所形成的图形如何变化？三位同学经过研究后得到以下结论，你的意见是（   ） 小天：重叠图形的形状在变化，所以面积也在发生变化． 小亮：我选择几个特殊位置试一试，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一． 小丽：通过割补，我发现重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变． A．小天对 B．小亮对 C．小丽对 D．小亮和小丽都对 【例2】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到点E，则的面积为______ 1．（22-23八年级下·天津滨海新区·期中）将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，如果把图①中的绕点C逆时针旋转得，连接，如图②．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·八年级下 河北唐山）小明遇到一个问题：个同样大小的正方形纸片，边长是，排列形式如图所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图所示的方法分割后，将三角形纸片①绕的中点旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形．则新正方形的面积是______；如图，在面积为的平行四边形中，点分别是边的中点，分别连接得到一个新的平行四边形．则平行四边形面积的大小是______．    4．（25-26八年级下·天津·月考）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，绕点B顺时针旋转，得，点A、O旋转后的对应点为，，记旋转角为． (1)若，边上的一点M旋转后的对应点为N，如图1，当时，求点N的坐标和的长度； (2)如图3，若，求点的坐标； (3)如图4，P为上一点，且，连接，，在绕点B顺时针旋转一周的过程中，设的面积为S，直接写出S的取值范围为________． 【经典例题十五 角度问题（旋转综合题）】 【例1】（2025·八年级下 甘肃酒泉）如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西延安·月考）如图，绕点A 顺时针旋转某个角度得到．已知，，、相交于点，、相交于点，则的度数为________．    1．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·月考）将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为_____ 4．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则______； (2)若，，求和的长． 【经典例题十六 其他问题（旋转综合题）】 【例1】（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【例2】（22-23八年级下·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转45°后得到正方形，继续旋转至2019次得到正方形，则点的坐标是______． 1．（23-24八年级下·北京丰台·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 2．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（    ） A．n＝1可以，n＝2，3不可 B．n＝2可以，n＝1，3不可 C．n＝1，2可以，n＝3不可 D．n＝1，2，3均可 3．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，把绕顶点C顺时针旋转得到，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF、CE，且．下面四个结论：①；②；③；④的面积为，其中正确的结论有__________． 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·月考）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接． (1)当点E在线段上，时，如图①，求证：： (2)当点E在线段延长线上，时，如图②；当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段，，的数量关系； (3)在（1）、（2）的条件下，若，，则______． 【经典例题十七 坐标系中的旋转】 【例1】（2026·八年级下 辽宁葫芦岛）如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，，，将绕点旋转，则点的对应点的坐标为___________． 1．（25-26八年级下·浙江温州·开学考试）在直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·八年级下 吉林松原）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）将一个边长为的正方形绕其一个顶点按顺时针方向旋转，则旋转后所得图形与原正方形重叠部分的面积为______． 4．（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，在网格（每个小正方形的边长都是一个单位长度）中建立平面直角坐标系，的三个顶点，，都在格点（网格线的交点）上． (1)通过旋转，可使与重合，请在图中标出旋转中心． (2)将绕原点旋转，得到，请画出． 【经典例题十八 中心对称图形的识别】 【例1】（25-26八年级下·山东青岛·期中）下面四幅图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，，且，E是BC的中点，则可以看成是由向左平移得到的，平移的距离为________；与是成中心对称的两个三角形，它们的对称中心是________． 1．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．等边三角形 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　） A．科克曲线 B．笛卡尔心形线 C．赵爽弦图 D．斐波那契螺旋线 3．（25-26八年级下·上海·月考）下列图形中，绕某个点旋转能与自身重合的有______． ①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形． 4．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)在、、中： ___________与___________成轴对称； ___________与___________成中心对称，且对称中心的坐标为___________． 【经典例题十九 判断中心对称图形的对称中心】 【例1】（25-26八年级下·贵州黔西南·期末）兴仁市开展“非遗文化进校园”活动，将布依族刺绣图案进行旋转设计，若将一个图案绕某点旋转后与原图案重合，则该图案的旋转中心是对应点连线的（    ） A．中点 B．端点 C．三等分点 D．四等分点 【例2】（24-25八年级下·河南洛阳·期末）图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是_________． 1．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 2．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 3．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是______． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的的网格，小正方形的顶点称为格点．图中，，，均为格点，是线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在下列给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画出线段绕点逆时针旋转后得到的线段； (2)在图（1）中，画出点绕点逆时针旋转后得到的点； (3)在图（2）中，画出点，使点是四边形的对称中心，并连接； (4)在图（2）中，令，画出点绕点逆时针旋转得到的点． 【经典例题二十 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例1】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图所示是的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【例2】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有____个． 1．（22-23八年级下·广西钦州·周测）在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2026·八年级下 江西吉安）如图所示的是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．（25-26八年级下·浙江·课后作业）如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 _______． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）按照要求画图： (1)如图甲，在平面直角坐标系中，将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点为点．画出旋转后的； (2)如图乙，网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）． 【经典例题二十一 中心对称图形规律问题】 【例1】（24-25八年级下·广东河源·期末）甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界．规定谁在桌面上放下最后一枚硬币，谁就获胜．获胜的策略是（　　） A．先放者获胜 B．后放者获胜 C．先放者将硬币放到桌面的圆心处 D．后放者将硬币放到桌面的圆心处 【例2】（2025·八年级下 江西上饶）如图，小轩同学用计算机软件绘制函数的图象，发现该图象关于点成中心对称．若点，，，，…，都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小，则的值是________． 1．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·八年级下 广东广州）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 4．（25-26八年级下·贵州黔西南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将绕原点旋转得到． (1)在平面直角坐标系中画出，并写出点、、的坐标； (2)作关于轴对称的，并写出的坐标． 【经典例题二十二 成中心对称】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024八年级下·广东·学业考试）若点与点关于点中心对称．则___________． 1．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，一个电动玩具从坐标原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称…照此规律重复下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·八年级下 湖南邵阳）如图，与关于点 O 成中心对称，连接．下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点处开始依次关于点，做循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处……，如此下去．则经过第次跳动之后，棋子落点的坐标为______． 4．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在网格中，小正方形的边长均为1个单位，点A，B，C，O都在格点上，直线l经过点O． (1)画图： ①画，使绕点顺时针旋转； ②画，使与关于直线对称； ③在直线上找一点，使最小． (2)发现：与形成__________关系（用“轴对称”“旋转对称”“中心对称”填空）． 【经典例题二十三 画已知图形关于某点对称的图形】 【例1】（24-25八年级下·浙江杭州·月考）在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 1．（2024·八年级下 广东广州）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     2．（2023·八年级下 河北衡水）三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点的坐标为_________． 4．（25-26八年级下·上海普陀·期末）小明在学习乘法公式时，通过计算图形的面积发现了平方差公式及完全平方公式，他课后遇到了这样一个问题，请帮他一起解决： (1)如图，已知是直角三角形，，，，，请分别画出绕点顺时针旋转得到，关于点O成中心对称的，绕点逆时针旋转得到． (2)第（1）问画出的四边形是一个什么图形？______． 一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为______；另一方面，它的面积等于四个三角形和四边形的面积之和，为______．于是，我们得到______．（用含、、且化简后的整式表示） (3)请你借助，再画出一种示意图推出第（2）题得到的等式，并简要说明推导过程． 【经典例题二十四 画两个图形的对称中心】 【例1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，与关于某点成中心对称，则对称中心是点（   ） A．M B．N C．P D．Q 【例2】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是_____． 1．（23-24八年级下·广东珠海·期中）已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 2．（23-24八年级下·河北邢台·月考）如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是________．   4．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）正方形网格中（每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点）的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：    (1)画出绕点B逆时针旋转的，并写出点C的对应点的坐标为___________； (2)画出关于点O的中心对称图形，并写出点C的对应点的坐标为___________； (3)在平面直角坐标系内找点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D坐标为___________； (4)可由绕点M旋转得到，请写出点M的坐标为___________． 【经典例题二十五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例1】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 1．（25-26八年级下·江西鹰潭·月考）数轴上，点表示的数分别为、4和，若这三点中，其中两个点关于第3个点成中心对称，则的值不可能为（   ） A． B．3 C．1 D．10 2．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，，，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·期末）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 4．（2026·八年级下 江西新余）按要求完成下列各题： (1)计算： (2)如图， 与 关于点O成中心对称，求证: ． 【经典例题二十六 求关于原点对称的点的坐标】 【例1】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）已知的对角线交点在原点，若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·河南许昌·期末）平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则________． 1．（2023八年级下·山东济宁·专题练习）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即或或等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线、交于点O，过点O的直线分别与边交于点E，F，若点E的坐标为，则点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别为，，．一动点从原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，……这个动点照此规律跳下去，则点的坐标是______． 4．（2023·八年级下 江苏淮安）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图： (1)将先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到，画出； (2)画出与关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标． 【经典例题二十七 已知两点关于原点对称求参数】 【例1】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）若点关于原点的对称点是，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·广东韶关·月考）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则_________． 1．（25-26八年级下·全国·周测）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·八年级下 陕西西安）一个正比例函数的图像经过点和点．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·天津河西·月考）在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值是_____． 4．（25-26八年级下·河南安阳·月考）（1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求的值． 【经典例题二十八 判断两个点是否关于原点对称】 【例1】（24-25八年级下·云南德宏·期末）下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例2】（2023·八年级下 福建福州）平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是_________． 1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A．B．C． D． 2．（22-23八年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 3．（2023·八年级下 广西柳州）已知点与点，则这两个点关于______对称． 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 【经典例题二十九 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，该图案在设计思路中没有体现的变换方式是（   ） A．旋转 B．中心对称 C．轴对称 D．平移 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图是小亮设计地板砖的图案过程： 方法一：由图1到图2采用的是________方法，由图2到图3也是采用________方法设计的； 方法二：由图1到图2采用的是________方法，旋转中心是正方形的________，由图2到图3也采用的是________方法，顺时针旋转________度． 1．（25-26八年级下·上海·月考）下边的图案是由下面五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠），这两种基本图形是（   ） A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 2．（2025·八年级下 江苏无锡）如图1，现有长，宽的、两种卡片各若干张，卡片上都有一条对角线花纹，请用这些卡片正好拼成一个的大正方形，要求每张卡片与卡片的对角线都不相连（例如图2中所示的两种拼法就都不符合要求），则、两种卡片各需要的张数可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察如图所示的图形，然后填空． 在图①中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形；在图②中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形；在图③中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形；在图④中，左边的图形可以通过______变换得到右边的图形．（填一种方法即可） 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）习近平总书记在2018年9月10日的全国教育大会上，首次将劳动教育（含劳技教育）纳入党的教育方针，明确提出构建德智体美劳全面培养的教育体系，并强调劳动教育的极端重要性．学校劳技课上组织学生制作“图形变换”教具，需要将长、宽的矩形纸片按下列要求进行裁剪，使裁剪后拼接成的新图形的面积保持不变．要求：把最终拼接所得的图形打上阴影，并标注好必要的数据． (1)一个底边长为的等腰三角形； (2)一个上底，下底的等腰梯形； (3)一个长为的新矩形； (4)一个底为的平行四边形． 【拓展训练一 用旋转的性质解决实际问题】 【例1】（2023·八年级下 河北石家庄）在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【例2】（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，可以看成由经过怎样的图形变换得到？下列结论：次平移；次轴对称；一次旋转；次平移和次轴对称．其中，所有正确结论的序号是__________． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是三个小正方形组成的图形．若在图形中补画一个小正方形，使得补画完的图形为轴对称图形或中心对称图形，补画成轴对称图形或中心对称图形的方案分别有（   ） A．3种、2种 B．3种、3种 C．4种、2种 D．4种、3种 2．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 4．（25-26八年级下·上海松江·期末）图形运动藏奥秘，动手实践出真知！某校七年级数学兴趣小组围绕直角三角形运动，解锁几何探究新乐趣． 【操作】 如图，在正方形中，点是边上一动点（不与、重合），连结． （1）将三角形绕点逆时针旋转得到三角形（点、分别与点、对应），请在图中画出旋转后的图形；（不要求写作图步骤，只写结论） 【探究】 （2）在（1）所画图形的基础上，已知，（其中），连结． ①当，时，求三角形的面积； ②如果三角形的面积为，三角形的面积为，求线段的长． 【拓展】 （3）在（2）的条件下，画出三角形关于直线成轴对称的三角形（点A与点G是对称点），设交于点，直接写出三角形与三角形的面积差．（用含b的代数式表示） 【拓展训练二 在坐标系中利用旋转的性质求点的坐标】 【例1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·八年级下 山东济宁）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点逆时针转动，则第秒时；点的对应点的坐标为________． 1．（25-26八年级下·江苏宿迁）已知，将点绕点顺时针旋转至点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·湖北随州·月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，点A在第一象限，点在轴正半轴上，，若将菱形绕点顺时针旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北荆门·月考）如图，已知直线与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，且，点C为x轴的正半轴上一点，将线段绕点C按顺时针方向旋转得线段，连接，若，则________． 4．（22-23八年级下·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点A顺时针旋转，得，点B，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． (1)如图1，若，请利用网格画出，并求的坐标； (2)如图2，若，求点的坐标； (3)若M为边上的一动点，在上取一点，将绕点A顺时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果即可）． 【拓展训练三 旋转综合题】 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP=6，则PC的最小值是（ ） A．2 B．3 C．3-3 D．3 【例2】（22-23八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，点，在线段上，且，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接，．给出以下结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号） 1．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C． D．3 2．（22-23八年级下·贵州黔东南·期中）如图，点是等边三角形内一点，若，，，则（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ___________________． 4．（22-23八年级下·河南平顶山·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； (3)【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【拓展训练四 画图训练】 【例1】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ） A．线段①与线段关于轴对称 B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的 C．线段④与线段②关于点成中心对称 D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④ 【例2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，点分别是边和上的动点，连接，若，则的最小值是_____． 1．（2025·八年级下 黑龙江佳木斯）在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转后得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·八年级下 山东青岛）如图，线段放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A、B均落在格点上，先将线段绕点O逆时针旋转得到线段，再将线段向下平移3个单位得到线段，线段，，的中点构成三角形面积为（    ） A． B．15 C．3 D． 3．（25-26八年级下·天津河西·月考）如图，在以每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点O与点A 分别为格线上一点， （1）在如图所示网格中，当点O、 A 均为所在小正方形一边的中点时，的长度为_______________个单位长度； （2）在如图所示网格中，当点O与点A分别为所在小正方形一边的任意一点时，请只用无刻度的直尺，先画出点A 关于点O 的中心对称的点B，再画出点B 向下平移3个单位长度后得到的点， 并简要说明点B 和点的位置是如何找到的．(图中画线不多于5条)__________________________ 4．（2025八年级下·江西·专题练习）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的交点称为格点． 请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)如图①，点A，B在格点上，作出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段． (2)如图②，点A，B，C，O均在格点上，以边AC的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请作出． 1．（2023八年级下·全国·专题练习）观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 2．（25-26八年级下·福建南平·期末）如图，在的方格纸中，格点三角形①经过一次旋转后得到格点三角形②，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在上，与交于点G．，，，现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边所在直线与垂直的时间为（   ） A．5秒或9秒 B．3秒或11秒 C．3秒或5秒或11秒 D．3秒或5秒或9秒 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在和中，，，，分别是，上的点，，分别交于点，，．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026·八年级下 河南安阳）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点的坐标分别为，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2026次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·八年级下 河南）在平面直角坐标系中，正方形位置如图所示，边长为1，每一次将正方形绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到正方形，第二次旋转得到正方形，…，以此类推，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·福建泉州·月考）在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 8．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，矩形的顶点分别在轴、轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·四川宜宾·期中）如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，已知，则旋转角 ______． 12．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，把绕点A按逆时针方向旋转得到．若，，则________ °． 13．（2026·八年级下 宁夏银川）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是__________． 14．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在四边形中，，，，，则的最大值为______． 15．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的函数表达式为__________． 16．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知一副三角板按如图1的方式摆放，、、三点在同一直线上，其中，． (1)求图1中的度数． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，其中．当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． 17．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）轴对称、平移和旋转是三种重要的图形变换方式，它们的共同点就是图形的大小和形状都不变，只是改变了图形的位置．这三种图形变换之间是否存在一定的联系，小明做了如下探索： (1)如图①在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作，关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与平移变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论． (2)如图②在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与旋转变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论． 18．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在网格中，的顶点均在格点上，点A和B的坐标分别是和． (1)点A关于点O中心对称点的坐标为 ； (2)绕点O顺时针旋转后得到，在方格纸中画出，并写出点的坐标 ； 19．（2025八年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，对于图形M，图形N和点P给出如下定义：若图形M绕点P逆时针旋转后，图形M上有且只有k（k为正整数）个点在旋转后落在图形N上，则称图形N是图形M关于点P的“k关联图形”，点P为图形M到图形N的“k关联中心”．已知点，． (1)在点，，中，点 为线段到直线的“1关联中心”． (2)点，点，点，若对于任意正整数k，四边形都不是自身关于点E的“k关联图形”，直接写出e的取值范围． (3)直线与x轴、y轴分别交于点M、N，将线段向上平移个单位，得到线段，若线段上存在点P，使得线段是线段关于点P的“1关联图形”，直接写出h的取值范围． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）一块方角形钢板如图所示，请你根据中心对称的性质用一条直线将它分为面积相等的两部分（不写画法，保留画图痕迹，在图中直接画出）．你还有其他的分割方法吗？请在备用图中把它画出来． 学科网（北京）股份有限公司 $