专题8.6 空间直线、平面的平行重难点题型讲义（3个知识点+13大题型+2大拓展训练+自我检测） -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题8.6 空间直线、平面的平行重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 等角定理的应用 题型二 判断线面平行 题型三 证明线面平行 题型四 补全线面平行的条件 题型五 线面平行的性质 题型六 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型七 由线面平行求线段长度 题型八 判断面面平行 题型九 证明面面平行 题型十 补全面面平行的条件 题型十一 面面平行证明线线平行 题型十二 面面平行证明线面平行 题型十三 空间平行的转化 拓展训练一 线面平行相关求解 拓展训练二 面面平行相关求解 知识点一： 等角定理 1、文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2、符号语言：,或 3、等角定理的两个推论 （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 4、作用：判断和证明两个角相等或互补。 【即时训练】 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，，则等于（    ） A． B．或 C． D．以上结论都不对 【答案】B 【分析】角的两边分别平行，但方向不确定，分类讨论即可得到答案. 【详解】因为，，且，所以或. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是要注意角的方向. 2．（25-26高二上·上海·月考）若与的两边分别平行，且，则__________. 【答案】或 【分析】两角的两边分别平行时，两角相等或互补 【详解】 当两角的两边分别平行时，两角相等或互补，如图所示，角B为或 故答案为：或 知识点二： 直线与平面平行的定理 1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行 2、符号：aα，b⊂α，a∥b⇒a∥α. 3、图形语言： 4、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 5、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 6、图形语言： 【即时训练】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据线面平行判定定理判定①，③，④，应用线面平行判断线线平行判定②. 【详解】①中可能在内，①错误； ②中与可能相交或平行或异面，②错误； ③中也可在内，③错误； ④中与也可能异面，④错误． 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·月考）如图所示，三棱柱的侧面是菱形，设是上的点且，则的值为________． 【答案】1 【分析】利用线面平行证明出，再通过中位线的性质证明出点为的中点，即可得出结论. 【详解】，且平面平面， ， 四边形是菱形， 为的中点， 为的中点， 即. 知识点三： 平面与平面平行的定理 1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) 2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α. 3、图形语言： 4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 则这两个平面1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 6、图形语言： 7、平面与平面平行其他常用性质推论 （1）平行于同一个平面的两个平面平行. （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. （3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 平行． 【即时训练】 1．（24-25高一下·河北邯郸·月考）已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，为异面直线，，，则 【答案】C 【分析】借助正方体中的空间关系，来举反例，判断ABD是错误的，故C正确. 【详解】 在正方体中，由于平面，平面， 但平面与平面不平行，故A错误； 同理，由于平面，平面，且 但平面与平面不平行，故B错误； 同理，由于平面，平面，且与是异面直线， 但平面与平面不平行，故D错误； 对于C，由，得，而，因此，C正确. 故选：C. 2．（25-26高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，则与平面ADE的关系是______． 【答案】平面ADE 【分析】取的中点H，连接FH，，然后可证明平面 平面ADE，即可得到答案. 【详解】平面ADE，证明如下： 取的中点H，连接FH，， 因为E，F分别是，的中点，所以， 所以四点共面，且AE，又平面AED，平面AED，所以平面AED， 又AD FH，平面AED，平面AED，所以FH 平面AED， 又，所以平面 平面ADE， 因为平面，所以平面ADE 故答案为：平面ADE 【经典例题一 等角定理的应用】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为，，且，根据等角定理， 可得或． 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，利用等角定理推理得证. 【详解】依题意，，，则， 又，同理， 观察图形知，射线方向相同，射线方向相同，即的方向相同， 所以. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【答案】B 【分析】利用已知条件判断线段和，线段和的位置关系即可求解. 【详解】因为E，F，G分别为，，的中点，所以∥,∥,∥， 所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补. 故选：. 2．（25-26高二·上海·课堂例题）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 【答案】B 【分析】根据等角定理进行判断. 【详解】根据等角定理：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 两个三角形的两边分别平行，那么这两个三角形的三个角可能出现以下情况： （1）三组角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）三组角中有一组对应角互补，如，，， 又，则，所以，此时两个三角形相似； （3）三组角中有两组对应角互补，如，，， 由，则，这与矛盾，故这种情况不会出现. （4）三组对应角都互补，即，，， 这与，矛盾，所以该情况也不会出现. 综上可知，两个三角形相似. 故选：B 3．（25-26高一下·全国·课前预习）若，且，则为________. 【答案】或 【详解】根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补即可得解. 根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补，即与相等或互补 所以或. 4．（24-25高二·上海·课堂例题）已知长方体． (1)画出两个平面与的交线； (2)求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于，交于，连接即为所求； （2）证明四边形为平行四边形，得到，又根据正方体的性质得到，由等角定理即可证明． 【详解】（1）解：连接交于，交于，连接，即为所求交线，如下图； （2）解：， 四边形为平行四边形， ， 又，并且射线方向相同，根据等角定理， ． 【经典例题二 判断线面平行】 【例1】（25-26高三上·广东东莞·期末）过正方体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（   ） A．6条 B．8条 C．12条 D．16条 【答案】C 【分析】画出图形，由图形判断即可. 【详解】 由三角形的中位线易得平面， 易得平面平面， 所以平面内有6条， 平面关于平面对称的平面内有6条， 共有12条. 故选：C. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线与平面具有怎样的位置关系?如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线，并把看成平面内的直线，则直线与直线具有怎样的位置关系？由此思考怎样才能证明直线与平面平行. 【答案】答案见解析 【分析】根据线面平行的判定定理可得结论. 【详解】如果将乒乓球台的台面抽象成平面，将乒乓球网的上边缘抽象成直线， 则直线与平面无公共点，所以， 如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线，并把看成平面内的直线，则， 所以，要证明直线平行于平面，只需平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与这个平面平行. 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是（    ）. A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据线面平行的关系直接判断得出. 【详解】如图1，平面即平面，只有1条棱与其平行，所以A错误； 如图2，对于平面，有6条棱与其平行，它们分别为．所以B错误； 如图3，对于平面，有5条棱与其平行，它们分别为．所以C错误； 如图4，平面可由平面绕直线旋转得到，有2条棱与其平行，其余各棱均与其相交，所以D正确. 故选：D． 2．（多选）（24-25高一下·河南·期中）已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】ABC 【分析】A. 利用线面平行的判定定理判断；B.利用线面平行的性质定理判断；C.利用线面平行的判定定理判断；D.利用线面平行的判定定理判断. 【详解】A. ，或，故错误； B. ，或a与b异面，故错误； C. ，或，故错误； D. ，，，故正确； 故选：ABC 3．（2025高三·全国·专题练习）如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是______ 【答案】平行 【分析】根据题意，可得把三条线段放在正方体中，结合线面平行的判定定理，即可得到结论. 【详解】如图所示，把这三条线段放在正方体内， 因为分别为的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面.    故答案为：平行. 4．（2025·四川自贡·一模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面分别是中点. (1)判断直线与平面的位置关系； (2)若与平面所成角为，求到平面的距离. 【答案】(1)平面 (2) 【分析】（1）通过构造平行四边形的方法证得平面. （2）先求得，然后根据等体积法求得正确答案. 【详解】（1）设是的中点，连接，由于是的中点， 所以，而， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面. （2）连接，由于平面， 所以直线与平面所成角为， 由于平面，所以， 由于，所以，所以. 由（1）得平面，所以到平面的距离等于到平面的距离， ，， 对于三角形，， 所以为钝角，所以， 所以， ，设到平面的距离为， 由得， 所以到平面的距离为. 【经典例题三 证明线面平行】 【例1】（24-25高一上·江苏南通·月考）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且，又点H，G分别为BC，CD的中点，则（   ） A．平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 【答案】B 【分析】先应用线面平行判定定理证明线面平行，再结合边长关系得出四边形为梯形即可判断选择. 【详解】由知，，且． 又平面，平面，平面． 又点H，G分别为BC，CD的中点，且， 且，四边形是梯形． 故选:B． 【例2】（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】设与的交点为，连接，结合中位线定理，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】设与的交点为，连接， 因为是菱形，所以是线段的中点， 又是棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 1．（24-25高一下·河北·月考）如图，在直三棱柱中，点、分别在棱上，且，点满足，若平面，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理找到过直线且与直线平行的平面，进而确定点的位置，最后利用相似求解即可. 【详解】在上取一点使得，连接， 与交于一点，即为所求（如图所示）. 证明如下： 因，，则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 即平面， 又，，，则， 则，即的值为. 故选：D 2．（多选）（2026高一下·全国·专题练习）在梯形ABCD中，AB∥CD，平面，平面，则直线与平面内的直线的位置关系可能是（　　） A．平行 B．异面 C．相交 D．相交且垂直 【答案】AB 【分析】根据题意分析可知平面，结合线面平行分析判断. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 可知直线与平面内的直线没有公共点， 所以直线与平面内的直线的位置关系可能平行，也可能异面， 故选：AB. 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是________． ①平面；②平面；③平面． 【答案】①③ 【分析】结合已知条件，利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可. 【详解】对于①，因为，平面，平面， 所以平面，所以①正确， 对于②，延长到，使，连接，如图， 因为为的中点，所以， 因为与平面交于点，所以与平面不平行，所以②不正确； 对于③，连接交于，连接，如图， 因为，为的中点，所以， 因为，所以四边形为平行四边形，所以为的中点， 因为为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面，所以③正确， 故答案为：①③ 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】要证明线面平行，需要通过证明线线平行得到线面平行，即证明. 【详解】证明：连接交于点，如图所示：    由是正方形得为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 于是，又因为平面，平面， 所以平面. 【经典例题四 补全线面平行的条件】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点为的中点，取的中点，连接，，然后证明平面即可. 【详解】如图，设点为的中点，取的中点，连接，，    则，又平面，平面，∴平面， 易知，故平面与平面是同一个平面， ∴平面，此时， 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，E为边的中点，直线上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【分析】连接，．记，先证明为平行四边形，Q为的中点，继而可作出，结合线面平行的判定即可得出结论. 【详解】如图，连接，．记，而，， E为边的中点，则， 故为平行四边形，且Q为的中点， 连接，在平面内作，交延长线于M， 则有，所以． 此时平面，平面， 则直线平面， 即直线上存在点M，使得直线平面，. 1．（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 2．（多选）（24-25高一下·重庆酉阳·月考）已知、是两条互相平行的直线，是一个平面．若要使得，则需添加下列哪些条件（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由线面平行的判定定理即可得出答案. 【详解】由，所以需添加，. 故选：AC. 3．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连和，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定，即可证得平面.； （2）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，结合面面平行的性质，即可证得平面． 【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． 【经典例题五 线面平行的性质】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如果直线平面，那么直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 【答案】D 【分析】由线面平行的性质判断即可. 【详解】线面平行，则线面无公共点， 所以直线与平面内的所有直线都不相交，故ABC错误，D正确． 故选：D 【例2】（2025高三·全国·专题练习）用平行于四面体的一组对棱，的平面截此四面体得截面．求证：截面是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】利用直线与平面平行的性质定理及平行线的传递性即可证明. 【详解】如图，平面，平面平面，平面， 由线面平行的性质定理知． 平面，平面平面，平面， ，； 平面，平面平面，平面， ， 平面，平面平面，平面， ，， 截面是平行四边形． 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线面平行的性质定理得到，故，转化为求即可． 【详解】    连接 交 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，所以 . 又 ， 为 的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D. 2．（24-25高三上·重庆·月考）已知直线和平面，若，，则过点且平行于的直线（    ） A．只有一条，且不在平面内 B．只有一条，且在平面内 C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内 【答案】B 【分析】根据线面平行的性质定理判断． 【详解】显然，设由点和直线确定的平面为，则与相交，设，， 如图，直线是唯一确定且在平面内的直线， 又，所以． 如果过还有一条直线与平行，则，这是不可能的． 所以过点P且平行于的直线只有一条，在平面内． 故选：B    3．（25-26高三·全国·一轮复习）如图所示，均与平面平行，分别在上，且．则四边形的形状为______．    【答案】矩形 【分析】由线面平行的性质定理可证明，，进而，同理可证，再由，即可得到答案. 【详解】因为平面，平面平面，平面，所以． 同理，所以． 同理，所以四边形为平行四边形． 又因为，所以， 所以平行四边形为矩形． 故答案为：矩形 4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在直平行六面体中，点在棱上.若平面，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】连接交于点，连接，求证，即可. 【详解】 连接交于点，连接， 可知平面平面， 又因为平面平面，所以， 因为为直平行六面体， 所以为平行四边形， 所以为的中点， 所以为的中点， 即. 【经典例题六 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例1】（2026·全国·模拟预测）如图．四棱锥的底面为正方形，空间中存在点E，满足，则点E可能位于（    ） A．平面与平面的交线上 B．平面与平面的交线上 C．直线上 D．直线上 【答案】A 【分析】利用线面平行的判定定理与性质定理即可得到答案. 【详解】设平面平面， 因为，所以平面，由线面平行的性质定理知，； 又， 所以与重合， 即点E位于平面与平面的交线上. 故选：A． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试求的值． 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理得到，然后利用相似和菱形的性质求比值即可. 【详解】解：如图，连接BD交AC于点，连接OM． 因为平面MEF，平面平面，平面PAC， 所以，所以． 在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以． 又，所以， 故，即的值为． 1．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作图，根据线面平行的判定定理可知平面，然后根据线面平行的性质定理可知，可得，判断即可. 【详解】设平面DAM与交于点P，连接DP交于点Q，连接QN，如图： 因为平面DAM，平面DAM， 所以平面DAM，又平面，平面平面，所以， 因为M是三等分点，所以，因为平面平面，所以平面， 又平面PDM，平面平面，所以， 所以，因此． 故选：C 2．（2025·全国·模拟预测）三棱柱中，点在上，且，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于，连接，由线面平行的性质可得，即可得出为中点. 【详解】如图，连接，交于，连接， 平面，平面，平面平面， ，中，为中点，为中点， ，. 故选：A. 3．（24-25高一下·河南洛阳·月考）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为棱上的点，若，且平面，则____________． 【答案】/ 【分析】首先作辅助线，根据相似可求得，然后根据线面平行的性质得出线线平行，进而由相似定理可求得. 【详解】如图，连接交于点，连接． 因为，所以， 因为平面，平面平面平面， 所以，所以． 故答案为：. 4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四棱锥中，底面是菱形，，分别是棱，上的点，平面，且.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】设，连接交于点，连接，过点作，交于点，根据线面平行的性质证明，再利用相似比即可得出结论. 【详解】如图，设，连接交于点，连接， 平面，平面，平面平面， ， 为的中点，， 过点作，交于点，则， ，，，即. 【经典例题七 由线面平行求线段长度】 【例1】（24-25高三·全国·二轮复习）空间四边形的两条对角线，的长分别为4，，则平行于两条对角线的截面四边形在平移过程中，其周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可证四边形为平行四边形，设，即可表示出、，从而表示出四边形的周长，即可求出周长的取值范围； 【详解】解：依题意平面，平面，平面平面，所以，又平面，平面平面，所以，所以，同理可得，所以四边形为平行四边形， 设，， ，， ． 又， 所以 周长的范围为． 故选：B． 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，是棱长为正方体的棱上的一点，且平面，求线段的长． 【答案】 【分析】连接，交于点，由线面平行的性质可得，知为中点，利用勾股定理可求得结果. 【详解】连接，交于点，连接，则为的中点． 平面，平面，平面平面， ，又为中点，为中点，， 则在中，. 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解. 【详解】连接，，则过点.如图所示 ∵平面，平面平面，平面， ∴，∵， ∴. 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江金华·期中）已知正方体的棱长为1，在对角线上取点，在上取点，使得线段平行于对角面，则线段长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】作于点，作于点，则．设，则，，由此能求出的最小值． 【详解】作于点，作于点， 线段平行于对角面，． 设，则，， 在直角梯形， ， 当时，的最小值为． 故选：D 3．（25-26高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上．若平面，则线段EF的长度等于______，平面内与EF平行的线段是______． 【答案】 【分析】由线面平行的性质求解 【详解】在正方体中，，∴． 又E为AD的中点，平面，平面，平面平面， ∴，∴为的中点，∴． ∵，∴． 故答案为：， 4．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点在棱上，且满足. (1)若，求证：平面； (2)若点在线段上，且满足平面，且的取值范围为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，由题可得，根据线面平行的判定即可证明； （2）设交于点，连接并延长交的延长线于，由题可证四边形为平行四边形，得到，利用，可得，继而得到，即可. 【详解】（1）证明：连接，，，则为中点， 又为的中点，所以， 在正方体中，，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）设交于点，连接并延长交的延长线于， 平面，平面，平面平面， ，又，所以四边形为平行四边形， 则，又，所以， 又，所以， ，， 所以,因,则可得. 【经典例题八 判断面面平行】 【例1】（24-25高一下·河南郑州·期中）已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（   ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 【答案】D 【分析】由面面平行的判定定理即可判断. 【详解】对于A：平面内有一条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于B：平面内有两条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于C：平面内有无数条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于D：平面内有两条相交直线与平面平行，则，面面平行判定定理， 故选：D 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）在如图所示的五面体中，三个面，，都是平行四边形．求证：平面平面ABC．    【答案】证明见解析 【分析】只要证明平面内两相交直线都平行于另一平面即可. 【详解】证明  因为四边形是平行四边形，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC． 同理，平面ABC．又， 平面，平面 所以平面平面ABC． 1．（24-25高三上·上海·开学考试）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是异面直线，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【答案】C 【分析】根据各选项中的线面关系条件，利用面面平行的判定定理和线面平行的判定定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则与可能相交，故A错误． 对于B，若，则或，故B错误． 对于C，假设，因则，又因，则，故，这与是异面直线矛盾，故假设不成立，即，故C正确． 对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交， （这三点中有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧）故D错误． 故选：C． 2．（多选）（2025高一下·全国·专题练习）（多选）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，分别为，，，的中点，在此几何体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】根据面面平行，线面平行的判定定理逐个进行判断即可. 【详解】 如图所示，把平面展开图还原为四棱锥， 对于A：由，平面，平面，平面， 又，同理可证平面，又，，平面， 所以，平面平面，故A正确； 对于B： 因为，平面，平面，所以平面． 故B正确； 对于C：因为，平面，平面，所以平面． 故C正确； 对于D：由平面与平面有公共点，故平面与平面不平行，故D不正确； 故选：ABC. 3．（25-26高一·全国·随堂练习）若平面内任意一条直线均平行于平面，则平面与平面的位置关系是______． 【答案】平行 【分析】刚刚平面与平面平行的定义判断即可. 【详解】平面与平面平行的定义为：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行； 所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点， 即一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行， 所以若平面内任意一条直线均平行于平面，则平面与平面平行； 故答案为：平行 4．（24-25高二上·湖南长沙·月考）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，试确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)点为棱的中点时，平面∥平面；理由见解析. 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得∥，进而根据线面平行的判定定理可得∥平面； （2）根据面面平行的判定，先找到线面平行，当为中点时，运用三角形中位线特征可得线面平行，进而得到面面平行． 【详解】（1）证明：因为在中，、分别为、的中点， 则有∥， 又平面，平面， 所以∥平面． （2）解：当点为棱的中点时，平面∥平面，理由如下： 由（1）知，∥平面， 同理：∥平面， 又平面，平面，， 所以平面∥平面． 【经典例题九 证明面面平行】 【例1】（24-25高三·全国·一轮复习）在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，则点满足什么条件时，有平面∥平面．（    ） A．Q为的三等分点 B．Q为的中点 C．Q为的四等分点 D．Q与C重合 【答案】B 【分析】根据面面平行的判定定理易证Q为的中点时满足题意． 【详解】如图所示，设为的中点，连接PQ， ∵为的中点，易知PQ∥CD∥AB，且PQ＝CD＝AB， 故四边形BAPQ是平行四边形，∴QB∥PA， 又QB面，PA面，∴PA∥面． 连接，则DB过O，且O是DB中点， 又∵是中点，∴∥PO， 又面，PO面，∴PO∥面． 又，PA，PO面， ∴平面∥平面， 故为的中点时，有平面∥平面． 故选：B    【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知长方体，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据面面平行的判定定理，先证明线线平行，再证明线面平行，最后证明面面平行． 【详解】证明：在长方体中，易证． 因为平面，平面， 所以平面．同理可证平面． 又平面，平面，， 所以平面平面． 1．（24-25高一下·河南洛阳·期中）长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】取中点，证明平面平面，确定在上运动，当时面积最小，计算得到答案. 【详解】取中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，故平面， 同理可证平面， 又，平面， 故平面平面，平面平面， 结合P为下底面ABCD上一点，故在上运动，且为直角三角形， 当时，最小，最小值为， 此时的面积最小，求得. 故选：A 2．（多选）（24-25高一下·江苏无锡·期中）下列命题正确的是（    ） A．平面平面，一条直线平行与平面，则一定平行于平面 B．平面平面，则面内的任意一条直线都平行于平面 C．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行 D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线 【答案】BCD 【分析】由空间直线与平面、平面与平面的平行的判定定理与性质定理，对每一个选项进行逐一判断即可得到答案. 【详解】选项 平面平面，一条直线平行于平面，则可能在平面内，故A错误； 选项B. 平面平面，则内的任意一条直线都平行与平面，故B正确； 选项C. 一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，由面面平行的判定知，三角形所在的平面与这个平面平行，故C正确； 选项D. 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，不可能相交，故D正确. 故选：BCD. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形的边上及其内部运动，则满足_________时，有平面． 【答案】在线段上 【分析】根据平面平面，可知平面内任意一条直线都与平面平行，而点在四边形上及其内部运动，所以满足条件． 【详解】 连接，，，,． 由题易知,，平面,平面, 平面 又，同理可证平面, 又，，平面， 平面平面． 点在四边形的边上及其内部运动，平面平面,． 故答案为：在线段上, 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】要证明线面平行，可通过证明面面平行得到线面平行，即证明平面平面． 【详解】如图，取的中点，连接，． 在中，，，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 在直角梯形中，，且， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． 【经典例题十 补全面面平行的条件】 【例1】（24-25高一下·河北张家口·期末）已知为直线，、为两个不同的平面，下面的条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．与、所成角相等 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质，由线面关系判断面面关系判断A、B、D，利用线面垂直的性质及面面平行的判定即可判断C. 【详解】A：由，，则、可能相交或平行，不合要求； B：由，，则、可能相交或平行，不合要求； C：由，若、且相交，则，又，故，所以，符合. D：由与、所成角相等，则、可能相交或平行，不合要求； 故选：C 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点. 在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 【答案】存在，为中点，证明见解析 【分析】分析，当为中点时，由线面平行判定定理得平面，平面，再结合面面平行判定定理求证即可得结论. 【详解】存在，为中点时，平面平面， 连接，设，连接，易知， 因为为中点，为的中点，所以， 由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面， 同理可证得平面， 由于，平面， 所以平面平面. 1．（2026高一上·全国·专题练习）已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β，则直线a，b的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【答案】A 【分析】根据面面平行的判定：如果平面α内的两条直线a，b相交，且a∥β，b∥β，则平面α∥平面β，得到结论． 【详解】根据面面平行的判定：如果平面α内的两条直线a，b相交，且a∥β，b∥β， 则平面α∥平面β， 则直线a，b的位置关系是相交， 故选：A． 【点睛】考查了面面平行的判定定理，基础题 2．（24-25高二下·吉林·月考）平面α与平面β平行的充分条件可以是（    ） A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．直线aα，aβ，且直线a不在α与β内 C．直线 ，直线，且bα，aβ D．α内的任何直线都与β平行 【答案】D 【分析】由平面的基本性质，结合线面、面面间的关系判断是否有面面平行即可. 【详解】A：α内有无穷多条直线都与β平行，则面α与面β可能平行也可能相交，错误； B：直线aα，aβ，且直线a不在α与β内，则面α与面β可能平行也可能相交，错误； C：直线 ，直线，且bα，aβ，则面α与面β可能平行也可能相交，错误； D：α内的任何直线都与β平行，α内任取两条相交的直线平行于β，由面面平行的判定知，正确. 故选：D. 3．（2026高三·全国·专题练习）在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ平面PAO． 【答案】Q为CC1的中点 【分析】设Q为CC1的中点，推得QB∥PA，连接DB，证得D1B∥PO，证得D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，再结合面面平行的判定定理，即可求解. 【详解】如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA， 连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO， 又D1B平面PAO，QB平面PAO，且PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO， 所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO， 又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO， 故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO． 【点睛】解答空间中的平行关系及应用问题常见的误区： 1、对空间平行关系的转化条件理解不透导致错误； 2、对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解； 3、对面面平行性质定理理解不深导致错解. 4．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，. (1)求证：平面. (2)若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为，证明见解析 【分析】（1）连接并延长，与的延长线交于点，利用相似比证明，然后利用线面平行的判定定理和面面平行的性质定理证明即可. （2）结合平行线比例相等，利用线面平行的判定定理证得平面，由（1）平面，最后利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）如图，连接并延长，与的延长线交于点， 则平面和平面的交线为. 因为四边形为正方形，所以， 故，所以. 又因为，所以，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又平面平面，故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：如图，因为，即， 又，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. 【经典例题十一 面面平行证明线线平行】 【例1】（24-25高三上·辽宁·期末）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，根据三角形相似得到，根据面面平行得到线线平行，得到∽，故，从而，得到，所以. 【详解】延长交于点，连接， 则∽， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又四边形为平行四边形， 所以∽，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱中，且平面平面.求实数的值. 【答案】 【分析】连接交于点，利用面面平行的性质得到，得到，再结合条件，利用面面平行的性质得，结合正方体的性质得，从而有，即可求解. 【详解】连接交于点，则为的中点，连接， 因为平面平面， 平面平面， 平面平面， 所以 所以为的中点，所以， 因为平面平面， 平面平面， 平面平面， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 故. 1．（24-25高三下·重庆沙坪坝·月考）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于，结合面面平行性质定理证明，证明，结合相似三角形性质证明结论. 【详解】解析如图所示，延长交于，连接， 则，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又四边形是平行四边形， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以， 故选：B.    2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）平面与平面平行，且，下列说法中正确的有（    ） A．a与内的所有直线都平行 B．a与内无数条直线平行 C．a与内的任意一条直线都不垂直 D．a与无公共点 【答案】BD 【分析】如图，借助长方体逐项判断即可； 【详解】如图， 在长方体中，平面平面， 将平面看作平面，将平面看作平面， 平面，平面， 由长方体结构特点易知：与AB不平行，且与AB垂直，所以A，C错误. 易知两平面内由无数条直线平行，同时两平面没有交点，所以B，D正确； 故选：BD. 3．（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为______________. 【答案】或 【分析】由可知，根据两平面在点的同侧和异侧分别讨论，结合相似可得解. 【详解】 由已知，平面，平面， 所以， 当平面，在点同侧时，由可知点在靠近平面一侧， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 当平面，在点异侧时， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 综上所述或， 故答案为：或. 4．（24-25高二上·广东·期中）如图，在三棱台中，和都为等边三角形，且边长分别为和，，，为线段的中点，为线段上的点，平面． (1)求证：点为线段的中点； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行可证面面平行，进而可证线线平行，结合中位线的性质即可得证； （2）根据棱台性质可得四边形为等腰梯形，结合等腰梯形的性质可得面积，等体积转化可得点到平面的距离. 【详解】（1）由已知为三棱台， 则， 又，，且点为中点， ，， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 平面，且，，平面， 平面平面， 平面平面，平面平面， ， 为中点； （2） 连接，， 由（1）可知，， 又， 即，， 又，，平面， 平面， ， 易知四边形为直角梯形，则， 同理， 四边形为等腰梯形， 且等腰梯形的高为， 则， 设点到平面的距离为， 则， 即， 解得. 【经典例题十二 面面平行证明线面平行】 【例1】（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若m，n是异面直线，，，，，则 【答案】D 【分析】利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A，若，，则与平行或相交，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，，则与平行或异面，故C错误； 对于D，因为，所以在内存在直线∥，又，所以∥； 又是两条异面直线，所以直线与是两条相交直线；又，所以；故D正确. 故选：D. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    【答案】证明见解析 【分析】先通过选取辅助点,在上取一点,由线段平行证明线面平行，然后得到面面平行，利用面面平行的性质，即可得到∥平面. 【详解】证明：如图，    在上取一点，使得，连接， 因为是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点， 所以，所以∥，∥， 因为∥，故∥． 因为平面平面， 所以∥平面∥平面， 因为平面，所以平面∥平面． 因为平面，所以∥平面． 1．（2025·贵州毕节·一模）已知平面：在平面内，过点存在唯一一条直线与平行，与不平行，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用线面、面面平行的判定性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由平面，得平面是不同平面， 命题“若，则”：假设平行，则过点有无数条直线与平行，与矛盾，因此“若，则”是真命题； 命题“若，则”：不平行，则相交，令交线为，由，得， 平面内过点有唯一一条直线与直线平行，该直线不在内，而在内，则该直线与平行， 因此在平面内，过点存在唯一一条直线与平行，“若，则”是真命题， 所以是的充要条件. 故选：C 2．（多选）（2025·海南·模拟预测）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的为（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则或 D．若，，则或 【答案】AB 【分析】根据线面平行的判定及性质，以及面面平行的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，，可得与可能平行或异面，所以A不正确； 对于B，若，，可得与可能平行、相交或异面，所以B不正确； 对于C中，若，，当时，可得，或者，所以C正确； 对于D中，若，，根据线面平行的判定定理，可得或，所以D正确. 故选：AB. 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，若动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是_________．    【答案】 【分析】构造与平面平行的平面，得出点轨迹，在中计算的范围即可． 【详解】连接，，取的中点，的中点，连接，，， 则，，所以， 因为， ， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为，所以平面平面， 平面，的轨迹为线段． ，， 当时，取得最小值， 当与（或重合时，取得最大值．． 故答案为：．    4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，分别为棱，的中点，且，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点G，连接，通过平面，平面，得到平面平面，即可求证. 【详解】证明：如下图，取中点G，连接， 因为E，F分别为棱BC，PA的中点，G为AD中点，所以， 由在平面内，不在平面内，故平面， 由在平面内，不在平面内，故平面， 又且都在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 【经典例题十三 空间平行的转化】 【例1】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据面面平行的判断定理和性质定理判断选项. 【详解】A,不正确，缺少条件；B. 若，则，正确；C.不正确，缺少条件，相交；D.不正确，若，则，或异面. 故选：B 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）如图，在三棱柱中，M是的中点，平面平面，平面．求证：    (1)； (2)N为AC的中点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由面面平行的性质得到线线平行； （2）证明出四边形为平行四边形，从而证明出结论. 【详解】（1）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以． （2）三棱柱中，，且， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 又M是的中点， 所以， 所以N为AC的中点． 1．（2025·河南·二模）如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，根据线面平行的判定定理，证得平面，平面，进而证得平面平面，得到当时， 平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，在中，求得，结合，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在正方体中，可得且， 因为，分别是棱的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段， 因为正方体的边长为，可得，， 在中，可得，且， 则，所以的最小值为. 故选：B. 2．（多选）（24-25高三上·江苏南通·期中）设，是两个不重合的平面，下列选项中，是“”的必要不充分条件的是（    ） A．内存在无数条直线与平行 B．存在平面，满足，且 C．存在直线与，所成的角相等 D．内存在不共线的三个点到的距离相等 【答案】ACD 【分析】根据面面平行的条件及性质逐项判断即可． 【详解】解：内存在无数条直线与平行不可以得到，反过来可以，A对； 存在满足且，则，满足充分性，B错； 存在与，所成的角相等，，有可能相交不能得到，反过来， 一定存在使得，所成角相等，C对； 内存在不共线的三个点到的距离相等，也可能两平面相交，不能得到，反过来时内一定存在不共线的三个点到的距离相等，D对． 故选：ACD． 3．（25-26高一·全国·课后作业）不共面的四个点到平面的距离都相等，这样的平面共有_________个． 【答案】7 【分析】根据题意画出构成的几何体，根据平面两侧的点的个数进行分类，利用三棱锥的结构特征进行求解． 【详解】解：空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥， ①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥由四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个， ②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个， 所以满足条件的平面共有7个， 故答案为：7． 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则； 【答案】作图见解析，证明见解析 【分析】通过延伸平面内的直线来作出平面与平面的交线，通过面面平行的性质定理证得、，由此证得. 【详解】 如图，延长交的延长线于， 连接交于， 则所在的直线即为平面与平面的交线. 证明：∵平面平面，平面平面， 平面平面， ∴. 又∵平面平面，平面平面，平面平面， ∴，∴. 【拓展训练一 线面平行相关求解】 【例1】（24-25高三上·河南·月考）在正方体中，若平面与平面的交线为，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】经推理得出是过点且平行于的直线，再根据各选项中需判断的直线，平面之间的关系，结合图形，利用线线平行，线面平行的判定和性质逐一判断即得. 【详解】 因为点平面平面，所以. 又因直线平面平面，故得， 所以是过点且平行于的直线. 对于A，因为,，所以，故不成立，即A错误； 对于B，因为，而，故不成立，即B错误； 对于C，因为，而平面,故平面不成立，即C错误； 对于D，因为,，所以， 又平面平面，所以平面，即D正确. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面相交于CD，是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点，使得平面？说明理由． 【答案】存在；理由见解析 【分析】如图，连接AC，BD交于点，可得，则可得平面． 【详解】存在，当为AM的中点时，平面． 理由如下： 如图，连接AC，BD交于点，因为四边形为矩形，所以为AC的中点， 连接OP，因为为AM的中点，所以， 又不在平面内，平面，所以平面． 1．（24-25高一下·河南·期中）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理找到过直线且与直线平行的平面，从而可以确定点位置，进而求解即可. 【详解】在上取一点使得，连接， 与交于一点，即为所求（如图所示）.    证明如下： 根据已知，， 在直三棱柱中，，且， 四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，即平面. 又，， ，即的值为. 故选：A. 2．（多选）（24-25高一下·湖南长沙·月考）已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，，则直线a，b一定相交 B．若，，则 C．若，，则直线a平行于平面内的无数条直线 D．若，，，则a与b是异面直线 【答案】BC 【分析】根据空间直线和平面平行的判定和性质即可逐项判断. 【详解】对于A，若，，则或a与相交，A错误； 对于B，若，，由面面平行的性质可得：存在使得，由线面平行的判定可得，B正确； 对于C，若，，则因为在α内存在无数条直线和b平行，故直线a平行于平面内的无数条直线，故C正确． 对于D，若，，，则ab或a与b是异面直线，故D错误； 故选：BC. 3．（2025·福建·高考真题）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则______. 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理，可得到，即可求的长. 【详解】根据题意，因为平面，平面， 且平面平面 所以. 又是的中点，所以是的中点. 因为在中，，故. 故答案为： 4．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过、、三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【答案】(1)证明见详解 (2)是的中点，证明见详解 【分析】（1）取中点，连接，证明，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）证明，结合线面平行的性质定理即可得证. 【详解】（1） 如图，取中点，连接， 因为是的中点，所以，且， 因为四边形为平行四边形，且是的中点， 所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）为的中点，证明如下： 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以， 因为是的中点，所以是的中点. 【拓展训练二 面面平行相关求解】 【例1】（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【答案】D 【分析】根据平面与平面的位置关系及面面平行的判定定理判断即可. 【详解】一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，A错误； 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，B错误； 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，C错误； 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，根据面面平行的判断定理可知，这两个平面平行，D正确. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱上，若平面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论. 【详解】依题意，作出图形如图所示 设为的中点，因为为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 连接，又因为平面，，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，又， 所以，所以，所以. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）如图所示，平面平面，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于A，由面面平行的定义以及线面平行的定义知显然成立，对于B，利用平行线分线段成比例定理即可求解，对于C，的长度不确定，对于D，由已知可得，而由，但与长度关系不确定. 【详解】对于A，因为平面平面平面，所以平面，故A正确； 对于B，设由与所确定的平面为， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，所以，即，解得，故B正确； 对于C，若，则，这与三角形三边关系定理相矛盾，故C错误； 对于D，，而由， 但与长度关系不确定，故D错误， 故选：AB. 3．（24-25高二上·河南信阳·月考）在边长为3的正方体中．平面与平面之间的距离为_________. 【答案】 【分析】根据面面平行，将面面距离转化为点面距离，利用等体积法即可求解. 【详解】由于故四边形为平行四边形， 故平面,平面,所以平面， 同理可得平面，又平面， 因此平面， 故点到平面的距离即为平面与平面之间的距离， 设到平面的距离为，为边长为的等边三角形， 故,所以， 故， 故答案为：    4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，等腰梯形中，，，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】若分别是上的点，且，得到，通过平面，平面，进而可求证. 【详解】若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面， 故平面. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行 B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C．空间四边形的两条对角线可以相交 D．空间四边形的两条对角线不相交 【答案】D 【分析】运用等角定理，平面性质，点共面共线等知识逐个判断. 【详解】若两个角相等，它们的两边不一定分别平行.比如一个角的两边与另一个角的两边方向相反时，两角相等但两边不平行，所以A选项错误. 空间四边形的定义就是四个顶点不共面的四边形，如果四个顶点在一个平面内，那就变成平面四边形了，所以B选项错误. 空间四边形的四个顶点不共面，若两条对角线相交，那么四个顶点就会共面，这与空间四边形的定义矛盾，所以C选项错误. 由空间四边形的定义可知，其四个顶点不共面，所以两条对角线不相交，D选项正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，连接，由线面平行的性质得，即有，结合已知得，即可得. 【详解】连接交于点，连接，显然平面平面， 又平面，平面，则，即， 由为平行四边形，且E为线段AD的中点，易知， 所以. 故选：A 3．（24-25高一下·山东济南·期中）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且平面，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先作辅助线，构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质求得的比值. 【详解】过作交于，连接，如图所示. 因为，平面，不在平面上， 根据线面平行的判定定理可得平面. 又因为平面，，平面， 根据平面与平面平行的判定定理的推论，可得平面平面. 又平面平面，平面平面，所以. 根据相似三角形性质可得：. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以. 又，所以，所以. 故选：B. 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在四棱锥中，E，F分别是线段AP，BC上的点，，则下列条件可以确定平面PCD的是（   ） A． B． C．平面PAD D．， 【答案】A 【分析】结合图形，设点M是对角线AC上一点，满足，则有，要使平面，则需使，根据各选项条件，判断是否可以推得即可. 【详解】设点M是对角线AC上一点，满足，则有平面，平面，进而平面，要使平面，则平面平面，需使. 对于A，在四边形ABCD中，由，，可得，故A 正确； 对于B，因为，又因为，但与不一定相等，所以不一定是平行四边形，从而得不到，故B错误； 对于C，因为平面PAD，平面ABCD，平面平面，所以，结合B项分析，可得C错误； 对于D，结合B项分析，同样得不到，故D项错误． 故选：A． 5．（24-25高三上·湖南·月考）已知正方体的棱长为，，，若平面，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出相应平面平面，从而可知点在线段上，从而可得，即可求解. 【详解】由题可知点在正方形内（含边界）.取棱上靠近点的四等分点， 棱上靠近点的四等分点，连接，，易得， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面， 所以过线段且与平面平行的截面为如图所示的平面， 所以，所以点在线段上， 所以， 又因为，， 所以的取值范围是，故B正确. 故选：B. 6．（多选）（25-26高二上·四川内江·月考）如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面 【答案】AB 【分析】根据线面平行的性质可知，由此可得A正确；根据线面平行的判定定理可得B正确；对于C，运用反证法即可排除；对于D，根据条件从线面有公共点即可排除. 【详解】对于A，平面，平面平面，平面， ， 四边形为矩形，为中点，为中点， 为中点，即，A正确； 对于B，平面，平面，， 平面，B正确； 对于C，假设平面，因，则平面或平面， 平面，平面，平面且与平面不平行， 故假设错误，即不平行于平面，C错误； 对于D，因是的中点，平面，则点平面，故平面不成立，故D错误. 故选：AB. 7．（多选）（24-25高一下·四川成都·月考）已知为三条直线，为两个平面，下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用线面位置关系的定义和判定定理、性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，若，则或，所以A错误； 对于B中，若，则与平行、相交或异面，所以B错误； 对于C中，若，则与平行或异面，所以C错误； 对于D中，若，根据平行平面的性质，可得，所以D正确. 故选：ABC. 8．（多选）（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）给出下面四个命题正确的是（   ） A．分别在两个平行平面内的两直线平行 B．若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面 C．如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，则这两个平面平行 D．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 【答案】BD 【分析】根据面面平行的性质和判定定理逐一判断即可. 【详解】A：因为分别在两个平行平面内的两直线平行或异面，所以本选项说法不正确； B：根据面面平行的性质可知本选项说法正确； C：由面面平行的判定定理可知必须是相交直线，不能是任意两条直线，所以本选项说法不正确； D：根据面面平行的定义可知本选项说法正确. 故选：BD 9．（多选）（24-25高一下·福建泉州·月考）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理错误的是（    ）. A．，， B．， C．，且 D．，，， 【答案】BCD 【分析】对A，利用面面平行的性质定理可判断；对BCD，由线面平行，面面平行的定义和线线的位置关系可判断. 【详解】对于A，因为，由面面平行的性质定理可得，故A正确； 对于B，由，则与可能相交，平行，故B错误； 对于C，由，，则还可能在面或面内，故C错误； 对于D，由，当与平行时，与可能相交，故D错误. 故选：BCD. 10．（多选）（24-25高一下·广东梅州·期末）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（   ） A．若，，则、是异面直线 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】根据线面、面面位置关系可判断ABD选项；利用面面平行的性质可判断C选项. 【详解】对于A选项，若，，则、平行、相交或异面，A错； 对于B选项，若，，，则、没有公共点，即、平行或异面，B错； 对于C选项，若，，则，C对； 对于D选项，若，，则或或与相交（不一定垂直），D错. 故选：ABD. 11．（2025高二·上海·专题练习）已知空间中的两个角和，若，则_____. 【答案】 【分析】根据等角定理可得. 【详解】由等角定理可知与相等或互补， 所以或. 故答案为：或. 12．（24-25高二·上海·随堂练习）以下命题中（其中a，b表示直线，α表示平面），写出所有错误命题的编号________． ①若，，则    ②若，，则 ③若，，则    ④若，，，则 【答案】①②③ 【分析】利用空间中直线、平面的位置关系一一判定命题即可. 【详解】对于①，若，，则或，故①错误； 对于②，若，，则或a与b异面或a与b相交；故②错误； 对于③，若，，则或，故③错误； 对于④，根据直线与平面平行的性质定理可知，“若，，，则”是正确的. 故答案为：①②③ 13．（24-25高二下·浙江·月考）在四棱锥中，底面为平行四边形，点是侧棱上的动点，若平面，则________． 【答案】1 【分析】应用线面平行性质定理得出线线平行即可得出比值. 【详解】如图，连结交于，连结， 因为平面，根据线面平行的性质定理，得， 又是的中点，所以是的中点，所以．    故答案为：1. 14．（2025高一下·全国·专题练习）如图所示，平面平面β，，分别在α，β内，线段共点于O，O在平面α和平面β之间，若，则的面积为________. 【答案】/ 【分析】利用面面平行得出线线平行，进而得出三角形相似，结合相似比可得答案. 【详解】相交于点O，所以确定的平面与平面α，平面β的交线分别为， 有，且，同理可得，， ，,所以与相似，， 又， 所以. 故答案为： 15．（25-26高三·上海·二轮复习）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 【答案】/ 【分析】利用面面平行判定定理可证明平面平面，即可得平面，所以即为点的轨迹，求出的长即可. 【详解】如图，取上靠近的三等分点，的中点，连接，， 则在正方形中，可得. 又平面，平面，所以平面. 又因为分别是的中点，所以，且， 可知四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，， 所以平面平面. 又点在侧面内，且平面， 所以即为点的轨迹，. 故答案为： 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】先用向量证明与平面的法向量垂直，再结合平面，即可证明线面平行. 【详解】由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 由题中数量关系可得，，，，， 则，，． 设平面AEG的法向量为， 则，令，得． 因为， 所以，又平面，所以平面． 17．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，、、分别为、、的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)求证：平面； 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）取中点，证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）.证明如下： 因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 因为四边形为平行四边形，所以且， 因为为的中点，所以且， 所以，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面. 18．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 19．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：构造平行四边形，证得，再根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：构造三角形的中位线，证得平面平面，根据平面，即可证明； （2）先通过三角形中位线证得平面，再根据线面平行的性质定理证明即可. 【详解】（1） 法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面.                法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 20．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】将放入一个平面，法一、法二：将放入一个与平面相交的平面，通过证明“线线平行”来证得“线面平行”；法三：将放入一个与平面平行的平面，通过证明“面面平行”来证得“线面平行”． 【详解】法一：如图，过点作交于点，过点作交于点，连结，显然． 因为是正方体，所以，， 又因为，，且，所以， 所以四边形是平行四边形，从而. 因为平面，平面，所以平面． 法二：如图，连结并延长，与直线相交于点，连结． 因为是正方体，所以，． 又因为，所以，从而． 因为平面，平面，所以平面． 法三：如图，过点作交于点，连结，显然， 因为平面，平面，所以平面． 因为是正方体，所以，， 又因为，所以，故， 所以，从而， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.6 空间直线、平面的平行重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 等角定理的应用 题型二 判断线面平行 题型三 证明线面平行 题型四 补全线面平行的条件 题型五 线面平行的性质 题型六 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型七 由线面平行求线段长度 题型八 判断面面平行 题型九 证明面面平行 题型十 补全面面平行的条件 题型十一 面面平行证明线线平行 题型十二 面面平行证明线面平行 题型十三 空间平行的转化 拓展训练一 线面平行相关求解 拓展训练二 面面平行相关求解 知识点一： 等角定理 1、文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2、符号语言：,或 3、等角定理的两个推论 （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 4、作用：判断和证明两个角相等或互补。 【即时训练】 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，，则等于（    ） A． B．或 C． D．以上结论都不对 2．（25-26高二上·上海·月考）若与的两边分别平行，且，则__________. 知识点二： 直线与平面平行的定理 1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行 2、符号：aα，b⊂α，a∥b⇒a∥α. 3、图形语言： 4、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 5、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 6、图形语言： 【即时训练】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二上·江苏宿迁·月考）如图所示，三棱柱的侧面是菱形，设是上的点且，则的值为________． 知识点三： 平面与平面平行的定理 1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) 2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α. 3、图形语言： 4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 则这两个平面1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 6、图形语言： 7、平面与平面平行其他常用性质推论 （1）平行于同一个平面的两个平面平行. （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. （3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 平行． 【即时训练】 1．（24-25高一下·河北邯郸·月考）已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，为异面直线，，，则 2．（25-26高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，则与平面ADE的关系是______． 【经典例题一 等角定理的应用】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：． 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 2．（25-26高二·上海·课堂例题）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．相似但不全等 D．不相似 3．（25-26高一下·全国·课前预习）若，且，则为________. 4．（24-25高二·上海·课堂例题）已知长方体． (1)画出两个平面与的交线； (2)求证：． 【经典例题二 判断线面平行】 【例1】（25-26高三上·广东东莞·期末）过正方体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（   ） A．6条 B．8条 C．12条 D．16条 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线与平面具有怎样的位置关系?如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线，并把看成平面内的直线，则直线与直线具有怎样的位置关系？由此思考怎样才能证明直线与平面平行. 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是（    ）. A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 2．（多选）（24-25高一下·河南·期中）已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是（    ） A．， B．， C．， D．，， 3．（2025高三·全国·专题练习）如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是______ 4．（2025·四川自贡·一模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面分别是中点. (1)判断直线与平面的位置关系； (2)若与平面所成角为，求到平面的距离. 【经典例题三 证明线面平行】 【例1】（24-25高一上·江苏南通·月考）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且，又点H，G分别为BC，CD的中点，则（   ） A．平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 【例2】（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面； 1．（24-25高一下·河北·月考）如图，在直三棱柱中，点、分别在棱上，且，点满足，若平面，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2026高一下·全国·专题练习）在梯形ABCD中，AB∥CD，平面，平面，则直线与平面内的直线的位置关系可能是（　　） A．平行 B．异面 C．相交 D．相交且垂直 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图甲，在梯形中，，，E、F分别为、的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是________． ①平面；②平面；③平面． 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    求证：平面； 【经典例题四 补全线面平行的条件】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，E为边的中点，直线上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 1．（24-25高二下·辽宁沈阳·月考）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 2．（多选）（24-25高一下·重庆酉阳·月考）已知、是两条互相平行的直线，是一个平面．若要使得，则需添加下列哪些条件（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为______． 4．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【经典例题五 线面平行的性质】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如果直线平面，那么直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 【例2】（2025高三·全国·专题练习）用平行于四面体的一组对棱，的平面截此四面体得截面．求证：截面是平行四边形． 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·月考）已知直线和平面，若，，则过点且平行于的直线（    ） A．只有一条，且不在平面内 B．只有一条，且在平面内 C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内 3．（25-26高三·全国·一轮复习）如图所示，均与平面平行，分别在上，且．则四边形的形状为______．    4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在直平行六面体中，点在棱上.若平面，证明：. 【经典例题六 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例1】（2026·全国·模拟预测）如图．四棱锥的底面为正方形，空间中存在点E，满足，则点E可能位于（    ） A．平面与平面的交线上 B．平面与平面的交线上 C．直线上 D．直线上 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试求的值． 1．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）三棱柱中，点在上，且，若平面，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南洛阳·月考）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为棱上的点，若，且平面，则____________． 4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四棱锥中，底面是菱形，，分别是棱，上的点，平面，且.求证：. 【经典例题七 由线面平行求线段长度】 【例1】（24-25高三·全国·二轮复习）空间四边形的两条对角线，的长分别为4，，则平行于两条对角线的截面四边形在平移过程中，其周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，是棱长为正方体的棱上的一点，且平面，求线段的长． 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江金华·期中）已知正方体的棱长为1，在对角线上取点，在上取点，使得线段平行于对角面，则线段长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（25-26高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上．若平面，则线段EF的长度等于______，平面内与EF平行的线段是______． 4．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点在棱上，且满足. (1)若，求证：平面； (2)若点在线段上，且满足平面，且的取值范围为，求的取值范围. 【经典例题八 判断面面平行】 【例1】（24-25高一下·河南郑州·期中）已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（   ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）在如图所示的五面体中，三个面，，都是平行四边形．求证：平面平面ABC．    1．（24-25高三上·上海·开学考试）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是异面直线，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 2．（多选）（2025高一下·全国·专题练习）（多选）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，分别为，，，的中点，在此几何体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 3．（25-26高一·全国·随堂练习）若平面内任意一条直线均平行于平面，则平面与平面的位置关系是______． 4．（24-25高二上·湖南长沙·月考）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，试确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 【经典例题九 证明面面平行】 【例1】（24-25高三·全国·一轮复习）在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，则点满足什么条件时，有平面∥平面．（    ） A．Q为的三等分点 B．Q为的中点 C．Q为的四等分点 D．Q与C重合 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知长方体，求证：平面平面． 1．（24-25高一下·河南洛阳·期中）长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 2．（多选）（24-25高一下·江苏无锡·期中）下列命题正确的是（    ） A．平面平面，一条直线平行与平面，则一定平行于平面 B．平面平面，则面内的任意一条直线都平行于平面 C．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行 D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线 3．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形的边上及其内部运动，则满足_________时，有平面． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，其中，且．，四边形是菱形，为的中点．求证：平面． 【经典例题十 补全面面平行的条件】 【例1】（24-25高一下·河北张家口·期末）已知为直线，、为两个不同的平面，下面的条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．与、所成角相等 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点. 在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 1．（2026高一上·全国·专题练习）已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β，则直线a，b的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 2．（24-25高二下·吉林·月考）平面α与平面β平行的充分条件可以是（    ） A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．直线aα，aβ，且直线a不在α与β内 C．直线 ，直线，且bα，aβ D．α内的任何直线都与β平行 3．（2026高三·全国·专题练习）在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ平面PAO． 4．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，. (1)求证：平面. (2)若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 【经典例题十一 面面平行证明线线平行】 【例1】（24-25高三上·辽宁·期末）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱中，且平面平面.求实数的值. 1．（24-25高三下·重庆沙坪坝·月考）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ）    A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）平面与平面平行，且，下列说法中正确的有（    ） A．a与内的所有直线都平行 B．a与内无数条直线平行 C．a与内的任意一条直线都不垂直 D．a与无公共点 3．（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为______________. 4．（24-25高二上·广东·期中）如图，在三棱台中，和都为等边三角形，且边长分别为和，，，为线段的中点，为线段上的点，平面． (1)求证：点为线段的中点； (2)求点到平面的距离． 【经典例题十二 面面平行证明线面平行】 【例1】（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若m，n是异面直线，，，，，则 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    1．（2025·贵州毕节·一模）已知平面：在平面内，过点存在唯一一条直线与平行，与不平行，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）（2025·海南·模拟预测）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的为（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则或 D．若，，则或 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，若动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是_________．    4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，分别为棱，的中点，且，.证明：平面. 【经典例题十三 空间平行的转化】 【例1】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，则 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）如图，在三棱柱中，M是的中点，平面平面，平面．求证：    (1)； (2)N为AC的中点． 1．（2025·河南·二模）如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·江苏南通·期中）设，是两个不重合的平面，下列选项中，是“”的必要不充分条件的是（    ） A．内存在无数条直线与平行 B．存在平面，满足，且 C．存在直线与，所成的角相等 D．内存在不共线的三个点到的距离相等 3．（25-26高一·全国·课后作业）不共面的四个点到平面的距离都相等，这样的平面共有_________个． 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则； 【拓展训练一 线面平行相关求解】 【例1】（24-25高三上·河南·月考）在正方体中，若平面与平面的交线为，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面相交于CD，是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点，使得平面？说明理由． 1．（24-25高一下·河南·期中）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为（   ）    A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·湖南长沙·月考）已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，，则直线a，b一定相交 B．若，，则 C．若，，则直线a平行于平面内的无数条直线 D．若，，，则a与b是异面直线 3．（2025·福建·高考真题）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则______. 4．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过、、三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【拓展训练二 面面平行相关求解】 【例1】（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【例2】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱上，若平面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（多选）（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）如图所示，平面平面，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南信阳·月考）在边长为3的正方体中．平面与平面之间的距离为_________. 4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，等腰梯形中，，，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且.求证：平面. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列结论正确的是（    ） A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行 B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C．空间四边形的两条对角线可以相交 D．空间四边形的两条对角线不相交 2．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东济南·期中）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且平面，则=（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在四棱锥中，E，F分别是线段AP，BC上的点，，则下列条件可以确定平面PCD的是（   ） A． B． C．平面PAD D．， 5．（24-25高三上·湖南·月考）已知正方体的棱长为，，，若平面，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高二上·四川内江·月考）如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面 7．（多选）（24-25高一下·四川成都·月考）已知为三条直线，为两个平面，下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（多选）（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）给出下面四个命题正确的是（   ） A．分别在两个平行平面内的两直线平行 B．若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面 C．如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，则这两个平面平行 D．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 9．（多选）（24-25高一下·福建泉州·月考）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理错误的是（    ）. A．，， B．， C．，且 D．，，， 10．（多选）（24-25高一下·广东梅州·期末）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（   ） A．若，，则、是异面直线 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．（2025高二·上海·专题练习）已知空间中的两个角和，若，则_____. 12．（24-25高二·上海·随堂练习）以下命题中（其中a，b表示直线，α表示平面），写出所有错误命题的编号________． ①若，，则    ②若，，则 ③若，，则    ④若，，，则 13．（24-25高二下·浙江·月考）在四棱锥中，底面为平行四边形，点是侧棱上的动点，若平面，则________． 14．（2025高一下·全国·专题练习）如图所示，平面平面β，，分别在α，β内，线段共点于O，O在平面α和平面β之间，若，则的面积为________. 15．（25-26高三·上海·二轮复习）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：平面． 17．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，、、分别为、、的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)求证：平面； 18．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 19．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 20．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 学科网（北京）股份有限公司 $