专题6.10 平面向量及其应用易错必刷题型专训（68题17个考点）-2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

专题6.10 平面向量及其应用易错必刷题型专训（68题17个考点） 【易错必刷一 平面向量的概念】 1．下列关于向量的描述正确的是 A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆 【答案】D 【解析】根据向量的方向性可判断A；根据平面向量数量积定义及夹角范围可判断B；共线向量有同向和反向两种，可判断C；根据向量模的定义可判断D. 【详解】对于选项A：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，故向量和不一定相同，故选项A错误； 对于选项B：因为，由知，不一定成立，故选项B错误； 对于选项C：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误； 对于选项D：因为所有单位向量的模为，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量中单位向量的概念和定义，注意向量的方向性，属于基础题. 2．给出下列命题，不正确的有（   ） A．若为非零向量，则与同向 B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 C．若，则 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】BCD 【分析】由共线向量可判断A，由相等向量的定义可判断B，由的方向是任意的和平行向量可判断C和D. 【详解】是与同方向的单位向量，故A正确； 两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等， 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故B错误； 若，则不一定共线，故C错误； 当时，与可以为任意向量，满足， 但与不一定共线，故D错误. 故选：BCD. 3．一个人从A点出发沿东北方向走了到达B点，然后改变方向，沿南偏东方向又走了到达C点，则此人从C点回到A点的位移为_____________． 【答案】沿西偏北，长度为 【分析】利用向量的定义画出图形，结合图形求解. 【详解】根据题意画出示意图． ，，， 为正三角形，， 即此人从C点回到A点所走的路程为． ，，， 此人行走的方向为西偏北， 此人从C点走回A点的位移为沿西偏北，长度为． 故答案为：沿西偏北，长度为. 4．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为起点，以与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的向量个数为m，与向量的模相等的向量个数为n，求m，n． 【答案】m=3，n=23. 【分析】根据平面向量的几何意义和相等向量、共线向量的概念即可得出结果. 【详解】与方向相同的向量仅有， 又，故； 与向量的模相等的向量有两类： (1)以O为起点，以正六边形的顶点为终点或是 以正六边形顶点为起点，以O为终点的向量，有(个)； (2)正六边形的六条边上的向量，有(个) 故. 【易错必刷二 向量加法的法则】 5．在中，是的中点，，点在上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量加法法则结合是的中点即可求得. 【详解】由题意，点在上，如图所示：    且满足，所以，因为，是的中点，所以，所以. 故选：D 6．下列关于向量的命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B． C．若，，则 D． 【答案】BCD 【分析】由平面向量的概念及加法运算即可判断答案. 【详解】易知B,C,D正确，对A，两个向量的模相等，但两个向量的方向不一定相同，则A错误. 故选：BCD. 7．向量，的模与的模之间的关系：__________，当且仅当，__________时等号成立． 【答案】 方向相同 【分析】根据向量的加法及模长性质填空即可. 【详解】向量，的模与的模之间的关系：， 当且仅当方向相同时等号成立. 故答案为：；方向相同. 8．如图，已知向量，，不共线，求作向量．    【答案】详见解析 【分析】向量，，不共线中隐含着向量，，均为非零向量，因为零向量与任何一个向量都是共线的，利用三角形法则或平行四边形法则作图. 【详解】解法一：（三角形法则），如下图所示，作，， 则，再作，则，即.    解法二：（平行四边形法则）因为向量，，不共线， 如下图所示，在平面内任取一点O，作，， 以，为邻边作平行四边形，则对角线， 再作，以，为邻边作平行四边形，则.    【易错必刷三 向量减法的法则】 9．已知矩形的对角线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相等向量结合平面向量的减法可化简向量. 【详解】在矩形中，，又因为，则， 因此，. 故选：D. 10．下列各式中能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据向量加减法的法则，分别判断每个选项，得到正确答案. 【详解】A中.，故A正确； B中.，故B正确； C中. 故C正确； D中.，故D不正确. 故选：ABC 11．若平面内不共线的四点、、、满足，则______. 【答案】2 【分析】用向量的减法法则将，用，，表示，再将已知条件代入消去得解. 【详解】， 又， . 故答案为：2. 12．如图，在中，设对角线，，试用、表示、．    【答案】， 【分析】利用平面向量的加法与减法法则可得出关于、的等式组，解出这两个向量，再结合相等向量的定义可得结果. 【详解】解：在中，，， 由向量加法与减法法则可得， 解得，， 故，. 【易错必刷四 向量数乘的有关计算】 13．下列说法中正确的是（　　） A．与的方向不是相同就是相反 B．若共线，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据向量共线的性质，即可结合选项逐一判断. 【详解】对于A,当时，，由于零向量的方向是任意的，故A错误， 对于B，当时，此时共线，但不能得到，故B错误， 对于C，，的方向不确定，故不能得到，C错误， 对于D，若，则，故D正确， 故选：D 14．如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由图和平面向量线性运算逐一判断选项即可. 【详解】由图可得两点把线段三等分， 故，A，B正确； ，故C，D，错误， 故选：AB. 15．若，与反向，，则_____________． 【答案】 【分析】根据数乘的定义即可求解. 【详解】由于， ，且与反向，故， 故答案为： 16．如图，在一条笔直的马路上，张明从家（点O出发，往东走100m到公交站（点A）乘车，乘车往西行到达另一公交站（点B），下车后往东走200m到达学校．不乘公交车，张明从家走到学校应往什么方向走？走多远？    【答案】张明从家走到学校应往西走，并走900m． 【分析】将问题转化为向量问题即可求解. 【详解】以往东为正方向，1m为单位长度，则张明每次移动的效果可分别用实数100，，200表示． 由于， 因此，不乘公交车，张明从家走到学校应往西走，并走900m． 【易错必刷五 平面向量数量积的定义及辨析】 17．已知，，若关于的不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后可化为，然后由可得，然后可得答案. 【详解】因为，，且关于的不等式恒成立， 所以， 所以， 整理得， 所以， 所以，，又， 所以 故选：B 18．如图，在方格中，向量的始点和终点均为小正方形的顶点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合向量的线性运算法则及数量积的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，向量与向量方向不同，所以，故A错误， 将向量平移至向量的起点，可得，且，以向量为邻边的平行四边形为正方形，对角线垂直且相等，所以，故B与C正确， 由以上可知，，且向量与向量的夹角相等，所以，故D错误.    故选：BC 19．在平行四边形中，过点作的垂线，垂足为，且，则______. 【答案】 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则和向量的数量积的几何意义，即可求解. 【详解】如图所示，在平行四边形中，连接，交于点， 则. 故答案为：. 20．下图，直线与的边，分别相交于点，.设，，，，请用向量方法证明：. 【答案】证明见详解 【分析】根据图形易得，结合数量积可得，根据数量积的定义代入运算整理即可，注意向量夹角的分析理解． 【详解】∵，则，即 又∵ ∴ 即 【易错必刷六 用定义求向量的数量积】 21．已知向量与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据数量积公式代入计算即可. 【详解】因为向量与的夹角为， 所以. 故选：B. 22．关于平面向量，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用向量的数量积定义、运算律逐一判断. 【详解】对于A，由向量的运算律知，，A正确； 对于B，表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量， 则与不一定相等，B错误； 对于C，当为0向量时，对任意向量，均有，因此不一定相等，C错误； 对于D，若与中至少有一个零向量，则，此时与共线； 若与均为非零向量，设与的夹角为，则，， 又，于是或，即与共线，反之也成立，因此，D正确. 故选：AD 23．如图，正五边形ABCDE的边长为1，则______． 【答案】/ 【分析】根据向量数量积的定义，把转化为在上的投影与的乘积，即可求解. 【详解】如图所示，正五边形的边长为，过点作于， 则. 故答案为： 24．已知向量满足，且的夹角为， (1)求； (2)当向量与垂直时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义即可求解； （2）向量与垂直，即，利用数量积的运算即可求解. 【详解】（1）由已知得. （2）向量与垂直， ， ， 解得. 【易错必刷七 利用平面向量基本定理求参数】 25．在中，是的中点，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算可得，可求的值. 【详解】因为D是BC的中点，所以， 所以，又， 所以， 所以， 又，所以，. 所以. 故选：B. 26．如图，在中，为线段的一点，且，则下列正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由以及向量减法运算法则得，再根据平面向量基本定理可得结果. 【详解】因为，所以，即， 又，所以，故CD正确. 故选：CD. 27．，点在边上，，设，，则，则____，______. 【答案】 【分析】利用平面向量的减法可得出、的值. 【详解】因为，所以， 解得， 又因为，所以，. 故答案为：；. 28．已知向量，不共线，，，. (1)若，，求x，y的值； (2)若A，P，Q三点共线，求实数t的值. 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）由平面向量基本定理建立方程组即可得出答案. （2）三点共线转化为向量共线，再用平面向量共线定理求解即可. 【详解】（1）当时，，，， 所以，解得，. （2），， 由于A，P，Q三点共线，所以存在，使， 则， 整理，得. 因为a，b不共线， 所以，解得 故实数t的值为1. 【易错必刷八 已知向量共线(平行)求参数】 29．已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由，是平面内的一组基底，向量与共线， 则存在实数使得，可得，解得. 故选：A. 30．（多选）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】根据向量共线定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 由于，是不共线的向量，故，不共线，故A错误， 对于B, ,故，共线，B正确， 对于C, ,故，共线，C正确， 对于D, 若存在实数，使得，则，结合，是不共线的向量， 故且，此时无解，故不存在使得，故，不共线，故D错误， 故选：BC 31．已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数____． 【答案】 【详解】依题意可知是非零向量， 因为，所以存在实数使得， 即， 而是两个不共线的向量， 所以，解得. 32．已知△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B)，设=，=. （1）用向量与表示向量; （2）若，判断C，D，E是否共线，并说明理由. 【答案】（1）=--；（2）C，D，E三点不共线，理由见解析. 【分析】（1）由向量的加减法法则可得代入即可; （2）假设存在实数λ，使=λ，解方程求得λ无解即可证得结果. 【详解】解(1)∵=，=，点A是BC的中点， ∴=-. ∴=--. (2)假设存在实数λ，使=λ. ∵=++(-)=+， ) =2+(-+)=+， ∴+=λ， ∴此方程组无解， ∴不存在实数λ，满足=λ. ∴C，D，E三点不共线. 【易错必刷九 平面向量线性运算的坐标表示】 33．已知点，，，且，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，结合平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为点，，，则，， 可得，所以点P的坐标为． 34．已知点，，，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意分平行四边形为，和三种情况讨论，结合向量相等的坐标表示求解即可. 【详解】设点坐标为， 当平行四边形为时，，则，解得， 当平行四边形为时，，则，解得， 当平行四边形为时，，则，解得， 综上点D的坐标可以是，，， 故选：ACD 35．已知向量，，那么向量的坐标是_____________． 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标进行计算即可. 【详解】已知向量，， 所以. 故答案为：. 36．已知平行四边形的三个顶点为，，. (1)求点的坐标； (2)求在上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的相等满足的坐标关系即可求解， （2）根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】（1）设，由题意得，， 由可得得 故点的坐标为. （2）由（1）得， 则， ， 所以在上的投影向量的坐标为. 【易错必刷十 由坐标解决三点共线问题】 37．已知、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出、，可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值. 【详解】因为、、，则，， 因为、、三点共线，则，所以，即． 故选：C. 38．向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（    ） A．2 B．－2 C．11 D．－11 【答案】BC 【分析】由已知求出的坐标，根据向量共线的坐标运算，列出方程求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得， ． 因为A，B，C三点共线，所以， 所以，整理得， 解得k＝－2或11． 故选：BC． 39．已知向量.若三点共线，则__________. 【答案】 【分析】求出的坐标，根据可得. 【详解】因为，所以， 又三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为： 40．已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【答案】，，，、、三点共线 【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算表示出，，，即可求出、、三点的坐标，再求出，，即可判断三点共线. 【详解】因为，，则，所以； 又，，则，所以； 又，所以； 因为，， 所以，即，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 【易错必刷十一 数量积的坐标表示】 41．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，为边上靠近点的三等分点．若，则（   ）    A．36 B．28 C．30 D．42 【答案】C 【分析】由题知，进而根据数量积的运算求解即可. 【详解】解：由题知，，， 所以 故选：C 42．已知正方形ABCD的边长为1，为任意向量，则的值可能为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示列式计算判断. 【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则，设， 则，因此 ，当且仅当时取等号， 所以所求值可能为和1. 故选：AC 43．已知，，则在方向上的数量投影为________． 【答案】 【分析】由数量投影计算公式可得答案. 【详解】在方向上的数量投影为：． 故答案为： 44．如图，在菱形中， ， ， 、 为线段上的两个动点 (包含端点)， 且.    (1)若、重合，求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作交于点，求出、的长度，建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得； （2）设，则，利用坐标法表示出，再由二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）过点作于点，因为，， 则，所以，则， 所以， 如图建立平面直角坐标系，则，，， 当、重合时，，所以，， 所以.    （2）设，则， 所以，， 所以， 所以当时，，当时，当时， 所以的取值范围为. 【易错必刷十二 利用向量垂直求参数】 45．若向量，，且，则（   ） A． B．7 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据平面向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】由，，则， 因为，所以，所以. 故选：A 46．已知向量，，且是直角三角形，则k的值可以是（    ） A．或 B．1或2 C． D． 【答案】AC 【分析】得出，对三角形的三个角是否是直角讨论，利用向量垂直的坐标表示即可列式验算. 【详解】因为，，所以， 若是直角，，所以或， 若是直角，，该方程无解， 若是直角，，解得， 综上所述，k的值可以是或或. 故选：AC. 47．已知向量，，若，则_____. 【答案】 【分析】求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算可得答案. 【详解】向量，，所以， 若，则， 解得. 48．已知向量． (1)若向量与垂直，求向量； (2)若∥，求实数的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由两向量垂直可得数量积为零，求出，从而可求出向量； （2）先求出，然后由两向量平行列方程可求出实数的值． 【详解】（1）向量与垂直， ，解得或， 则向量； （2）， 又∥， ，解得． 【易错必刷十三 用向量解决夹角问题】 49．如图，在三棱锥中，分别是的中点，若，且向量与的夹角为，则棱与棱的关系是 A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】取为中点，连接，，由已知可得为的直角三角形，进而结合选项得出答案． 【详解】取为中点，连接，，向量与的夹角为，则，，， 故选：A 50．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的值可能为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】BD 【分析】由题意得出且不共线，利用向量的坐标运算可求出实数的取值范围. 【详解】因为与的夹角为钝角，所以且不共线， 又，所以，解得且， 因此，实数的取值范围是且， 故选：BD 51．已知，且的夹角为钝角，则实数的范围_______ 【答案】 【分析】由题意得出且与不共线，利用向量的坐标运算可求出实数的取值范围. 【详解】由于与的夹角为钝角，则且与不共线， ，，，解得且， 因此，实数的取值范围是且， 故答案为：且. 52．正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值. 【答案】 【分析】以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，求出，利用向量关系即可求出. 【详解】以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示， 由题意知：， 故. 【易错必刷十四 余弦定理解三角形】 53．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理及已知条件求解. 【详解】，，， ， ，． 故选：D. 54．已知的内角的对边分别为．若三角形有两解，则边的取值可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】BC 【分析】本题可根据余弦定理得到关于边的方程，再结合三角形有两解的条件，列出关于边的不等式，进而求出边的取值范围. 【详解】∵， ∴由余弦定理得：， 即， ∵三角形有两解， ∴方程有两个不相等的正根， ∴， 解得：， 结合选项可得B，C正确， 故选：BC. 55．在中，内角的对边分别为，若，则__________． 【答案】2 【分析】根据余弦定理列出关于的方程，然后解方程得到的值. 【详解】在中，由余弦定理得， 得， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 故答案：2 56．在中， (1)，，，求最大角； (2)，求，，的大小． 【答案】(1)最大， (2)，， 【分析】（1）分析可知最大，利用余弦定理运算求解； （2）可设，，，利用余弦定理可得，，进而可得角. 【详解】（1）由题意可知：，即，可知最大． 因为， 且，所以． （2）因为，可设，，． 由余弦定理可得， ， 且，，则，， 可得． 【易错必刷十五 正弦定理解三角形】 57．已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】在中，，， 由正弦定理得：， 则， 因为，所以，则， 故选：C 58．在中，角的对边分别为，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】在中由正弦定理，即，解得， 由，所以，所以，则或. 故选：BC 59．在中，已知，，，则________. 【答案】或 【分析】首先根据正弦定理求解角，然后再根据内角和为求解角即可. 【详解】在中，已知，，， 根据正弦定理，由，得：，解得：. 又，所以得：或. 由，得：或. 故答案为：或 60．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求，，. 【答案】答案见解析 【分析】由正弦定理得或，然后分别利用正弦定理求出边a，利用内角和为求出角A，即可得解. 【详解】由正弦定理，得， 因为，，所以，于是或. 当时，， 此时 ； 当时，， 此时 . 【易错必刷十六 正、余弦定理判定三角形形状】 61．若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】结合角的范围，利用正弦函数的性质可判断三角形的形状. 【详解】因为，，所以或者. 即或者（）. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 62．在△ABC中，若，则△ABC的形状可能为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 【答案】ABC 【分析】利用余弦定理进行角化边，再整理式子求解即可. 【详解】由已知及余弦定理得：， 整理得，解得或， 当时，是等腰三角形， 当时，是直角三角形， 当且时，是等腰直角三角形. 故选：ABC. 63．的内角，，的对边分别是，，，若，则一定为______三角形. 【答案】钝角 【分析】先根据正余弦定理化角为边，再判断三角形形状. 【详解】由题意： 根据正弦定理、余弦定理可得： 变形得 所以 所以为钝角三角形. 故答案为：钝角. 64．（1）在中，若,判断的形状； （2）在中，若，判断的形状； （3）在中，若，判断的形状. 【答案】（1）等腰三角形或直角三角形；（2）等边三角形；（3）等腰三角形. 【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理化角为边，即可判断形状； （2）利用余弦定理进行判断即可； （3）利用正弦定理及余弦定理化角为边，即可判断形状. 【详解】（1）结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为， 整理，得，所以或， 当时，，为直角三角形； 当时，，为直角三角形； 故三角形为等腰三角形或直角三角形. （2）因为，由余弦定理， 得，即，所以. 又，所以为等边三角形； （3）由条件得,即, 由正、余弦定理，得，所以. 故为等腰三角形. 【易错必刷十七 几何图形中的计算】 65．在中，，，，D为边AB的中点，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】作出辅助线，证得，从而结合余弦定理即可求出结果. 【详解】 取中点E，有，因此,而,所以，在中，，， 由余弦定理得， 故选：B. 66．在中，是边上一点，，下列正确的是（    ） A． B． C．为锐角三角形 D．可能为钝角 【答案】AB 【分析】利用余弦定理判断，利用正弦定理判断，利用三角形中判断． 【详解】解：：在中，由余弦定理得，，正确， ，，，在中，由正弦定理得，，正确， ：在中，由余弦定理得，为锐角， 又，为锐角，错误， ，错误． 故选：． 67．在中，，设边长为，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据题意，求得边上的高为，由满足条件的有且只有两个，得到，即可求解. 【详解】因为，可得边上的高为， 若满足条件的有且只有两个，则满足， 所以的取值范围是. 故答案为：. 68．古语云:“积善之家，必有余兴”.扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意.一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据，，.（图1中破碎边缘呈锯齿形状）求这个扇形玉佩的半径. 【答案】 【分析】先利用余弦定理求，可得，进而可求半径. 【详解】如图，设扇形的圆心为，连接， 在中，由余弦定理可得， 因为，可得， 在中，因为，则，即， 可得， 所以这个扇形玉佩的半径为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.10 平面向量及其应用易错必刷题型专训（68题17个考点） 【易错必刷一 平面向量的概念】 1．下列关于向量的描述正确的是 A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆 2．给出下列命题，不正确的有（   ） A．若为非零向量，则与同向 B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 C．若，则 D．已知，为实数，若，则与共线 3．一个人从A点出发沿东北方向走了到达B点，然后改变方向，沿南偏东方向又走了到达C点，则此人从C点回到A点的位移为_____________． 4．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为起点，以与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的向量个数为m，与向量的模相等的向量个数为n，求m，n． 【易错必刷二 向量加法的法则】 5．在中，是的中点，，点在上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 6．下列关于向量的命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B． C．若，，则 D． 7．向量，的模与的模之间的关系：__________，当且仅当，__________时等号成立． 8．如图，已知向量，，不共线，求作向量．    【易错必刷三 向量减法的法则】 9．已知矩形的对角线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 10．下列各式中能化简为的是（    ） A． B． C． D． 11．若平面内不共线的四点、、、满足，则______. 12．如图，在中，设对角线，，试用、表示、．    【易错必刷四 向量数乘的有关计算】 13．下列说法中正确的是（　　） A．与的方向不是相同就是相反 B．若共线，则 C．若，则 D．若，则 14．如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（    ）    A． B． C． D． 15．若，与反向，，则_____________． 16．如图，在一条笔直的马路上，张明从家（点O出发，往东走100m到公交站（点A）乘车，乘车往西行到达另一公交站（点B），下车后往东走200m到达学校．不乘公交车，张明从家走到学校应往什么方向走？走多远？    【易错必刷五 平面向量数量积的定义及辨析】 17．已知，，若关于的不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 18．如图，在方格中，向量的始点和终点均为小正方形的顶点，则（    ）    A． B． C． D． 19．在平行四边形中，过点作的垂线，垂足为，且，则______. 20．下图，直线与的边，分别相交于点，.设，，，，请用向量方法证明：. 【易错必刷六 用定义求向量的数量积】 21．已知向量与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D．2 22．关于平面向量，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 23．如图，正五边形ABCDE的边长为1，则______． 24．已知向量满足，且的夹角为， (1)求； (2)当向量与垂直时，求实数的值. 【易错必刷七 利用平面向量基本定理求参数】 25．在中，是的中点，.若，则（    ） A． B． C． D． 26．如图，在中，为线段的一点，且，则下列正确的是（    ）    A． B． C． D． 27．，点在边上，，设，，则，则____，______. 28．已知向量，不共线，，，. (1)若，，求x，y的值； (2)若A，P，Q三点共线，求实数t的值. 【易错必刷八 已知向量共线(平行)求参数】 29．已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 30．（多选）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的有（   ） A．， B．， C．， D．， 31．已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数____． 32．已知△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B)，设=，=. （1）用向量与表示向量; （2）若，判断C，D，E是否共线，并说明理由. 【易错必刷九 平面向量线性运算的坐标表示】 33．已知点，，，且，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 34．已知点，，，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 35．已知向量，，那么向量的坐标是_____________． 36．已知平行四边形的三个顶点为，，. (1)求点的坐标； (2)求在上的投影向量的坐标. 【易错必刷十 由坐标解决三点共线问题】 37．已知、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 38．向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（    ） A．2 B．－2 C．11 D．－11 39．已知向量.若三点共线，则__________. 40．已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【易错必刷十一 数量积的坐标表示】 41．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，为边上靠近点的三等分点．若，则（   ）    A．36 B．28 C．30 D．42 42．已知正方形ABCD的边长为1，为任意向量，则的值可能为（    ） A．1 B． C． D． 43．已知，，则在方向上的数量投影为________． 44．如图，在菱形中， ， ， 、 为线段上的两个动点 (包含端点)， 且.    (1)若、重合，求； (2)求的取值范围. 【易错必刷十二 利用向量垂直求参数】 45．若向量，，且，则（   ） A． B．7 C．3 D． 46．已知向量，，且是直角三角形，则k的值可以是（    ） A．或 B．1或2 C． D． 47．已知向量，，若，则_____. 48．已知向量． (1)若向量与垂直，求向量； (2)若∥，求实数的值． 【易错必刷十三 用向量解决夹角问题】 49．如图，在三棱锥中，分别是的中点，若，且向量与的夹角为，则棱与棱的关系是 A． B． C． D．无法确定 50．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的值可能为（    ） A．6 B．3 C． D． 51．已知，且的夹角为钝角，则实数的范围_______ 52．正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值. 【易错必刷十四 余弦定理解三角形】 53．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 54．已知的内角的对边分别为．若三角形有两解，则边的取值可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 55．在中，内角的对边分别为，若，则__________． 56．在中， (1)，，，求最大角； (2)，求，，的大小． 【易错必刷十五 正弦定理解三角形】 57．已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 58．在中，角的对边分别为，若，则等于（   ） A． B． C． D． 59．在中，已知，，，则________. 60．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求，，. 【易错必刷十六 正、余弦定理判定三角形形状】 61．若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 62．在△ABC中，若，则△ABC的形状可能为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 63．的内角，，的对边分别是，，，若，则一定为______三角形. 64．（1）在中，若,判断的形状； （2）在中，若，判断的形状； （3）在中，若，判断的形状. 【易错必刷十七 几何图形中的计算】 65．在中，，，，D为边AB的中点，则（    ） A． B． C．2 D．8 66．在中，是边上一点，，下列正确的是（    ） A． B． C．为锐角三角形 D．可能为钝角 67．在中，，设边长为，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是__________. 68．古语云:“积善之家，必有余兴”.扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意.一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据，，.（图1中破碎边缘呈锯齿形状）求这个扇形玉佩的半径. 学科网（北京）股份有限公司 $