第四章 平行四边形重难点检测卷-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 本卷为八年级下册平行四边形单元检测卷，覆盖全章重难点，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合几何直观、推理能力与创新意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|多边形性质、反证法、图形变换（如第6题旋转平移）|基础概念辨析，结合生活情境（如第3题操作课剪角）| |填空题|8/24|n边形对角线（第11题）、旋转坐标（第14题）、平行四边形性质（第16题最小值）|注重空间观念，渗透动态几何思想| |解答题|10/66|新定义“对角旋转”（第23题）、平行四边形证明与计算（第21题）、图形变换探究（第26题旋转坐标）|综合应用几何直观与推理能力，设置分层探究（如第25题动点问题）|

第四章 平行四边形重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：平行四边形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·全国·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点； B．四边形有2条对角线； C．连接对角线，可以把多边形分成三角形； D．六边形的六个角都相等； 【答案】D 【分析】运用多边形的定义及其内角、对角线等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、五边形有5条边，5个内角，5个顶点，原选项正确，故不符合题意； B、四边形有2条对角线，原选项正确，故不符合题意；； C、连接对角线，可以把多边形分成三角形，原选项正确，故不符合题意； D、六边形的六个角不一定相等，只有正六边形的六个内角相等，原选项错误，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的定义及其内角、对角线等知识点，解决本题的关键是熟练掌握多边形的定义． 2．（25-26八年级下·山东青岛·月考）用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应假设这个三角形中（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【答案】B 【详解】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应假设这个三角形中每一个内角都小于． 3．（23-24八年级下·河北沧州·课后作业）琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（    ）    A．变成四边形后对角线增加了两条 B．变成四边形后内角和增加了 C．外角和没有发生变化 D．若剪掉的角的度数是，则 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线，内角和与外角和，三角形内角和定理，解题的关键是 【详解】解：A、三角形没有对角线，变成四边形后对角线为两条，即增加了两条，故正确，不合题意； B、三角形内角和为，变成四边形后内角和为，增加了，故错误，不合题意； C、任意多边形的外角和是，故正确，不合题意； D、若剪掉的角的度数是，则，则，故正确，不合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级下·重庆丰都·月考）如图，在中，于点E，点F为的中点，连接并延长交的延长线于点G，若，则的角度用含的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，证明，得出，由直角三角形的性质得出，则，证出，则可得出结论． 【详解】解：连接， 点F为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题的关键． 结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项． 【详解】解：A、由题意可证得四边形是平行四边形，所以，故A选项成立，不符合题意． B、由两条平行线间的平行线段相等可知，故B选项成立，不符合题意． C、，， ； ， ∴四边形是平行四边形， ，故C选项成立，不符合题意． D、与的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 6．（2023·八年级下 吉林长春）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①② 【答案】B 【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可． 【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意 ； 图（1）先绕着点旋转，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意 ； 图（1）绕着的中点旋转即可得到图（2），故④符合题意 ； 图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的关键． 7．（24-25八年级下·四川绵阳·专题练习）如图，线段在直角坐标轴中，已知，将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过作辅助线，利用旋转的性质，找到对应线段的关系，从而确定点 的坐标．本题主要考查了坐标与图形变化 - 旋转，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ． 线段 绕点 逆时针旋转 ， ，， ，，， ， ， ，， ，， ，， ， ． 故选：D． 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，为等边三角形，以为边向外侧作，使得，再以点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，则下列结论： ①D、A、E三点共线；②为等边三角形；③平分；④，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】如图，由为等边三角形得到，由得到，再根据旋转的性质得，即旋转角等于，，，于是可计算出，则可对①进行判断；由，，根据等边三角形的判定可对②进行判断；由为等边三角形得，于是可得，则可对③进行判断；根据旋转的性质得，根据等边三角形的性质得，所以，则可对④进行判断． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， 点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至， ，即旋转角等于，，， ，即， 三点共线，所以①正确； ，， 为等边三角形，所以②正确； 为等边三角形， ， ， 平分，所以③正确； 为等边三角形， ， 而点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至， ， ， ，所以④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质． 9．（25-26八年级下·江西赣州·课后作业）如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（   ） A． B．14 C．15 D． 【答案】D 【分析】在上截取，连接，得出平行四边形和相等的角，假设，表示出面积，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 假设， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∴． 10．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）如图，已知是的中位线，为上一点，且，若，，则的长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】利用中位线的性质得到的长，即可求出的长，再由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∵为的中点， ∴． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26八年级下·四川成都·专题练习）从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 【答案】27 【分析】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式． 根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算． 【详解】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为个， 已知分成7个三角形，得， 解得， n边形的对角线条数公式为，代入，得， 故答案为：27． 12．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级下·山东青岛·课后作业）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则的度数为_________°． 【答案】 【分析】先由，利用平行线内错角相等得；再根据旋转性质得，推出为等腰三角形，结合三角形内角和求出旋转角，即；最后用减去，算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点旋转得到， ∴对应边相等，旋转角相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（23-24八年级下·山东青岛·月考）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质．过点A作轴于点D，过点C作于点E，过点作延长线于点F，与x轴交于点G，根据旋转的性质可得，即可求解，理解图示和旋转的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点D，过点C作于点E，过点作的延长线于点F，与x轴交于点G， 则， ∵，， ∴，， ∵绕点C旋转得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解决该题型题目时，根据题意列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键． 根据中心对称的性质找出部分的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，当为奇数时，；当为偶数时，依此规律即可得出结论． 【详解】解：，，是等腰直角三角形，且， ． 与关于点成中心对称， ． 同理可得，，，…． 设为自然数．当为奇数时，；当为偶数时． 故点的坐标为． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·浙江·课后作业）如图，已知在中，，点M是边上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值_________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，点N在过点B且平行于AC的线段上运动，则当MN⊥AC时，MN最小，利用同一三角形的面积相等即可求得MN的值． 【详解】如图，设MN、BC交于点O，连接AO，过点B作BD⊥AC于点D ∵四边形MCNB是平行四边形，且对角线交于点O ∴BN∥AC，OB=OC ∵点M在AC上运动 ∴点N在过点B且平行于AC的线段上运动 ∴当MN⊥AC时，MN最小 ∵BD⊥AC ∴BD∥MN ∴MN=BD ∵AB=AC=5，OB=OC ∴OB=，且AO⊥B C 由勾股定理得： ∵ ∴BD= ∴MN= 即MN的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，两平行线间的公垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是确定点N的运动路径，从而转化为两平行线间的公垂线段最短，化动为静，这也是本题的难点所在． 17．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，和中，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④点到和到的距离相等．其中结论正确的是______． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，反证法等，解题的关键是掌握以上性质． ①根据给出条件证明即可； ②利用得出，然后利用角的和差以及三角形内角和定理求解即可； ③利用反证法进行证明即可； ④过点作于点，作于点，利用得出对应边上的高相等即可． 【详解】解：①∵，，， ∴ ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②由①得，， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ④如图，过点作于点，作于点， ∵， ∴， 故④正确，符合题意； ③由④得，，且， ∴， ∴， ∴， 即， 若平分，则，且， ∴， ∴， 根据题意，， 故③错误，不符合题意； 综上，正确的选项是①②④， 故答案为：①②④． 18．（23-24八年级下·上海虹口·月考）如图，在中，，，、分别在、上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，，若，则______．    【答案】2 【分析】如图，记的中点为，连接，，则是的中位线，是的中位线，，，，，由平行线 的性质以及题意可得，，，则，，，设，则，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接，，    ∵，的中点分别是，，的中点为， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查中位线的应用，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的正六边形均是由6个相同的小等边三角形拼成的，将其部分涂黑．观察图①、图②的特征，回答下列问题： (1)图①和图②共同的特征是__________； (2)请你在图③、图④中设计出与图①、图②特征相同的图形． 【答案】(1)既是轴对称图形，又是中心对称图形； (2)见解析． 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称的性质，轴对称图形，掌握中心对称的性质是解题关键． （1）观察图①和图②，发现它们既是轴对称图形，又是中心对称图形； （2）根据轴对称和中心对称的特征，在图③④中设计出既是轴对称又是中心对称的图形即可． 【详解】（1）解：既是轴对称图形，又是中心对称图形； （2）解：设计的图形如图③、图④所示（答案不唯一）． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）设a，b，c是不全相等的任意实数，若．求证：x，y，z至少有一个大于零． 【答案】见解析． 【分析】假设x，y，z都小于零，列出算式，根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性判断即可． 【详解】解：假设x，y，z都小于零， 则， ∴， ∴， 这与偶次方的非负性相矛盾， ∴假设不成立， ∴x，y，z至少有一个大于零． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 21．（25-26八年级下·浙江杭州·课后作业）如图，的对角线，相交于点，平分，交于点，且． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，连结． ①若，求的面积； ②设，试求与之间满足的关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据▱中，，结合角平分线的定义可得，即可得证是等边三角形； （2）①根据 ，可得，证明，再利用含度角的直角三角形可得的长，进而可得平行四边形的面积； ②根据四边形是平行四边形，可得，，由是等边三角形，可得，由的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍，设边上的高为，的长为，分别表示出四边形和三角形的面积，进而可得与满足的关系． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 平分， 是等边三角形， （2）解：①， ， ， ， ，， ， ， ， 当时， 平行四边形的面积； ②四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ， 的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍， 设边上的高为，的长为， ，， ， ， ， ， ． 22．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为．（画图时字母应标注清楚） (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_____． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查作图－旋转变换、中心对称变换等知识点，掌握旋转变换的性质、中心对称变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，然后顺次连接即可解答； （2）利用旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，然后顺次连接即可解答； （3）对应点连线的交点即为旋转中心，然后确定旋转中心的坐标即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． （3）解：如图：与关于点中心对称，点的坐标为． 故答案为：． 23．（25-26八年级下·上海闵行·专题练习）某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，是对角线． (1)如图2，把长方形绕点逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，如果度数为，则“对角旋转角”的度数_____（用含有的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，则_____； (3)在长方形中，，在第（1）（2）小题的基础上经“对角旋转”后，点的对应点分别为点和点，连接，三角形面积为312，三角形面积为130，请求出此时长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)240 【分析】本题考查了旋转的性质和定义以及三角形的面积公式，掌握其相关知识是解题的关键． （1）根据对角旋转角的定义解答即可； （2）根据旋转的性质和角的关系解答即可； （3）根据三角形的面积公式和关系得出与的关系，进而解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：“对角旋转角”为，， ∴， ∴对角旋转角为：， 故答案为：； （2）解：如图， ∵， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（23-24八年级下·江苏南京·课后作业）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，折叠的性质； （1）选择，根据三角形的外角的性质，即可得证；选择B，由翻折性质得：，，进而根据三角形的外角的性质，折叠的性质证明，即可得证； （2）延长，交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出，即可求解； （3）由（2）可知：，设，，根据，得出，由（1）B可知：，即可求解． 【详解】（1）证明：选择，证明如下： ，，， ， ； 选择B，证明如下： 由翻折性质得：，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 即； 故答案为：或． （2）延长，交于点，如图③所示： 由（1）可知：，， 则 ，， ， 、分别平分、， ， ； （3）由（2）可知：， ，， ， 设，， ，， ，， ， 即， ， ， 由（1）B可知：． 25．（24-25八年级下·福建泉州·专题练习）如图，点E为的边上的动点，点G为上的动点，连接并延长交于点F，连接． (1)如图①，已知，，． ①若，试求出的度数； ②连接．当点F为的中点，时，求证：． (2)如图②，在的延长线上取一点P，使得．当，点G是的中点时，试写出线段、、之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①20°；②见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质得到，再由垂线的定义和直角三角形两锐角互余可得答案；②设，则，，由平行四边形的性质可得，，，，证明，得到，则，进而可得，再证明，即可证明； （2）过C作交于N，则，证明，得到，，再证明，得到．则，证明，得到，则可证明． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵， ∴， ， ； ②设， 由①得，， 由平行四边形的性质可得，，，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ； （2）解：，理由如下： 过C作交于N， ， 为中点F， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； ， ，， ， ． ， 又，， ， ． 即． 26．（25-26八年级下·全国·月考）如图1，在平面直角坐标系中，点． (1)探究 与之间的关系； (2)点D在x轴上，且，连接，把线段绕点B顺时针旋转，得到线段，求点E的坐标； (3)如图2，点E的坐标为，连接，把线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点B作于点G，交于点H． ① 求点F的坐标； ② 求证：． 【答案】(1)且 (2)点E的坐标为或 (3)①；②证明见解析 【分析】（1）过点B作轴于点E，过点C作交的延长线于点D，延长交y轴于点I．证明．得． 可得．得，得； （2）过点B作轴于点G，过点E作交的延长线于点F，延长交y轴于点J，得．分两种情况：当点D在点A右侧时，当点D在点A左侧时，可得点E的坐标为或； （3）①连接，延长交的延长线于点P．连接． 证明．得，，得，由，得．②过点F作于点M，过点A作于点N．证明，，，即得． 【详解】（1）解：如图1，过点B作轴于点E，过点C作交的延长线于点D，延长交y轴于点I． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴且． （2）∵ 点D在x轴上，且， ∴ 分两种情况． 过点B作轴于点G，过点E作交的延长线于点F，延长交y轴于点J． ∴． ⅰ． 当点D在点A右侧时，如图2． ∵ 线段BE是由线段绕点B顺时针旋转得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ⅱ． 当点D在点A左侧时，如图3． ∵，∴． ∴． 同理①，可证． ∴． ∴． ∴． 综上所述，点E的坐标为或． （3）① 如图4，连接，延长交的延长线于点P． ∵ 线段是由线段绕点B顺时针旋转得到的， ∴． 由（1），知． ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴． 连接． ∴，即． ∴，即． ∴． ∵， ∴轴， ∴．轴， ∴． ∵， ∴． ② 证明：如图4，过点F作于点M，过点A作于点N． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ ∠BFM=∠EBG． 在和中， ， ∴． ∴． 同理，得． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 27．（25-26八年级下·湖北武汉·专题练习）在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点与点关于轴对称，为轴正半轴上一点，连接、，． (1)如图（1），延长至点，使，且，则__________； (2)如图（2），在（1）的条件下，过点作的平分线交于点，求证：； (3)如图（3），当时，，过点作，使，连接，过点作交于点，求的长． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题综合考查了平面直角坐标系的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和外角定理、三角形中位线定理、勾股定理、特殊角（）的直角三角形的性质、角平分线的性质等．恰当的设置辅助线，综合运用以上知识点，是解题的关键． （1）首先证明为等腰三角形，为等腰三角形，根据三角形外角定理和三角形内角和定理，得到． （2）作的中点，连接，和交于点，证明为的中位线，且，得到，，根据直角三角形两锐角互余和三角形外角定理，得到，进而得到，即，继而证明． （3）过点作于点，与交于点，证明为等腰三角形，继而得到，，通过证明，得到，继而得到、和的长，通过证明，得到的长，进而得到的长，根据三角形中位线定理得到的长，继而得到的长． 【详解】（1）解：∵点与关于轴对称， ∴， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴在中，内角和为， ∴，解得； 故答案为：； （2）解：如图，作的中点，连接，和交于点， ∴， ∵， ∴为的中位线，且， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作于点，与交于点， ∵点与关于轴对称， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论． 已知：如图①，四边形的两条对角线与相交于点，并且，．求证：四边形是平行四边形． （1）请写出证明过程． 【知识应用】（2）如图②，在中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若的面积为26，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用对角线互相平分的条件，证明三角形全等，得到两组对边平行，从而判定平行四边形； （2）利用平行四边形性质和中点条件，证明三角形全等，得到对角线互相平分，从而判定平行四边形； （3）利用平行四边形面积关系，结合等底等高的三角形面积相等，求出的面积． 【详解】解：（1）证明：在和中， ， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． （2）证明：四边形是平行四边形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， 与互相平分， 四边形是平行四边形． （3）由（2）知，四边形是平行四边形， ． 四边形是平行四边形， ， ， 和等底同高， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，掌握平行四边形的判定定理和全等三角形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 平行四边形重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：平行四边形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·全国·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点； B．四边形有2条对角线； C．连接对角线，可以把多边形分成三角形； D．六边形的六个角都相等； 2．（25-26八年级下·山东青岛·月考）用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应假设这个三角形中（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 3．（23-24八年级下·河北沧州·课后作业）琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（    ）    A．变成四边形后对角线增加了两条 B．变成四边形后内角和增加了 C．外角和没有发生变化 D．若剪掉的角的度数是，则 4．（24-25八年级下·重庆丰都·月考）如图，在中，于点E，点F为的中点，连接并延长交的延长线于点G，若，则的角度用含的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·八年级下 吉林长春）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①② 7．（24-25八年级下·四川绵阳·专题练习）如图，线段在直角坐标轴中，已知，将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，为等边三角形，以为边向外侧作，使得，再以点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，则下列结论： ①D、A、E三点共线；②为等边三角形；③平分；④，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（25-26八年级下·江西赣州·课后作业）如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（   ） A． B．14 C．15 D． 10．（25-26八年级下·江苏徐州·课后作业）如图，已知是的中位线，为上一点，且，若，，则的长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26八年级下·四川成都·专题练习）从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 12．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，的度数为___________． 13．（25-26八年级下·山东青岛·课后作业）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则的度数为_________°． 14．（23-24八年级下·山东青岛·月考）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为______． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 16．（25-26八年级下·浙江·课后作业）如图，已知在中，，点M是边上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值_________． 17．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，和中，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④点到和到的距离相等．其中结论正确的是______． 18．（23-24八年级下·上海虹口·月考）如图，在中，，，、分别在、上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，，若，则______．    三、解答题（10小题，共66分） 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的正六边形均是由6个相同的小等边三角形拼成的，将其部分涂黑．观察图①、图②的特征，回答下列问题： (1)图①和图②共同的特征是__________； (2)请你在图③、图④中设计出与图①、图②特征相同的图形． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）设a，b，c是不全相等的任意实数，若．求证：x，y，z至少有一个大于零． 21．（25-26八年级下·浙江杭州·课后作业）如图，的对角线，相交于点，平分，交于点，且． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，连结． ①若，求的面积； ②设，试求与之间满足的关系． 22．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为．（画图时字母应标注清楚） (1)将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为_____． 23．（25-26八年级下·上海闵行·专题练习）某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，是对角线． (1)如图2，把长方形绕点逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，如果度数为，则“对角旋转角”的度数_____（用含有的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，则_____； (3)在长方形中，，在第（1）（2）小题的基础上经“对角旋转”后，点的对应点分别为点和点，连接，三角形面积为312，三角形面积为130，请求出此时长方形的面积． 24．（23-24八年级下·江苏南京·课后作业）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 25．（24-25八年级下·福建泉州·专题练习）如图，点E为的边上的动点，点G为上的动点，连接并延长交于点F，连接． (1)如图①，已知，，． ①若，试求出的度数； ②连接．当点F为的中点，时，求证：． (2)如图②，在的延长线上取一点P，使得．当，点G是的中点时，试写出线段、、之间存在的数量关系，并说明理由． 26．（25-26八年级下·全国·月考）如图1，在平面直角坐标系中，点． (1)探究 与之间的关系； (2)点D在x轴上，且，连接，把线段绕点B顺时针旋转，得到线段，求点E的坐标； (3)如图2，点E的坐标为，连接，把线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点B作于点G，交于点H． ① 求点F的坐标； ② 求证：． 27．（25-26八年级下·湖北武汉·专题练习）在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点与点关于轴对称，为轴正半轴上一点，连接、，． (1)如图（1），延长至点，使，且，则__________； (2)如图（2），在（1）的条件下，过点作的平分线交于点，求证：； (3)如图（3），当时，，过点作，使，连接，过点作交于点，求的长． 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论． 已知：如图①，四边形的两条对角线与相交于点，并且，．求证：四边形是平行四边形． （1）请写出证明过程． 【知识应用】（2）如图②，在中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若的面积为26，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $