专题—外接球和内切球问题 讲义(知识点+基础题+提升题+解析)-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
专题--球的接切问题
核心：找球心，画截面，求半径
一、球与正方体
正方体的内切球
位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；
数据关系：设正方体的棱长为
，球的半径为
，这时有
.
正方体的棱切球
位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；
数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有
正方体的外接球
位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；
数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有
.
【例1】正方形的全面积为24，求它的外接球、内切球以及与它的各棱都相切的球的表面积
解：正方体的边长为2，
外接球：直径为正方体体对角线
，
内切球：直径为正方形边长
，
棱切球：直径为面对角线
，
二、内切球问题
1、截面法：几何图形为圆锥、圆柱，正多边形时，用截面法求球半径
（正三棱锥截面后用相似三角行求球半径）
2、等体积法：对于任何三棱锥，
【例1】若将棱长为4的一个正方体木料经过切割、打磨加工出一个体积最大的球，则这个球的体积是______
解：球的直径为4，球的半径为2，
【例2】在
中，
,以
为旋转轴转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为______
解：如图截面，球半径为
，
学科网（北京）股份有限公司
【例3】古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，则球的体积与圆柱的体积
之比为_________
解：设圆柱的母线为
，则球的半径为
；
，
【例4】若球
是圆锥
的内切球，且圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球的体积为______
解：相当于边长为2的正三角形内接圆，设半径为
，
，
【例5】半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（ ）
A、
B、
C、
D、
解：作出过正方体的对角面的截面，如图所示，
设球的半径为
，正方体的棱长为
，那么
，
在直角
中，由勾股定理，得
,
即
，解得
，
所以半球的体积为
，
正方体的体积为
，
所以半球与正方体的体积比为
故选：B
【例6】某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是（ ）
A、16 B、8 C、32 D、24
解：因为四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，
所以该四棱锥是正四棱锥，如图正四棱锥
，
当半径为
的球是正四棱锥的内切球时，该四棱锥的表面积最小，
设正方形
的边长为
，设
，连接
，则
面，
所以正四棱锥的高为，设
，正四棱锥的表面积为
，
由
，
即为
，
学科网（北京）股份有限公司
整理可得：
，所以
，可得
，
所以正四棱锥体积为
，
则
，
设
，可得
，
所以
，
当且仅当
即
，
时，等号成立，该四棱锥的表面积最小值是
，故选：C.
三、外接球问题
1、补长方体：
模型一：墙角模型（补型为长方体）（三条棱两两垂直即可）
方法：找到两两垂直的三条线
，不局限于三棱锥，也可以是三棱柱（都是长方体的一部分）
外接圆半径：
【例1】已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积为_____
解：
，
，
【例2】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为
，则其外接球的表面积为是______
解：三条侧棱两两垂直，且长为，外接圆半径为
，
【例3】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且他们的面积为6，4，3，那么它外接球表面积为_____
解：三棱两两垂直，设三棱长为
，
，
学科网（北京）股份有限公司