河南省高一数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版必修第二册第八章

**基本信息** 结合《九章算术》“刍甍”“阳马”等传统文化素材与胶囊、金属容器等生活情境，设计多层次立体几何问题，覆盖空间线面关系、几何体体积表面积等核心知识，培养空间观念与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|线面位置关系、斜二测画法、圆柱与正四面体|原创斜二测画法直观图面积题，结合方斗体积实际应用| |多选|3/18|空间几何体结构、三棱柱中点线面关系|辨析圆锥截割、直角梯形旋转形成的几何体，考查推理能力| |填空|3/15|组合体表面积、正方体动点轨迹、翻折体积最大|胶囊表面积计算，正方体中面平行的点轨迹问题| |解答|5/77|四棱锥体积、翻折面面垂直、球的表面积|金属容器体积与制作费用计算，翻折过程中体积最大值探究|

河南省高一数学下学期阶段测试 （人教A版必修二第八章） （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则是异面直线 D．若，则或是异面直线 2．如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 3．（原创）如图，这是用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中，则△ABC的面积为（   ） A． B． C． D．20 4．如图，圆柱的表面积为，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为（   ） A． B． C． D． 5．“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出18.2kg米后，米的高度下降一半，则剩余米的质量为（   ）    A．6.1kg B．9.1kg C．12.2kg D．13.65kg 6．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，△ABC满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 7．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面ABCD为矩形，面ABCD，记该刍甍的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则（   ） A．1 B． C． D． 8．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（原创）下列命题不正确的是（    ） A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点，这三点的连线都可以构成直角三角形 C．直角梯形绕其下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台 D．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 10．如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的有（    ） A．四点共面 B．三线共点 C．此三棱柱的各面所在的平面将空间分成21部分 D．在空间，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一个平面 11．如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．截面是平行四边形 B．若，则 C．存在点，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。 12．某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 13．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． （13题） （14题） 14．如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将△ADE沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 16．（15分）如图是一个无盖金属容器的直观图，它的上部是一个正四棱柱形物体，底面边长为40厘米，高为80厘米．下部是一个四棱台形物体（四棱台的底面与四棱柱的底面重合），下底面边长为50厘米，侧棱长为10厘米．（结果精确到1厘米，参考数据：） (1)求金属容器的体积； (2)若制作金属容器的费用为80元/平方米，求制作一个这样的金属容器需要多少元？ 17．（15分）如图所示，在直角△ABC中，，，，取的中点为D，将沿翻折到的位置，使得． (1)求证：平面平面；(2)求点D到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面分别是棱的中点. (1)求证：；(2)求证：平面； (3)若四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，记平面平面，求直线与所成角的余弦值. 19．（17分）如图所示，在直角梯形BCEF中，，，A，D分别是BF，CE上的点，且，，（），，将四边形沿向上翻折，连接BE，BF，CE，在翻折的过程中，设（），记几何体体积为V． (1)求证：平面； (2)若平面⊥平面．①求证：； ②当取得最大值时，求V的值． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省高一数学下学期阶段测试（人教A版必修二第八章） 参考答案 1．D 【详解】对于A，若，则或相交或是异面直线，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，当平面α与β相交时，m与n可能相交，故C错误； 对于D，若，则直线m, n无公共点，所以或是异面直线，故D正确。 2．D 【详解】∵直线，且，所以，由，则； 又因为且.所以.所以与的交线必通过点和点. 3．A 【详解】由斜二测画法得，的边，边上的高， 所以的面积为. 4．B 【详解】 连接，，，因为四面体ABCD为正四面体，所以，设， 在中，，，， 在，，， 故圆柱的表面积为，解得.故． 5．C 【详解】从“方斗”中取出18.2kg米后，米的高度下降一半至平面处，    由题意可知正四棱台和的高相等，设为． 因为，，则， 可得，． 设剩余的米的质量为，则，解得． 6．D 【详解】 设球的半径为，取的中点，连接. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且， 球心O是的中点，，. 在中，，， 在中，，， 在中，，. 又，平面，平面， ，平面，点到底面的距离为. 7．C 【详解】 如图，在上分别取，连接， 因为面ABCD，可得，所以可得到三棱柱， 由图可得：，则， 因为三棱锥的体积为，所以， 则三棱柱的体积为， 再由，则， 因为三棱锥的体积为，所以， 则四棱锥的体积为， 所以该刍甍的体积为， 又因为，所以. 8．D 【详解】若，又平面，平面，所以平面， 这与平面矛盾，所以不存在点，使得，故A错误； 当移动到点时，可得，平面，平面， 所以平面，故存在点，使得平面，故B错误； 若对于任意点，，又四边形为长方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又底面，所以，又， 这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾， 所以对于任意点，不成立，故C错误； 由正方形，可得， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 9．ACD 【详解】对于A，只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台，所以A错误 对于B，因为顶点和底面圆心的连线与底面圆垂直，底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点的连线在底面圆内， 由线面垂直的性质可知B正确， 对于C，直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示，所以C错误， 对于D，由四棱柱的性质可知D错误． 10．ABC 【详解】对于A，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，故A正确； 对于B，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故B正确； 对于C，先考虑侧面，3个侧面将空间分为7部分，再考虑两个底面，两个底面切割后将空间分为个部分，C正确； 对于D，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一条经过重心且垂直于平面的直线，D错误. 11．AD 【详解】如图： 对A：设平面交棱于点，连接，. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 同理，所以四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，故A正确； 对B：因为，，所以，. 又和中，，，. 所以，所以，. 连接，，则， 且， ， ， 所以，又，所以，所以，故B错误； 对C：假设存在点，使得截面为长方形. 设，则，. 由， 即或. 这与矛盾，所以假设错误.故不存在点，使得截面为长方形.即C错误； 对D：设，，则，， 在中，由余弦定理，， 所以. 所以. 所以截面四边形的面积为， 所以当时，截面的面积最小，为.故D正确. 12． 【详解】设中间圆柱部分的高为，则胶囊的体积，解得， 所以胶囊的表面积为. 13． 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以，同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，，所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界），所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上， 又正方体的棱长为2，所以，则， 故点轨迹长度为. 14． 【详解】依题意，，正三角形的高为，则到的距离与梯形的高均为. 三棱锥的体积，其中， 是到底面的高，由图知，当且仅当平面平面时，最大（），此时其体积最大. 又因是等腰梯形，为圆内接四边形，其外心必在对称轴（中点到中点的连线）上，而. 设四棱锥的底面外接圆半径为，外心到的距离为， 由勾股定理： 将代入可得，解得， 因.则可知棱锥底面外接圆圆心就是中点，且，即. 外接球的球心必在过底面外心且垂直于底面的直线上， 设，外接球半径为，则：. 由平面平面，，得底面，， 且.由勾股定理得：， 代入得：， 化简得：.因此， 外接球表面积：. 15.【详解】（1）在中，分别是和的中点，， ……2分 又平面平面平面． ……5分 （2）由题意得点到平面的距离为2即三棱锥的高为2， ……7分 四边形是正方形，， ……9分 三棱锥的体积为． ……11分 三棱锥的体积为． ……13分 16．【详解】（1）有体积公式得， ……2分 又 ……5分 所以 所以容器的体积． ……7分 （2）由题意知， 又四棱台的侧面梯形的高为， ……9分 所以． ……11分 又 所以金属容器的表面积为． ……13分 又金属容器的费用为80元/平方米， 所以制作一个这样的金属容器需要元． ……15分 17．【详解】（1）在直角中，，，， 所以， 因为为中点，所以， 取AD的中点为E，连接PE，CE，由为边长为2的等边三角形得，， 在中，，，，由余弦定理可得 ， 所以， ……3分 因为，所以，即， 又因为，且，所以平面 因为平面，所以平面平面； ……5分 （2）由（1）可知，平面，则， 所以， 在中，，，， 由余弦定理，， 所以， ……8分 ， 因为，则点D到面的距离为；……10分 （3）过点C作AD延长线的垂线，垂足为Q，连接PQ，由（1）知 因为平面平面，且平面平面，，所以平面， 故为直线PC与平面PAD所成角， ……12分 在中，，，， 在中，，，由勾股定理：， ，即直线PC与面PAD所成角的余弦值为．……15分 18．【详解】（1）连接，如图所示，因为底面是边长为2的正方形，所以， 又平面平面，所以， ……2分 又平面，所以平面， 又平面，所以. ……4分 （2）取的中点，连接，如图所示，又是棱的中点，所以， 又底面是边长为2的正方形，是棱的中点，所以， ……6分 ，所以，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. ……8分 （3）由（2）知平面，又平面平面平面，所以，所以， 取的中点，连接，则，所以或其补角为直线与所成的角. 因为四棱锥的所有顶点都在球的球面上， 所以球的半径， ……11分 所以球的表面积，解得. 记，连接，又平面平面， 所以，所以， ……13分 所以，…15分 由余弦定理得， 即直线与所成角的余弦值为. ……17 分 19．【详解】（1）根据题意可知，， 因为平面DCE，平面DCE，所以平面， 同理，因为平面，平面，所以平面， ……2分 又因为是平面内的两条相交直线，所以平面平面， 因为平面，所以平面； ……4分 （2）①证明：过点C作⊥交于点H， 因为平面⊥平面，平面平面，所以⊥平面， 又平面，则⊥； 根据题意平面图形翻折后⊥，⊥，且，是平面内两条相交直线， 所以⊥平面，又，得⊥平面， ……7分 又平面，则BF⊥BC， 因为CH，BC是平面BCE内两条相交直线，所以⊥平面； ……9分 ②直角梯形中，，，且， 由①可知⊥平面， 由（1）可知由题意平面平面， 所以E到底面的距离为， 在中，设点E到DC的高为，即EK⊥CD， 因为BC⊥平面CDE，所以BC⊥EK， 因为，所以EK⊥平面ABCD， ……11分 设点E到底面ABCD的高为EK， 在中，根据三角形的面积公式 ，因此． 几何体EFABCD的体积为 ，……13分 取DE的中点S，连接SC， 因为，，所以四边形是平行四边形，所以，， 因为⊥平面，所以⊥平面，又因为平面，所以⊥， 在中，， 在中，， ……15分 在中，，因此，化简得到， 因为，，所以，当且仅当时等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值，， 所以几何体体积． ……17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号 题型 分值 难度系数 核心考点 1 单选题 5分 0.85 线面关系有关命题的判断；面面关系有关命题的判断 2 单选题 5分 0.9 平面的基本性质及辨析 3 单选题 5分 0.9 斜二测画法中有关量的计算 4 单选题 5分 0.60 锥体体积的有关计算；圆柱表面积的有关计算 5 单选题 5分 0.65 台体体积的有关计算 6 单选题 5分 0.65 求点面距离；多面体与球体内切外接问题 7 单选题 5分 0.60 柱体体积的有关计算；锥体体积的有关计算；求组合体的体积 8 单选题 5分 0.60 证明面面垂直；判断线面平行 9 多选题 6分 0.85 由平面图形旋转得旋转体；圆柱的结构特征辨析；圆锥的结构特征辨析； 10 多选题 6分 0.65 空间中的点（线）共面问题；求平面轨迹方程；空间中的线共点问题； 11 多选题 6分 0.5 锥体体积的有关计算；由平面的基本性质作截面图形；余弦定理解三角形 12 填空题 5分 0.75 柱体体积的有关计算；球的体积的有关计算；球的表面积的有关计算；求组合体的体积 13 填空题 5分 0.65 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置；证明线面平行 14 填空题 5分 0.5 锥体体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题 15 解答题 13分 0.85 锥体体积的有关计算；证明线面平行 16 解答题 15分 0.85 柱体体积的有关计算；棱柱表面积的有关计算 17 解答题 15分 0.60 求点面距离；求线面角；证明面面垂直；余弦定理解三角形 18 解答题 17分 0.60 球的表面积的有关计算；证明线面平行；证明线面垂直；求异面直线所成的角 19 解答题 17分 0.4 证明线面平行；线面垂直证明线线垂直；锥体体积的有关计算；基本（均值）不等式的应用；证明线面垂直 学科网（北京）股份有限公司 $