专题6.6 平面向量数量积的坐标表示重难点题型专训（3个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

专题6.6 平面向量数量积的坐标表示重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 数量积的坐标表示 题型二 向量模的坐标表示 题型三 坐标计算向量的模 题型四 向量垂直的坐标表示 题型五 利用数量积求参数 题型六 利用向量垂直求参数 题型七 向量夹角的坐标表示 题型八 已知向量垂直求参数 拓展训练一 求相关坐标表示 拓展训练二 向量垂直的求参 知识点一： 数量积的坐标表示 若，，则 两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。 【即时训练】 1．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（   ） A．5 B．6 C．12 D．16 2．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，则__________. 知识点二： 两个向量垂直的坐标表示 若两个向量垂直，则 【即时训练】 1．（25-26高三上·浙江杭州·月考）已知向量,若与垂直，则（  ） A． B． C． D． 2．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知向量满足，且，则__________. 知识点三： 用坐标表示的三个重要公式 1、向量的模长公式：若，则 2、两点间的距离公式：若，，则 3、向量的夹角公式：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 【即时训练】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，，且如图所示，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·天津西青·月考）已知向量，则 ， 夹角的余弦值为______________. 【经典例题一 数量积的坐标表示】 【例1】（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 【例2】（24-25高一下·江西·期末）已知向量． (1)若，求的值； (2)若在上的投影数量为，求x的值. 1．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·福建龙岩·期末）已知四边形是边长为2的正方形，为正方形所在平面上一点，且，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，已知点是轴上的两个动点，且，则的最小值为__________. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，，，若，判定的形状． 【经典例题二 向量模的坐标表示】 【例1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·辽宁·期末）平面内给定三个向量，，. (1)若，求实数； (2)若满足，且，求的坐标. 1．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知点A，B，C在圆上运动，且，若点P的坐标为，则的最大值为（    ） A．7 B．12 C．14 D．11 2．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 3．（2025高三·全国·竞赛）已知是单位向量，向量满足.若不等式对任意实数都成立，则的取值范围是______. 4．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在长方形中，，，点，分别为边和上两个动点（含端点），设，． (1)当时，求的取值范围； (2)当时，求的最大值． 【经典例题三 坐标计算向量的模】 【例1】（2026·四川宜宾·一模）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【例2】（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知向量，. (1)若，求的坐标； (2)若，求与夹角的余弦值. 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 （     ） A．2 B． C．2 或 D．3 2．（多选）（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知向量，的最值为（   ） A．4 B．2 C．0 D．1 3．（25-26高三上·上海·开学考试）已知，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 4．（24-25高一下·云南·月考）在平面四边形中，已知，且， ，是线段（包括端点）上的一个动点. (1)当时， ①求的值； ②若，求； (2)求的最小值. 【经典例题四 向量垂直的坐标表示】 【例1】（25-26高三上·安徽·月考）已知平面向量，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【例2】（24-25高一下·陕西·期末）平面上有三点，，，向量，． (1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件； (2)若是直角三角形，求的值． 1．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知向量，且，则实数m的值为（   ） A．1 B． C． D．2 3．（2025高三·全国·专题练习）写出一个与向量垂直且模为2的向量______． 4．（24-25高一下·江西九江·月考）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 【经典例题五 利用数量积求参数】 【例1】（2024·全国·一模）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别交轴的正半轴、轴的正半轴于两点，的面积为，若点为平面内一点，且满足，则（   ） A． B． C．1 D．2 【例2】（24-25高一下·湖南株洲·月考）在平面直角坐标系xOy中，点，，． (1)求； (2)若实数满足，求的值． 1．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，且与的夹角为，则的值为（    ）． A． B．或 C． D．或 2．（2024·广东·模拟预测）已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 3．（24-25高二下·吉林·期末）已知，和的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是_____． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，，，． (1)为何值时，点在轴上？ (2)若与的夹角是钝角，求的取值范围． 【经典例题六 利用向量垂直求参数】 【例1】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知向量，若向量与垂直，则（   ） A． B． C． D．2 【例2】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知向量， (1)若，求实数的值； (2)若与垂直，求实数的值 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（25-26高三上·河南周口·月考）已知向量，，且，则（   ） A． B． C．2 D．18 3．（24-25高三上·安徽·月考）已知向量，，若，则______. 4．（24-25高一上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，已知，. (1)若，求实数k的值； (2)若，求实数t的值. 【经典例题七 向量夹角的坐标表示】 【例1】（25-26高三上·湖南·月考）向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·吉林·期末）已知向量，为坐标原点． (1)若，求实数的值； (2)当时，求与夹角的余弦值． 1．（24-25高二下·甘肃武威·期中）若向量，，且与的夹角余弦值为，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·河北·月考）在圆上，点，设向量与x轴正半轴的夹角为，则下列关于和的说法正确的是（   ） A．当时，. B．对于. C．若，则. D．关于对称. 3．（25-26高三上·安徽·月考）已知向量，若与的夹角的余弦值为，则_____________. 4．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为坐标原点，，，． (1)若、、三点共线，求的值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【经典例题八 已知向量垂直求参数】 【例1】（2025·湖北武汉·三模）在矩形中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．5 【例2】（24-25高一下·四川泸州·期中）已知平面向量、，，，且． (1)求、的夹角； (2)若与（）垂直，求的值． 1．（24-25高一下·天津静海·期中）设，，向量，，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东·期中）设向量，，，且，则（   ） A．3 B．2 C． D． 3．（24-25高一下·浙江杭州·月考）已知向量，若，则__________. 4．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围. 【拓展训练一 求相关坐标表示】 【例1】（24-25高一下·海南·月考）已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二下·四川眉山·期末）设向量， ，已知． (1)求实数的值； (2)求与的夹角的大小． 1．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知平面向量，，，若，则（    ） A． B． C．5 D．7 2．（多选）（25-26高二上·河北保定·月考）为坐标原点，点，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）正方形的边长为是的中点，是边上靠近的三等分点，则的值为___________． 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知中三点的坐标分别是， (1)求； (2)求证：直角三角形． 【拓展训练二 向量垂直的求参】 【例1】（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（   ） A．3 B． C． D．2 【例2】（24-25高一下·陕西·期中）已知向量，，，. (1)若，求的值； (2)若与垂直，求实数. 1．（25-26高三上·重庆·月考）若向量 ，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·江苏连云港·月考）已知直角中，，，则实数可能取值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，且，则_____________． 4．（24-25高一下·重庆江津·期中）已知. (1)设的夹角为θ，求cos θ的值； (2)若向量与互相垂直，求k的值. 1．（25-26高三上·安徽·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 2．（25-26高三上·安徽·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C．或1 D．或 4．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－1 5．（25-26高三上·湖北·期中）在中，已知，，则的面积为（   ） A． B．2 C． D． 6．（多选）（25-26高二上·浙江·开学考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 7．（多选）（24-25高一下·甘肃定西·月考）已知平面内一正三角形ABC的外接圆半径为4，以三角形ABC中心为圆心，为半径的圆上有一个动点M，则的值不可能为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 8．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）(多选)已知，且，求向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高一下·福建·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量是 10．（多选）（2025·湖南长沙·模拟预测）已知,,其中，则以下结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 11．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知向量，，若，则______ 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）设向量，满足，，则的值为________． 13．（2025·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，且，则实数______. 14．（25-26高三上·福建·月考）已知向量，，若，则____． 15．（24-25高一下·河南洛阳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则______． 16．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点． (1)求的大小． (2)设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围． 17．（25-26高一下·全国·课后作业）设，，又，，若与夹角为，求实数m的值． 18．（2025高三·全国·专题练习）设函数，点和点都在的图象上，且，设，求的取值范围． 19．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知向量，． (1)若，且，求； (2)若，且存在使得，求实数a的取值范围． 20．（24-25高一下·吉林延边·月考）已知向量. (1)若且与方向相反，求的值； (2)若. ①求与的夹角的余弦值 ②求. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.6 平面向量数量积的坐标表示重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 数量积的坐标表示 题型二 向量模的坐标表示 题型三 坐标计算向量的模 题型四 向量垂直的坐标表示 题型五 利用数量积求参数 题型六 利用向量垂直求参数 题型七 向量夹角的坐标表示 题型八 已知向量垂直求参数 拓展训练一 求相关坐标表示 拓展训练二 向量垂直的求参 知识点一： 数量积的坐标表示 若，，则 两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。 【即时训练】 1．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知，，则（   ） A．5 B．6 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据向量的加减以及数量积的坐标表示求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，则__________. 【答案】 【分析】由平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 知识点二： 两个向量垂直的坐标表示 若两个向量垂直，则 【即时训练】 1．（25-26高三上·浙江杭州·月考）已知向量,若与垂直，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程化简即得. 【详解】由，可得，， 因与垂直，则，整理得. 故选：D. 2．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知向量满足，且，则__________. 【答案】 【分析】根据向量垂直得到其数量积为0，再利用向量模的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】因为，则，即， 即 即，解得. 故答案为：. 知识点三： 用坐标表示的三个重要公式 1、向量的模长公式：若，则 2、两点间的距离公式：若，，则 3、向量的夹角公式：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 【即时训练】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，，且如图所示，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量坐标公式即可得到答案. 【详解】由已知可得， 则横坐标为， 纵坐标为， 故. 故选：D. 2．（24-25高一下·天津西青·月考）已知向量，则 ， 夹角的余弦值为______________. 【答案】 【分析】由向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 【经典例题一 数量积的坐标表示】 【例1】（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则， 设，由得：，即 解得，故， 所以， 故选：C 【例2】（24-25高一下·江西·期末）已知向量． (1)若，求的值； (2)若在上的投影数量为，求x的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的坐标，再根据向量数量积的坐标运算公式计算的值； （2）根据向量投影数量的公式列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】（1）若，则，故， 所以． （2）因为在上的投影数量是，所以， 解得． 1．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）在中，，P为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，确定相关点的坐标，设，则可根据向量的坐标运算求出的表达式，结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， ，， ，设， ∴， ∴， ∴当时，·取得最小值. 故选；B. 2．（多选）（24-25高一下·福建龙岩·期末）已知四边形是边长为2的正方形，为正方形所在平面上一点，且，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 【答案】AC 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算逐项判断. 【详解】在正方形中，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，，，B错误； 对于C，，，，C正确； 对于D，，， ，D错误. 故选：AC 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，已知点是轴上的两个动点，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】根据题意，将点位置分成在点左侧和在点右侧两种情况考虑，结合平面向量的数量积的坐标表示、二次函数的性质求解即可. 【详解】当点在点左侧时，设， 则， 所以， 则时，取得最小值为； 当点在点右侧时，设， 则， 所以， 则时，取得最小值为. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，，，若，判定的形状． 【答案】是等腰三角形 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，计算的坐标，由得，利用判别式即可求解，进而判断的形状. 【详解】以为原点建立平面直角坐标系，不妨设，如图，    所以， 由有， 整理得， 则， 即，解得．所以，所以是等腰三角形． 【经典例题二 向量模的坐标表示】 【例1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的数量积坐标公式计算得出，最后应用模长公式计算求解. 【详解】因为，所以，所以.   故选：C. 【例2】（24-25高一上·辽宁·期末）平面内给定三个向量，，. (1)若，求实数； (2)若满足，且，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意得，，由平行向量的坐标表示即可解决； （2）设，得，，根据题意列方程组即可解决. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 因为， 所以， 解得； （2）设，则，， 因为，， 所以， 解得或， 所以或. 1．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知点A，B，C在圆上运动，且，若点P的坐标为，则的最大值为（    ） A．7 B．12 C．14 D．11 【答案】D 【分析】由，得到AC为圆的直径，设，得到求解. 【详解】解：如图所示：    因为，所以AC为圆的直径， 又，则， 设，则， 所以， 所以， 当时，等号成立， 故选：D 2．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先计算的坐标，再利用模长公式计算即可. 【详解】由题意可得，， 则，解得. 故选：A 3．（2025高三·全国·竞赛）已知是单位向量，向量满足.若不等式对任意实数都成立，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】结合题目条件，设，，则不等式对任意实数都成立，可转化为，由此求出，即可得到的取值范围. 【详解】不妨设， 由，可设， 则对任意实数，有 ， 等价于, 解得，所以， 于是. 故答案为： 4．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在长方形中，，，点，分别为边和上两个动点（含端点），设，． (1)当时，求的取值范围； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，设，用表示出的坐标，进而表示出目标式，换元后利用对勾函数性质求解可得； （2）设，根据已知可得动点的轨迹，然后利用三角代换转化为三角函数最值问题可解. 【详解】（1）以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系， 设，则，易知， 则，即， 所以， 令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 所以，即的取值范围为. （2）设，则由题可得， 即，表示以为圆心，为半径的四分之一个圆. 令， 因为，则有 ， 其中， 因为，所以， 所以当时，取得最大值. 【经典例题三 坐标计算向量的模】 【例1】（2026·四川宜宾·一模）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由向量的模长的坐标运算求解即可． 【详解】根据题意，， ，，即， ， ． 故选：C． 【例2】（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知向量，. (1)若，求的坐标； (2)若，求与夹角的余弦值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，根据平行关系，利用模的坐标表示求解即可； （2）根据向量垂直关系，列出等量关系，再利用数量积求出夹角的余弦值. 【详解】（1）因为，设，则， 所以，即或. （2）因为，所以得到， 解得. 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 （     ） A．2 B． C．2 或 D．3 【答案】C 【分析】根据向量坐标运算结合模长公式计算求参. 【详解】因为 ，所以 . 因为 ， 所以 . 因为 ，所以 ， 解得 或 ， 故选 ：C. 2．（多选）（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知向量，的最值为（   ） A．4 B．2 C．0 D．1 【答案】BC 【分析】根据向量减法、模的坐标计算公式求出的最值即可. 【详解】因为， 所以. 故选：BC. 3．（25-26高三上·上海·开学考试）已知，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【分析】先求出，，，再利用投影向量的公式：在方向上的投影向量为，直接求解即可. 【详解】，， ，， ， 在方向上的投影向量为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·云南·月考）在平面四边形中，已知，且， ，是线段（包括端点）上的一个动点. (1)当时， ①求的值； ②若，求； (2)求的最小值. 【答案】(1)①；② (2)3 【分析】（1）①由条件分析出为直角梯形，建立平面直角坐标系.，根据平面数量积的坐标表示即可求出的值；②设，则点P的坐标为，同理得到的表达式，由一元二次函数的最值即可求出； （2）设，，求出的坐标，再求出即可求最小值 【详解】（1）①因为，且， 所以，，且，， 所以四边形为直角梯形. 所以以A为原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系.，    当时，因为， 所以，，，， 所以，， 因此； ②设，即点P的坐标为， 则，， 因为， 所以当时，，即； （2）设，，又， 则， 所以，当时取到等号， 因此的最小值为3. 【经典例题四 向量垂直的坐标表示】 【例1】（25-26高三上·安徽·月考）已知平面向量，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示，得出参数计算即可. 【详解】平面向量，，， 即. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·陕西·期末）平面上有三点，，，向量，． (1)若三点，，不能构成三角形，求实数满足的条件； (2)若是直角三角形，求的值． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示计算可得； （2）求出向量，根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】（1）若，，三点不能构成三角形，则， 又，，所以，解得. （2）因为，，所以， 若，则，解得； 若，则，解得或； 若，则，解得. 综上，若是直角三角形，的值为. 1．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出两个目标向量的坐标，利用向量垂直的数量积性质列方程，化简后解出λ的值. 【详解】. . 由，得， 即, 展开并化简：，即，解得. 故选：A 2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知向量，且，则实数m的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】将向量模的平方等式转化为数量积为0的条件，通过计算向量数量积求解参数的值. 【详解】由，展开得，故. 而，令，解得. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）写出一个与向量垂直且模为2的向量______． 【答案】（答案不唯一，或）. 【分析】根据向量垂直的结论，结合模长公式得解. 【详解】向量与向量垂直，可设，模为，得到， 解得.因此，满足题意的或. 故答案为：（答案不唯一，或）. 4．（24-25高一下·江西九江·月考）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （3）两个向量的数量积大于零且两向量不共线，求出范围即可. 【详解】（1）因为且， 所以，解得. （2）因为，所以，又且， 所以，解得. （3）由两向量的夹角为锐角，则，且与不共线， 由，得，解得， 由与共线，得， 所以向量与的夹角为锐角时，得取值范围为. 【经典例题五 利用数量积求参数】 【例1】（2024·全国·一模）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别交轴的正半轴、轴的正半轴于两点，的面积为，若点为平面内一点，且满足，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】不妨设，根据数量积的坐标公式求出，进而可得出答案. 【详解】根据题意，不妨设， 则，解得， 所以． 故选：B． 【例2】（24-25高一下·湖南株洲·月考）在平面直角坐标系xOy中，点，，． (1)求； (2)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出向量，的坐标，由向量的数量积的坐标表示求解即可； （2）求出向量，的坐标，由数量积为零，求解的值即可. 【详解】（1），， 所以. （2），， 因为，所以， 解得 1．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，且与的夹角为，则的值为（    ）． A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】将代入，即可算出答案. 【详解】由向量的夹角公式得， 即， 得，解得． 易知，所以， 故选:A． 2．（2024·广东·模拟预测）已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 【答案】B 【分析】将平方化简得，然后利用数量积的坐标公式列式计算即可. 【详解】将两边平方，得， 由得， 即，解得或1. 故选：B. 3．（24-25高二下·吉林·期末）已知，和的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由得出实数λ的取值范围. 【详解】由题可知，由于和的夹角是锐角，故， 又因为，于是有 解得实数λ的取值范围是 故答案为： 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，，，． (1)为何值时，点在轴上？ (2)若与的夹角是钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到点P的坐标，再根据点在轴上求解； （2）由，得到与不共线，再根据与的夹角是钝角，由求解. 【详解】（1）解：由题意知：，， 所以， ． 因为点在轴上， 所以，解得． （2）因为， 所以与不共线． 又与的夹角是钝角， 所以只需， 即， 解得． 【经典例题六 利用向量垂直求参数】 【例1】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知向量，若向量与垂直，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先求出向量，再由向量垂直的坐标表示即可计算求解. 【详解】由题意向量， 因为向量与垂直， 所以. 故选：B 【例2】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知向量， (1)若，求实数的值； (2)若与垂直，求实数的值 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示求解即可； （2）根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】（1）因为，，且， 所以，即， 所以. （2）因为，， 所以，，， 因为与垂直， 所以. 解得或. 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用向量垂直的坐标运算可得答案. 【详解】因为， 所以， ， 若，则， 解得. 故选：A. 2．（25-26高三上·河南周口·月考）已知向量，，且，则（   ） A． B． C．2 D．18 【答案】C 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示列式求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得． 故选：C 3．（24-25高三上·安徽·月考）已知向量，，若，则______. 【答案】－7 【分析】根据平面向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解. 【详解】因为，， 所以， . 故答案为： 4．（24-25高一上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，已知，. (1)若，求实数k的值； (2)若，求实数t的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由向量的坐标运算公式得与坐标，再利用向量共线的坐标公式求解即可； （2）先由向量的坐标运算公式求，再利用向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为， 所以，解得. （2）， 因为，所以， 解得. 【经典例题七 向量夹角的坐标表示】 【例1】（25-26高三上·湖南·月考）向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量夹角的余弦值的坐标表示求解即可. 【详解】由，， 则，， ， 所以， 又，则. 故选：C 【例2】（24-25高一下·吉林·期末）已知向量，为坐标原点． (1)若，求实数的值； (2)当时，求与夹角的余弦值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示即可求解； （2）根据平面向量的夹角余弦公式的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 又因为，所以，解得. （2）当时，，已知， 设，的夹角为，则． 1．（24-25高二下·甘肃武威·期中）若向量，，且与的夹角余弦值为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量夹角余弦公式及数量积公式计算求参. 【详解】由已知有：，解得，由已知得，所以． 故选：A. 2．（多选）（24-25高三上·河北·月考）在圆上，点，设向量与x轴正半轴的夹角为，则下列关于和的说法正确的是（   ） A．当时，. B．对于. C．若，则. D．关于对称. 【答案】ACD 【分析】令与x轴正方向一致的单位向量，利用向量的夹角公式求解判断ACD；举例说明判断B. 【详解】依题意，与x轴正方向一致的单位向量，则，， 对于AC，当时，，AC正确； 对于D，，而直线垂直于直线，则关于对称，D正确； 对于B，当时，，而，，B错误. 故选：ACD 3．（25-26高三上·安徽·月考）已知向量，若与的夹角的余弦值为，则_____________. 【答案】 【分析】由向量夹角公式的坐标表示即可求解 【详解】设与的夹角为， 由夹角公式得，解得. 故答案为： 4．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为坐标原点，，，． (1)若、、三点共线，求的值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)0 (2) 【分析】1）根据题意结合运算求解； （2）根据向量夹角与数量积之间的关系运算求解. 【详解】（1）， 三点共线，与共线， 则，解得. （2）由（1）知， 与夹角为钝角，可得，解得， 若与平行，则，解得， 若与不平行，则， 的取值范围是. 【经典例题八 已知向量垂直求参数】 【例1】（2025·湖北武汉·三模）在矩形中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】由已知，再应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设知，且，则， 所以，即. 故选：C 【例2】（24-25高一下·四川泸州·期中）已知平面向量、，，，且． (1)求、的夹角； (2)若与（）垂直，求的值． 【答案】(1)60°； (2)． 【分析】（1）由题设条件和向量数量积的运算律求得，再由向量数量积的定义即可求得其夹角； （2）由与（）垂直，可得，利用（1）的结论代入求解即得的值. 【详解】（1）由，可得， 则，所以， 又因， 则，因，故、的夹角为60°； （2）由（1）可得：，， 因为与（）垂直，所以， 整理得到， 将，，代入上式可得：， 解得． 1．（24-25高一下·天津静海·期中）设，，向量，，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直向量以及平行向量的坐标表示，求得参数，根据向量线性运算的坐标表示，结合向量夹角的坐标表示，可得答案. 【详解】由，则，解得，即， 由，则，可得，解得，即， 由，，则. 故选：D. 2．（24-25高三上·山东·期中）设向量，，，且，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算进行展开计算，求解出参数的值即可. 【详解】因为，，，所以； 因为，所以，解得. 故选：A. 3．（24-25高一下·浙江杭州·月考）已知向量，若，则__________. 【答案】 【分析】由向量加法的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设，且， 所以，则. 故答案为： 4．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量、的坐标，根据这两个向量均为非零向量可得出，再由，结合平面向量数量积的坐标运算可求得实数的值； （2）当时，求出向量的坐标，由题意可知，且与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为向量，，且， 则，，则，可得， 所以，，解得. （2）解：当时，，则， 因为与的夹角为锐角，则，解得， 且与不共线，则，可得， 综上所述，实数的取值范围是. 【拓展训练一 求相关坐标表示】 【例1】（24-25高一下·海南·月考）已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】， 则，， 故，又， 则与的夹角. 故选：B. 【例2】（24-25高二下·四川眉山·期末）设向量， ，已知． (1)求实数的值； (2)求与的夹角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的模长及数量积的坐标运算即可求解. （2）根据向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）， ，所以， 即， 所以，解得. （2）设与的夹角为，， 所以， ，由（1）得， 所以， ，即与的夹角为 1．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知平面向量，，，若，则（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解． 【详解】由已知， 又因为，所以，解得， 故选：D． 2．（多选）（25-26高二上·河北保定·月考）为坐标原点，点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A：利用三角函数平方关系计算和的模长，判断是否相等.选项B：通过两点间距离公式分别计算和，对比表达式是否一致.选项C：结合向量点积的坐标运算公式，再利用两角和的余弦公式，比较与的结果.选项D：通过向量点积的坐标运算，结合余弦差角公式化简，比较与的结果. 【详解】对于A、易知，A正确； 对于B、， ，B不正确； 对于C、， ，C正确； 对于D、， ，D正确. 故选：ACD 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）正方形的边长为是的中点，是边上靠近的三等分点，则的值为___________． 【答案】 【分析】由是正方形，则以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，由正方形的边长为，写出各点坐标，求出，利用数量积的坐标公式求解. 【详解】是正方形，以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系， 正方形的边长为， ， 是的中点，， 是边上靠近的三等分点，， ，. 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知中三点的坐标分别是， (1)求； (2)求证：直角三角形． 【答案】(1). (2)证明过程见解析. 【分析】（1）先根据平面向量的坐标求法得出，；再根据平面向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示和夹角的坐标计算即可求解. （2）根据平面向量垂直的坐标表示即可证明. 【详解】（1）由三点的坐标分别是可得： ，. 则；；， 所以. 又因为， 所以 （2）证明：因为，， 所以. 则， 即证得是以角A为直角的直角三角形. 【拓展训练二 向量垂直的求参】 【例1】（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量减法的坐标运算和向量垂直的坐标表示计算得到参数值 【详解】由题可知，，因为，所以， 解得. 故选：A. 【例2】（24-25高一下·陕西·期中）已知向量，，，. (1)若，求的值； (2)若与垂直，求实数. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）先求出的坐标，再根据向量的模长公式列出方程求解的值. （2）先求出的坐标，再根据垂直向量数量积等于0列出方程求解的值. 【详解】（1）因为，. 所以； 所以，即； 解得或. （2）因为； 又与垂直，； 所以，解得. 1．（25-26高三上·重庆·月考）若向量 ，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求解. 【详解】因为，， 所以， 解得， 故选：B 2．（多选）（24-25高二上·江苏连云港·月考）已知直角中，，，则实数可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出向量的坐标，对的三个内角分别为直角进行分类讨论，结合平面向量垂直的坐标表示可求得实数的值. 【详解】在直角中，，， 则， 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得. 故选：BCD. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，且，则_____________． 【答案】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则，解得. 故答案为：. 4．（24-25高一下·重庆江津·期中）已知. (1)设的夹角为θ，求cos θ的值； (2)若向量与互相垂直，求k的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用平面向量的夹角公式求解； （2）根据向量与互相垂直，由求解. 【详解】（1）解：因为，， 设的夹角为θ， 所以； （2）因为向量与互相垂直， 所以，即，即， 解得. 1．（25-26高三上·安徽·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【分析】先根据向量垂直和向量数量积的坐标表示求出，进而根据向量的模的公式求出结果. 【详解】因为向量，，所以. 由于，所以， 所以，解得. 所以，所以. 故选：C. 2．（25-26高三上·安徽·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由向量的坐标运算及模长公式求得，即可求解. 【详解】， 由题意：， 所以. 故选：C. 3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C．或1 D．或 【答案】D 【分析】由向量模的坐标公式列方程即可求解. 【详解】由得，因为， 所以，化简得，解得或． 故选：D． 4．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－1 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】由已知得， 因为 ， 所以，解得， 故选：B． 5．（25-26高三上·湖北·期中）在中，已知，，则的面积为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据平面向量的数量积和模的坐标表示求出，，，再由三角形的面积公式求解即得. 【详解】由，，则，， ， ， 因，故，则， 所以的面积为. 故选：A. 6．（多选）（25-26高二上·浙江·开学考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】借助向量坐标形式的模长公式、数量积公式、线性运算以及投影向量公式计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，， 因为，故与不共线，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 7．（多选）（24-25高一下·甘肃定西·月考）已知平面内一正三角形ABC的外接圆半径为4，以三角形ABC中心为圆心，为半径的圆上有一个动点M，则的值不可能为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】CD 【分析】建立直角坐标系，可以表示出的坐标，再设点，即可用与表示出，即可求出答案. 【详解】建立如图所示坐标系， 则点， 设点，且， 则 故当 时，取最大值为13， 所以， 故选：CD. 8．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）(多选)已知，且，求向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设，由题可得，解方程即可求解. 【详解】设，则或. 或． 故选：AD 9．（多选）（24-25高一下·福建·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量是 【答案】ABD 【分析】利用平面向量模的运算公式计算即可判断A，利用向量垂直坐标表示判断B，利用向量夹角的坐标表示求解即可判断C，利用投影向量公式求解即可判断D. 【详解】因为，所以，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，所以， 所以，所以， 又，则，故C错误； 又，所以，所以， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD 10．（多选）（2025·湖南长沙·模拟预测）已知,,其中，则以下结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】对于A，由得，得或或，故A不正确； 对于B，由得，得或，故B正确； 对于C，根据平面向量数量积的运算律求出，故C正确； 对于D，根据平面向量数量积的运算律求出，故D正确. 【详解】对于A，若，则，则， 因为，所以，则或或，故A不正确； 对于B，若，则，则， 因为，所以，所以或， 所以或，故B正确； 对于C，，则 ，故C正确； 对于D，若，则，则，则，即，所以，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知向量，，若，则______ 【答案】/0.5 【分析】根据向量垂直的坐标运算列方程，化简求得的值. 【详解】因为向量，， 所以， 又， 所以， 解得. 故答案为： 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）设向量，满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】设，，根据，求出，，，再据此求出即可． 【详解】设，， 因为，所以，， ， 因为， 所以， 也即，所以， 因为， 所以 ． 故答案为：． 13．（2025·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，且，则实数______. 【答案】5 【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】由已知，， ，， 即，. 故答案为：5 14．（25-26高三上·福建·月考）已知向量，，若，则____． 【答案】/0.5 【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解即可. 【详解】因为向量，，所以. 因为，所以， 所以，解得. 故答案为：. 15．（24-25高一下·河南洛阳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系并标点，利用向量数量积的坐标运算求夹角余弦值. 【详解】如图，不妨以A为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系，    过作轴于M点， 由题意可得，则， 且， 则，，，，， 得，， 所以. 故答案为：. 16．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点． (1)求的大小． (2)设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用平行四边形得出，再应用平面向量夹角余弦公式计算求解； （2）设，应用平面向量的坐标运算结合数量积坐标运算求解. 【详解】（1）由题意得． 因为四边形是平行四边形， 所以 因为，所以． （2）设，其中，则． ， 故的取值范围是． 17．（25-26高一下·全国·课后作业）设，，又，，若与夹角为，求实数m的值． 【答案】． 【分析】先依次计算、、，再由向量夹角余弦公式即可计算求解m. 【详解】，， ， ， ， 又，， ， 化简得，解得或． 又，即， 所以． 18．（2025高三·全国·专题练习）设函数，点和点都在的图象上，且，设，求的取值范围． 【答案】 【分析】设，由，可得，利用参变分离及双勾函数值域求解即可. 【详解】设，由于，在图象上， 所以，， 则， ， ， 又三点相异，所以且， 从而， 又时，，所以， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为． 19．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知向量，． (1)若，且，求； (2)若，且存在使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平行的坐标表示得出，结合倍角公式求解即可； （2）由数量积公式、三角函数的性质结合得出实数a的取值范围． 【详解】（1）由得， 由知， ∴， 即， ∴． （2）由题，其中． ， 当时，， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴，即实数a的取值范围是． 20．（24-25高一下·吉林延边·月考）已知向量. (1)若且与方向相反，求的值； (2)若. ①求与的夹角的余弦值 ②求. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据向量平行可得或，并代入检验即可； （2）根据向量垂直可得.①：根据向量坐标运算求，，，即可得夹角余弦值；②先求，进而根据模长的坐标公式运算求解. 【详解】（1）因为向量， 若，则，解得或， 当，则，可知，此时与方向相反，符合题意； 当，则，可知，此时与方向相同，不符合题意； 综上所述：. （2）因为向量，则， 若，则，解得， 此时，. ①可得，，， 所以. ②因为，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $