专题8.9 立体几何初步64道压轴题型专训（16大题型） -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题8.9 立体几何初步64道压轴题型专训（16大题型） 题型一 棱柱的展开图及最短距离问题 题型二 棱锥中截面的有关计算 题型三 正棱台及其有关计算 题型四 圆锥的展开图及最短距离问题 题型五 斜二测画法中有关量的计算 题型六 棱锥表面积的有关计算 题型七 台体体积的有关计算 题型八 圆台表面积的有关计算 题型九 球的体积的有关计算 题型十 多面体与球体内切外接问题 题型十一 由平面的基本性质作截面图形 题型十二 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型十三 面面平行证明线面平行 题型十四 由线面角的大小求值 题型十五 面面垂直证线面垂直 题型十六 由二面角大小求线段长度或距离 【经典例题一 棱柱的展开图及最短距离问题】 1．春节期间，佳怡准备去探望奶奶，她到商店买了一盒点心.为了美观起见，售货员对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结.售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如图（2）所示）包装更节省彩绳.点心盒是长宽高分别为20cm，20cm，10cm的长方体，如果不考虑花结用绳，如图所示的捆扎方式，需要最短的用绳长度是（单位：cm）（   ）    A．120 B．100 C． D． 【答案】C 【分析】将长方体盒子展开在一个平面上，再计算彩绳扎紧的情况下的彩绳长度即可得. 【详解】依据图（1）的捆扎方式，可以想象将长方体盒子展开在一个平面上， 则彩绳的平面展开图是一条由到的折线，如下图所示：    在扎紧的情况下，彩绳的平面展开图是一条由到的线段， 此时用绳最短， cm. 故选：C. 2．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（   ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】先证明所可得A正确，B，C作出截面图即可，D把立体几何展开形成平面的问题即可求解. 【详解】对A，当时，，为中点， ∵是中点，∴ ，又，所以， 即可得平面，故A正确； 对于B，如图延长交与H，连接交与I， 易知当时，I在线段上，截面如图为梯形， 当时，I在延长线上，截面如图为五边形， 所以当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形， 故B正确； 对于C，当时，为中点， ∵平面平面，∴截面可以为如图正六边形， 正方体边长为1，故截面正六边形边长为， 面积， 故C错误； 对于D，当时， ，∴ 四点共面， 如图对平面和平面沿进行展开， 四边形为等腰梯形，， ∴高， 又三角形为等腰三角形，， ∴高， ∴，又，所以的最小值为，故D正确； 故选：A B D. 3．如图，已知正方体的棱长为2，动点在对角线上，设，当取得最小值时，___________． 【答案】 【分析】将展开成平面图形，由此求得的最小值以及此时对应的的值. 【详解】连接，根据正方体的性质可知，是全等的直角三角形， 将展开成平面图形，连接，交于，则， 则此时最小.， ，则的最小值为， 此时，. 故答案为： 4．正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，求周长的最小值. 【答案】 【分析】利用正方体中线段的垂直关系确定动点M的轨迹，然后通过将相关三角形翻折到同一平面，把求的周长最小值问题转化为平面上求线段长度的最小值问题，最后运用余弦定理求解． 【详解】由正方体的结构特征可知，平面， 点M是内一动点，且，所以点在线段上运动， 动线段在内运动，动线段在内运动，动线段在内运动， 以为基准，将和翻折使其与共面，如图所示： 其中翻折至，翻折至， 的周长等于，最小值等于 ， 由余弦定理可求得， 所以， 故的周长最小值等于. 故答案为：. 【经典例题二 棱锥中截面的有关计算】 5．在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】作出三棱锥的侧面展开图，连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长，利用余弦定理计算可得. 【详解】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小， 连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长， 因为侧棱长为的正三棱锥，， 所以， 由余弦定理可得 ， ，所以截面的最小周长为. 故选：C. 6．（多选）已知正四面体，过点的平面将四面体的体积平分，则下列命题正确的是（    ） A．截面一定是锐角三角形 B．截面可以是等边三角形 C．截面可能为直角三角形 D．截面为等腰三角形的有6个 【答案】AD 【分析】根据题意，结合正四面体的几何特征，以及余弦定理和三角形的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，设过点的截面交底面于点，且， 因为过点的平面将正四面体的体积平分，即平分的面积， 可设正四面体的棱长为， 可得，解得，且， 对于A中，在中，可得， 在中，可得， 在中，可得， 则，即， 同理可得，， 即在中，任意的两边的平方和大于第三边，所以为锐角三角形，所以A正确； 对于B中，若截面为等边三角形，则满足， 若，即，可得， 此时，可得， 所以截面不是等边三角形，所以B错误； 对于C中，当点与点重合时，要使得平面平分三棱锥的体积， 即平分的面积，此时为的中点，此时， 则中，边取得最小值，且，且， 可得，此时的最大角为锐角， 所以不能为直角三角形，所以C错误； 对于D中，当过点截面过底面的一个顶点和对边的中点时， 如图（1）所示，得到截面，,，此时， 此时三个三角形都为等腰三角形，且满足把正四面体的体积平分； 如图（2）所示，在的边长上分别取， 使得，连接， 使得恰好平分的面积，此时截面恰好平分正四面体的体积，且为等腰三角形， 综上可得，截面为等腰三角形的有6个，所以D正确. 故选：AD.     7．已知正四棱锥中，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面，平面与截面PAC交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________.（请将可能的结果序号填到横线上）①2；②；③3； ④. 【答案】①③ 【分析】设，因为为正四棱锥，易知平面，过M作∥分别交棱、于点T、L，则平面，由题意，只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案. 【详解】设，因为为正四棱锥，易知平面平面，又 ，平面平面，平面，所以平面， 过M作∥分别交棱、于点T、L，则平面，由题意， 只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可， 又是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过M作∥分别交棱 、于点E、Q，所以，即，所以， 如图1，则平面为满足题意的平面，因为，所以，所以 ，所以，故①正确； 如图2，过T作∥，过L作∥，易知平面为满足题意的平面， 且为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以， 所以五边形的面积， 故③正确.当∥与∥是完全相同的，所以，综上选①③. 故答案为：①③ 8．正三棱台中，下底面的边长为a，侧棱与底面成角60°，过AB作截面垂直于，求截面面积. 【答案】答案见解析 【分析】将棱台补成棱锥，则S与两底面中心，O三点共线，联结CD，CD过点O，棱台的高对截面的形状起着决定性作用，对高进行分类讨论即可求解. 【详解】如图，将棱台补成棱锥，则S与两底面中心，O三点共线. 设，AB的中点为D，连接CD，CD过点O，则， ∴. 设截面，过E作于H，， 则易得，， 此棱台的高对截面的形状起着决定性作用，故有以下讨论. （i）当时，，此时截面为等腰三角形，其面积为. （ii）当时，， 此时截面ABE与上底面有交线MN，ED交MN于F， 故截面为等腰梯形，作于K，平面ABC， 由，，，得， （iii）特别地，当截面经过时，，此时截面面积为. 【经典例题三 正棱台及其有关计算】 9．在正四棱台中，，若的最小值为，则点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】设，则，从而得到该棱台的高为，从点向平面作垂线，垂足为，即可求出，再由等面积法求出点到直线的距离. 【详解】设，则点在平面上， 故， 因为的最小值为，的最小值为， 所以该棱台的高为． 如图，连接，，则四边形是等腰梯形，，， 从点向平面作垂线，垂足为， 则最小时，点与点重合，点在上，且， 所以， 设点到直线的距离为，则， 所以． 故选：C. 10．（多选）甲工程师计划将一块边长为的正方形铁片加工成一个无盖正四棱台，其工程平面设计图如图1所示，正方形和正方形的中心重合，分别是边上的三等分点，且，将图中的四块阴影部分裁下来，用余下的四个全等的等腰梯形和正方形加工成一个无盖正四棱台，如图2所示，则（    ）    A．甲工程师可以加工出一个底面周长为的正四棱台 B．甲工程师可以加工出一个底面面积为的正四棱台 C．甲工程师可以加工出一个高为的正四棱台 D．甲工程师可以加工出一个侧棱长为的正四棱台 【答案】BCD 【分析】令正四棱台的底面边长，高为，侧棱长为，等腰梯形的高为，则由题意可知，，.再根据正四棱台的结构分别计算即可判断各选项. 【详解】令正四棱台的底面边长，高为，侧棱长为，等腰梯形的高为， 则由题意可知，，，即. 对于A，当正四棱台的底面周长为时，，不满足，A错； 对于B，当正四棱台的底面面积为时，，满足，B对； 对于C，当正四棱台的高为时，则， 记正四棱台的上下底面的中心分别为，取的中点,连接，过点作于点， 则， 所以，解得，则， 满足，C对；    对于D，当正四棱台的侧棱长为时，则， 过点作于点，则， 所以，即， 解得，则，满足，D对. 故选：BCD 11．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装.如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为______. 【答案】/ 【分析】作出正四棱台的图形，设，利用该四棱台侧面的面积求得，进而利用勾股定理即可得解. 【详解】设，则， 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形， 在四边形中，过点作于点， 则，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点， 易知为正四棱台的高，则， 所以， 则该物件的高为. 故答案为： 12．如图所示，在正三棱台中，已知，棱台一个侧面的面积为，，O分别为上、下底面正三角形的中心，连接并延长，分别交于点，D，，求上底面的边长. 【答案】 【分析】根据正三棱台的结构特征，用上下底面边长表示出正三棱台的斜高，进而得侧面积表达式即可得解. 【详解】依题意，，则， 设上底面的边长为，则， 如图所示，连接，过作于点H，则四边形为矩形，且， 于是得，在中，， 因四边形的面积为，则，即，解得， 所以上底面的边长为. 【经典例题四 圆锥的展开图及最短距离问题】 13．斗笠起源于汉代，兴盛于明清．斗笠用竹篾、箭竹叶为原料，编织而成，有尖顶和圆顶两种形制，主要用于遮阳和遮雨，其中尖顶斗笠示意图如图所示，大致呈圆锥形．某款尖顶斗笠底部圆的半径为，母线长为，点是斗笠底部圆周上一点．为了装饰这个斗笠，现要镶嵌一条从点出发绕斗笠外部一周后回到点处的金属条，则这个金属条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出该斗笠的侧面展开图，先由扇形弧长和母线长求出圆心角，再由余弦定理即可求得答案. 【详解】作出该斗笠的侧面展开图如图所示，由图可知金属条的最短长度为线段之长. 由题意知，圆弧的长即圆锥的底面圆周长，则， 由余弦定理，得， 即． 故选：C． 14．（多选）已知一圆锥的母线长为2，底面半径为r，其侧面展开图是圆心角为的扇形，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则（    ） A． B．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为 C．该圆锥的体积为 D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 【答案】AC 【分析】根据圆锥的几何性质逐项分析即可. 【详解】由，得，所以A选项正确； 假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开，则其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，所以从A点经过圆锥的表面到达B点的最短距离为，故B选项不正确； 因为，母线长为2，所以该圆锥的高为1，所以其体积为，故C选项正确； 过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为2的等腰三角形，设其顶角为，则该三角形的面积为．故当时，，故D选项不正确． 故选：AC. 15．如图，圆锥底半径长为1，母线的长为6，是母线上一点，且． 一个质点从出发沿圆锥侧面图示路线到达． 若该质点走过的路程最短且质点在运动时先上升，后下降，则 的取值范围为_________________． 【答案】 【分析】由已知，可求得圆锥侧面展开图扇形的圆心角是，由质点走过的路程最短且质点在运动时先上升，后下降，可得点到的距离小于，再由，即可得到的取值范围. 【详解】 如图，圆锥侧面展开图中，， 所以，质点在上运动， 是母线上一点，作，垂足为， 则质点从到的运动过程中，质点到的距离减小，质点在运动时上升， 质点从到的运动过程中，质点到的距离增大，质点在运动时下降， 当时，质点在运动时上升，此时， 即是的中点， 当时，质点在运动时一直上升， 所以，即时，质点走过的路程最短且质点在运动时先上升，后下降， 由，可得，则，得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用圆锥的侧面展开图，把立体问题转化为平面问题，进而分析求解. 16．已知圆锥的底面半径为8，点为半圆弧的中点，点为母线的中点 （1）若母线长为10，求圆锥的体积; （2）若与所成角为，求两点在圆锥侧面上的最短距离. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用勾股定理得到，代入体积公式计算得到答案. （2）根据夹角计算，把圆锥展开得到圆心角为，再利用余弦定理得到答案. 【详解】（1）圆锥的底面半径为8, 母线长为10,根据勾股定理得到： 解得 （2）如图所示：为中点，连接 为母线的中点，为中点，则，与所成角为 故 将圆锥沿展开得到侧面平面图：对应圆心角为 在中，利用余弦定理得到： 故最短距离为 【经典例题五 斜二测画法中有关量的计算】 17．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知则四边形ABCD的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析直观图等腰梯形，结合斜二测的 夹角，求出直观图腰长，再按斜二测规则还原，得到原图形上下底和腰长，并在还原后的直角梯形中，用勾股定理算出斜边，最后将四条边长相加，得到四边形的周长即可. 【详解】由题意可知， 直观图 为等腰梯形， ，， 过点 作 于 ，， 则 ， 在中，，， 根据斜二测画法规则还原原图形，如图： 则 ， ， ∵ 在轴上，  ， 作于，则，， ， 四边形 的周长为： ， 故四边形的周长为. 18．（多选）（多选）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（ ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 【答案】AD 【分析】根据斜二测画法还原，然后求出三边即可得答案. 【详解】根据斜二测画法还原，如图所示： 由斜二测画法可知，， 则，所以为正三角形. 所以. 19．如图，四边形是水平放置的平面四边形用斜二测画法得到的直观图，其中，，，，，则 （1）四边形中______； （2）四边形的面积为______． 【答案】 【分析】第一空由斜二测画法可得；第二空由直观图求出原图梯形的相关长度，计算可得. 【详解】根据题意可知，直观图梯形中，， 还原原图可得： 则原图中，，，故； 又因为，， 则其面积. 20．在中，角所对边分别为，若. (1)证明：为等边三角形； (2)若（1）中的等边边长为2，试用斜二测法画出其直观图，并求直观图面积. 注：只需画出直观图并求面积，不用写出详细的作图步骤. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析,面积为 【分析】(1) 利用余弦定理和辅助角公式，以及正弦函数的性质，基本不等式即可求解； (2) 利用斜二测画法逐步作图即可. 【详解】（1）由题及余弦定理知， 即 又因为，所以，即，. 因此，为等边三角形. （2）画法：①如图(1)，在等边中，取所在直线为轴，的垂直平分线为轴，两轴相交于点； 在图(2)中，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使； ②在图(2)中，以为中点，在轴上取，在轴上取； ③连接，擦去辅助线轴和轴，得等边的直观图(图(3)). 因为是边长为2的正三角形，所以，边上的高为， 在中，，所以， 边上的高， 故， 故直观图面积. 【经典例题六 棱锥表面积的有关计算】 21．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作图可得：以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体可以看成两个各条棱长均相等的正四棱锥底面重合构成的组合体，各侧面面积之和即为所求. 【详解】所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的侧面积之和，如图：    四棱锥的侧棱长， 以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积：． 故选：B 【点睛】此题考查多面体表面积求法，关键在于准确找出几何体的特征，以及边角特殊关系，对空间想象能力要求较高. 22．（多选）正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体．则（    ） A．是正六面体 B．正方体的边长为2 C．与正方体的表面积之比是 D．平面与相交所得截面的面积是 【答案】BCD 【分析】画出图形可判断A；设正方体的边长为a，求出的体积，求出可判断B；求出正方体的表面积，的表面积可判断C；画出截面，且是菱形，求出面积可判断以D． 【详解】对于A，如图，是各棱长均相等的正八面体，所以A错误； 对于B，设正方体的边长为a，是正八面体，且是底面是对角线长为的正方形，上下两个四棱锥的高都为，则的体积为，所以，所以B正确； 对于C，正方体的表面积是，的各个侧面的棱长都为等边三角形，所以的表面积是，所以，所以C正确； 对于D，如图平面与相交所得截面，分别是的中点， 且相等，，四边形是菱形，，其面积为，所以D正确． 故选：BCD. 23．四面体的四个面的面积之和称为该四面体的全面积.过全面积为500的四面体的每个顶点，作一个平面与另外三个顶点所在平面平行，则由作出的这四个平面所围成的新的四面体的全面积是___________. 【答案】4500 【分析】根据题目条件分析出原四面体的顶点分别为新四面体各个面的重心，则根据相似比易得新四面体的全面积. 【详解】设原四面体为，过每个顶点作平行平面得到新四面体 如下图所示，设过全面积为的四面体的每个顶点作一个平面与另外三个顶点所在平面平行， 作出的这四个平面围成的新四面体为，显然是唯一的， 而当分别为各个面对应三角形的重心时， 连接交于点，连接交于点， 则有，且为中位线， 所以且， 同理可得且，且， 且，且，且. 即当分别为各个面对应三角形的重心时恰满足题目条件， 此时四面体的棱长为四面体对应棱长的三倍， 所以四面体的全面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得新的四面体的棱长是原来四面体对应棱长的三倍，从而得解. 24．如图一，将边长为2的正方形剪去四个全等的等腰三角形后，折成如图二所示的正四棱锥.记该正四棱锥的斜高为（侧面三角形的高），. (1)求证：； (2)将折起来后所得正四棱锥的表面积记为，请将表示为的函数，并求的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)，； 【分析】（1）作，垂足分别为M，N，然后在中利用三角函数定义可得； （2）用正方形面积减去4个全等的等腰三角形面积可得. 【详解】（1）作，垂足分别为M，N， 由题可知，M，N分别为EF，AB的中点， 所以在中，，， 所以， 易知，在中， 所以， 即 （2）在中，易知， 所以， 又正方形ABCD的面积为， 所以正四棱锥的表面积记 因为，所以， 所以 【经典例题七 台体体积的有关计算】 25．如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，平面经过和，平面经过和，则该正方体处于平面之间部分的体积为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】先由平行关系得到两截面，由对称性得到正方体处于平面之间部分的体积为正方体的体积减去两个三棱台的体积，再结合台体体积公式计算可得. 【详解】取中点，因为为的中点，所以， 则四点共面，所以平面截正方体的截面即为平面， 取中点，因为为中点，所以，同理平面截正方体的截面即为， 几何体为三棱台，由对称可知三棱台的体积与的体积相等， 所以正方体处于平面之间部分的体积为正方体的体积减去两个三棱台的体积， ， 所以该正方体处于平面之间部分的体积为. 故选：A. 26．（多选）正四棱台中，上底面的边长为2，下底面的边长为4，棱台高为，则下列结论正确的是（    ）    A．该四棱台的体积为 B．该四棱台的侧棱长为2 C． D．几何体是三棱柱 【答案】AC 【分析】对于A，利用棱台体积公式即可；对于B，在直角梯形中即可求解；对于C，；对于D，根据三棱柱的上下底面平行进行判断. 【详解】解：在正四棱台中，，令上 下底面中心分别为，连接，如图，对于A， ，A正确； 对于平面，在直角梯形中，，取中点，连接，有，则，，B错； 对于C，，C正确； 对于D，几何体中，没在任何两个平面平行，选项D错误. 故选：AC    27．已知圆台的体积为，上底面半径为1，母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台的下底面半径为________. 【答案】2 【分析】先求得下底面半径与高的数量关系，再用下底面半径表示高，将其代入圆台的体积公式，解方程求出下底面半径. 【详解】如图，设圆台上底面圆心为，下底面圆心为，梯形为圆台的轴截面，高为. 过作于. 即为母线与下底面所成角，则 在直角三角形中，， 所以下底面半径，即 解得. 28．正四棱台的下底边长，它的内切球半径为3． （1）求正四棱台的表面积； （2）求与底面所成角的正弦值． 【答案】（1）312；（2） . 【分析】（1）利用正四棱台和球的对称性，做轴截面，观察数据特点得出MP长度，可得上底面正方形边长，利用等体积法求出表面积； （2）先找出线面角为，利用正四棱台的特点，求出 ,，即可求出角的正弦值. 【详解】 （1）如图，做该正棱台的轴截面， 中， ， 所以 ，根据对称性， ， 故 所以 ， 正四棱台上底面是一个边长为 的正方形， 即 （2）正四棱台中，上下底面均为正方形，且侧棱长相等， 在底面的射影为 ， 所以 , 与底面所成角为 , , , , . 【经典例题八 圆台表面积的有关计算】 29．一封闭圆锥容器的轴截面是边长为3的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解 【详解】在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示：      因为小球的半径， 所以, 又都是等边三角形，所以，， 于是，圆台的上、下底面圆的半径分别，， 母线长， 所以圆台的侧面积为. 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆， 其半径为，其面积为. 综上，圆锥内壁上小球能接触到的最大面积为. 故选：A 30．（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（    ） A．高为 B．母线长为3 C．表面积为14π D．体积为 【答案】ABC 【分析】根据题意，求出圆台的上下底面圆半径、母线长和高，运用侧面积公式和体积公式，即可一一判断正误即得. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为， 依题意，解得，，解得， 又圆台的母线长为， 故圆台的高故A、B均正确； 圆台的侧面积为， 所以圆台的表面积为，故C正确； 圆台的体积为，故D错误. 故选：ABC. 31．一个圆锥的底面直径为4，高为，过圆锥高的中点作平行于底面的截面，该截面截去了一个圆锥，则剩下几何体的表面积为______. 【答案】 【分析】由题意得剩下几何体为圆台，即计算上底半径，母线长，利用圆台的表面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的半径为，母线长为，高为，截去的小圆锥的半径为，母线长为，高为， 依题意，，则，， 又过圆锥高的中点作平行于底面的截面，该截面截去了一个圆锥，则剩下的几何体为圆台， 所以，所以， 所以，，. 设圆台的母线长为，高为， 所以， 所以圆台的侧面积为：， 上底面积为，下底面积为， 所以圆台的表面积为， 故答案为：. 32．如图，一块扇形铁皮，半径厘米，圆心角，现剪下一个扇环做圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底面）． (1)应取多少厘米？ (2)制作这样一个没有上底的圆台形容器需要多少平方厘米的铁皮？（不计连接处损耗） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的长度等于的周长可计算出的半径，再根据几何关系可计算出的长度； （2）根据条件先计算出上下底面的半径和母线长度，然后计算出下底面面积和侧面积，则结果可知. 【详解】（1）连接并延长交于点，过点作交于点， 因为，所以的长度为，所以的周长为， 所以，所以， 在中，，所以， 所以， 所以应取厘米. （2）设圆台上、下底面的半径分别为，母线长为， 因为，所以的长度为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以需要的铁皮为：平方厘米， 故需要平方厘米的铁皮. 【经典例题九 球的体积的有关计算】 33．在正四棱锥中，，过A，C，D三点的球的体积最小时，球被平面所截截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析过A，C，D三点的球体积最小时，球心为正三角形的中心，再求出球心到截面的距离，利用求截面圆半径即可得解. 【详解】由题意，是边长为2的正三角形，设过A，C，D三点的球心为，半径为， 则球中过A，C，D三点的截面圆圆心为的中心，截面圆的半径， 设球心到截面圆的距离为，则，要使球的体积最小，则最小， 当时，有最小值为，此时重合，即球心为的中心， 如图，作出符合题意的图形， 设为正方形的中心，为的中点， 连接，过作，交于N。 则为正四棱锥的高，， 由知，平面, 且，即球心到截面的距离， 所以过截面圆的半径为， 所以球被平面BCDE所截截面的面积为. 故选：A 34．（多选）某人按照比例建出一个球形景观模型，使得景观的最大圆截面面积是模型的10000倍，则（    ） A．该人制作模型按照的比例为 B．景观与模型的表面积之比为 C．景观与模型的体积之比为 D．景观与模型的最大圆截面周长之比为 【答案】BC 【分析】首先根据圆的面积公式求景观半径与模型半径的比值，再结合选项，根据球的性质，即可求解. 【详解】设景观半径为，模型半径为， 球的半径即为其最大圆截面的半径.景观与模型的最大圆截面面积之比为，故， 所以该人制作模型按照的比例为，故A错误；景观与模型的表面积之比为，故B正确； 景观与模型的体积之比为，故C正确； 景观与模型的最大圆截面周长之比为，故D错误. 故选：BC 35．理想状态下，在一个底面直径和高均为的圆柱形石材中，挖去一个半径为的球体后，剩余石材最多还能打磨出_____个体积最大的小球.（参考数据：） 【答案】30 【分析】确定最大小球的相切条件，用几何关系列方程求小球半径，求每层小球最大放置数量，再验证最多能放置几层小球，即可求出剩余石材最多还能打磨出多少个体积最大的小球. 【详解】由题意， 要在剩余空间打磨最大的小球，需满足： 与圆柱侧面相切（小球球心到侧面距离等于小球半径），与圆柱底面（或顶面）相切（小球球心到底面距离等于），与挖去的大球相切（两球心距离等于）， 设小球坐标为，由几何知识得， ， 解得：， 此为满足接触条件的最大半径. 接着求每层小球数量： 小球中心位于半径的圆周上， 设每层放个小球，相邻小球中心距离为, ∵中心间弦长公式为， ∴即，， ∵， ∴， 解得， ∴每层恰能放置 15 个相切的小球. 下面求解此圆柱能放置多少层小球： 小球中心高度为，底部小球范围为，顶部小球范围为， 间隙为， 顶部底部小球不会重叠， 小球中心到挖去球体中心的最小距离为， ∴无法再放置一层小球， ∴挖去球后圆柱上下两部分都能放置一层，即最大放置层数为2， ∴最大打磨个数为. ∴剩余石材最多还能打磨出30个体积最大的小球， 故答案为：30. 36．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等，在推导半径为R的球的体积公式时，可以先构造如下如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面内，然后挖去一个圆锥后运用祖暅原理来推导，请你把如图补充完整并写出球的体积公式的证明. 【答案】答案见解析 【分析】半球截面面积可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，利用祖暅原理可求解. 【详解】如图（1），设平行于大圆且与大圆的距离为的平面截半球所得圆面的半径为，，于是截面面积，则可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积， 所以，取一个底面半径和高均为的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上，如图（2）， 用同一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面，可知圆环大圆半径为，小圆半径为，圆环面积，所以， 则根据祖暅原理可得这两个几何体的体积相等，即， 所以可得球的体积为. 【经典例题十 多面体与球体内切外接问题】 37．棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当正方体内恰好装入的两个铁球刚好外切时，正方体的棱长取最小值， 作出对角线及球心，所在的截面，建立对角线与两个球的半径的等量关系式即可求解. 【详解】当正方体内恰好装入的两个铁球刚好外切时，正方体的棱长取最小值，    设正方体为，球，的半径分别为，， 作出对角线及球心，所在的截面，如图所示， 正方体的棱长为，， 在直角中，， ，， ，， ， ，解得， 即正方体的棱长的最小值为， 所以 故选：C. 38．（多选）若四面体各棱长均为1或2，但不是正四面体，则该四面体外接球的表面积可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设四面体的外接球的球心为，半径为，分三种情况讨论①若一条棱长，其余各棱棱长均为2，②若其中一组对棱相等且长度为1，其余棱长为2，③三棱锥为正三棱锥，且侧棱长为2，是边长为1的等边三角形.根据对称性确定球心位置，由球心到各顶点距离相等列式可求半径，进而得到四面体外接球的表面积. 【详解】设四面体的外接球的球心为，半径为，表面积为， 依题意，四面体长为1的棱最多有3条，分以下三种情况讨论： ①若，其余各棱棱长均为2，取的中点，连接、， 由，为的中点，得，,， 则，， 根据对称性，球心在上，设，则， 由，得，解得， 因此，B可能； ②若其中一组对棱相等，不妨设，其余各棱棱长均为2，取的中点，连接， 由，，为的中点，得， 则，，， 根据对称性，球心为中点，因此，A可能； ③三棱锥为正三棱锥，且侧棱长为2，是边长为1的等边三角形， 设顶点在底面内的射影点为，连接、， 则是底面正三角形的中心，且，， 根据对称性，球心在直线上，设，则， 由得，解得， 因此，C可能. 故选：ABC 39．已知三棱锥为正三棱锥，，若为正三棱锥的外接球球面上的一个动点，为内切圆上的一个动点，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】设球心为，在中，利用勾股定理计算可得，设出外接球，在中利用勾股定理计算可得；利用等面积法可计算出内切圆的半径，则可利用勾股定理求出，则可由得解. 【详解】如图，设球心为，外接球的半径为，的内切圆圆心为， 则、、三点共线，连接、， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得, 即，整理得， 设内切圆的半径为，则有， 故， 由是内切圆上一点，则， 在直角中，由勾股定理得， 即， 则， 当且仅当、、三点共线且在、之间时等号成立.    40．如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中（球未画出），使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若球的表面积为. (1)求正方体的棱长； (2)若四棱锥的四条侧棱、、、分别与上底面交于点、、、，求几何体的体积和表面积. 【答案】(1)； (2),表面积为. 【分析】（1）由题意求得球的半径，设正方体的棱长为，到平面的距离为，则半球的半径为，由和，联立求解即可； （2）根据相似可求得正四棱台的的上底为2，侧棱长为，进而求得斜高为，结合体积各表面积公式求解即可. 【详解】（1）因为球的表面积为， 设球的半径为， 所以，解得， 设正方体的棱长为， 则半球的半径为， 球心在过正方形中心且垂直于面的直线上， 设到平面的距离为， 则， 又因为半球与球内切， 所以，又因为， 所以，得， 代入， 得， 解得或(舍去)， 所以正方体的棱长为； （2）由（1）可知正方体的棱长为，半球的半径为3，球的半径， 易知几何体为正四棱台， 且， 所以点到平面的距离为， 设正方形的棱长为， 由相似知识可得， 所以， 设正四棱台的体积为， 则 ； 因为， 所以正四棱台的的侧棱， 设正四棱台的的斜高为， 则， 所以正四棱台的的一个侧面面积为， 所以正四棱台的的表面积. 【经典例题十一 由平面的基本性质作截面图形】 41．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，过点作正方体的截面，则截面的形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，取的中点，的中点，的中点，证明都在平面内，由此可得结论. 【详解】因为多面体 正方体，所以，，， 如图：以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以为平面的一个法向量， 取的中点，的中点，的中点， 可得，，， 所以，，， 因为，，， 所以点都在平面内， 连接， 所以过点的正方体的截面为六边形， 故选：A. 42．（多选）如图，正方体中，其棱长为3.，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，截面是一个多边形.则（    ） A．截面和面的交线与截面和面的交线等长 B．截面是一个五边形. C．截面是一个梯形. D．截面在顶点处的内角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】做出截面，依次判断选项即可. 【详解】延长至，使；延长至，使； 连接，因，，则为等腰直角三角形， 同理可得为等腰直角三角形，又， 则三点共线.连接.因分别为中点，则.又，则四边形为平行四边形，得 .又分别是中点，则. 故，，则， 则五点共面.设这五点所在平面为. 平面，平面， 则平面，连接交于. 因，则，得. 同理，可得平面，连接交于，则. 又， 则.即五点共面. 顺次连接，得截面为五边形. 对于A，如图可知，截面和面的交线为DE，截面和面的交线为， 又几何体棱长为3，，， 则， ，故，则A正确； 对于BC选项，由图可知B正确，C错误； 对于D选项，由图可知截面在顶点处的内角为，连接， 因，则四边形为平行四边形，得. 又由A选项分析可知，，则在三角形中由余弦定理有 ，则D正确. 故选：ABD 43．如图，在直三棱柱中，，，，，（，）.记，当取最小时，过点，，作三棱柱的截面，则截面面积为______. 【答案】 【分析】先确定当取最小时，为的中点，然后根据三角形全等求出，然后确定过点的三棱柱的截面为梯形，最后根据梯形的面积公式求出面积即可. 【详解】将绕翻折到平面内，则的最小值为点到直线距离， 所以，因为， 所以. 所以当取最小时，为的中点，因为为等边三角形，为的中点， 所以为的重心，故， 在平面中，延长交于点， 因为， 所以，故. 取的中点，为的中点，则， 因为，，所以四边形为平行四边形，则，， 又，，所以，所以， 故过点的三棱柱的截面为梯形， ， 如下图，过作，设， 因为，则， 所以，则梯形的面积为. 故答案为：. 44．如图所示，正方体的棱长为a． (1)过正方体的顶点，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积； (2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长； (3)设正方体外接球的球心为O，求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥的体积，再用正方体体积减去即可； （2）根据点、线、面的位置关系作出图形，再利用三角形相似等知识点则可求出相关线段长； （3）根据（1）中三棱锥的体积以及正方体和正三棱锥的性质即可求出三棱锥的高，再利用棱锥的体积公式即可. 【详解】（1）因为正方体，所以平面， 则为三棱锥的高，，， 则， 则正方体剩余部分的体积为. （2）画直线交，延长线分别为点， 再分别连接，分别交于点， 顺次连接，五边形即为交线围成的多边形， 易得，，则为等腰直角三角形， 则，根据∽，， 则，则，， 同理可得，，而， 则五边形的周长为. （3） 连接，易知的中点即为正方体外接球的球心点， 且， 易得三棱锥为正三棱锥， 而三棱锥的顶点在底面上的投影即为等边三角形的中心点， 且点均在直线上， 由（1）得， 即，解得， 而，所以 所以， 则. 【经典例题十二 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 45．在四棱锥中，，过直线的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面与交于，由题设易证，若，则，根据与、与的比例关系，结合，即可求值. 【详解】 设平面与交于，而， ∴， ∵面，面， ∴面，又面，面面， ∴，即， 若，则，设四棱锥的体积为，又， ∴，即，，而，有， 而，有， ∴，解得. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：设平面与交于，由已知向量共线及截面的性质，易证，若，将四棱锥分为三棱锥、，利用体积间的比例关系及求. 46．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，过且与平行的平面交于点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线与所成角正切值为2 D．直线与所成角正切值为 【答案】AC 【分析】利用补形思想，在正方体的左侧补一个全等的正方体，则P点位置即可直接确定，结合P点位置所有选项都可直接验证. 【详解】解析：如图，利用补形思想，在正方体的左侧 补一个全等的正方体，并平移到， 则平面为过且与平行的平面， 显然平面交于点， 为的中点，故对，错； 由于直线与 所成角为，且， 故正切值为2，故C对，D错， 故选：AC. 47．已知正方体的棱长为2，点，分别在棱与线段上，，在线段上，若//平面，则__________. 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理可得，所以在中，再由正方体的棱长为2，代入数据即可求解. 【详解】如图所示，因为平面，平面，平面平面, 所以，所以在中，, 因为正方体的棱长为2，所以，， 因为，所以，所以. 故答案为： 48．如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)已知点在上满足平面，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN. 由平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案. 【详解】（1）证明：连结交于，连结， 因在中，为中点，为中点，则FO . 又平面，平面，故平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于， 连结，，，EN. 因，则四点共面. 又平面，平面平面， 则，四边形为平行四边形，可得 为中点. 则为BG中点. 即EN为中位线，则ENPG，. 又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD. 从而FDPG，. 【经典例题十三 面面平行证明线面平行】 49．在三棱柱中，点在棱上，且，点在棱上，且为的中点，点在直线上，若平面，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可求解. 【详解】依题意，作出图形如图所示 设为的中点， 因为为的中点， 所以, 又平面，平面， 所以平面， 过点作，交于,则易知平面， 又因为平面，平面， 所以平面平面. 又平面, 所以平面. 因为, 所以四边形为平行四边形， 所以, 因为， 所以, , 所以. 故选：D. 50．（多选）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】BD 【分析】根据线面、面面平行的判定定理与性质，结合反证法，由选项依次证明即可. 【详解】如图，过点作交于点，连接，即有平面， 由于，所以， 若，则，又平面，平面， 所以平面，由平面， 得平面平面，又平面，所以平面，故B正确； 若平面，又因为平面平面，所以，由B可知D正确； 假设平面，设平面，则， 若平面，平面平面，所以， 反之若，当且仅当平面，即A、C同时正确或错误； 若，可能，也可能与相交． 若与相交，由知延长必与、交于同一点， 由几何关系知与不平行，故A、C错误． 故选：BD 51．在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，，即可证明平面平面，从而得到点的轨迹为线段，求出，，即可求出的取值范围. 【详解】 如图所示，分别取的中点，连接，，， 因为为所在棱的中点， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 因为 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又因为，且平面，平面, 所以平面平面， 因为是侧面内一点，且平面，则点必在线段上， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 又， 在中，由余弦定理得 ， 所以为钝角，所以当在线段运动时，最短为，最长为， 所以线段长度的取值范围是. 故答案为： 52．几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）先由线面平行的判定理证得平面，再证得平面，由此利用面面平行的判定定理证得面面，从而得到平面； （2）先由线面平行的性质定理求得点位置，再由平面几何知识求得，从而利用平行线分线段成比例得到的值. 【详解】（1）记为的中点，连接，如图1， 因为分别为的中点，故， 因为平面平面 所以平面， 又因为为正三角形，所以 ，， 又为等腰三角形，，所以, 所以，即， 所以，又平面平面 所以平面，又，平面， 故平面平面， 又因为平面，故平面. （2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2， 因为平面，平面，平面平面， 所以，此时四点共面， 由（1）可知，，得， 故，又因为，所以， 则有，故. 【经典例题十四 由线面角的大小求值】 53．已知正方体的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，直线与平面ABCD所成角为，为正方形的中心，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需要先找到点位置，再将立体问题平面化，根据三点共线距离最短求解. 【详解】    因为直线与平面ABCD所成角为， 又因为面 所以为直线与平面所形成的角，即， 又，所以， 所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆落在四边形内的部分，即四分之一圆弧. 分析可知，点为和 圆弧的交点时，最小. 此时可将面沿着翻折到面所在平面. 根据长度关系，翻折后的图形如图所示，其中分别为正方体上下底面的中心，    当三点共线时，最小.因为，所以最小值为 故选：B. 54．（多选）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ） A． B．与平面所成的角为 C．与平面所成的角为 D． 【答案】AC 【分析】不妨令，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，不妨令， 在长方体中，面，面， 所以和分别为与平面和平面所成的角， 即， 所以在中，，， 在中，，， 所以在长方体中，，，， 所以，，故A正确，D不正确； 如下图，过作于 在长方体中，面，面 所以，又，平面 则平面 所以为与平面所成的角， 在中，，故选项B错误， 如下图，连接 在长方体中，面， 则与平面所成的角为且为锐角 在中，，所以，故选项C正确. 故选：AC. 55．如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且．若与平面所成的角分别为，，则的面积的最大值和最小值之和为___________． 【答案】 【分析】根据线面角的定义，利用圆锥的几何性质可得角的取值范围，结合三角形的面积公式，可得答案. 【详解】如图，过作直线垂直于平面， 因为、与平面所成的角分别为，，则点，分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，且有，即，所以， 当直线、与轴在同一平面内时，的面积可取最大最小值， 由于， ， 即， 又因为的面积为， 所以.由此可得：面积的最大值和最小值之和为. 故答案为：. 56．如图，已知四棱锥，底面是矩形，，点是棱上一劫点（不含端点）. (1)求证：平面平面； (2)当且时，若直线与平面所成的线面角，求点的运动轨迹的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定得到平面即可证明； （2）分别计算和时的情况，根据线面垂直与几何关系确定点的临界位置，进而求得点的运动轨迹的长度即可 【详解】（1）证明：因为， 故，又 所以平面 平面 所以平面平面 （2）首先，取中点，连接在等腰中，① 由（1）知平面，得② 由①②得平面，即此时当与点重合时， 直线与平面所成的线面角为， 其次，由题意易得，存在点两侧各有两个点，如图分别记为，使得的运动轨迹即为线段. 作于，又平面，得， 故平面， 所以在平面的射影为， 即为直线与平面所成的线面角， 即 此时，，此时与重合， 故 同理可得，解得 故的运动轨迹长度为. 【经典例题十五 面面垂直证线面垂直】 57．在边长为的菱形ABCD中，，E为BD中点，将绕直线BD翻折到，使得四面体外接球的表面积为，则此时直线与平面BCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求解时，先根据条件推出平面平面，平面平面，确定线面角，再找出外接球心，计算相关线段长度，最后用三角函数求线面角正弦值. 【详解】如图，由已知和都是等边三角形，是中点，，，又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，同理平面平面， 所以在平面内的射影是，所以是与平面所成的角， 设分别是和的外心，则，， 且，在平面内过作， 过作，与交于点，则平面，同理平面，平面，则，所以是四面体外接球的球心， 由已知，，，又， 所以，，，，，由对称性知，，所以直线与平面BCD所成角的正弦值为， 故选：B. 58．（多选）棱长为1的正方体，E是的中点，P是平面上的动点，平面与平面的交线为l，则（    ） A．EP的最小值为1 B．的最小值为 C．存在一点P，使得 D．在点P运动过程中，l不可能与AD平行 【答案】ABD 【分析】对于A，取的中点为，则得，证明平面，即得EP的最小值为1；对于B，作出点关于平面的对称点，连接，利用三点共线时，距离之和最短即可求得；对于C，运用反证法思想，假设，通过证明平面，推得引出矛盾，排除C项；对于D，利用平面，而平面平面，得到平面与平面的交线必与直线交于一点即可. 【详解】对于A，当点为的中点时，因E是的中点，易得， 因平面平面，平面平面， 而 平面，则平面，此时取得最小值1，故A正确； 对于B，如图，作出点关于平面的对称点，连接，交平面于点， 此时，，则取得最小值， 因平面，平面，故， 在中，， 则，即的最小值为，故B正确； 对于C，如图，连接，因平面，平面，故， 假设，因平面，故平面， 又平面，则，产生矛盾，故假设不成立， 即不存在一点P，使得，故C错误； 对于D，在点P运动过程中，因平面，而平面平面， 则平面与平面的交线必与直线交于一点，故l不可能与AD平行，故D正确. 故选：ABD. 59．如图，四面体的顶点在平面上，侧棱平面，且两两垂直且长度均为，是中点，是线段上的动点，过点作平面的垂线交平面于点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题设可知都为等腰直角三角形，将几何体补全为正方体，且一个底面在上，进而确定与所成角为，并有，应用和余弦定理、勾股定理求的范围即可. 【详解】因为两两垂直且长度均为， 所以都为等腰直角三角形， 又四面体的顶点在平面上，侧棱平面， 将补全为正方体如下图示，其中一个面在上且棱长为1， 所以， 在等边中是中点，所以， 过作平面垂线交面于， 则平面，平面，所以， 因为，平面，平面，故， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 平面平面，且， 所以过作平面的垂线在平面内，即面， 而面， 综上点必在对角线上，且与所成角为，， 则，在中，令， 由， 故，解得， 故答案为： 60．如图，在四棱锥中，，，，平面平面，，平面和平面的交线为，且. (1)求证：平面； (2)若直线和平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由、、的长度利用勾股定理逆定理得到，由平面平面，利用平面与平面垂直的性质定理得到平面，从而得到，由线面垂直的判定定理得到平面. （2）由平面平面利用面面平行的性质定理得到平面.由平面平面利用面面平行的性质定理得到，从而得到直线和平面所成角的正弦值为.由平面，得到是直线和平面所成角，又，从而得到的值.如图1，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接.由平面平面利用平面与平面垂直的性质定理得到，平面，则有是平面和平面所成角.设平面和平面所成角为，从而得到，得到所求. 【详解】（1）因为，，， 即. 又因为平面平面且平面平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，所以平面， （2）因为平面平面，， 所以平面. 又因为平面平面， 所以，则直线和平面所成角的正弦值为. 因为平面， 所以是直线和平面所成角， 故，解得. 如图1，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接. 因为平面平面且平面平面， 所以平面， 所以是平面和平面所成角. 设平面和平面所成角为， 因为，， 所以. 所以平面和平面所成角的正切值为. 【经典例题十六 由二面角大小求线段长度或距离】 61．边长为的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为分别是对角线和上的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作交于点，连接，根据平行和二面角，设，根据余弦定理计算范围； 【详解】如图，作交于点，连接． 则，于是． 设，则． 从而 故选：D． 62．（多选）在中，，，是有一个角是30°的直角三角形，若二面角是直二面角，则DC的长可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分类讨论的大小，然后根据几何关系求DC的长即可. 【详解】    如图①，当且时， 二面角是直二面角，故平面平面, 且平面平面,平面， 故平面ABC，所以， 因为，所以，故C正确； 同理可得，当且时，平面ABC，所以， 因为，所以，故D正确； 当且时，如图②， 过点D作，垂足为E，连接CE， 因为平面平面,且平面平面,平面， 故平面ABC,所以，此时, ,， 所以,故A正确； 当且时，同理可得， ，. 故选：ACD． 63．已知是大小为的二面角内一点，到，的距离分别为3和4，则点到棱的距离为_________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，利用余弦定理、正弦定理求解即得. 【详解】令于，于，平面，则， 由，得， 又是平面内的两条相交直线，则平面， 又平面，于是， 是二面角的平面角，， 则，在中，由余弦定理得， 而到的距离是四边形外接圆直径， 所以. 故答案为： 64．如图，棱长为的正方体的顶点在平面内，三条棱都在平面的同侧.    (1)若平面与平面所成的二面角为，求顶点到平面的距离的最大值； (2)若顶点到平面的距离分别为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作垂直于平面的平面，过分别作平面的垂线，垂足分别为，当时，顶点到平面的距离的最大，即可求解； （2）作平面于,平面于,连接.过点作,垂足为点.利用勾股定理可得:..利用余弦定理可得,可得,设平面与平面所成锐二面角为,利用,即可得答案. 【详解】（1）过点A作垂直于平面的平面，过分别作平面的垂线，垂足分别为，    可知当时，顶点到平面的距离的最大， 即，而，即，得， 在中，得，而，得， 得顶点到平面的距离的最大值为. （2）如图,    作平面于,平面于，连接 过点作，垂足为点. 可得: ,， ， ， ， ， ， 设平面与平面所成锐二面角为， ， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.9 立体几何初步64道压轴题型专训（16大题型） 题型一 棱柱的展开图及最短距离问题 题型二 棱锥中截面的有关计算 题型三 正棱台及其有关计算 题型四 圆锥的展开图及最短距离问题 题型五 斜二测画法中有关量的计算 题型六 棱锥表面积的有关计算 题型七 台体体积的有关计算 题型八 圆台表面积的有关计算 题型九 球的体积的有关计算 题型十 多面体与球体内切外接问题 题型十一 由平面的基本性质作截面图形 题型十二 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型十三 面面平行证明线面平行 题型十四 由线面角的大小求值 题型十五 面面垂直证线面垂直 题型十六 由二面角大小求线段长度或距离 【经典例题一 棱柱的展开图及最短距离问题】 1．春节期间，佳怡准备去探望奶奶，她到商店买了一盒点心.为了美观起见，售货员对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结.售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如图（2）所示）包装更节省彩绳.点心盒是长宽高分别为20cm，20cm，10cm的长方体，如果不考虑花结用绳，如图所示的捆扎方式，需要最短的用绳长度是（单位：cm）（   ）    A．120 B．100 C． D． 2．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（   ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．当时，的最小值为 3．如图，已知正方体的棱长为2，动点在对角线上，设，当取得最小值时，___________． 4．正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，求周长的最小值. 【经典例题二 棱锥中截面的有关计算】 5．在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 6．（多选）已知正四面体，过点的平面将四面体的体积平分，则下列命题正确的是（    ） A．截面一定是锐角三角形 B．截面可以是等边三角形 C．截面可能为直角三角形 D．截面为等腰三角形的有6个 7．已知正四棱锥中，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面，平面与截面PAC交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________.（请将可能的结果序号填到横线上）①2；②；③3； ④. 8．正三棱台中，下底面的边长为a，侧棱与底面成角60°，过AB作截面垂直于，求截面面积. 【经典例题三 正棱台及其有关计算】 9．在正四棱台中，，若的最小值为，则点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 10．（多选）甲工程师计划将一块边长为的正方形铁片加工成一个无盖正四棱台，其工程平面设计图如图1所示，正方形和正方形的中心重合，分别是边上的三等分点，且，将图中的四块阴影部分裁下来，用余下的四个全等的等腰梯形和正方形加工成一个无盖正四棱台，如图2所示，则（    ）    A．甲工程师可以加工出一个底面周长为的正四棱台 B．甲工程师可以加工出一个底面面积为的正四棱台 C．甲工程师可以加工出一个高为的正四棱台 D．甲工程师可以加工出一个侧棱长为的正四棱台 11．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装.如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为______. 12．如图所示，在正三棱台中，已知，棱台一个侧面的面积为，，O分别为上、下底面正三角形的中心，连接并延长，分别交于点，D，，求上底面的边长. 【经典例题四 圆锥的展开图及最短距离问题】 13．斗笠起源于汉代，兴盛于明清．斗笠用竹篾、箭竹叶为原料，编织而成，有尖顶和圆顶两种形制，主要用于遮阳和遮雨，其中尖顶斗笠示意图如图所示，大致呈圆锥形．某款尖顶斗笠底部圆的半径为，母线长为，点是斗笠底部圆周上一点．为了装饰这个斗笠，现要镶嵌一条从点出发绕斗笠外部一周后回到点处的金属条，则这个金属条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 14．（多选）已知一圆锥的母线长为2，底面半径为r，其侧面展开图是圆心角为的扇形，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则（    ） A． B．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为 C．该圆锥的体积为 D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 15．如图，圆锥底半径长为1，母线的长为6，是母线上一点，且． 一个质点从出发沿圆锥侧面图示路线到达． 若该质点走过的路程最短且质点在运动时先上升，后下降，则 的取值范围为_________________． 16．已知圆锥的底面半径为8，点为半圆弧的中点，点为母线的中点 （1）若母线长为10，求圆锥的体积; （2）若与所成角为，求两点在圆锥侧面上的最短距离. 【经典例题五 斜二测画法中有关量的计算】 17．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知则四边形ABCD的周长为（    ） A． B． C． D． 18．（多选）（多选）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（ ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 19．如图，四边形是水平放置的平面四边形用斜二测画法得到的直观图，其中，，，，，则 （1）四边形中______； （2）四边形的面积为______． 20．在中，角所对边分别为，若. (1)证明：为等边三角形； (2)若（1）中的等边边长为2，试用斜二测法画出其直观图，并求直观图面积. 注：只需画出直观图并求面积，不用写出详细的作图步骤. 【经典例题六 棱锥表面积的有关计算】 21．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 22．（多选）正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体．则（    ） A．是正六面体 B．正方体的边长为2 C．与正方体的表面积之比是 D．平面与相交所得截面的面积是 23．四面体的四个面的面积之和称为该四面体的全面积.过全面积为500的四面体的每个顶点，作一个平面与另外三个顶点所在平面平行，则由作出的这四个平面所围成的新的四面体的全面积是___________. 24．如图一，将边长为2的正方形剪去四个全等的等腰三角形后，折成如图二所示的正四棱锥.记该正四棱锥的斜高为（侧面三角形的高），. (1)求证：； (2)将折起来后所得正四棱锥的表面积记为，请将表示为的函数，并求的范围. 【经典例题七 台体体积的有关计算】 25．如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，平面经过和，平面经过和，则该正方体处于平面之间部分的体积为（   ） A． B．4 C． D． 26．（多选）正四棱台中，上底面的边长为2，下底面的边长为4，棱台高为，则下列结论正确的是（    ）    A．该四棱台的体积为 B．该四棱台的侧棱长为2 C． D．几何体是三棱柱 27．已知圆台的体积为，上底面半径为1，母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台的下底面半径为________. 28．正四棱台的下底边长，它的内切球半径为3． （1）求正四棱台的表面积； （2）求与底面所成角的正弦值． 【经典例题八 圆台表面积的有关计算】 29．一封闭圆锥容器的轴截面是边长为3的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为（   ） A． B． C． D． 30．（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（    ） A．高为 B．母线长为3 C．表面积为14π D．体积为 31．一个圆锥的底面直径为4，高为，过圆锥高的中点作平行于底面的截面，该截面截去了一个圆锥，则剩下几何体的表面积为______. 32．如图，一块扇形铁皮，半径厘米，圆心角，现剪下一个扇环做圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底面）． (1)应取多少厘米？ (2)制作这样一个没有上底的圆台形容器需要多少平方厘米的铁皮？（不计连接处损耗） 【经典例题九 球的体积的有关计算】 33．在正四棱锥中，，过A，C，D三点的球的体积最小时，球被平面所截截面的面积为（    ） A． B． C． D． 34．（多选）某人按照比例建出一个球形景观模型，使得景观的最大圆截面面积是模型的10000倍，则（    ） A．该人制作模型按照的比例为 B．景观与模型的表面积之比为 C．景观与模型的体积之比为 D．景观与模型的最大圆截面周长之比为 35．理想状态下，在一个底面直径和高均为的圆柱形石材中，挖去一个半径为的球体后，剩余石材最多还能打磨出_____个体积最大的小球.（参考数据：） 36．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等，在推导半径为R的球的体积公式时，可以先构造如下如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面内，然后挖去一个圆锥后运用祖暅原理来推导，请你把如图补充完整并写出球的体积公式的证明. 【经典例题十 多面体与球体内切外接问题】 37．棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 38．（多选）若四面体各棱长均为1或2，但不是正四面体，则该四面体外接球的表面积可能为（   ） A． B． C． D． 39．已知三棱锥为正三棱锥，，若为正三棱锥的外接球球面上的一个动点，为内切圆上的一个动点，则的最大值为_____. 40．如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中（球未画出），使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若球的表面积为. (1)求正方体的棱长； (2)若四棱锥的四条侧棱、、、分别与上底面交于点、、、，求几何体的体积和表面积. 【经典例题十一 由平面的基本性质作截面图形】 41．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，过点作正方体的截面，则截面的形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 42．（多选）如图，正方体中，其棱长为3.，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，截面是一个多边形.则（    ） A．截面和面的交线与截面和面的交线等长 B．截面是一个五边形. C．截面是一个梯形. D．截面在顶点处的内角的余弦值为 43．如图，在直三棱柱中，，，，，（，）.记，当取最小时，过点，，作三棱柱的截面，则截面面积为______. 44．如图所示，正方体的棱长为a． (1)过正方体的顶点，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积； (2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长； (3)设正方体外接球的球心为O，求三棱锥的体积． 【经典例题十二 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 45．在四棱锥中，，过直线的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱交于点E，则（    ） A． B． C． D． 46．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，过且与平行的平面交于点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线与所成角正切值为2 D．直线与所成角正切值为 47．已知正方体的棱长为2，点，分别在棱与线段上，，在线段上，若//平面，则__________. 48．如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)已知点在上满足平面，求的值. 【经典例题十三 面面平行证明线面平行】 49．在三棱柱中，点在棱上，且，点在棱上，且为的中点，点在直线上，若平面，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 50．（多选）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 51．在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是________． 52．几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由. 【经典例题十四 由线面角的大小求值】 53．已知正方体的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，直线与平面ABCD所成角为，为正方形的中心，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 54．（多选）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ） A． B．与平面所成的角为 C．与平面所成的角为 D． 55．如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且．若与平面所成的角分别为，，则的面积的最大值和最小值之和为___________． 56．如图，已知四棱锥，底面是矩形，，点是棱上一劫点（不含端点）. (1)求证：平面平面； (2)当且时，若直线与平面所成的线面角，求点的运动轨迹的长度. 【经典例题十五 面面垂直证线面垂直】 57．在边长为的菱形ABCD中，，E为BD中点，将绕直线BD翻折到，使得四面体外接球的表面积为，则此时直线与平面BCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 58．（多选）棱长为1的正方体，E是的中点，P是平面上的动点，平面与平面的交线为l，则（    ） A．EP的最小值为1 B．的最小值为 C．存在一点P，使得 D．在点P运动过程中，l不可能与AD平行 59．如图，四面体的顶点在平面上，侧棱平面，且两两垂直且长度均为，是中点，是线段上的动点，过点作平面的垂线交平面于点，则的取值范围为______． 60．如图，在四棱锥中，，，，平面平面，，平面和平面的交线为，且. (1)求证：平面； (2)若直线和平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角的正切值. 【经典例题十六 由二面角大小求线段长度或距离】 61．边长为的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为分别是对角线和上的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．（多选）在中，，，是有一个角是30°的直角三角形，若二面角是直二面角，则DC的长可以是（    ） A． B． C． D． 63．已知是大小为的二面角内一点，到，的距离分别为3和4，则点到棱的距离为_________． 64．如图，棱长为的正方体的顶点在平面内，三条棱都在平面的同侧.    (1)若平面与平面所成的二面角为，求顶点到平面的距离的最大值； (2)若顶点到平面的距离分别为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $