专题—外接球和内切球问题 讲义(知识点+基础题+提升题+解析)-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

外接球问题 1、补长方体: 模型一:墙角模型(补型为长方体)(三条棱两两垂直即可) 方法:找到两两垂直的三条线,不局限于三棱锥,也可以是三棱柱(都是长方体的一部分) 外接圆半径: 【例1】已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积为_ 解:,, 【例2】若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积为是_ 解:三条侧棱两两垂直,且长为,外接圆半径为, 【例3】若三棱锥的三个侧面两两垂直,且他们的面积为6,4,3,那么它外接球表面积为_ 解:三棱两两垂直,设三棱长为 ,, 【例4】在正方体中,三棱锥的表面积为,则正方体外接球的体积为( ) A、 B、 C、 D、 解:设正方体的棱长为,则,由于三棱锥的表面积为, 所以,所以 所以正方体的外接球的半径为, 所以正方体的外接球的体积为 故选: 模型二:对棱相等模型(补型为长方体) 方法:第一步:画一个长方体,标出三组相等的以面直线 第二步:设长方体长宽高为,三组异面直线的长为 第三步: 【例5】在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积是_ 解:由题意,,,,将三棱锥放到长方体中, 可得长方体的三条面对角线分别为,,5, 【例6】在中,,将绕旋转至的位置,使得,如图所示,则三棱锥外接球的体积为_ 解:在中,由余弦定理得,所以. 在三棱锥D—ABC中,. 从而三棱锥D—ABC外接球的体积,故答案为: 【例7】在平行四边形中,,,且,沿将折起,使点到达 点处,且满足,则三棱锥的外接球的表面积为_ 解: 所以,对棱相等, 【例8】如图,在中,,分别为三边中点,将 分别沿向上折起,使重合为点,则三棱锥的外接球表面积为( ) A、 B、 C、 D、 解:,即三棱锥的对棱相等,先将该三棱锥补充成长方体, 【例9】已知四面体的棱长满足,,现将四面体放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中,使得四面体可以在圆锥中任意转动,则圆锥侧面积的最小值为_. 解:根据题意,只需四面体在圆锥的内切球内,下面求四面体的外接球半径 当圆锥的侧面积最小时,该圆锥的内切球即四面体的外接球, 则此时圆锥的内切球的半径为,底面圆的半径为, 母线长为,所以侧面积为. 故答案为:. 2、补圆柱体 模型一:汉堡模型(直棱柱、圆柱的外接球) 方法:第一步:确定球心,的外心为 第二步:算出小圆半径为, 第三步:勾股定理 【例10】已知某圆柱的高为,体积为,则该圆柱外接球的表面积为( ) A、 B、 C、 D、 解:设圆柱底面圆的半径为,则,解得. 设该圆柱的两底面中心分别为、,则该圆柱外接球的球心为线段的中点, 球的半径为,故球的表面积,故选:B. 【例11】正六棱柱,其侧棱垂直于底面,该六棱柱的体积为,底面周长为3,则六棱柱外接球的体积为_ 解:设正六边形边长为,高为,小圆半径为,所以 底面积,, 【例12】在直三棱柱中,,则直三棱柱外接球的表面积_ 解:, 模型二:垂面模型(补直棱柱外接球) 适用:一条棱垂直底面 长方形面垂直底面 方法:1、先求外接圆半径(正弦定理:) 2、 是外心,球心为,连接,, 3、勾股定理 【例13】在四面体中,,,,则该四面体外接球表面积_ 解:, , 【例14】已知四面体的每个顶点都在球的球面上,平面,,是正三角形,是等腰三角形,则球的体积为( ) A、 B、 C、 D、 解:平面,平面,, 又是等腰三角形,. 是正三角形,. 设为外接圆的圆心,则,, ,球的体积. 故选:C. 【例15】《九章算术》中记载,堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱,阳马是指底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥,如图,在堑堵中,,=3,当阳马的体积为8时,堑堵的外接球表面积的最小值是( ) A、 B、 C、 D、 解:根据题意,把堑堵补形为长方体,则长方体的对角线即为堑堵的外接球的直径,设,,则阳马体积,, 把堑堵补形为长方体,则长方体的对角线长, 当且仅当时上式取“”.即堑堵的外接球的半径的最小值为, 堑堵的外接球的表面积的最小值为 【例16】已知三棱锥的顶点都在球的球面上,,,平面,若球的体积为,则该三棱锥的体积是( ) A、 B、5 C、 D、 解:因为,,易知三角形为等腰直角三角形, 又平面ABC,所以PB为三棱锥的高,则可将三棱锥放入长方体内 球半径为,底面外接圆半径为 ,所以 所以三棱锥的体积,故选:A 3、补圆锥 模型一:斗笠模型:上顶点投影为下底面的正中心 方法:1、先求外接圆半径 2、是外心,球心为, 3、勾股定理 【例17】底面是边长为1的正方形,侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为_ 解:设顶点为P,底面正方形外接圆圆心为O,半径为,四棱锥侧棱长为1, 外接球半径为, 【例18】正四棱锥的顶点都在同一球面上, 若该棱锥的高为4 , 底面边长为2 , 则该球