专题8.8 立体几何初步易错必刷题型专训（80题20个考点） -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题8.8 立体几何初步易错必刷题型专训（80题20个考点） 【易错必刷一 棱柱的结构特征和分类】 1．如果一个长方体的长、宽、高分别是4，5，3，则它的体对角线为（   ） A．50 B．60 C． D． 【答案】D 【分析】利用长方体的几何性质即可求解. 【详解】如果一个长方体的长、宽、高分别是4，5，3，则它的体对角线为； 故选：D 2．（多选）下列有关平行六面体的命题正确的是（   ） A．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 B．平行六面体的八个顶点在同一球面上 C．平行六面体的四个侧面不可能都是矩形 D．平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面 【答案】AD 【分析】由平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱, 可判断选项A；由圆内接四边形对角互补，可判断选项B；只有平行六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，可判断选项C；根据平行六面体定义， 可判断选项D. 【详解】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱,所以平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形,故A正确； 若平行六面体的8个顶点在同一球面上，则平行四边形四个顶点在一个圆周上， 而圆的内接四边形对角互补，而平行四边形对角不一定互补，故B错误； 平行六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，故C错误； 根据平行六面体定义可知，平行六面体中任意两个相对的面都可以当作它的底面，故D正确. 故选：AD. 3．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长相等且和为60cm，则每条侧棱长为__________cm． 【答案】12 【分析】由棱柱的结构特点判断为几棱柱即可求解； 【详解】因为棱柱有10个顶点， 所以棱柱为五棱柱，共有5条侧棱， 又每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm． 故答案为：12 4．如图所示，三棱柱中，平面与其余的面之间有什么位置关系？ 【答案】答案见解析 【分析】结合三棱柱的几何特征结合面面位置关系分别判断即可. 【详解】几何体为三棱柱， 平面与平面平行. 平面与平面有公共直线， 平面与平面相交. 同理可得平面与平面及平面均相交. 【易错必刷二 棱锥的结构特征和分类】 5．下列说法中，正确的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥 【答案】D 【分析】根据棱锥的结构特征可判断ABC；根据正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长可判断D. 【详解】对于A，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如下图， 所以A错误； 对于B，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点， 所以B错误； 对于C，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为 底面等边三角形的中心，所以C错误； 对于D，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知， 若以正六边形为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确. 故选：D. 6．（多选）在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，正确的是(　　) A．不能构成每个面都是等边三角形的四面体 B．不能构成每个面都是直角三角形的四面体 C．能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体 D．能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体 【答案】CD 【分析】作出正方体，再举例说明各个选项即可. 【详解】如图所示的正方体， 对于A，四面体的每个面都是等边三角形，A错误； 对于B，四面体的每个面都是直角三角形，B错误； 对于C，四面体的三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形，C正确； 对于D，四面体的三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形，D正确． 故选：CD 7．通过延长圆台的任意一条母线都可以使它们交于一点，从而得到一个圆锥.如图，这样的几何体是否也可以通过延长棱的方法得到一个棱锥？______.（请从“可以”、“不一定”、“不可以”里面选一个填入） 【答案】不可以 【分析】根据题意，利用棱台的定义即可判断. 【详解】如图，将该几何体的四条侧棱延长，没有能够交于同一点. 因此，虽然该几何体的上下底面平行， 但它仍然不是棱台，四条侧棱所在直线不能交于同一点. 综上所述，这样的几何体不可以通过延长棱的方法得到一个棱锥. 故答案为：不可以. 8．空间四边形中，分别是的中点.求证:． 【答案】证明见解析. 【分析】取AC中点P，连接，由中位线定理可知，结合三角形两边之和大于第三边，即可证明． 【详解】因为分别为中点，取AC中点P，连接，如图， 在中， ，在中，，因此， 又在中，由三角形两边之和大于第三边可知：， 所以. 【易错必刷三 棱台的结构特征和分类】 9．下列叙述正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【分析】根据棱台的定义以及性质，即可得出答案. 【详解】对于A，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，A错误； 对于B，C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，B，C错误；    对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确. 故选：D. 10．（多选）下面对正三棱台的描述一定正确的有（    ）． A．上下底面平行 B．侧面是等腰梯形 C．所有棱长都相等 D．延长正三棱台的各条侧棱，它们相交于一点 【答案】ABD 【分析】根据正三棱台的定义和几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，正三棱台的上下底面平行，故A正确； 对于B，正三棱台的侧面是等腰梯形，故B正确； 对于C，所有棱长不是都相等的，故C错误； 对于D，延长各条侧棱，相交于一点，故D正确． 故选：ABD. 11．五棱台的顶点数为，棱数为，面数为，则______． 【答案】2 【分析】根据题意，由棱台的结构特征求出、、的值，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，五棱台中，，，， 则． 故答案为：2． 12．下面两个空间图形是棱台吗？简述理由. 【答案】详见解析. 【分析】利用棱台的概念即得. 【详解】两个空间图形都不是棱台，因为左侧图形虽然两底面平行，但侧棱延长后不能相交于一点；右侧图形虽然侧棱延长后相交于一点，但两底面不平行，所以两个图形都不是棱台. 【易错必刷四 圆柱的结构特征辨析】 13．某品牌的有芯卷筒卫生纸是将卫生纸绕在圆柱形的空心纸筒上，未使用时整卷卫生纸的直径为，其中中间空心纸筒的直径为；若该品牌卫生纸每张的厚度是，且某人每次使用长的卫生纸，则一整筒卫生纸他大约可以使用的次数为（    ） A．66 B．132 C．264 D．314 【答案】B 【分析】根据题意求整卷卫生纸的长度，进而可得结果. 【详解】该卷筒卫生纸的层数， 最里一层的周长为cm，最外一层的周长为cm， 整卷卫生纸的长度为， 所以他可用的次数约为（次）. 故选：B. 14．（多选）用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（    ） A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．圆 D．椭圆 【答案】CD 【分析】分平面与底面平行和平面与底面的夹角为锐角两种情况，得到图形为圆和椭圆. 【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆， 若平面与底面的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆. 故选：CD 15．已知圆柱底面半径为1，高为2，是上底面圆的一条直径，为下底面圆的一条动弦且与平行，设与的距离为，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】作出辅助线，当与重合时，最小，此时，当越接近于时，越大，故的取值范围是. 【详解】如图所示，点为上底面的圆心，下底面的直径为，为下底面的圆心， 连接，则， 过点作⊥，交圆于点，则， 连接，由勾股定理得， 当与重合时，最小，此时， 当越接近于时，越大，故的取值范围是.    故答案为： 16．一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是什么图形？如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状又会是什么图形？请分别画出以上两种情形的示意图． 【答案】答案见解析 【分析】水平放置的圆柱，水平截面形状为圆；如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状是矩形. 【详解】一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是圆，如图： 把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状是矩形，如图： 【易错必刷五 圆锥的结构特征辨析】 17．在中，，D为BC的中点，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体为（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 【答案】B 【分析】由已知，先判定，然后根据题意结合圆锥的定义即可做出判断. 【详解】由题意知，为等腰三角形，，D为BC的中点，所以，所以满足：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体为圆锥，该几何体为圆锥. 故选：B. 18．（多选）下列说法正确的是（    ） A．多面体至少有四个面 B．平行六面体六个面都是平行四边形 C．长方体、正方体都是正四棱柱 D．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥 【答案】AB 【分析】根据多面体的定义，平行六面体、正四棱柱、圆锥的定义判断． 【详解】多面体至少是四面体，至少有四个面，A正确； 平行六面体的每个面都是平行四边形，B正确； 长方体的底面不一定是正方形，因此不一定是正四棱柱，C错； 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥，如果以斜边所在直线为轴旋转形成的不是圆锥．D错． 故选：AB． 19．圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______． 【答案】3 【分析】根据圆锥底面圆的半径为1得到侧面展开图扇形的弧长为，然后根据侧面展开图扇形的圆心角为列方程，解方程即可得到圆锥的母线长. 【详解】因为圆锥底面圆的半径为1，所以侧面展开图扇形的弧长为， 设圆锥的母线长为，因为侧面展开图扇形的圆心角为，所以，解得，所以此圆锥的母线长为3. 故答案为：3. 20．一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是半圆，求该圆锥的高． 【答案】 【分析】设圆锥的底面的半径为，圆锥的母线为，由它的侧面展开图是一个半圆，结合圆锥的表面积，构造方程，即可求解． 【详解】设圆锥的底面的半径为，圆锥的母线为， 由题意可得，得， 又由圆锥的表面积为，解得， 所以该圆锥的高为． 【易错必刷六 圆台的结构特征辨析】 21．圆台上、下底面积分别为和，母线长为5，则其轴截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得圆台轴截面的各边长，即可利用梯形面积公式求得该轴截面面积. 【详解】圆台上、下底面积分别为和， 则圆台上、下底面半径分别为6和7，又圆台母线长为5， 则其轴截面为上底长为12，下底长为14，腰长为5的等腰梯形，其高为， 则该等腰梯形面积为 故选：B 22．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．圆锥被一个平行于底面的平面截去顶部的小圆锥后，剩余部分是圆台 B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆柱的母线与它的轴可以不平行 D．一个多面体至少有4个侧面 【答案】BCD 【分析】根据圆台的概念判断A，根据棱柱的概念判断B，根据圆柱的概念判断C，根据多面体的定义判断D． 【详解】对于A，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故选项A正确； 对于B，满足条件的几何体可能是组合体，故B错误； 对于C：圆柱的母线与它的轴平行，故C错误； 对于D，三棱锥为多面体，但只有3个侧面，所以D错误． 故选：BCD． 23．圆台的两底面半径分别为2，5，母线长是，则其轴截面面积是__________． 【答案】63 【分析】求出圆台高，由梯形面积公式可得. 【详解】设圆台的高为h，则， 轴截面面积． 答案：63 24．如图，圆台的上底面圆半径和高均为1，母线长为，平面为圆台的轴截面，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用圆台的性质以及平行四边形的判定法则证明平面是平行四边形，即可证明． 【详解】证明：如图，过点作的垂线，垂足为． 因为圆台的高为1，母线长为，所以， 易知，所以圆台的下底面圆半径为2，所以， 因为圆台的上底面圆半径为1，所以． 因为平面为圆台的轴截面，所以， 所以平面是平行四边形， 故． 【易错必刷七 球的截面的性质及计算】 25．球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】利用即可求解. 【详解】因为球的截面面积是，故截面圆的半径， 设球心到截面的距离是，则解得. 故选：C 26．（多选）下列叙述正确的是（    ） A．球的半径是球面上任意一点与球心的连线段； B．球的直径是球面上任意两点间的连线段； C．用一个平面截一个球，得到的是一个圆； D．不过球心的截面截得的圆面的半径小于球的半径. 【答案】AD 【分析】由球的定义和截面性质可逐项判断得可得答案. 【详解】由球的定义可得A是正确的；因为直径一定过球心，故不对； 用平面截球，得到的是一个圆面，而不是一个圆，不对. 由球的定义可得过球心的截面的最大的截面，且截面的半径就是球的半径，故D正确. 故选：AD. 27．在球中，一条直径AB垂直于小圆所在的平面，垂足为.若，则小圆的半径为____________. 【答案】4 【分析】作球的大圆截面，根据圆的有关性质可求截面圆的半径. 【详解】经过球心，截面圆心作球的截面，如图： 球的直径为，所以球的半径为. 在中，，，所以. 所以小圆的半径为4. 故答案为：4 28．已知球的半径为10 ，若它的一个截面圆的面积为，求球心与截面圆圆心的距离（）. 【答案】8 【分析】根据球心到球的截面圆圆心的连线垂直于圆面的性质即可得解. 【详解】    如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R. 由图易得与圆面垂直， 在中，由可得 ，又 ， 所以 ()，即球心与截面圆圆心的距离为8 . 【易错必刷八 斜二测画法辨析】 29．下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【答案】D 【分析】根据正方体的直观图可判断；利用矩形邻边满足的直观图可判断,易知正确. 【详解】如图，由正方形的直观图是平行四边形可知错误，易知正确. 项，如图，矩形的邻边满足, 其直观图的邻边是相等的，故错误. 故选：D. 30．（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．三角形的直观图是三角形 B．平行四边形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是正方形 D．菱形的直观图是菱形 【答案】AB 【分析】根据斜二测直观图的画法规则，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由斜二测直观图的画法规则，平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变， 可知三角形的直观图还是三角形，故A正确； 平行四边形的直观图仍然是平行四边形，故B正确； 正方形和菱形的直观图是平行四边形，故CD错误； 故选：AB. 31．已知正三角形ABC的直观图的面积为，则正三角形ABC的边长为_______． 【答案】4 【分析】利用斜二测画法中直观图与原图中各量的关系经计算得解. 【详解】如图，是用斜二测画法规则所画的正的直观图，是的高， 由斜二测画法规则知：， 解得， 所以正三角形ABC的边长为4. 故答案为：4 32．如图，在斜二测画法下被画成正三角形，请画出的真正图形． 【答案】作图见解析 【分析】利用斜二测画法概念进行还原图形即可． 【详解】如图，即为所求图形． 作图过程： 过C作CD⊥AB于D，延长DA到O，使得DO＝DC，连接OC，则∠COD＝45°． 过O作Oy⊥OB，并以Oy作为y轴，OB作为x轴， 在y轴正半轴取，使得，连接、， 则根据斜二测画法的原理可知即为真正的图形． 【易错必刷九 棱台表面积的有关计算】 33．如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ） A．640元 B．512元 C．390元 D．347.5元 【答案】B 【分析】首先根据已知条件求出侧面的高，然后求出侧面的面积，然后求出该四棱台的总的表面积，进而可求出该零部件的防腐处理费用. 【详解】因为正四棱台中，，高为8cm， 则侧面的斜高为. 所以. 所以该四棱台的表面积为， 又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元， 所以该部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 34．（多选）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的表面积是 D．该正六棱台的高是 【答案】ACD 【分析】画出该几何体，利用已知条件分别计算正六棱台的上底面积、侧面面积、表面积、正六棱台的高即可. 【详解】如图在正六棱台中，    因为， 所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为： ， 所以梯形的面积为：， 故正六棱台的侧面积为: ，故B选项错误； 由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成， 所以该正六棱台的上底面积为：，故A正确； 同理下底面积为：， 所以该正六棱台的表面积是,故C正确； 正六棱台的高为，D正确. 故选：ACD. 35．在正四棱台中，，，，则该棱台的表面积为______． 【答案】/ 【分析】过作，求出四棱台的侧面面积、上下底面积可得答案. 【详解】如图，过作，垂足为， 所以为四棱台的侧面的高，   因为， 则，, ， 所以正四棱台的侧面积为， 正四棱台的上底面积为，正四棱台的下底面积为， 则该棱台的表面积为. 故答案为：.    36．一个正三棱台的下底和上底的周长分别为和，而侧面积等于两底面积之差，求斜高． 【答案】 【分析】首先求出上下底面的边长，即可求出两底面积之差，从而得到侧面一个等腰梯形的面积，再根据梯形的面积公式计算可得. 【详解】解：几何体为正三棱台，可知上、下底为正三角形， 因为下底和上底的周长分别为和， 所以上底面的边长为， 下底面的边长为， 所以底面积之差为， 所以三侧面的面积和为， 则单个面积为，即， 又因为侧面为梯形，设斜高，所以面积， 解得， 所以斜高为． 【易错必刷十 柱体体积的有关计算】 37．将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为，，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用一个相同的几何体倒置放在这个几何体上方，得到一个圆柱，再根据圆柱的体积公式求解即可. 【详解】用一个相同的几何体倒置放在这个几何体上方， 得到一个底面圆的半径为，高为的圆柱， 所以所求几何体的体积. 38．（多选）圆柱的侧面展开图是长6cm，宽4cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由已知可求出圆柱的高和底面半径，从而可求出圆柱的体积 【详解】因为圆柱的侧面展开图是长6cm，宽4cm的矩形， 所以当圆柱的高为4cm，则底面周长为6cm，设底面半径为，则 ，得， 所以此时圆柱的体积为， 当圆柱的高为6cm，则底面周长为4cm，设底面半径为，则 ，得， 所以此时圆柱的体积为， 综上，圆柱的体积可能为或， 故选：AC 39．如图，一个啤酒瓶的高度为，瓶中装有高度的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为_____.（瓶底的厚度不计） 【答案】 【分析】由于瓶子的容积不变，瓶中水的体积也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积，用右图上部分规则的空气体积来代替, 设瓶的底面积为，分别表示出，，即可求体积之比. 【详解】虽然啤酒瓶的形状不规则，但是瓶子的下部可视圆柱体，由于瓶子的容积不变， 瓶中水的体积也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积， 用右图上部分规则的空气体积来代替． 设瓶的底面积为，则，，， 所以. 故答案为： 40．一座底是长方形、屋顶是正三棱柱的仓库，尺寸如图标注（单位：米），求这座仓库的容积（墙厚略去不计）．    【答案】立方米． 【分析】根据三棱柱和长方体的体积公式求解即可. 【详解】下部长方体的体积（立方米）， 上部正三棱柱的体积（立方米）， 仓库的容积（立方米）． 故答案为：立方米． 【易错必刷十一 锥体体积的有关计算】 41．已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的体积公式计算即可. 【详解】解：设正四棱锥的底面边长为， 故正四棱锥的体积为，解得， 故该正四棱锥的底面边长为. 故选：B 42．（多选）已知是以B为直角的三角形，，，将绕边旋转一周，所得几何体的体积可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用圆锥的体积公式，按旋转轴分类计算体积即可. 【详解】在直角中，，，则斜边，斜边上的高， 以直线为轴所得圆锥体积； 以直线为轴所得圆锥体积； 以直线为轴所得圆锥体积， 所以几何体的体积可能为. 故选：BC 43．若两个体积相等的圆锥底面半径之比为2：1，则它们对应的高之比为______． 【答案】 【分析】代入圆锥的体积公式，即可求解. 【详解】设两个底面圆的半径分别为和，高分别为和， 由条件不妨设，， 所以. 44．如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相似得到，代入体积公式计算即可. （2）根据体积的关系结合圆锥体积公式解方程得到答案. 【详解】（1）设水形成的圆锥底面半径为， 如图，由相似性可知，则， ； 故水的体积为. （2）由相似性可得，则， ， 化简得，解得. 故约为. 【易错必刷十二 圆柱表面积的有关计算】 45．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱轴截面的性质，判断圆柱的高和地面半径，求出圆柱表面积. 【详解】 如图，由题意可知，面积为4的正方形边长为2，则圆柱高是2，上下底面半径是1， 则底面周长为，所以. 故选：A. 46．（多选）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据圆柱结构，利用表面积公式求解. 【详解】当圆柱底面半径为，高为时，表面积； 当圆柱底面半径为，高为时，表面积. 故选：CD 47．底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为______． 【答案】 【分析】利用圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】设该圆柱的高为， 则该圆柱的侧面积，表面积， 由题意可得，即，解得， 即该圆柱的高为， 故答案为： 48．如图所示，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆柱，求原圆柱的表面积与挖去圆柱后的几何体的表面积的比值.    【答案】 【分析】利用圆柱表面积公式求出两个几何体的表面积，作比即可解答. 【详解】由题意，知原圆柱的表面积 ， 挖去圆柱后所得几何体的表面积 ， 所以. 【易错必刷十三 求旋转体的体积】 49．某圆环的内外半径分别为2和4，将其绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，几何体体积为大球的体积减去小球的体积，再结合球的体积公式求解． 【详解】解：由题意可知，几何体体积为大球的体积减去小球的体积， 所以几何体体积为． 故选：C． 50．（多选）如图，点分别是直角三角形ABC的边上的点，斜边AC与扇形的弧相切，已知，则关于阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的几何体，下列说法正确的是（    ） A．该几何体是圆锥 B．该几何体的底面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】BD 【分析】根据给定条件，求出斜边上的高，再求出圆锥与半球表面积体积，即可组合得解几何体的表面积体积. 【详解】在中，，则， 由斜边与扇形的弧相切，扇形半径， 阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体是绕直线旋转一周所得圆锥， 挖去扇形弧绕直线旋转一周所得半球，A选项错误； 几何体底面积为，B选项正确； 几何体的表面积为，C选项错误； 所以所求体积为，D选项正确； 故选：BD. 51．如图所示（单位：cm），直角梯形ABCD挖去半径为2的四分之一圆，则图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为__．      【答案】/ 【分析】根据旋转之后的几何体为圆台去掉半球体，根据圆台与球体的体积公式求解即可. 【详解】如图，旋转之后形成的图形为圆台去掉一个半球体    则旋转一周所形成的几何体的体积为. 故答案为：. 52．如图，在中，，以C为圆心的圆弧与相切于点D，将阴影部分绕所在直线旋转一周得到一个旋转体，求这个旋转体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【分析】旋转体的表面包含一个圆锥侧面，一个半球面和一个圆环，旋转体的体积可以看作是一个圆锥挖去一个半球，由已知几何关系，求出、即可求得. 【详解】如图，连接，因为D是切点，是半径，所以， 由已知可得． 阴影部分绕所在直线旋转一周得到的旋转体，可以看作是一个圆锥挖去一个半球所得的几何体，圆锥的底面半径为2，高为，挖去的半球的半径为． 该几何体的表面包含一个圆锥侧面，一个半球面和一个圆环， 所以其表面积， 体积. 【易错必刷十四 空间中的点(线)共面问题】 53．下列命题错误的是（    ） A．不共线的三点确定一个平面 B．一条直线和直线外一点，可确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点可确定一个平面 【答案】D 【分析】由平面的基本性质判断. 【详解】A.由平面的基本性质知：不共线的三点确定一个平面，故正确； B.由平面的基本性质的推论知：一条直线和直线外一点，可确定一个平面，故正确； C. 梯形有一组对边平行，由平面的基本性质的推论知：梯形可确定一个平面，故正确； D. 由平面的基本性质知：当圆心和圆上两点共线时，不能确定平面，故错误； 故选：D 54．（多选）（多选题）在长方体中，直线与平面的交点为M，O为线段的中点，则下列结论正确的是（   ） A．三点共线 B．M，O，，A四点共面 C．B，，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 【答案】ABD 【分析】由长方体性质易知四点共面且是异面直线，再根据与、平面、平面的位置关系知在平面与平面的交线上，同理判断共线，即可判断各选项的正误. 【详解】因为，则四点共面.因为，则平面， 又平面，则点在平面与平面的交线上， 同理，也在平面与平面的交线上， 所以三点共线，M，O，，A四点共面，故选项A、B正确； 三点均在平面内，而点A不在平面内， 所以直线AO与平面相交且点O是交点，所以点M不在平面内， 即四点不共面，故选项C错误； 点M在直线上，点O在直线上，所以A，O，C，M四点都在平面， 所以A，O，C，M四点共面，故选项D正确. 故选：ABD 55．已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若，则______． 【答案】 【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决． 【详解】解：， 即， 整理得， 由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得， 解得， 故答案为：． 56．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 【答案】证明见解析 【分析】如图，取的中点，连接，，由题可得四边形是平行四边形，进而可得，据此可完成证明. 【详解】如图，取的中点，连接，， 则， 在正方体中，，， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面． 【易错必刷十五 异面直线的概念及辨析】 57．已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 【答案】D 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面,则可能平行（图1）,也可能相交（图2）,也与可能异面（图3）, 故选：D. 58．（多选）如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BD 【分析】判定异面直线的方法：①根据它的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．”②定义法：不在任何同一个平面内的．两条直线称为异面直线；③反证法：既不平行又不相交的直线即为异面直线；逐项判断即可得结论． 【详解】异面直线的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．” 根据异面直线的判定定理可知：在图②④中，直线、是异面直线； 在图①中，由、均为棱的中点可知：； 在图③中，、均为棱的中点，四边形为梯形，则与相交． 故选：BD． 59．直线为异面直线，直线为相交直线，则直线的位置关系是__________． 【答案】相交或平行或是异面直线 【分析】根据给定条件，利用正方体模型，结合空间两条直线的位置关系求解. 【详解】在正方体中，令棱所在直线分别为，如图， 当棱所在直线为时，； 当棱所在直线为时，相交； 当棱所在直线为时，是异面直线， 所以直线的位置关系是相交或平行或是异面直线. 故答案为：相交或平行或是异面直线 60．如图，是单位正方体，红、黑两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，红蚂蚁的爬行路线是，黑蚂蚁的爬行路线是，它们都依照如下规则：所爬行的第段与第n段所在直线必须是异面直线．设红、黑两只蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处，这时红、黑两只蚂蚁的距离是多少？ 【答案】 【分析】根据题意确定红、黑蚂蚁的行走路线，最终确定红、黑两只蚂蚁都走完2005段后各停在的位置，进而确定距离. 【详解】由正方体特点及题意可知：蚂蚁是走完一段，在每个端点只有一条路可走，故红黑蚂蚁的路线唯一确定，由题意及推理得：红蚂蚁的行走路线为，回到A点后继续重复之前的路线. 同理黑蚂蚁的路线为：，回到A点后继续重复之前的路线，红、黑蚂蚁走2005段：，故红、黑蚂蚁走完之后分别停在处，即此时红黑蚂蚁的距离为线段的长度，为. 【易错必刷十六 证明线面平行】 61．已知正方体的棱的中点分别，则下列直线中，与平面和平面的交线平行的直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出平面和平面的交线图，结合中位线定理即可得解. 【详解】设，连接， 而平面，平面， 则平面平面， 作出平面和平面的交线如图所示： 另一方面：由正方形的性质可知分别是的中点， 从而，同理有， 对比选项可知与平面和平面的交线平行的直线. 故选：A. 62．（多选）如图，正方体中，点E，F，G，H，I分别为棱AB，CD，BC，，AD的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】ACD 【分析】连接，即可得到四边形为平行四边形，从而判断A，显然与为相交直线，即可判断B，根据线面平行的判定定理证明C，D； 【详解】解：连接FE，因为E，F为AB，CD的中点，故FE平行且等于AD. 由题意知AD平行且等于，故FE平行且等于，所以四边形为平行四边形，所以，故A正确； 显然与为相交直线，故B错误； 因为，同时在平面内，且不在平面内，所以平面，故C正确； 因为，同时在平面内，且不在平面内，所以平面，故D正确. 故选：ACD. 63．在空间四边形中，E、F、G、H分别是、、、上的点，，则与的位置关系是______ 【答案】平行 【分析】根据题意可得平面，由线面平行的性质即可得到结果. 【详解】因为，平面，在平面外，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 故答案为:平行 64．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】连接，因为四边形为正方形，G是线段的中点， 所以G是线段的中点. 又因为F是线段的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【易错必刷十七 证明面面平行】 65．如图所示，正方体，E在上，F在上，且，过E作交BD于H，则平面EFH与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据面面平行的判定定理：由线线平行推出面面平行. 【详解】在平面中，因为，所以， 由正方体，，所以， 又因为，平面，平面， 平面，平面，，， 所以平面EFH//平面 故选: A. 66．（多选）（多选题）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】先把平面展开图还原为四棱锥，由面面平行的判定可判断A；易知四个侧面两两相交，据此可判断D；再根据线面平行的判定判断BC即可． 【详解】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则， 又平面，平面， 所以平面． 同理可证平面， 又，，平面， 所以平面平面，故选项A正确； 平面，平面，平面，平面是四棱锥的四个侧面， 则它们两两相交，故选项D错误； ，平面，平面， 平面，同理平面，故选项B，C正确． 故选：ABC． 67．如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为______. 【答案】 【分析】首先连接，，，易证平面平面，从而得到平面，即可得到线段的最小值. 【详解】连接，，，如图所示： 在正方体中， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，且， 所以平面平面. 因为与平面无公共点，所以平面， 当时，取得最小值. 因为 所以的最小值为. 故答案为： 68．如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，∥平面. 【答案】证明见解析. 【分析】由已知结合三角形中位线定理及线面平行的判定定理可得可证得∥平面，∥平面，则可证得平面平面，从而可证得平面. 【详解】证明：在四棱锥中，分别为的中点， 所以∥， 因为为的中点，所以 因为 ，所以， 因为∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为分别为的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面. 因为，平面， 所以平面∥平面. 因为平面， 所以∥平面. 【易错必刷十八 求异面直线所成的角】 69．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用几何法确定异面直线夹角. 【详解】由正方体可知，且四边形为正方形， 所以异面直线与所成的角的平面角为， 故选：B. 70．（多选）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（    ） A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 【答案】ABD 【分析】根据异面直线的定义及异面直线的夹角问题可一一判断. 【详解】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误； 由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误； 同理AE与B1C1是异面直线，C正确； AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成为90°，D错误. 故选：ABD. 71．如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为____________. 【答案】/ 【分析】还原正方体，根据正方体面对角线的位置关系，可得解. 【详解】 还原正方体，连接，， 由正方体性质可知，且， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 72．已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥各棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据中位线以及平行四边形的判定可证明为平行四边形，即可由线面平行的判定求解， （2）根据平行可得或其补角即为直线CN与AM所成角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）取的中点为，连接, 由于是中点，故,且， 又且， 故,则四边形为平行四边形， 故平面, 平面, 故平面 （2）由（1）知：故或其补角即为直线CN与AM所成角， 由于为边长为2的等边三角形，故， , 故, 故直线CN与AM所成角的余弦值为 【易错必刷十九 线面垂直证明线线垂直】 73．如图所示，已知是矩形，且平面，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面，易得，结合可证平面可判断A，同理可证平面可判断B，若可得平面，结合平面，则矛盾可判断C，由平面，易得. 【详解】平面，平面，， 又是矩形，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 同理可得，可证平面，可得，故B正确； 又平面，所以，故D正确； 对于C，若，又，平面， 所以平面，又平面，所以与题目矛盾，故C错误. 故选：C. 74．（多选）空间中有三条直线，，，在这三条直线中有对互相垂直的直线，则可能的取值有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC 【分析】借助正方体中的边关系，即可举例求解. 【详解】如图：在正方体中，两两垂直，若，则， 若，则， 若，则, 由于三条直线最多可得三组互相垂直，故不可能为4， 故选：ABC 75．点在平面外，若，则点在平面内的射影一定是的___________. 【答案】外心 【分析】设点在平面内的射影为点，则平面，利用≌≌得，可得答案. 【详解】根据题意画出立体图如图所示： 设点在平面内的射影为点，连接， 则平面，连接， 因为平面，平面，平面， 所以， 又，所以≌≌， 则，所以为的外心. 故答案为：外心. 76．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是圆锥底面的内接正三角形，点在平面内且平面，证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理，需证明垂直于平面内的两条相交直线. 【详解】证明：如图，连接，连接并延长交于点， 因为是底面的内接正三角形，易得为的中点， 所以，即． 因为为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，所以平面， 因为平面，所以． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以．因为平面平面，所以． 因为平面，所以平面． 【易错必刷二十 证明面面垂直】 77．已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法不正确的是（   ） A．若平面，则， B．存在平面，使得，， C．有且只有一对互相平行的平面和，其中， D．至少存在两对互相垂直的平面和，其中， 【答案】A 【分析】由线面关系判断ABD；由线面垂直判定判断C； 【详解】对于A，如下图所示，在正方体中取为，为，为，平面为平面，则，，故A错误； 对于B，在正方体中取为，为，为，平面为平面，此时，，，故B正确； 对于C，由线面垂直的判定可知，，，过直线且与垂直的平面只有一个， 过直线且与垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面和，其中，，故C正确； 对于D，在正方体中取为，为，为，此时平面平面， 平面平面，即至少存在两对互相垂直的平面和，其中，，故D正确； 故选：A. 78．（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ACD 【分析】由题意易得，进而可证平面判断A；若平面，可得，可判断B；由平面，可判断C；由已知可得平面，进而可判断D. 【详解】对于A，因为垂直于圆所在的平面，又在圆所在的平面内，所以， 又为圆的直径，所以，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，若平面，又平面，则， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，这与为圆的直径矛盾， 故平面不成立，故B错误； 对于C，因为垂直于圆所在的平面，即平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，因为平面，又平面， 所以，又，，又平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故D正确. 故选：ACD. 79．如图，已知平面，则图中互相垂直的平面有______对. 【答案】3 【分析】结合线面垂直的判定定理，根据面面垂直的判定定理判断即可. 【详解】平面平面平面， 平面平面，平面平面，又平面，. 又平面,平面. 又平面平面平面. 故互相垂直的平面有3对. 故答案为：3 80．如图，在四面体中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上. (1)如果，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的大小； (2)证明：平面平面 【答案】(1) (2)证明详见解析 【分析】利用几何法找到线面成角，利用线面垂直证明面面垂直. 【详解】（1）连接，如图. 由题可知，平面，平面,则， 且即为直线与平面所成角， 即.由，为边的中线， 可得.而，可得，. 而即为直线与平面所成角，且, 则，可得直线与平面所成角为. （2）由，，，平面,故平面， 而平面，则平面平面 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.8 立体几何初步易错必刷题型专训（80题20个考点） 【易错必刷一 棱柱的结构特征和分类】 1．如果一个长方体的长、宽、高分别是4，5，3，则它的体对角线为（   ） A．50 B．60 C． D． 2．（多选）下列有关平行六面体的命题正确的是（   ） A．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 B．平行六面体的八个顶点在同一球面上 C．平行六面体的四个侧面不可能都是矩形 D．平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面 3．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长相等且和为60cm，则每条侧棱长为__________cm． 4．如图所示，三棱柱中，平面与其余的面之间有什么位置关系？ 【易错必刷二 棱锥的结构特征和分类】 5．下列说法中，正确的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥 6．（多选）在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，正确的是(　　) A．不能构成每个面都是等边三角形的四面体 B．不能构成每个面都是直角三角形的四面体 C．能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体 D．能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体 7．通过延长圆台的任意一条母线都可以使它们交于一点，从而得到一个圆锥.如图，这样的几何体是否也可以通过延长棱的方法得到一个棱锥？______.（请从“可以”、“不一定”、“不可以”里面选一个填入） 8．空间四边形中，分别是的中点.求证:． 【易错必刷三 棱台的结构特征和分类】 9．下列叙述正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 10．（多选）下面对正三棱台的描述一定正确的有（    ）． A．上下底面平行 B．侧面是等腰梯形 C．所有棱长都相等 D．延长正三棱台的各条侧棱，它们相交于一点 11．五棱台的顶点数为，棱数为，面数为，则______． 12．下面两个空间图形是棱台吗？简述理由. 【易错必刷四 圆柱的结构特征辨析】 13．某品牌的有芯卷筒卫生纸是将卫生纸绕在圆柱形的空心纸筒上，未使用时整卷卫生纸的直径为，其中中间空心纸筒的直径为；若该品牌卫生纸每张的厚度是，且某人每次使用长的卫生纸，则一整筒卫生纸他大约可以使用的次数为（    ） A．66 B．132 C．264 D．314 14．（多选）用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（    ） A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．圆 D．椭圆 15．已知圆柱底面半径为1，高为2，是上底面圆的一条直径，为下底面圆的一条动弦且与平行，设与的距离为，则的取值范围是______. 16．一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是什么图形？如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状又会是什么图形？请分别画出以上两种情形的示意图． 【易错必刷五 圆锥的结构特征辨析】 17．在中，，D为BC的中点，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体为（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 18．（多选）下列说法正确的是（    ） A．多面体至少有四个面 B．平行六面体六个面都是平行四边形 C．长方体、正方体都是正四棱柱 D．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥 19．圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______． 20．一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是半圆，求该圆锥的高． 【易错必刷六 圆台的结构特征辨析】 21．圆台上、下底面积分别为和，母线长为5，则其轴截面面积为（    ） A． B． C． D． 22．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．圆锥被一个平行于底面的平面截去顶部的小圆锥后，剩余部分是圆台 B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆柱的母线与它的轴可以不平行 D．一个多面体至少有4个侧面 23．圆台的两底面半径分别为2，5，母线长是，则其轴截面面积是__________． 24．如图，圆台的上底面圆半径和高均为1，母线长为，平面为圆台的轴截面，证明：． 【易错必刷七 球的截面的性质及计算】 25．球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 26．（多选）下列叙述正确的是（    ） A．球的半径是球面上任意一点与球心的连线段； B．球的直径是球面上任意两点间的连线段； C．用一个平面截一个球，得到的是一个圆； D．不过球心的截面截得的圆面的半径小于球的半径. 27．在球中，一条直径AB垂直于小圆所在的平面，垂足为.若，则小圆的半径为____________. 28．已知球的半径为10 ，若它的一个截面圆的面积为，求球心与截面圆圆心的距离（）. 【易错必刷八 斜二测画法辨析】 29．下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 30．（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．三角形的直观图是三角形 B．平行四边形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是正方形 D．菱形的直观图是菱形 31．已知正三角形ABC的直观图的面积为，则正三角形ABC的边长为_______． 32．如图，在斜二测画法下被画成正三角形，请画出的真正图形． 【易错必刷九 棱台表面积的有关计算】 33．如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ） A．640元 B．512元 C．390元 D．347.5元 34．（多选）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的表面积是 D．该正六棱台的高是 35．在正四棱台中，，，，则该棱台的表面积为______． 36．一个正三棱台的下底和上底的周长分别为和，而侧面积等于两底面积之差，求斜高． 【易错必刷十 柱体体积的有关计算】 37．将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为，，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 38．（多选）圆柱的侧面展开图是长6cm，宽4cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（    ） A． B． C． D． 39．如图，一个啤酒瓶的高度为，瓶中装有高度的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为_____.（瓶底的厚度不计） 40．一座底是长方形、屋顶是正三棱柱的仓库，尺寸如图标注（单位：米），求这座仓库的容积（墙厚略去不计）．    【易错必刷十一 锥体体积的有关计算】 41．已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D．4 42．（多选）已知是以B为直角的三角形，，，将绕边旋转一周，所得几何体的体积可能为（    ） A． B． C． D． 43．若两个体积相等的圆锥底面半径之比为2：1，则它们对应的高之比为______． 44．如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【易错必刷十二 圆柱表面积的有关计算】 45．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 46．（多选）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 47．底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为______． 48．如图所示，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆柱，求原圆柱的表面积与挖去圆柱后的几何体的表面积的比值.    【易错必刷十三 求旋转体的体积】 49．某圆环的内外半径分别为2和4，将其绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为（   ） A． B． C． D． 50．（多选）如图，点分别是直角三角形ABC的边上的点，斜边AC与扇形的弧相切，已知，则关于阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的几何体，下列说法正确的是（    ） A．该几何体是圆锥 B．该几何体的底面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 51．如图所示（单位：cm），直角梯形ABCD挖去半径为2的四分之一圆，则图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为__．      52．如图，在中，，以C为圆心的圆弧与相切于点D，将阴影部分绕所在直线旋转一周得到一个旋转体，求这个旋转体的表面积和体积． 【易错必刷十四 空间中的点(线)共面问题】 53．下列命题错误的是（    ） A．不共线的三点确定一个平面 B．一条直线和直线外一点，可确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点可确定一个平面 54．（多选）（多选题）在长方体中，直线与平面的交点为M，O为线段的中点，则下列结论正确的是（   ） A．三点共线 B．M，O，，A四点共面 C．B，，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 55．已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若，则______． 56．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 【易错必刷十五 异面直线的概念及辨析】 57．已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 58．（多选）如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 59．直线为异面直线，直线为相交直线，则直线的位置关系是__________． 60．如图，是单位正方体，红、黑两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，红蚂蚁的爬行路线是，黑蚂蚁的爬行路线是，它们都依照如下规则：所爬行的第段与第n段所在直线必须是异面直线．设红、黑两只蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处，这时红、黑两只蚂蚁的距离是多少？ 【易错必刷十六 证明线面平行】 61．已知正方体的棱的中点分别，则下列直线中，与平面和平面的交线平行的直线（    ） A． B． C． D． 62．（多选）如图，正方体中，点E，F，G，H，I分别为棱AB，CD，BC，，AD的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 63．在空间四边形中，E、F、G、H分别是、、、上的点，，则与的位置关系是______ 64．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 【易错必刷十七 证明面面平行】 65．如图所示，正方体，E在上，F在上，且，过E作交BD于H，则平面EFH与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上都有可能 66．（多选）（多选题）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 67．如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为______. 68．如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，∥平面. 【易错必刷十八 求异面直线所成的角】 69．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 70．（多选）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（    ） A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 71．如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为____________. 72．已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥各棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值． 【易错必刷十九 线面垂直证明线线垂直】 73．如图所示，已知是矩形，且平面，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 74．（多选）空间中有三条直线，，，在这三条直线中有对互相垂直的直线，则可能的取值有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 75．点在平面外，若，则点在平面内的射影一定是的___________. 76．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是圆锥底面的内接正三角形，点在平面内且平面，证明：平面． 【易错必刷二十 证明面面垂直】 77．已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法不正确的是（   ） A．若平面，则， B．存在平面，使得，， C．有且只有一对互相平行的平面和，其中， D．至少存在两对互相垂直的平面和，其中， 78．（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 79．如图，已知平面，则图中互相垂直的平面有______对. 80．如图，在四面体中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上. (1)如果，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的大小； (2)证明：平面平面 学科网（北京）股份有限公司 $