专题8.10 立体几何初步常考几何模型专训（16大题型+15道拓展培优题） -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题8.10 立体几何初步常考几何模型专训 （16大题型+15道拓展培优题） 题型一 棱柱的展开图及最短距离问题 题型二 圆柱的展开图及最短距离问题 题型三 圆锥的展开图及最短距离问题 题型四 圆台的展开图 题型五 棱柱表面积的有关计算 题型六 棱锥表面积的有关计算 题型七 柱体体积的有关计算 题型八 锥体体积的有关计算 题型九 台体体积的有关计算 题型十 圆柱表面积的有关计算 题型十一 圆锥表面积的有关计算 题型十二 球的体积的有关计算 题型十三 多面体与球体内切外接问题 题型十四 求组合体的体积 题型十五 求旋转体的体积 题型十六 由平面的基本性质作截面图形 【经典例题一 棱柱的展开图及最短距离问题】 【例1】如图，在长方体中，，，是上一动点，求的最小值．    【答案】 【分析】将沿为轴旋转至与平面共面，可得，利用求解即可． 【详解】如图，将以为轴旋转至与平面共面位置，旋转后的点记为， 由图可知， 取的中点，连结， 由已知条件可知，， 根据勾股定理可得， 即的最小值为．    1．如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱和上的动点，求周长的最小值．    【答案】． 【分析】求解某些几何体表面的线段长度最值问题，需要把相关线段转化到同一个平面上，变成同一平面上的线段最值问题，即把立体几何问题转化为平面几何问题． 【详解】如图，连结，，由可得．    将平面绕轴旋转到与对角平面在同一平面上的，得， 因为，， 所以的周长， 所以周长的最小值为． 2．如图，在长方体中，，，，P为上的一个动点，求的最小值． 【答案】 【分析】将半平面沿翻折到且平面与平面位于同一平面，连接EC与交于点P，此时即为的最小值，再利用余弦定理求出即可； 【详解】如图． 将半平面沿翻折到且平面与平面位于同一平面， 如图：连接与交于点P，此时EC即为的最小值， 因为，，， 所以，，， 所以， 所以， 所以． 故答案为：. 3．如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，且侧棱垂直于底面.，，从顶点沿棱柱侧面（经过棱）到达顶点，与的交点记为.求: （1）三棱柱侧面展开图的对角线长； （2）从经过到的最短路线长及此时的值. 【答案】（1）；（2）最短路线长为，此时. 【分析】（1）沿侧棱将三棱柱的侧面展开，得到矩形，求出该矩形的长和宽，可求出该矩形的对角线长，即为所求； （2）利用侧面展开图可知，当、、三点共线时，从经过到达的路线最短，利用勾股定理可求得最短路线长，利用三角形全等可求得的值. 【详解】（1）沿侧棱将三棱柱的侧面展开，得到一个矩形（如图）. 矩形的长为，宽为. 所以三棱柱侧面展开图的对角线长为； （2）由侧面展开图可知，当、、三点共线时，从经过到达的路线最短. 所以最短路线长为. 且，所以，，， 所以，，所以，， 所以从点经过点到点的最短路线长为，此时. 【经典例题二 圆柱的展开图及最短距离问题】 【例2】如图，一圆柱的底面半径为2，母线长为5，轴截面为矩形ABCD，从点A拉一绳子沿圆柱侧面到点C，求最短绳长． 【答案】 【分析】沿BC剪开，将圆柱侧面的一半展开得到矩形，利用勾股定理求两点间距离即为最小值. 【详解】沿BC剪开，将圆柱侧面的一半展开得到矩形B'ADC'，如图，连接AC'， 则AC'的长即为所求最短绳长， 由题意可知，B'C'=5，AB'=2π， ∴AC'=，即最短绳长为． 1．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点爬到点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 【答案】 【分析】将圆柱侧面展开得到一个矩形，根据两点之间线段最短，求出对角线长即可． 【详解】把圆柱的侧面沿剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接，即为蚂蚁爬行的最短距离． 因为，为底面圆的周长，且， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短距离为. 2．已知圆柱的底面半径为2，高为4． （1）求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长； （2）若平行于轴的截面ABCD将底面圆周截去四分之一，求截面面积； （3）在（2）的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ，较大部分为Ⅱ，求体积之比． 【答案】(1) ；(2)；(3) 【分析】(1)将侧面沿母线展开得到矩形,再求矩形对角线即可. (2)易得截面为矩形,求得长与宽再求面积即可. (3)求出三棱柱的体积,再计算四分之一个圆柱即可. 【详解】(1) 将侧面沿母线展开得到矩形,临边分别为为和4,故最短路径为此矩形的对角线长 (2)因为截面是矩形,且,且. 故截面面积 . (3)由题易得圆柱体积,又三棱柱的体积 .故.. 故. 【点睛】本题主要考查了圆柱的性质与面积体积的计算等,属于基础题型. 3．如图所示，已知圆柱的高为80cm，底面半径为10cm，表面上有P､Q两点，若P､Q两点在轴截面上，且，，一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点,求蚂蚁爬行的最短路程. 【答案】 【分析】将圆柱侧面沿母线展开，再在三角形中利用勾股定理计算可得. 【详解】解：将圆柱侧面沿母线展开,得到如图所示的矩形.设圆柱的底面半径为，则. . 过点Q作于点，在中，，. , 即蚂蚁爬过的最短路径长是. 【经典例题三 圆锥的展开图及最短距离问题】 【例3】圆锥的母线长为3，底面半径为1，底面圆周上有一点A，求由A点出发绕圆锥侧面一周到点A的最短距离. 【答案】 【分析】沿过点母线把圆锥侧面剪开摊平，得出圆锥侧面展开图，如图．线段的长就是所求最短距离． 【详解】解：如图所示，在圆锥的侧面展开图中，的长就是所求最短距离.过点S作，则. 因为为圆锥底面圆的周长，即， 所以. 所以. 故答案为：． 1．如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为的正三角形，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．（结果不取近似值） 【答案】． 【分析】结合圆锥的侧面展开图，根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得到，利用勾股定理，即可求解. 【详解】如图所示，根据题意可得为边长为的正三角形， 所以，所以圆锥底面周长， 根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得， 故，则，所以， 所以小猫所经过的最短路程是． 2．如图，已知圆锥中，底面半径，母线长，为母线的中点．从点拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点 （1）求绳子的最短长度． （2）绳子长最短时，求顶点到绳子的最短距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)将圆锥展开，求绳子的最短长度，即求展开图中的的长度，由图形算出侧面展开扇形圆心角的度数，从而解三角形求出的长度． (2)求顶点到绳子的最短距离转化为点到直线的距离，也即是三角形的高，由此可得解. 【详解】将圆锥侧面沿展开，如图所示．长， ． （1）由题意，绳长的最小值即为展开图中的线段的长度，而， （2）当绳长最短时，在展开图中，过点作垂线，垂足为， 则的长为顶点到绳子的最短距离，由三角形的等面积法得： ， 故得解. 3．如图，已知圆锥底面半径，为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点为母线的中点，与所成的角为，求： （1）圆锥的侧面积； （2）两点在圆锥面上的最短距离. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）取中点，连接，根据可得；根据垂直关系，结合勾股定理和直角三角形中的长度关系可求得圆锥母线长；根据扇形面积公式可求得圆锥的侧面积；（2）在圆锥侧面上连接两点可知最短距离为直线，将圆锥沿母线展开，根据（1）的结果可知圆心角为，根据角度和长度关系可证得为等边三角形，从而求得结果. 【详解】（1）取中点，连接 则    即为异面直线与所成角 又平面    平面 平面     在中，     又         圆锥母线长，即侧面展开扇形半径 底面圆周长    圆锥的侧面积 即圆锥的侧面积为： （2）在圆锥侧面上连接两点的所有曲线中，最短的必为直线 由（1）知，侧面展开图扇形的圆心角为 沿母线将圆锥侧面展开，如下图所示： 则 是半圆弧的中点     又    为等边三角形 即两点在圆锥面上的最短距离为： 【经典例题四 圆台的展开图】 【例4】如图所示，圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6.求轴截面相对顶点A、C在圆台侧面上的最短距离. 【答案】. 【分析】沿母线剪开将圆台侧面展开，则A、C在圆台侧面上的最短距离即为展开图中线段的长求解. 【详解】如图所示： 沿母线剪开将圆台侧面展开，问题转化为求展开图中线段的长. 设圆台的上底面、下底面半径分别为、，因为侧面展开图圆心角， ，且B、C分别为所在弧的中点， 所以在等腰三角形中，， 则是等边三角形， 因为， 所以，而，C为的中点， 所以， 即A、C两点在圆台侧面上的最短距离为. 1．如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值． 【答案】． 【分析】作出圆台的侧面展开图，根据与相似，得到，设，求得的长度为所在圆周长的，得到，结合勾股定理，即可求解. 【详解】作出圆台的侧面展开图，如图所示， 由轴截面中与相似，得，可求得． 设，由于的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为,扇形的半径为， 扇形所在圆的周长为． 所以的长度为所在圆周长的，所以． 所以在中，， 所以，即所求绳长的最小值为． 2．如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.    【答案】 【分析】作出圆台的展开图，设，，为最短距离，计算得到，，再根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：圆台的展开图，设，，为最短距离，    则，，解得，， 故. 故BM间细绳的最短长度为. 3．如图所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm，10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点B．    (1)求这条绳长的最小值； (2)求绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离． 【答案】(1)50cm (2)4cm 【分析】（1）通过将圆台侧面展开并补成扇形，利用相似三角形求出相关线段长度，再根据弧长公式求出扇形圆心角，最后在直角三角形中求出绳长最小值； （2）在（1）的展开图基础上，通过三角形面积公式求出点到线段的距离，进而得到圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离. 【详解】（1）沿母线AB将圆台侧面展开并补成扇形，如图所示．    易知，与相似，得， 由，解得． 因为的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为． 又扇形的半径， 设扇形的圆心角为，，解得，则． 在中，，所以， 即所求绳长的最小值为50cm． （2）如图所示，过点O作，垂足为C，交于点，则所求最短距离即为的长． 因为，所以， 即绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4cm． 【经典例题五 棱柱表面积的有关计算】 【例5】如图，在正三棱柱中，D为棱的中点．若截面是面积为6的直角三角形，求此三棱柱的表面积． 【答案】 【分析】设，根据是面积为6的直角三角形，由求解. 【详解】解：设， 则，． 由题意得 即 解得 从而． 1．如图，已知直三棱柱，其底面是等腰直角三角形，且，. (1)求该几何体的表面积； (2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算出三棱柱的上下底面面积和侧面积，加和即可得到结果； （2）若大棱柱表面积最小，则面积最大的侧面相接，由此可计算得到最小值. 【详解】（1），，，， 三棱柱的上下底面面积之和为； 又三棱柱为直三棱柱，侧面均为矩形， 三棱柱的侧面积为； 三棱柱的表面积. （2）若要拼接而成的大棱柱表面积最小，则需面积最大的侧面相接，即侧面； 大棱柱表面积的最小值为 2．一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值? 【答案】，，为所在棱上的中点时此三棱柱的侧面积取到最大值 【分析】首先设三棱锥的底面中心为，连接，，，所在的底面与交于点，，从而得到三棱柱的侧面积为，再利用二次函数的性质即可得到答案. 【详解】设三棱锥的底面中心为，连接，则为三棱锥的高，如图所示：    设，，所在的底面与交于点，则， 令，而，则， 于是. 所以所求三棱柱的侧面积为. 所以当时，取得最大值， 此时，，为所在棱上的中点. 3．如图所示，在三棱柱中，底面为等边三角形，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求三棱柱的侧面积. 【答案】（1）见解析；（2）. 【详解】分析：（1）如图，取中点，连接.证明四边形为平行四边形，∴. 由此可证平面. （2）求出三棱柱的直截面的周长，即可求三棱柱的侧面积 详解： （1）如图，取中点，连接. ∵为的中点，∴且.     又，且， ∴且. ∴四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. （2）如图，作交于，连接. ∵，为公共边， ∴. 即.     而，∴平面，. 又，∴.     在直角三角形中，， ∴. 在直角三角形中，. ∴三棱柱的侧面积 . 【经典例题六 棱锥表面积的有关计算】 【例6】如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为，且．设，，求帐篷的表面积． 【答案】 【分析】将上面六棱锥的侧面积求出来，底面六棱柱的侧面积求出来，求和即可. 【详解】解：连接．因为，， 所以． 取的中点为Q，连接、PQ， 易得，， ． 设帐篷上部的侧面积为，下部的侧面积为， 所以， ，所以搭建帐篷的表面积为． 1．如图，正四棱锥的底面边长为4，顶点S到底面中心O的距离为4，求它的表面积．    【答案】 【分析】根据正棱锥的性质求得正棱锥的斜高后可得表面积． 【详解】作，垂足为点E，连接OE． 因为，所以． 因为，，,平面SOE， 所以平面SOE，而平面SOE， 所以，故．又，所以． 又底面周长，所以正棱锥侧． 又底，因此，该正四棱锥的表面积为表． 2．如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，点，，为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得，，重合，得到三棱锥，则当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意，设三棱锥的底面边长为，则，连接，交与点，则，从而可知，则，根据三角形的面积分别求出三棱锥的底面积和侧面积，从而得出三棱锥的表面积，根据的取值范围，即可求出当的边长变化时，三棱锥的表面积的取值范围. 【详解】解：由题可知，等边三角形的中心为，圆的半径为6， 设三棱锥的底面边长为，即等边三角形的边长为， 如图，连接，交与点，由题意可知，， 则，， 可知，即，则， ，则， 三棱锥的底面积为：， 由题可知，全等，则面积相等， 三棱锥的侧面积为： ， 所以三棱锥的表面积为：， ，，即， 所以当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围是. 3．在直三棱柱中，， ，，. （1）求三棱锥的表面积； （2）求到面的距离. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据，得到为直角三角形，再根据直三棱柱 ，得到，为直角三角形， 是等腰三角形，分别求得各三角形的面积即可. （2）易得三棱锥与三棱锥的体积相等，又 ，则，利用等体积法求解. 【详解】（1）因为， 所以为直角三角形， 则. 因为直三棱柱， 所以，为直角三角形， 则，，， ， 在等腰中，边上的高 ，则， 所以三棱锥的表面积. （2）连接B1C，则三棱锥与三棱锥的底面积相等 ， 高也相等（点C到平面的距离）； 所以三棱锥与三棱锥的体积相等. 又， 所以. 设到面的距离为 H， 则，解得 . 【经典例题七 柱体体积的有关计算】 【例7】如图，设圆柱有一个内接棱柱（即棱柱的侧棱都是圆柱的母线，棱柱的两个底面分别在圆柱的两个底面内）．已知圆柱的体积是，棱柱的底面是边长为2的正三角形．求棱柱的体积． 【答案】 【分析】借助棱柱的底面是边长为2的正三角形可得圆柱底面半径，结合圆柱体积可得圆柱的高，再利棱柱体积公式计算即可得解. 【详解】由棱柱的底面是边长为2的正三角形，则圆柱底面半径， 设圆柱的高为，则有，即， 故棱柱的体积为. 1．如图，在斜三棱柱中，，，侧棱与底面所成的角为，，，求斜三棱柱的体积V． 【答案】 【详解】在中，, 作平面，垂足为，则， 在中，， . 2．如图1，内壁光滑且透明的正方体容器内注有一定量的水，已知正方体容器棱长为4，容器厚度不计.当其水平放置时，水面恰好过，，，的中点E，F，G，H.现在固定容器一边于水平地面，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，水面的形状也不同.容器绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过棱的过程中（不包括起始和终止位置），水面与棱，，，分别交于点，，，.假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动.    (1)证明：是定值； (2)已知水面是矩形面，求水面面积的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）因为图1和图2中水体所形成几何体体积不变，所以根据柱体的体积公式列式计算即可得证； （2）设，根据勾股定理求出，从而得到矩形面积的解析式，利用二次函数的值域，即可得到面积的取值范围. 【详解】（1）由图1可知水体的体积为. 图2中，水体所形成几何体体积不变，则 . 所以，即是定值4. （2）设，则， ，. 所以. 因为函数是开口向上，对称轴为的抛物线，而， 所以，所以. 所以水面面积的取值范围为. 3．如图，在三棱柱中，底面是边长为a的正三角形，与AB、AC所成的角均为，且，求该棱柱的体积. 【答案】 【分析】由题意可得三棱锥为正三棱锥，设为点在底面上的投影，为边上的中点，从而可得即为三棱柱的高，求出，再根据柱体的体积公式即可得解. 【详解】解：因为为正三角形，且， 所以三棱锥为正三棱锥， 设为点在底面上的投影，为边上的中点， 则为的中心，， 在中，，则为正三角形， 所以， 在中，， 即三棱柱的高为， ， 所以三棱柱的体积. 【经典例题八 锥体体积的有关计算】 【例8】如图，在三棱锥中，底面，，，，. (1)求的大小； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）只需求出三棱锥的高、底面积，再结合棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 又因为 所以； （2）因为底面，平面，所以， 因为，，所以， 即三棱锥的高为6， 因为，，， 所以三角形的面角为， 所以三棱锥的体积为. 1．如图，设分别是给定正方体的棱和上的任意点.求证：三棱锥的体积是定值. 【答案】证明见解析 【分析】根据体积公式即可求解. 【详解】证明：设正方体的棱长为. 因为，所以当点在上移动时，它与的距离（即的高）都等于，的面积为定值. 又因为正方体的棱与下底面平行，所以上任意一点到下底面的距离都等于， 为定值. 故所以三棱锥的体积均为定值 2．如图，在正四棱锥中，是这个四棱锥的高，是斜高，且 .    (1)求这个四棱锥的侧棱长; (2)求这个四棱锥的全面积和体积. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用勾股定理计算出，可得出，然后利用勾股定理可计算出，即为该四棱锥的侧棱长； （2）计算出该正四棱锥的侧面积和底面积，相加即可得出该正四棱锥的全面积.再由体积公式求得体积. 【详解】（1）在中，. 在中，，， 侧棱长； （2）， ， ， . , 3．如图，已知四面体的对棱长相等，且为的中点，，求四面体的体积. 【答案】 【分析】先求出四面体的体积，再利用比例关系即可求解. 【详解】因为四面体的对棱长相等，且 所以可将其补成一个长方体，且四面体的棱为长方体的面对角线， 设长方体的长、宽、高分别为，则由题意得 ，所以， 所以解得， 所以 因为为的中点，， 所以, 所以； 所以. 【经典例题九 台体体积的有关计算】 【例9】如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上下底面半径分别为1，2，B为底面圆周上异于A，C的点，为BC的中点. (1)求证：平面； (2)若，求圆台的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取AB的中点，连接，通过证四边形为平行四边形，即可证得平面； （2）连接，求出圆台的高，即可得到体积. 【详解】（1）取AB的中点，连接， 为BC的中点，，且， 又，且，且， 四边形为平行四边形， ， 又平面平面， 平面. （2）连接， 是中点，， ， 又在圆台中，平面，平面， 所以，， 分别记圆台的上下底面圆半径为, 则， . 1．如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm． (1)求四棱台的表面积； (2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比． 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）分别取的中点，连接，过作于，然后根据已知条件求出斜高，再根据表面积公式可求得结果； （2）由题意可知最大的圆台是上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为棱台的高，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可求出削去部分的体积，从而可求出削去部分与圆台的体积之比． 【详解】（1）在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连接，则 分别取的中点，连接，过作于， 因为在正四棱台中，，， 所以， 在中，， 所以正四棱台的表面积为 （）； （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高， 则圆台的上底面半径为，下底面半径为，高， 所以圆台的体积为（）， 因为正四棱台的体积为（）， 所以削去部分的体积为（）， 所以削去部分与圆台的体积之比. 2．已知正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6，棱台高为．    (1)求正四棱台的体积． (2)求正四棱台的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据棱台体积公式即可求出正四棱台的体积； （2）由题意，求出四棱台的斜高，由上下底面面积加上侧面积求得四棱台的表面积. 【详解】（1）正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6，棱台高为， 所以正四棱台的体积为 ． （2）在正四棱台中，如图，   ，，． 在等腰梯形中，过作，垂足为，则， 所以， 正四棱台的表面积为. 3．如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥. (1)求棱台的体积； (2)求棱台的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正四棱锥于棱台的性质可得棱台的高，结合棱台体积公式计算即可得； （2）求出棱台各个面的面积后相加即可得. 【详解】（1）过点作底面于点，交平面于点， 由正四棱锥及棱台的性质可知，为底面的中心， 则， 即棱台的高， ， （2）连接，则，则， 作于点，则， 故 . 【经典例题十 圆柱表面积的有关计算】 【例10】如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. (1)计算该模型的体积.（结果精确到） (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 【答案】(1) (2)（元） 【分析】（1）利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解； （2）求出该模型的表面积，进而可得出答案. 【详解】（1）设圆锥的高为， 由题意得圆锥母线为10cm， 则， ； （2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为. ， 故总费用为（元）. 1．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． (1)求圆柱的侧面积； (2)求三棱柱的体积． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据圆柱的体积可求得半径为，代入侧面积公式可得结果； （2）求出三棱柱底面的面积，再由体积公式可得结果. 【详解】（1）设底面圆的直径为，则其高也为； 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为； （2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1， 因此边长， 所以三棱柱的体积． 2．如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体. (1)当时，求该艺术品的体积； (2)当为何值时，该艺术品的表面积最大？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出圆柱的半径，然后求出体积. （2）利用圆柱的侧面积公式列出侧面积表达式，然后根据二次函数的性质求出最大值. 【详解】（1）当时，设圆柱的半径为，则，解得， 此时该艺术品的体积为. （2）设圆柱的半径为，则，解得， 要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可， ， 当时，取得最大值， 故当时，该艺术品的表面积最大. 3．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，母线长为3. (1)求圆锥的底面积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用扇形弧长公式求出圆锥底面圆半径即可得解. （2）设圆柱的高，，借助比例式将圆柱的侧面积表示成的函数，结合二次函数的性质求出面积最大值即可得解. 【详解】（1）依题意，圆锥的侧面展开图扇形弧长为，则圆锥底面圆半径， 所以圆锥底面圆面积为. （2）设圆柱的高，底面圆半径， 在中，，显然，则， 即，于是， 圆柱侧面积， 则当，时，圆柱的侧面积最大，此时该圆柱的体积为. 【经典例题十一 圆锥表面积的有关计算】 【例11】已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为3． (1)求圆锥的体积； (2)求圆锥的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得圆锥的高为，结合圆锥的体积公式，即可求解； （2）根据题意，利用圆锥的侧面积公式和圆的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知，圆锥母线长为，底面圆半径长为， 可得圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. （2）解：由题意，可得圆锥的侧面积为， 圆锥的底面面积为， 所以圆锥的表面积为. 1．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，等腰直角三角形的面积为.    (1)求圆锥的表面积； (2)若点是的一个三等分点，求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的面积为求得圆锥底面半径，再求得圆锥母线长，从而可求解表面积； （2）在底面圆中为直角三角形，不妨设点B靠近点C，可得从而求得，，进而可求得，再利用等体积法即可求解. 【详解】（1）等腰直角三角形中，又因为其面积为， 所以，即圆锥底面半径， 圆锥母线长为：， 所以圆锥SO的表面积为：． （2）在底面圆中为直角三角形，不妨设点B靠近点C， 可得． 由此可得的面积， 所以． 2．圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形. (1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程； (2)过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）作出侧面的展开图，最短路程即为的长，由余弦定理可求解； （2）求得圆锥的高，进而计算剩下几何体的表面积和体积. 【详解】（1）由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为的长，设为圆锥的母线长， 由，可得，即母线， 在中，由余弦定理可得 所以爬行的最短路程为； （2）因为圆锥的母线长为，所以圆锥的高为， 从而挖去的圆柱的高为，从而挖去的圆柱的侧面积为， 又圆锥的表面积为， 所以剩下几何体的表面积， 剩下几何体的体积为. 3．用平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为x，圆锥母线的长为y． (1)建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)圆锥的母线与底面所成的角大小为，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米（精确到）． 【答案】(1)  ； (2). 【分析】（1）由题意可知，制作该容器需要的铁皮面积，即圆锥的表面积，得到方程，分离出即可，利用求出定义域； （2）利用母线与底面所成的角大小为求出母线长，进一步求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式求出所制作的圆锥形容器容积即可. 【详解】（1）根据题意，因为圆锥的表面积，所以， 因为，所以，解得， 即，； （2）依题意，做圆锥的高，是母线与底面所成的线面角， 设圆锥高为，因为，， 所以，所以，， 所以. 【经典例题十二 球的体积的有关计算】 【例12】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm．若不计容器的厚度，求球的体积． 【答案】 【分析】设球的半径为，根据球和正方体的结构特征结合题意可得球心到正方体上底面中心的距离为和过正方体上底面截球所得截面圆的半径，再根据即可求解. 【详解】设球的半径为， 则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为，且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为， 所以即，， 所以球的体积为. 1．一个长、宽、高分别是80cm、60cm、60cm的水槽中有水，现放入一个直径为60cm的木球，且木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？ 【答案】不会 【分析】求出水槽中剩余的体积和没入水中的木球体积，比较即可得出. 【详解】由题可得水槽中剩余的体积为， 没入水中的木球体积为， 因为， 所以水不会从水槽中溢出. 2．为满足市场对球形冰淇淋的需求，某工厂特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切（内壁厚度忽略不计），店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋．已知该模具底面边长均为6cm． (1)求内壁的面积； (2)求制作该模具所需材料的体积； (3)求模具顶点到内壁的最短距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据内壁的面积即正三棱柱内切球的表面积．结合内切球的表面积求解即可（2）结合内切球的体积和正三棱柱的体积求解即可（3）由对称性知6个顶点到内壁的最短距离都相等．连接OM，OA，结合勾股定理求出模具顶点到内壁的最短距离. 【详解】（1）由题意得，内壁的面积即正三棱柱内切球的表面积． 如图，过三条侧棱的中点M，N，G作正三棱柱的截面， 则球心O为的中心．连接MO并延长交GN于点H． 因为，所以内切圆的半径， 即内切球的半径，所以内切球的表面积，即内壁的面积为． （2）由题意得，材料的体积即正三棱柱的体积减去其内切球的体积． 由（1）得正三棱柱的高． 因为，， 所以，即制作该模具所需材料的体积为． （3）由对称性知6个顶点到内壁的最短距离都相等．如图，连接OM，OA， 则由（1）知，所以， 所以A到球面上的点的距离最小值为， 即模具顶点到内壁的最短距离为． 3．已知正三棱锥的高为4，底面边长为. (1)求该正三棱锥的表面积； (2)用平行底面的平面去截该三棱锥，所得截面三角形的边长为，已知点都在同一球面上，求该球的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出各边的长，进而求出其表面积； （2）根据条件可得球心在直线上，利用关系建立勾股定理求出球的半径，进而求出结果. 【详解】（1）记高为，垂足为，则为的中心且 正三棱锥侧面的斜高 正三棱锥的表面积 所以该正三棱锥的表面积为. （2） 因为为正三棱台， 所以球心在直线上， 设球心为，设 记与的交点为，则为的中心 则，且或， 则， 即， 外接球的半径， 球的体积. 【经典例题十三 多面体与球体内切外接问题】 【例13】将个半径为的球和个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放个较小的球，个球两两相切，求上层小球的最高点到桌面的距离.    【答案】 【分析】设下层三个半径为1的球的球心构成边长为2的等边三角形，上面小球的球心和这个等边三角形构成侧棱长为的正三棱锥，上层小球的最高点到桌面的距离为小球半径、大球半径与正三棱锥的高相加之和． 【详解】将球心连接起来构成侧棱为，底面边长为的正三棱锥, 设底面三角形的中心为，则 故正三棱锥的高， 显然平面到桌面的距离为， 所以上层小球的最高点到桌面的距离为. 1．如图，正四棱锥底面正方形的边长为4，侧棱长为. (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体外接球的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出侧高，再分别求侧面积与底面积即可；（2）连，在中，，在中，，求出，从而求出体积. 【详解】（1）取BC中点E，连PE，则，从而， ； （2）连，连，在上取一点O，使， 在中，， 在中，，即， 得，从而. 2．如图，球外接于正三棱柱，则球与正三棱柱的体积比为多少？ 【答案】 【分析】设正三棱柱外接球的球心为，半径为，底面正三角形的中心为，半径为，底边长为，三棱柱的高为，利用几何关系分别求出底面外接圆的半径与三棱柱外接球的半径，从而利用体积公式即可求解. 【详解】设正三棱柱外接球的球心为，半径为，底面正三角形的中心为，半径为，底边长为，三棱柱的高为， 所以，， 所以. 则， 所以. 3．如图所示，正四面体的棱长为，球是内切球，球是与正四面体的三个面和球都相切的一个小球，求球的体积． 【答案】 【分析】记球与平面、切于点、，球与平面切于点，利用和即可得解. 【详解】如图所示，设球半径为，球的半径为，为中点， 球与平面、切于点、，球与平面切于点． 由题设得，，， 所以． 因为在中，， 所以，，得． 同理可证，，得． ． 【经典例题十四 求组合体的体积】 【例14】如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm），球的直径为5 cm， (1)求该组合体的体积； (2)求该组合体的表面积. 【答案】(1)（cm3） (2)（cm2）． 【分析】（1）根据长方体和球的体积公式可求出组合体的体积； （2）根据长方体和球的表面积公式可求出组合体的表面积； 【详解】（1）根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成． 由已知可得， 又， 所以所求几何体体积为：， （2）因为长方体的表面积， 半球的底面积，球的表面积， 故所求几何体的表面积为. 1．如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB分别相切于点C、M，与AC交于N），求图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得的几何体体积. 【答案】 【分析】几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，可得几何体的体积． 【详解】解：几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体， 是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球， 所以圆锥的底面半径是：1，高为， 球的半径为，， 所以圆锥的体积：， 球的体积：， 阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：. 2．如图，在封闭图形ABCD中，CD段是以直线AD上的点E为圆心，DE长为半径的四分之一圆弧，，，，求图中封闭图形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 【答案】表面积，体积 【分析】根据球体的表面积和体积公式，圆锥表面积，圆台体积公式即可求解． 【详解】过点C作，垂足为F，则，， 所以， ； ． 3．如图，在直角梯形中，，在梯形内，挖去一个以为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积. 【答案】； 【分析】先作辅助线，再应用球及圆台的表面积及体积公式计算求解即可. 【详解】由题意知，所求旋转体的表面积由圆台下底面，侧面和一半球面组成.在直角梯形中，过点作，垂足为， 在中，， 所以，，， 所以形成的几何体的表面积为. 因为圆台的体积， 半球的体积， 所以所求几何体的体积为. 【经典例题十五 求旋转体的体积】 【例15】如图，在矩形和四分之一的拼接的平面图形中，，，将该图形绕所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为． (1)求的体积； (2)求的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据球体与柱体的体积公式直接求解； （2）根据球体与柱体的表面积公式直接求解. 【详解】（1）依题意得，旋转体的上方是一个半球体，下方是一个圆柱，如图所示． ，， ， ， ， 所以的体积为． （2），， ， ， ． 所以的表面积为． 1．如图所示，四边形是矩形，且，若将图中阴影部分绕旋转一周. (1)求阴影部分形成的几何体的体积； (2)求阴影部分形成的几何体的表面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由圆柱的体积减去半球的体积即可求解． （2）分别求圆柱下底面、侧面和半球面的面积，即可求解； 【详解】（1），，所求几何体的体积为． （2）由题意知，旋转体的表面由三部分组成，圆柱下底面、侧面和半球面， 因为，，，， 故所求几何体的表面积为； 2．在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线旋转一圈．    (1)说明所得几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积． 【答案】(1)该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体 (2)表面积；体积为 【分析】（1）由旋转体的结构特征分析， （2）结合图中的数据求，. 【详解】（1）该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体． （2）由图中的数据可知圆锥的底面半径为2，母线长为4，高为，圆柱的底面半径为2，高为2，球的半径为2， 所以 ， 该几何体的体积为： ． 3．意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法．如图，为半圆的直径，、为半圆弧上的点，，，阴影部分为弦、、与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体．    (1)写出该几何体的主要结构特征（至少两条）； (2)计算该几何体的体积． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据组合体的结构特征可得出结论； （2）连接，则，分别过、作的垂线，垂足分别为、，分析可知该几何体的体积为球的体积减去两个圆锥的体积以及一个圆柱的体积，计算出圆锥的底面半径和高、圆柱的底面半径和高，利用球体、锥体以及柱体的体积公式可求得该几何体的体积. 【详解】（1）解：该几何体中间空心部分为一个圆柱和两个等高的圆锥拼接而成的组合体， 且圆柱的上下底面分别为两个圆锥的底面． 该旋转体为球体挖去上述组合体而形成的几何体． （2）解：连接，则，分别过、作的垂线，垂足分别为、． 因为，则， 因为，则，，． 同理，，，则， 因为，，，则四边形为矩形，故， 所以，该几何体的体积为球的体积减去两个圆锥的体积以及一个圆柱的体积， 故该几何体的体积为．    【经典例题十六 由平面的基本性质作截面图形】 【例16】四棱锥的棱VB，VC，VD上各有一点P，Q，R，过P，Q，R三点作四棱锥的截面（图）. 【答案】答案见解析 【分析】首先找到交点,连接ST，又因为，得出答案    . 【详解】（i），，连接ST（为截面与底面的交线，称为轴线）； （ii）； （iii），则四边形RQPK即是过P，Q，R三点的棱锥的截面. 1．如图，在长方体中，，，点E，F分别是棱AB，BC的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)点E，F，确定的平面为，试作出平面截长方体的截面图，并计算该截面的面积（不必写出画法和理由）． 【答案】(1) (2)作图见解析， 【分析】（1）由直接求解， （2）延长DC交EF于点，延长DA交EF于点，交与点M，交于点N，则五边形为求的截面， 【详解】（1） ， ∴三棱锥是体积为． （2）延长DC交EF于点，延长DA交EF于点，交与点M，交于点N， 平面截正方体的截面图为五边形（如图所示）． 由相似三角形的知识可知，，， 同理，， 易求得， ， ∴， ∴该截面的面积为． 2．如图，在长方体中，，，，点E、F分别在、上，，过点E、F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； (2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据基本题意结合勾股定理作出这个正方形； （2）根据勾股定理以及棱柱的体积公式计算即可. 【详解】（1）交线围成的正方形EFGH如图 （2）作，垂足为M，则，，. ∵四边形EFGH为正方形，∴， ∴，，. ∵长方体被平面分成两个高为5的直棱柱， ∴平面把该长方体分成的两部分体积的比值为. 3．如图所示，是正方体在图（1）中，分别是，的中点，试分别画出图（1）（2）中有阴影的平面与平面的交线. 【答案】见解析 【分析】（1）过点E作交于点N，连接并延长交的延长线于点M，可知是平面AEF与平面的公共点，连接即可得交线（2）延长，过点作交的延长线于点P，由P是平面与平面的公共点，可知即为所求. 【详解】如图（1）所示， 过点E作交于点N，连接并延长交的延长线于点M，连接，则即有阴影的平面与平面的交线. 如图（2）所示， 延长，过点作交的延长线于点P，连接，则即为有阴影的平面与平面的交线. 1．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求： （1）蚂蚁经过的最短路程； （2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示， 则的长就为最短路线，由勾股定理求出，再比较即可求解； （2）最长的路线应该是依次经过棱长为的路线，求和即可 【详解】（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示： 则的长就为最短路线． 若蚂蚁沿前侧面和上底面爬行，如图1， 则经过的最短路程为， 若蚂蚁沿侧面爬行，如图2， 则经过的最短路程为， 若蚂蚁沿左侧面和上底面爬行，如图3， 则经过的最短路程为， ， ∴所以蚂蚁经过的最短路程是； （2）最长的路线应该是依次经过棱长为的路线， 由， 所以最长路程是． 2．如图所示，已知三棱台． (1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示； (2)把它分成三个三棱锥并用字母表示． 【答案】(1)三棱柱是棱柱，多面体是． (2)三个三棱锥分别是，，． 【分析】结合三棱柱、三棱锥的特征作图即可. 【详解】（1）如图（1）所示，三棱柱是棱柱，多面体是． （2）如图（2）所示：三个三棱锥分别是，，． 3．如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面面圆周上的点. （1）求证：平面； （2）当三棱锥体积最大时，求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示） （3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值. 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）. 【分析】（1）根据圆柱性质可得,由圆的性质可得,即可证明平面; （2）先判断当三棱锥体积最大时的位置.过底面圆心作,即可得二面角的平面角为,根据所给线段关系解三角形即可求得,进而用反三角函数表示出即可. （3）将绕旋转到使其共面,且在的反向延长线上,结合余弦定理即可求得的最小值,也就是的最小值. 【详解】（1）证明:因为是圆柱的母线,平面 所以 又因为是圆柱的底面直径 所以,即 又因为 所以平面 （2）当三棱锥体积最大时,底面积最大,所以到的距离最大,此时为 设底面圆的圆心为,连接 则,又因为 所以平面 因为, 所以取中点,则 过O作,垂足为 则,所以为中点 连接,由平面可知 所以为二面角的平面角 在中, ,, 所以 则二面角的大小为 （3）将绕旋转到使其共面,且在的反向延长线上,如下图所示: 因为,,,, 在中,由余弦定理可知 则 所以的最小值为 4．如图所示，在正三棱柱中，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短距离为，设这条最短路线与的交点为，求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； (2)与的长； (3)此三棱柱的表面积． 【答案】(1)； (2)；； (3) 【分析】（1）先确定该三棱柱的侧面展开图的形状，再求其面积即可； （2）利用平面内两点之间线段最短列方程即可求得的长，利用三角形相似比即可求得的长； （3）利用棱柱全面积求法去求此三棱柱的表面积即可解决． 【详解】（1）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形， 其对角线长为． （2）将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点移动到 点的位置，连接，则就是由点沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线． 设，即， 在Rt中，由勾股定理得， 解得，或（舍） 所以，又因为， 所以． （3）此三棱柱的表面积． 5．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为，其中内接一个高为的正四棱柱（底面是正方形的直四棱柱）．    (1)当正四棱柱的高和底面边长相等时，求这个正四棱柱的外接球体积； (2)求这个正四棱柱表面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设正方体的棱长为，作出圆锥的轴截面，通过三角形相似解出，即可求得正方体外接球的半径，进而求得球的体积 （2）设正四棱柱底面边长为，侧棱长为，通过三角形相似解出与的数量关系，代面积公式即可求解 【详解】（1）画圆锥的轴截面，是圆锥的高，，如图所示，    因为，所以，所以，解得． 所求正四棱柱外接球的半径． 所以所求正四棱柱外接球的体积． （2）设正四棱柱底面边长为，则，整理得， 正四棱柱的表面积 所以，当时，表面积取最大值． 6．如图所示，正四棱台的高是，两底面的边长分别是和. （1）求这个棱台的侧棱长和斜高. （2）求该棱台的侧面积与表面积. 【答案】（1）侧棱长为，斜高为；（2），. 【分析】(1)设棱台两底面的中心分别是和，、的中点分别是、，连接、、、、、，则四边形、都是直角梯形，由此计算可得侧棱长和斜高； （2）由梯形面积公式计算出侧面积，侧面各与两个底面面积和为全面积． 【详解】(1)设棱台两底面的中心分别是和， 、的中点分别是、， 连接、、、、、， 则四边形、都是直角梯形，且， 在正方形中，，则，， 在正方形中，，则，， 在直角梯形中，， 在直角梯形中，， 即这个棱台的侧棱长为，斜高为； (2) 侧， 表面积＝侧＋上底面＋下底面. 【点睛】关键点点睛：本题正棱台的计算．在正棱台的计算中关键是掌握两个直角梯形，即题中所作两个直角梯形，结合侧面它包含了正棱台中所有量：上、下底面棱长、侧棱长，高、斜高，上下底面外接圆半径，内切圆半径，侧棱与底面所成的角，侧面与底面所成二面角的平面角．掌握了这两个直角梯形结合上下底可就计算正棱台是所有量． 7．如图，平行六面体的容器可任意放置，的中点与平面中心均为小孔，则平行六面体最多盛水量是平行六面体体积的多少倍？    【答案】 【分析】根据题意，考虑有两种放置方式，分别计算平行六面体去掉阴影部分体积后的部分体积，比较大小后即得. 【详解】的中点与平面中心均为小孔，水位不能超过这些小孔的位置， 总共有两种放置方式如图所示，分别计算去掉阴影部分体积后的部分体积. 如左图，假设平行六面体的体积为，底面的面积为，底面上的高为，则， 因的中点分别为， 则盛水容积为； 如右图，平面的中心为， 则盛水容积为， 因，故最多盛水量为，即是平行六面体体积的.    8．如图所示，长方体的底面是边长为2的正方形，其体积为16． (1)求三棱锥的体积； (2)求三棱锥的表面积． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）先由柱体的体积公式求出，再由锥体的体积公式求解即可； （2）由三棱锥的表面积公式求解即可. 【详解】（1），， ； （2）记三棱锥的表面积为，则， 几何体为长方体， 均为直角三角形，为等腰三角形， ， ， ， ， ． 9．如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为. (1)求四棱锥的体积； (2)判断的形状，并说明理由；求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积. 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由见解析， 【分析】（1）分别求得三棱柱的体积和三棱锥的体积，即可得出四棱锥的体积； （2）利用勾股定理求得边长，分别计算出所求几何体的各个表面的面积可得结果. 【详解】（1）三棱柱的体积， 三棱锥的体积为 所以四棱锥的体积. （2）为直角三角形， 理由：由题意得，，， 从而，即，可得为直角三角形， 所以， 所以 ， 因此几何体的表面积为. 10．如图，在三棱锥中，， (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的外接球体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直角三角形面积公式得到面积，由余弦定理和三角形面积公式得到面积，相加得到表面积； （2）由两两垂直可知补成长方体，长方体体对角线即为外接球直径，再由球的体积公式得到外接球体积. 【详解】（1）由题意得， ， 以下计算， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 所以三棱锥的表面积. （2）因为两两垂直， 所以三棱锥的外接球直径即为以长度为边长的长方体的体对角线， 根据长方体体对角线公式得， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球体积. 11．（1）如图1，设圆台的上､下底面的面积分别为，高为，根据圆锥的体积，证明：圆台的体积； （2）如图2，在平面直角坐标系中，多边形的顶点，若该多边形是正六边形，写出点的坐标并求该六边形绕轴旋转一周形成的几何体的体积； （3）在（2）的条件下，求几何体的表面积． 【答案】（1）证明见解析 ；（2），；（3） ． 【分析】（1）补形得出圆台体积等于圆锥体积的差计算证明； （2）应用圆台，圆柱，圆锥的体积计算求解； （3）应用圆台，圆柱，圆锥的侧面积计算求解. 【详解】（1）补形成圆锥，圆台体积为大圆锥体积减去小圆锥的体积，大圆锥高为，小圆锥高为， 大圆锥体积减去小圆锥体积为 由圆锥性质，， 由合比性质，， 表示， 所以， ． （2） 该旋转体体积等于两个圆台体积加一个圆柱体积减去两个圆锥体积． 圆台， 圆锥， 圆柱， 所求几何体的体积． （3）该旋转体的表面积等于两圆台侧面积加一个圆柱侧面积加两个圆锥侧面积， 圆台侧 圆柱侧 圆锥 所求几何体的表面积. 12．如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． (1)求该圆台的表面积； (2)求四棱锥的体积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理可求得，由正弦定理可得下底面半径，可求以圆台表面积； （2）由三角形面积公式可求得的面积，在中，由余弦定理得，可得，则的面积，得到底面ABCD面积的最大值，再在轴截面直角梯形中，由勾股定理求出圆台的高，即可求得四棱锥的体积的最大值． 【详解】（1） 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 得， 由正弦定理可知外接圆直径， 所以下底面半径，上底面半径， 圆台侧面积， ， 所以圆台表面积． （2）在四边形ABCD中，， 在中，由余弦定理， 得， 所以，当且仅当时“”成立， 所以的面积， 底面ABCD面积的最大值为， 在轴截面直角梯形中，由勾股定理可得， 所以四棱锥的体积的最大值为． 13．如图，四边形中，，，，，， (1)求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的体积； (2)求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出辅助线，求出各边长度，求出四边形绕直线旋转一周形成圆台和三角形绕直线旋转一周形成圆锥的体积，相减即可； （2）求出以为半径的圆的面积，以为母线的圆台的侧面积和以为母线的圆锥的侧面积，相加后得到答案. 【详解】（1）作，，E，F为垂足， 因为，所以， 因为，所以，， 故， 又，，故， ， 由勾股定理得， 由四边形绕直线旋转一周形成圆台， 且， 由三角形绕直线旋转一周形成圆锥， 且 所以将四边形绕直线旋转一周所成几何体的体积为； （2）四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积分为三部分， 以为半径的圆的面积为， 以为母线的圆台的侧面积， 以为母线的圆锥的侧面积， 所以该几何体的表面积为. 14．如图，正三棱柱中，是棱的中点． (1)设E为棱的中点，为棱上一点，求的最小值； (2)求三棱锥的体积； (3)求该正三棱柱的外接球的表面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用侧面展开解题； （2）法一，总体积减去多余的体积；法二，等体积换顶点体积； （3）确定正棱柱的外接球球心，求得半径，代入表面积公式. 【详解】（1）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当A，F，E三点共线时，取得最小值， 且最小值为． （2）法一：因为为等边三角形，， 所以的面积，又， 所以， ， ， 所以． 法二：因为的面积，， 所以． （3）设正三棱柱两底面中心分别为，的中点为． 正三棱柱的外接球半径， 外接球表面积． 15．如图，，分别为长方体的棱，的中点. (1)求证：， (2)当长方体每条棱都相等时，求该几何体与其外接球的体积之比. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，先证明四边形都是平行四边形，得到，再根据等角定理即可得证； （2）当长方体每条棱都相等时，长方体变为正方体，设正方体的棱长为，找到正方体的体对角线与外接球的直径的关系， 即，再根据正方体及球的体积公式计算，即可求出其体积之比. 【详解】（1） 如图所示，连接， 是长方体，，分别为棱，的中点， 由长方体的性质可知且， 四边形都是平行四边形， ， 又因为角的两边与，与方向相同， 所以由等角定理可知，. （2）当长方体每条棱都相等时，长方体变为正方体. 设正方体的棱长为， 正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长， 所以，即. 所以正方体的体积； 球的体积， 所以该几何体（正方体）与其外接球的体积之比为： . 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.10 立体几何初步常考几何模型专训 （16大题型+15道拓展培优题） 题型一 棱柱的展开图及最短距离问题 题型二 圆柱的展开图及最短距离问题 题型三 圆锥的展开图及最短距离问题 题型四 圆台的展开图 题型五 棱柱表面积的有关计算 题型六 棱锥表面积的有关计算 题型七 柱体体积的有关计算 题型八 锥体体积的有关计算 题型九 台体体积的有关计算 题型十 圆柱表面积的有关计算 题型十一 圆锥表面积的有关计算 题型十二 球的体积的有关计算 题型十三 多面体与球体内切外接问题 题型十四 求组合体的体积 题型十五 求旋转体的体积 题型十六 由平面的基本性质作截面图形 【经典例题一 棱柱的展开图及最短距离问题】 【例1】如图，在长方体中，，，是上一动点，求的最小值．    1．如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱和上的动点，求周长的最小值．    2．如图，在长方体中，，，，P为上的一个动点，求的最小值． 3．如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，且侧棱垂直于底面.，，从顶点沿棱柱侧面（经过棱）到达顶点，与的交点记为.求: （1）三棱柱侧面展开图的对角线长； （2）从经过到的最短路线长及此时的值. 【经典例题二 圆柱的展开图及最短距离问题】 【例2】如图，一圆柱的底面半径为2，母线长为5，轴截面为矩形ABCD，从点A拉一绳子沿圆柱侧面到点C，求最短绳长． 1．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点爬到点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 2．已知圆柱的底面半径为2，高为4． （1）求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长； （2）若平行于轴的截面ABCD将底面圆周截去四分之一，求截面面积； （3）在（2）的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ，较大部分为Ⅱ，求体积之比． 3．如图所示，已知圆柱的高为80cm，底面半径为10cm，表面上有P､Q两点，若P､Q两点在轴截面上，且，，一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点,求蚂蚁爬行的最短路程. 【经典例题三 圆锥的展开图及最短距离问题】 【例3】圆锥的母线长为3，底面半径为1，底面圆周上有一点A，求由A点出发绕圆锥侧面一周到点A的最短距离. 1．如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为的正三角形，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．（结果不取近似值） 2．如图，已知圆锥中，底面半径，母线长，为母线的中点．从点拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点 （1）求绳子的最短长度． （2）绳子长最短时，求顶点到绳子的最短距离． 3．如图，已知圆锥底面半径，为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点为母线的中点，与所成的角为，求： （1）圆锥的侧面积； （2）两点在圆锥面上的最短距离. 【经典例题四 圆台的展开图】 【例4】如图所示，圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6.求轴截面相对顶点A、C在圆台侧面上的最短距离. 1．如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值． 2．如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.    3．如图所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm，10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点B．    (1)求这条绳长的最小值； (2)求绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离． 【经典例题五 棱柱表面积的有关计算】 【例5】如图，在正三棱柱中，D为棱的中点．若截面是面积为6的直角三角形，求此三棱柱的表面积． 1．如图，已知直三棱柱，其底面是等腰直角三角形，且，. (1)求该几何体的表面积； (2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值. 2．一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值? 3．如图所示，在三棱柱中，底面为等边三角形，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求三棱柱的侧面积. 【经典例题六 棱锥表面积的有关计算】 【例6】如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为，且．设，，求帐篷的表面积． 1．如图，正四棱锥的底面边长为4，顶点S到底面中心O的距离为4，求它的表面积．    2．如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，点，，为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得，，重合，得到三棱锥，则当的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围. 3．在直三棱柱中，， ，，. （1）求三棱锥的表面积； （2）求到面的距离. 【经典例题七 柱体体积的有关计算】 【例7】如图，设圆柱有一个内接棱柱（即棱柱的侧棱都是圆柱的母线，棱柱的两个底面分别在圆柱的两个底面内）．已知圆柱的体积是，棱柱的底面是边长为2的正三角形．求棱柱的体积． 1．如图，在斜三棱柱中，，，侧棱与底面所成的角为，，，求斜三棱柱的体积V． 2．如图1，内壁光滑且透明的正方体容器内注有一定量的水，已知正方体容器棱长为4，容器厚度不计.当其水平放置时，水面恰好过，，，的中点E，F，G，H.现在固定容器一边于水平地面，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，水面的形状也不同.容器绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过棱的过程中（不包括起始和终止位置），水面与棱，，，分别交于点，，，.假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动.    (1)证明：是定值； (2)已知水面是矩形面，求水面面积的取值范围. 3．如图，在三棱柱中，底面是边长为a的正三角形，与AB、AC所成的角均为，且，求该棱柱的体积. 【经典例题八 锥体体积的有关计算】 【例8】如图，在三棱锥中，底面，，，，. (1)求的大小； (2)求三棱锥的体积. 1．如图，设分别是给定正方体的棱和上的任意点.求证：三棱锥的体积是定值. 2．如图，在正四棱锥中，是这个四棱锥的高，是斜高，且 .    (1)求这个四棱锥的侧棱长; (2)求这个四棱锥的全面积和体积. 3．如图，已知四面体的对棱长相等，且为的中点，，求四面体的体积. 【经典例题九 台体体积的有关计算】 【例9】如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上下底面半径分别为1，2，B为底面圆周上异于A，C的点，为BC的中点. (1)求证：平面； (2)若，求圆台的体积. 1．如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm． (1)求四棱台的表面积； (2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比． 2．已知正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6，棱台高为．    (1)求正四棱台的体积． (2)求正四棱台的表面积． 3．如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥. (1)求棱台的体积； (2)求棱台的表面积. 【经典例题十 圆柱表面积的有关计算】 【例10】如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为. (1)计算该模型的体积.（结果精确到） (2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？（结果精确到1元） 1．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． (1)求圆柱的侧面积； (2)求三棱柱的体积． 2．如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体. (1)当时，求该艺术品的体积； (2)当为何值时，该艺术品的表面积最大？ 3．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，母线长为3. (1)求圆锥的底面积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积. 【经典例题十一 圆锥表面积的有关计算】 【例11】已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为3． (1)求圆锥的体积； (2)求圆锥的表面积． 1．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，等腰直角三角形的面积为.    (1)求圆锥的表面积； (2)若点是的一个三等分点，求三棱锥的体积. 2．圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形. (1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程； (2)过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积. 3．用平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为x，圆锥母线的长为y． (1)建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)圆锥的母线与底面所成的角大小为，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米（精确到）． 【经典例题十二 球的体积的有关计算】 【例12】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm．若不计容器的厚度，求球的体积． 1．一个长、宽、高分别是80cm、60cm、60cm的水槽中有水，现放入一个直径为60cm的木球，且木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？ 2．为满足市场对球形冰淇淋的需求，某工厂特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切（内壁厚度忽略不计），店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋．已知该模具底面边长均为6cm． (1)求内壁的面积； (2)求制作该模具所需材料的体积； (3)求模具顶点到内壁的最短距离． 3．已知正三棱锥的高为4，底面边长为. (1)求该正三棱锥的表面积； (2)用平行底面的平面去截该三棱锥，所得截面三角形的边长为，已知点都在同一球面上，求该球的体积. 【经典例题十三 多面体与球体内切外接问题】 【例13】将个半径为的球和个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放个较小的球，个球两两相切，求上层小球的最高点到桌面的距离.    1．如图，正四棱锥底面正方形的边长为4，侧棱长为. (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体外接球的体积. 2．如图，球外接于正三棱柱，则球与正三棱柱的体积比为多少？ 3．如图所示，正四面体的棱长为，球是内切球，球是与正四面体的三个面和球都相切的一个小球，求球的体积． 【经典例题十四 求组合体的体积】 【例14】如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm），球的直径为5 cm， (1)求该组合体的体积； (2)求该组合体的表面积. 1．如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB分别相切于点C、M，与AC交于N），求图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得的几何体体积. 2．如图，在封闭图形ABCD中，CD段是以直线AD上的点E为圆心，DE长为半径的四分之一圆弧，，，，求图中封闭图形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 3．如图，在直角梯形中，，在梯形内，挖去一个以为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积. 【经典例题十五 求旋转体的体积】 【例15】如图，在矩形和四分之一的拼接的平面图形中，，，将该图形绕所在直线旋转一周形成的面所围成的旋转体记为． (1)求的体积； (2)求的表面积． 1．如图所示，四边形是矩形，且，若将图中阴影部分绕旋转一周. (1)求阴影部分形成的几何体的体积； (2)求阴影部分形成的几何体的表面积. 2．在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线旋转一圈．    (1)说明所得几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积． 3．意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法．如图，为半圆的直径，、为半圆弧上的点，，，阴影部分为弦、、与半圆弧所形成的弓形．将该几何图形绕着直径所在直线旋转一周，阴影部分旋转后会形成一个几何体．    (1)写出该几何体的主要结构特征（至少两条）； (2)计算该几何体的体积． 【经典例题十六 由平面的基本性质作截面图形】 【例16】四棱锥的棱VB，VC，VD上各有一点P，Q，R，过P，Q，R三点作四棱锥的截面（图）. 1．如图，在长方体中，，，点E，F分别是棱AB，BC的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)点E，F，确定的平面为，试作出平面截长方体的截面图，并计算该截面的面积（不必写出画法和理由）． 2．如图，在长方体中，，，，点E、F分别在、上，，过点E、F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； (2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 3．如图所示，是正方体在图（1）中，分别是，的中点，试分别画出图（1）（2）中有阴影的平面与平面的交线. 1．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求： （1）蚂蚁经过的最短路程； （2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程． 2．如图所示，已知三棱台． (1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示； (2)把它分成三个三棱锥并用字母表示． 3．如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面面圆周上的点. （1）求证：平面； （2）当三棱锥体积最大时，求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示） （3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值. 4．如图所示，在正三棱柱中，为的中点，是上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短距离为，设这条最短路线与的交点为，求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； (2)与的长； (3)此三棱柱的表面积． 5．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为，其中内接一个高为的正四棱柱（底面是正方形的直四棱柱）．    (1)当正四棱柱的高和底面边长相等时，求这个正四棱柱的外接球体积； (2)求这个正四棱柱表面积的最大值． 6．如图所示，正四棱台的高是，两底面的边长分别是和. （1）求这个棱台的侧棱长和斜高. （2）求该棱台的侧面积与表面积. 7．如图，平行六面体的容器可任意放置，的中点与平面中心均为小孔，则平行六面体最多盛水量是平行六面体体积的多少倍？    8．如图所示，长方体的底面是边长为2的正方形，其体积为16． (1)求三棱锥的体积； (2)求三棱锥的表面积． 9．如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为. (1)求四棱锥的体积； (2)判断的形状，并说明理由；求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积. 10．如图，在三棱锥中，， (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的外接球体积． 11．（1）如图1，设圆台的上､下底面的面积分别为，高为，根据圆锥的体积，证明：圆台的体积； （2）如图2，在平面直角坐标系中，多边形的顶点，若该多边形是正六边形，写出点的坐标并求该六边形绕轴旋转一周形成的几何体的体积； （3）在（2）的条件下，求几何体的表面积． 12．如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． (1)求该圆台的表面积； (2)求四棱锥的体积的最大值． 13．如图，四边形中，，，，，， (1)求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的体积； (2)求将四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积． 14．如图，正三棱柱中，是棱的中点． (1)设E为棱的中点，为棱上一点，求的最小值； (2)求三棱锥的体积； (3)求该正三棱柱的外接球的表面积． 15．如图，，分别为长方体的棱，的中点. (1)求证：， (2)当长方体每条棱都相等时，求该几何体与其外接球的体积之比. 学科网（北京）股份有限公司 $