专题6.9 余弦定理、正弦定理应用举例重难点题型讲义（3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

该高中数学讲义通过思维导图系统构建余弦定理、正弦定理应用的知识体系，将测量距离、高度、角度三大知识点按“原理梳理-题型应用-拓展提升”递进组织，用框架图呈现各测量问题的常见题型、解决方法及注意事项，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于“分层题型训练”设计，从基础的三角形形状判定到复杂的几何图形计算、实际测量问题，如航海距离计算、桥梁高度测量等例题，培养数学思维与应用意识。每个题型配即时训练与拓展题，基础生掌握方法，优秀生深化探究，助力教师实施精准分层教学。

专题6.9 余弦定理、正弦定理应用举例重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 正、余弦定理判定三角形形状 题型二 求三角形中的边长或周长的最值或范围 题型三 几何图形中的计算 题型四 求三角形面积的最值或范围 题型五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 题型六 距离测量问题 题型七 高度测量问题 题型八 角度测量问题 题型九 正、余弦定理的其他应用 拓展训练一 正余弦定理的各种应用 拓展训练二 测量问题的方式 知识点一： 测量距离问题 1、常见题型与解决方法 （1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝. （2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. （3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 2、求距离问题的注意事项 （1）选角或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若其他量位置，则把未知量放在另一确定的三角形中求解； （2）确定正弦定理还是余弦定理，如都可以，就选便于计算的定理。 【即时训练】 1．（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，有一长为100m的斜坡AB，倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面方法将其倾斜角改为（如图），则坡底应延长_______m． 知识点二： 测量高度问题 1、在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 2、在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 【即时训练】 1．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，；，且在点测得塔顶A的仰角为，则______． 知识点三： 测量角度问题 1、测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； 2、求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； 3、在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 【即时训练】 1．（2026高三上·全国·专题练习）下列结论正确的是（    ） A．东南方向与南偏东方向相同． B．若为锐角三角形且，则角的取值范围是. C．从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则的关系为. D．俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为. 2．（2025高三·全国·专题练习）游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________． 【经典例题一 正、余弦定理判定三角形形状】 【例1】（25-26高三上·北京顺义·期中）在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，证明：为锐角三角形． 1．（24-25高三上·上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形 2．（多选）（24-25高一下·甘肃金昌·期末）在中，内角的对边分别为，且满足，则（    ） A．一定为直角三角形 B．可能为等腰三角形 C．角A可能为直角 D．角A可能为钝角 3．（24-25高一上·北京东城·期末）在中，写出不满足命题“若，则”的一组、的值为______，______. 4．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状. 【经典例题二 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【例1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知锐角三角形边长分别为1，2， x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D．不确定 【例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·青海海东·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则c可能为（    ） A．8 B．15 C．10 D． 3．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则周长的最大值为__________． 4．（2025·湖南·一模）在锐角中，内角的对边分别是，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【经典例题三 几何图形中的计算】 【例1】（2024·安徽·模拟预测）在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·上海·课后作业）在直角三角形中，，，，求三角形的重心到斜边的距离． 1．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 2．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）如图所示，已知圆的半径为2，且与正方形ABCD的两条边相切，过作圆的两条切线，切点分别为，，若，则对角线长度为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一下·全国·专题练习）边长为1的正五边形的对角线长度为________． 4．（24-25高一下·浙江金华·月考）如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．    (1)求的值； (2)若为边上一点，且，求的长． 【经典例题四 求三角形面积的最值或范围】 【例1】（2025高二上·云南文山·学业考试）在中，内角所对的边分别是，已知，，则的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·河南濮阳·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足． (1)求角B的大小； (2)若，求的面积的最大值． 1．（2025·陕西西安·一模）设点P在内且为的外心，，如图，若的面积分别为，x，y，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·贵州遵义·期中）已知的内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图为矩形与半圆的组合图形，其中，为半圆弧上一点，，垂足为，点在线段上，且，设，则的面积的最大值为______． 4．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 【经典例题五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 【例1】（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期末）设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·广西河池·月考）在中，内角对应的边分别为，若且为钝角. （1）求角与角的关系； （2）求的取值范围. 1．（24-25高二上·陕西汉中·月考）已知为等边三角形，点O是外一点，，则平面四边形面积的最大值是（    ） A． B． C．3 D． 2．（24-25高一下·福建宁德·月考）已知在中，角，，所对的边分别为，，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川内江·一模）如图，某小区有一块扇形OPQ空地，现打算在上选取一点C，按如图方式规划一块矩形ABCD土地用于建造文化景观．已知扇形OPQ的半径为6米，圆心角为60°，则矩形ABCD土地的面积（单位：平方米）的最大值是______． 4．（24-25高三上·河北邯郸·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 【经典例题六 距离测量问题】 【例1】（25-26高三上·贵州·月考）一艘渔船在海上由南向北航行（航线视为一条直线），当船航行到点A时，测得远处一座灯塔T在其北偏东45°的方向上．渔船继续向北航行10km到达点B，此时测得灯塔T在其北偏东75°的方向上，则此时渔船与灯塔T的距离为（    ） A．km B．km C．km D．km 【例2】（24-25高一上·陕西宝鸡·开学考试）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，求A，B两点间的距离（参考数据：，，结果取整数）． 1．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 2．（多选）（24-25高一下·安徽安庆·月考）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）.用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地.同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差－千里，所谓“影差一寸，地差千里”.记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B，已知甲、乙两地之间的距离约为40千里.若同一日内，甲地中直线AB与地面所成的角为，且，则甲地日影长与乙地日影长的比值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏徐州·月考）猎狗甲在A地发现野兔乙在北偏东75°方向上的B地，立刻以m/s的速度进行追捕，与此同时，野兔乙以m/s的速度往北偏东15°方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且m，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为__________s. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）某人在M汽车站的北偏西方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M汽车站行驶．公路的走向是M汽车站的北偏东．开始时，汽车到A处的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A处的距离缩短了10千米．问：汽车还需行驶多远才能到达M汽车站？（注：） 【经典例题七 高度测量问题】 【例1】（25-26高三上·陕西商洛·月考）如图，在倾斜角为的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆，当太阳光线的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长度是，则旗杆的高为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某学校老师组织高一年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱的高度进行测量.已知信号柱直立在地面上，学生在处测得信号柱顶端的仰角为，沿斜坡从点走到点，米，坡比为，在处测得信号柱顶端的仰角为，求信号柱的高度. 1．（25-26高三上·甘肃·月考）小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25高一下·广东江门·期末）某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向，且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2026高三·全国·专题练习）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为________．（精确到1） 4．（24-25高二上·宁夏银川·月考）如图所示，在路边安装路灯，路宽23米，灯杆AB长2.5米，且与灯柱OB成角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆垂直．当灯柱高约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交?，精确到0.01m）.    【经典例题八 角度测量问题】 【例1】（24-25高二上·广西·期中）一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（   ） A．18海里 B．16海里 C．14海里 D．12海里 【例2】（2026高一·全国·专题练习）地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，到达点B．试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离． 1．（24-25高三上·陕西商洛·期末）位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一·全国·课后作业）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．东北方向 D．东南方向 3．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则__________． 4．（24-25高一下·海南海口·月考）如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 【经典例题九 正、余弦定理的其他应用】 【例1】（24-25高三上·广东江门·月考）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·广西河池·月考）如图，从山顶到山脚有两条线路供游人选择，一条从沿直线路径步行到达，另一条从乘缆车到达后，然后沿直线路径步行到，已知米，经测量得（且为锐角）． （1）求路径的长； （2）甲从以m/min的速度沿步行1min后，乙乘缆车以130m/min的速度驶向，求甲出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最小． 1．（2026高三·福建·专题练习）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过1 min后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km，参考数据：） A．11.4 km B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km 2．（多选）（24-25高一下·云南楚雄·期中）如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北60°方向，C在B的东偏北30°方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（    ）    A．D在C的北偏西60°方向 B．D在C的北偏西30°方向 C．D，C相距a km D．D，C相距 3．（24-25高一下·山西·月考）如图，海上一观测站A接到在北偏西方向上一艘商船D的求助电话，得知该商船需要加燃油，观测站人员准备让在商船D正东方向的一艘商船B向它输送燃油，速度为每小时120海里，此时商船B距观测站海里，20分钟后测得商船B位于距观测站30海里的C处，再经过___________分钟商船B到达商船D处． 4．（24-25高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【拓展训练一 正余弦定理的各种应用】 【例1】（24-25高三上·广东中山·月考）锐角中，已知，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三上·湖南长沙·月考）如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AC=，AD=1，∠CAD=30°． (1)求∠ACD； (2)若△ABC为锐角三角形，求BC的取值范围． 1．（24-25高三下·陕西·月考）如图，已知，分别是半径为2的圆上的两点，且，为劣弧上一个异于，的一点，过点分别作，，垂足分别为，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 2．（多选）（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，，，则符合条件的只有一个 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过4千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是_________（千米）. 4．（24-25高一下·河南郑州·月考）某日，中国海军护航编队太原舰在A处收到某商船在航行中发出的求救信号后，立即测出该商船在方位角（是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为、距离A处为的C处，并测得该商船正沿方位角为的方向，以的速度航行，太原舰立即以的速度前去营救. (1)太原舰最少需要多少小时才能靠近商船？ (2)在营救时间最少的前提下，太原舰航行的方位角约是多少？ （角度精确到，参考数据：，，.） 【拓展训练二 测量问题的方式】 【例1】（24-25高一下·海南·月考）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．300m B．600m C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·单元测试）某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高．（提示：） 1．（24-25高一下·河南安阳·月考）某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东方向，距离为；在A处看灯塔C在货轮的北偏西方向，距离为.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东方向，则下列说法正确的是（　　） A．A处与D处之间的距离是24 B．灯塔C与D处之间的距离是16 C．灯塔C在D处的南偏西方向 D．D处在灯塔B的北偏西方向 3．（24-25高一下·重庆北碚·期中）抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑（简称“解放碑”）位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，也是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑，同时象征着中国人民反法西斯战争的胜利、重庆解放的历史意义.小西为测量解放碑的高度，选取了由西到东相距米的两个观测点A和B.在点A处测得解放碑的基座中心点C位于北偏东75°方向（A、B、C在同一水平面上），且楼顶D的仰角为30°；在点B处测得解放碑基座中心点C位于北偏西45°方向，则解放碑的高度为________米. 4．（24-25高一下·浙江·月考）如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：    (1)刚发现走私船时，走私船与哨所的距离； (2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？ (3)若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？ 1．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．30海里 4．（25-26高三上·山东青岛·期中）如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·甘肃白银·期末）美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（2024·江西·模拟预测）设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一下·安徽池州·期末）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（    ） A． B．A、D之间的距离为海里 C．A、B两处岛屿间的距离为海里 D．B、D之间的距离为海里 8．（多选）（2025·重庆·三模）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（    ） A．a，b， B．，， C．a，， D．，，b 9．（多选）（24-25高一下·湖北荆州·月考）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东75°，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西30°，距离．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东60°，则下列说法正确的是（    ） A．处与处之间的距离是； B．灯塔与处之间的距离是； C．灯塔在处的西偏南60°； D．在灯塔的北偏西30°． 10．（多选）（24-25高一下·广西钦州·期中）某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔的示意图，其中与地面垂直，从地面上点看塔顶的仰角为沿直线向外前进米到点处，此时看塔顶的仰角为根据以上数据得到塔高为米，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 11．（24-25高一下·河南省直辖县级单位·月考）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则该三角形为__________三角形. 12．（25-26高三上·上海·月考）已知的外接圆半径为2，三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的最大值为________. 13．（2026高三·全国·专题练习）如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，(单位：千米)，则A，B两点的距离为________ 千米． 14．（2025·贵州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为___________. 15．（25-26高一·全国·假期作业）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 16．（24-25高三上·河南·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)设的平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形. 17．（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 18．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·月考）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度. 19．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 20．（24-25高一下·河北承德·期中）2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A处下山至处有两种路径：一种是从A沿直线步行到，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B 沿直线步行到.现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从A乘缆车到B ，在B 处停留后，再从B 匀速步行到.假设缆车匀速直线运行的速度为，索道长为，经测量，. (1)求山路的长； (2)乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.9 余弦定理、正弦定理应用举例重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 正、余弦定理判定三角形形状 题型二 求三角形中的边长或周长的最值或范围 题型三 几何图形中的计算 题型四 求三角形面积的最值或范围 题型五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 题型六 距离测量问题 题型七 高度测量问题 题型八 角度测量问题 题型九 正、余弦定理的其他应用 拓展训练一 正余弦定理的各种应用 拓展训练二 测量问题的方式 知识点一： 测量距离问题 1、常见题型与解决方法 （1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝. （2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. （3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 2、求距离问题的注意事项 （1）选角或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若其他量位置，则把未知量放在另一确定的三角形中求解； （2）确定正弦定理还是余弦定理，如都可以，就选便于计算的定理。 【即时训练】 1．（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【答案】C 【分析】结合已知条件应用余弦定理计算求解. 【详解】 因为，且.. 在中，由余弦定理得， 即. 所以； 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，有一长为100m的斜坡AB，倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面方法将其倾斜角改为（如图），则坡底应延长_______m． 【答案】 【分析】由题意，可得，再结合正弦定理求解即可. 【详解】由题意，可得，， 在中，由正弦定理得， 则，解得， 则坡底应延长. 故答案为：. 知识点二： 测量高度问题 1、在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 2、在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 【即时训练】 1．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，利用的长即可求出的值，进而求得. 【详解】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 故选：B 2．（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，；，且在点测得塔顶A的仰角为，则______． 【答案】 【分析】由题及正弦定理可得，然后由在点测得塔顶A的仰角为可得AB. 【详解】在中，由正弦定理，， 则，又因在点测得塔顶A的仰角为， 则. 故答案为： 知识点三： 测量角度问题 1、测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； 2、求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； 3、在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 【即时训练】 1．（2026高三上·全国·专题练习）下列结论正确的是（    ） A．东南方向与南偏东方向相同． B．若为锐角三角形且，则角的取值范围是. C．从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则的关系为. D．俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为. 【答案】A 【分析】根据方向、锐角三角形、仰角、俯角等知识确定正确答案. 【详解】A选项，东南方向与南偏东方向相同，A选项正确. B选项，若为锐角三角形且， 则，解得，所以B选项错误. C选项，从处望处的仰角为，从处望处的俯角为， 则，所以C选项错误. D选项，俯角是在竖直面内，水平线与向下递降线段直线的角度， 范围是，所以D选项错误. 故选：A 2．（2025高三·全国·专题练习）游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________． 【答案】 【分析】设乙的速度为x m/s，根据正弦定理列式＝，可得AC＝1 260 m，再由余弦定理求解即可. 【详解】依题意，设乙的速度为x m/s， 则甲的速度为x m/s， 因为AB＝1 040 m，BC＝500 m， 所以＝，解得AC＝1 260 m． 在△ABC中，由余弦定理得， cos∠BAC＝＝＝， 所以sin∠BAC＝＝＝． 故答案为：. 【经典例题一 正、余弦定理判定三角形形状】 【例1】（25-26高三上·北京顺义·期中）在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】A 【分析】将式子中的余弦转化为边的表达式并化简，得到边的等量关系，进而判断三角形形状. 【详解】将用余弦定理展开， 得. 由题设，故. 故选：A 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，证明：为锐角三角形． 【答案】证明见解析 【分析】在直角三角形中利用勾股定理得到再结合余弦定理的推论判断三角形的形状； 【详解】证明：由已知均为直角三角形， 所以 故，所以为锐角． 同理， 所以为锐角，为锐角． 因此为锐角三角形 1．（24-25高三上·上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由余弦定理，正弦定理，同角的三角函数关系化简即可； 【详解】由可得， 又，所以， 由和正弦定理可得，即， 所以，所以，所以的形状为等边三角形， 故选：D. 2．（多选）（24-25高一下·甘肃金昌·期末）在中，内角的对边分别为，且满足，则（    ） A．一定为直角三角形 B．可能为等腰三角形 C．角A可能为直角 D．角A可能为钝角 【答案】BC 【分析】利用余弦定理化简条件式得，讨论是否为0即可判定选项. 【详解】由余弦定理可得，化简可得． 当时，，此时为直角三角形； 当时，可得，即，此时为等腰三角形，即B、C选项正确. 故选：BC． 3．（24-25高一上·北京东城·期末）在中，写出不满足命题“若，则”的一组、的值为______，______. 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据得到或，进而可得答案. 【详解】在中，若，则或， 所以或， 不满足命题“若，则”，只需要且即可. 故答案为：；（答案不唯一） 4．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状. 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理结合已知条件可得出，利用（1）中的结果可判断出的形状. 【详解】（1）因为，则，整理可得， 由余弦定理可得， 又因为，故. （2）因为，则， 由余弦定可得， 即又，故为等边三角形. ，整理可得，则， 【经典例题二 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【例1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知锐角三角形边长分别为1，2， x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系和余弦定理即可求出第三边的取值范围. 【详解】由题意，设三角形为， 由三角形的几何性质， ∴， ∵三角形是锐角三角形，， ∴只需要为锐角， ∵，即， ，即， 联立解得：， 故选：C. 【例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可得； （2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到，再结合锐角范围和三角函数值域可得. 【详解】（1）. 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得： 因为，所以，即 为锐角，. （2）由正弦定理得 所以 ， 是锐角三角形，， ， 即， 所以周长的取值范围为. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 2．（多选）（24-25高一下·青海海东·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则c可能为（    ） A．8 B．15 C．10 D． 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理得到，结合求出，得到答案. 【详解】在中，，，由正弦定理得，即， 则．因为，故，所以，则， 所以c可能为8，10，． 故选：ACD 3．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则周长的最大值为__________． 【答案】 【分析】依题意利用余弦定理及基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，，由余弦定理得，， 即，即，所以， 当且仅当时取“”； 所以，所以，当且仅当时取“”； 所以周长的最大值为； 故答案为： 4．（2025·湖南·一模）在锐角中，内角的对边分别是，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助余弦定理的推论计算即可得； （2）借助正弦定理可将边化为角，再结合锐角三角形性质计算即可得. 【详解】（1）因为，则， 则， 因为，所以； （2）因为，所以，则， 由正弦定理，得， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 所以，即的取值范围为. 【经典例题三 几何图形中的计算】 【例1】（2024·安徽·模拟预测）在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数，结合图形，即可求解. 【详解】如图，边上的高为，，且， 所以，则， 则，， 所以，则. 故选：B 【例2】（25-26高二上·上海·课后作业）在直角三角形中，，，，求三角形的重心到斜边的距离． 【答案】 【分析】过点作交于点，取的中点，连接，利用勾股定理求出，利用等面积法求出，再根据重心的性质得到重心到斜边的距离得解. 【详解】如图过点作交于点，取的中点，连接， 因为为的重心，所以， 又，，，所以， 则， 所以三角形的重心到斜边的距离. 1．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 2．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）如图所示，已知圆的半径为2，且与正方形ABCD的两条边相切，过作圆的两条切线，切点分别为，，若，则对角线长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件求出，再利用利用三角函数得到即可. 【详解】设与相交于，过作于， ，则， 在中，，则， 在中，，在中，，则， 所以. 故选：D 3．（2026高一下·全国·专题练习）边长为1的正五边形的对角线长度为________． 【答案】 【分析】设对角线长为，再由Ptolemy定理进行求解即可． 【详解】如图所示，先连接和，因正五边形对角线长度相等，不妨设其为， 由Ptolemy定理知，即 从而解得或（舍）． 故答案为：． 4．（24-25高一下·浙江金华·月考）如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．    (1)求的值； (2)若为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解，由正弦定理即可求解. （2）作辅助线根据解直角三角形知识分别求出和即可. 【详解】（1）由余弦定理得： ∴ , 由正弦定理：得. （2）如图所示：    过作于，在中， ，， ∴，，在中，.       ∴       ∴ ∴ 【经典例题四 求三角形面积的最值或范围】 【例1】（2025高二上·云南文山·学业考试）在中，内角所对的边分别是，已知，，则的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理构造等式，结合基本不等式可求得最大值，代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】由余弦定理得：（当且仅当时取等号）， ，， 面积的最大值为. 故选：A. 【例2】（24-25高二上·河南濮阳·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足． (1)求角B的大小； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求即可； （2）利用基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求面积的最大值即可. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得，又，所以. （2）因为， 由（1）得，当且仅当时取等号， 所以， 面积 所以三角形面积的最大值为． 1．（2025·陕西西安·一模）设点P在内且为的外心，，如图，若的面积分别为，x，y，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到外接圆半径的平方，设，将x，y用表示，再结合二倍角公式化简即可得到答案. 【详解】因为，所以，设外接圆半径为r， 所以，解得， 设，则， ，， 故 当时，等号成立． 故选：B. 2．（24-25高三上·贵州遵义·期中）已知的内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可. 【详解】由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， ，即面积的最大值为. 故选：A. 3．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图为矩形与半圆的组合图形，其中，为半圆弧上一点，，垂足为，点在线段上，且，设，则的面积的最大值为______． 【答案】 【分析】根据题目把的底和高都用来表示，构造新函数，根据单调性求最大值. 【详解】如图， 设与的交点为，则， 所以，， 所以， 令，则，且， 所以，显然在上单调递增， 所以当，即时，取得最大值，其最大值为． 故答案为： 4．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正余弦定理进行边角互化即可； （2）利用三角形的面积公式求出然后利用正弦定理结合三角函数的性质求出的取值范围即可. 【详解】（1）， 故，即 故， 且，故. （2）由正弦定理得， ， 因为是锐角三角形，. 故，即 所以，故， 所以， 故面积的取值范围为. 【经典例题五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 【例1】（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期末）设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理的边化角公式化简得出，，，最后由结合正弦函数的性质得出的取值范围. 【详解】由以及正弦定理得，所以 即，又B为钝角，所以，故 于是 ，因为，所以 由此，即的取值范围是 故选：A 【例2】（24-25高二上·广西河池·月考）在中，内角对应的边分别为，若且为钝角. （1）求角与角的关系； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用正弦定理的边角互化即可求解. （2）由（1）可得，由，解得，再利用三角函数的性质即可求解. 【详解】∵，由正弦定理得， ∴. ∵B为钝角，∴A为锐角， ∴， ∴. （2） . ∵，∴， ∴，∴， ∴. 1．（24-25高二上·陕西汉中·月考）已知为等边三角形，点O是外一点，，则平面四边形面积的最大值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】在中，根据，利用余弦定理求得边长AB，然后由 SOABC=SAOB+SABC，利用三角函数的性质求解. 【详解】如图所示：      在中，因为， 所以由余弦定理得： 所以SOABC=SAOB+SABC=， ， ， ， 当，即时，取的最大值， 平面四边形面积的最大值是， 故选：B 2．（24-25高一下·福建宁德·月考）已知在中，角，，所对的边分别为，，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，利用余弦边角关系可得，结合角的范围求目标式的范围. 【详解】由题设， 则，， 所以，而， 所以. 故选：C 3．（2025·四川内江·一模）如图，某小区有一块扇形OPQ空地，现打算在上选取一点C，按如图方式规划一块矩形ABCD土地用于建造文化景观．已知扇形OPQ的半径为6米，圆心角为60°，则矩形ABCD土地的面积（单位：平方米）的最大值是______． 【答案】 【分析】设，，求出，在中，求出，然后表示出矩形面积，然后利用两角和与差的正弦公式，二倍角公式，化函数为一个角的一个三角函数形式，最后由正弦函数性质得最大值． 【详解】， 设，，则， 中，，由正弦定理， ，所以， ， 所以，即时，取得最大值． 故答案为：． 4．（24-25高三上·河北邯郸·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转换可得，即可求解； （2）利用正弦定理可得，再利用三角函数的性质即得. 【详解】（1）由结合正弦定理可得， 因为，所以， 所以，即 因为，所以， 因为，所以； （2）由正弦定理可得 所以， 因为，所以，所以 【经典例题六 距离测量问题】 【例1】（25-26高三上·贵州·月考）一艘渔船在海上由南向北航行（航线视为一条直线），当船航行到点A时，测得远处一座灯塔T在其北偏东45°的方向上．渔船继续向北航行10km到达点B，此时测得灯塔T在其北偏东75°的方向上，则此时渔船与灯塔T的距离为（    ） A．km B．km C．km D．km 【答案】A 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由题意可得示意图，则 所以 由正弦定理可得，故（）. 故选：A 【例2】（24-25高一上·陕西宝鸡·开学考试）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，求A，B两点间的距离（参考数据：，，结果取整数）． 【答案】193海里 【分析】作于D，由题意解直角三角形，即可求得答案. 【详解】如图，作于D，则为等腰直角三角形， ，故, 又， 故A，B两点间的距离（海里）. 1．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【答案】D 【分析】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出的值． 【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60. 故选：D． 2．（多选）（24-25高一下·安徽安庆·月考）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）.用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地.同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差－千里，所谓“影差一寸，地差千里”.记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B，已知甲、乙两地之间的距离约为40千里.若同一日内，甲地中直线AB与地面所成的角为，且，则甲地日影长与乙地日影长的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意甲地的日影长，从而求出乙地的日影长，进而求解甲地日影长与乙地日影长的比值. 【详解】由题知，甲地的日影长为寸，因为甲、乙两地之间的距离约为40千里， 所以乙地的星影长为寸或寸， 因为，所以甲地日影长与乙地日影长的比值为或. 故选：BD 3．（24-25高一下·江苏徐州·月考）猎狗甲在A地发现野兔乙在北偏东75°方向上的B地，立刻以m/s的速度进行追捕，与此同时，野兔乙以m/s的速度往北偏东15°方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且m，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为__________s. 【答案】100 【分析】利用余弦定理解三角形即可. 【详解】如图，设甲最快捕获乙的地点是点C，时间为t（单位：s）， 则，. 由题意得， 由余弦定理， 得， 解方程得或（舍去）. 故答案为：100. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）某人在M汽车站的北偏西方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M汽车站行驶．公路的走向是M汽车站的北偏东．开始时，汽车到A处的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A处的距离缩短了10千米．问：汽车还需行驶多远才能到达M汽车站？（注：） 【答案】15千米 【分析】作出图形，如图，然后由余弦定理求得，再由正弦定理求得后可得. 【详解】画出示意图如图．设汽车前进20千米后到达B处．在中，千米，千米，千米，由余弦定理，得， 则， （负值舍去）． ． 在中，由正弦定理，得（千米）， 从而有（千米）． 因此，汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站． 【经典例题七 高度测量问题】 【例1】（25-26高三上·陕西商洛·月考）如图，在倾斜角为的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆，当太阳光线的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长度是，则旗杆的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】如图   ，，则，，米， 由正弦定理， 即， 解得. 故选：C 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某学校老师组织高一年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱的高度进行测量.已知信号柱直立在地面上，学生在处测得信号柱顶端的仰角为，沿斜坡从点走到点，米，坡比为，在处测得信号柱顶端的仰角为，求信号柱的高度. 【答案】米. 【分析】延长交的延长线于，过作于，即可求出，再由锐角三角函数求出、，，最后在中利用锐角三角函数计算可得. 【详解】如图，延长交的延长线于，过作于. 在中，因为坡比为，所以， 所以，又米， 则（米）， （米）. ∵，， ∴（米）， ∴（米）. 设米， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴米，（米）. ∵， ∴，解得， ∴信号柱的高度为米. 1．（25-26高三上·甘肃·月考）小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】先根据正弦定理求出的长度，然后在直角三角形中根据边长关系求解出结果. 【详解】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 故选：D. 2．（24-25高一下·广东江门·期末）某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向，且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】设山顶高于海面的距离为，利用余弦定理求解即可. 【详解】由题可得示意图：平面，，，， 设山顶高于海面的距离为， 由题意，， 在中，，， 由余弦定理得， 即，即， 解得或（舍去）， 所以该山顶高于海面米. 故选：D. 3．（2026高三·全国·专题练习）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为________．（精确到1） 【答案】373 【分析】过C作，过B作，由已知得，再在中，由正弦定理求得即可得. 【详解】如图，过C作，过B作， 故， 由题易知为等腰直角三角形，所以． 所以. 因为，所以. 在中，由正弦定理得， ， 而， 所以， 所以. 故答案为：373. 4．（24-25高二上·宁夏银川·月考）如图所示，在路边安装路灯，路宽23米，灯杆AB长2.5米，且与灯柱OB成角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆垂直．当灯柱高约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交?，精确到0.01m）.    【答案】米． 【分析】如图，作于，作于，在直角和直角中求得即得． 【详解】如图，作于，作于， 由于，，则， ，因此，， 易知，而，， 又，所以， 所以， 所以（米）．      【经典例题八 角度测量问题】 【例1】（24-25高二上·广西·期中）一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（   ） A．18海里 B．16海里 C．14海里 D．12海里 【答案】C 【分析】根据题意作出图示，然后利用余弦定理求解出结果. 【详解】记轮船的初始位置为，灯塔的位置为，半小时后轮船的位置为，如图所示. 依题意得海里，海里，. 在中，由余弦定理得， 所以海里，即行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为海里. 故选：C. 【例2】（2026高一·全国·专题练习）地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，到达点B．试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离． 【答案】参照物在北偏东60°，离参照物的距离为40 m 【分析】利用余弦定理即可求出的长度，利用几何关系即可求出角度. 【详解】解：如图，在中，，，． 由余弦定理，得． 因为，所以，所以，所以． 因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向上，且目标参照物P与他的距离为40 m． 1．（24-25高三上·陕西商洛·期末）位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理解三角形可得. 【详解】如图，由题意可得．在中，由余弦定理可得 海里， 故甲船至少需要航行的海里数为． 故选：C.    2．（25-26高一·全国·课后作业）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．东北方向 D．东南方向 【答案】AB 【分析】画出示意图如图所示，在三角形中，由正弦定理即可求出的值，讨论船在B处和处时，即可求出答案. 【详解】画出示意图如图所示，由题意得，，， 所以，解得， 所以或． 当船在B处时，，所以； 当船在处时，，所以． 综上，灯塔S在B处的北偏东或南偏东方向． 故选：AB. 3．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则__________． 【答案】/ 【分析】先根据在A处的杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合B处的杆，以及正弦定理算出斜面角. 【详解】如图，、分别为杆，、为平行的阳光，、分别为杆的影子， 设阳光与水平面所成角为，则， ，， 在中，由正弦定理可得 即， 由可得，， 代入可得，，， 则， 故答案为：. 4．（24-25高一下·海南海口·月考）如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合可得出的长； （2）求出、、、的长，然后利用余弦定理可求得的值，即为所求. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 因为，所以. 又两处相距米，故，所以的长为米. （2）在中，由在处测得树干顶端处的仰角为， 可得，则. 由（1）知，由，得， 由，得. 在中，由，得. 在中，由余弦定理得. 故在处观测到、两点的夹角的余弦值为. 【经典例题九 正、余弦定理的其他应用】 【例1】（24-25高三上·广东江门·月考）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合物理学知识求解即可. 【详解】如图，由余弦定理，得 ， 于是， 解得或， 所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时. 故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·广西河池·月考）如图，从山顶到山脚有两条线路供游人选择，一条从沿直线路径步行到达，另一条从乘缆车到达后，然后沿直线路径步行到，已知米，经测量得（且为锐角）． （1）求路径的长； （2）甲从以m/min的速度沿步行1min后，乙乘缆车以130m/min的速度驶向，求甲出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最小． 【答案】（1）1260；（2）分钟. 【分析】（1）求出，再由正弦定理得出路径的长； （2）设乙出发t分钟后，甲，乙两人距离为d，由余弦定理求出，再由的范围得出所求时间. 【详解】（1）在中，由得，由，A为锐角得， ∴． ∵， ∴． （2）设乙出发t分钟后，甲，乙两人距离为d，则 ． ∵ ∴当时，甲，乙两人距离最短，此时甲已出发分钟． 1．（2026高三·福建·专题练习）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过1 min后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km，参考数据：） A．11.4 km B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km 【答案】C 【分析】根据题意求得和的长，然后利用正弦定理求得BC，最后利用求得问题答案. 【详解】在中， 根据正弦定理， 所以：山顶的海拔高度为18-11.5=6.5 km. 故选：C 2．（多选）（24-25高一下·云南楚雄·期中）如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北60°方向，C在B的东偏北30°方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（    ）    A．D在C的北偏西60°方向 B．D在C的北偏西30°方向 C．D，C相距a km D．D，C相距 【答案】BC 【分析】根据方位角，画出图形，利用正弦定理及勾股定理求解. 【详解】如图所示，   ，，，， 又， 所以在中，，解得， 在中，， 所以，则， 所以D在C的北偏西30°方向，且D，C相距a km． 故选：BC 3．（24-25高一下·山西·月考）如图，海上一观测站A接到在北偏西方向上一艘商船D的求助电话，得知该商船需要加燃油，观测站人员准备让在商船D正东方向的一艘商船B向它输送燃油，速度为每小时120海里，此时商船B距观测站海里，20分钟后测得商船B位于距观测站30海里的C处，再经过___________分钟商船B到达商船D处． 【答案】15 【分析】在中，由余弦定理求得，从而得到，利用正弦定理求得，然后根据速度比求出时间. 【详解】在中，海里，海里，海里， 由余弦定理得，则． 在中，因为，所以海里， 所以分钟，即再经过15分钟商船B到达商船D处． 故答案为： 15. 4．（24-25高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【答案】(1)70海里 (2)2小时 【分析】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解； （2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间. 【详解】（1）根据题意可得． 因为海里，海里， 所以根据余弦定理可得海里． （2）由余弦定理可得，则， 所以． 设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里． 在中，解得或（舍去）， 故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时． 【拓展训练一 正余弦定理的各种应用】 【例1】（24-25高三上·广东中山·月考）锐角中，已知，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理得：，再由正弦定理得：，则，利用三角形内角和定理和三角函数的恒等变换，转化为求三角函数的值域，求出范围即可得到结果. 【详解】，由余弦定理得：，即， 由正弦定理得：，， ， 又由得：，， ， . 故选：D 【例2】（24-25高三上·湖南长沙·月考）如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AC=，AD=1，∠CAD=30°． (1)求∠ACD； (2)若△ABC为锐角三角形，求BC的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，根据，得到，即可求解； （2）在中，由正弦定理求得，根据为锐角三角形，求得，得到，进而求得的取值范围． 【详解】（1）解：在中，由余弦定理得： ，所以， 又因为，所以． （2）解：由，且，可得， 在中，由正弦定理得， 所以，             因为为锐角三角形，，， 所以，可得， 则，所以，所以， 所以的取值范围为． 1．（24-25高三下·陕西·月考）如图，已知，分别是半径为2的圆上的两点，且，为劣弧上一个异于，的一点，过点分别作，，垂足分别为，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】因为，可知，MN为四边形PMCN的外接圆的一条弦，且外接圆直径为PC=2，故联想到正弦定理来解题. 【详解】∵，，∴，，，四点在以为直径的圆上.由题意可知，∴外接圆的直径为2，则由正弦定理可得. 故选：B 2．（多选）（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，，，则符合条件的只有一个 【答案】ACD 【分析】根据余弦函数的单调性，结合诱导公式可判断A；当互余时，可判断B错误；由正弦定理可判断C；根据余弦定理可判断D. 【详解】A选项：若为锐角三角形，则，， 所以，又函数在上单调递减， 所以，故A选项正确. B选项：在中，由，得或， 当，即时，三角形是直角三角形，故B选项错误. C选项：若，则，由正弦定理得，故C选项正确. D选项：若，，， 由余弦定理得， 所以符合条件的只有个，故D选项正确. 故选：ACD. 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过4千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是_________（千米）. 【答案】2 【分析】根据余弦定理，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】在中，因为，， 所以， 又与互补，所以， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 因为， 所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以观光线路之和最长是2. 故答案为：2 4．（24-25高一下·河南郑州·月考）某日，中国海军护航编队太原舰在A处收到某商船在航行中发出的求救信号后，立即测出该商船在方位角（是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为、距离A处为的C处，并测得该商船正沿方位角为的方向，以的速度航行，太原舰立即以的速度前去营救. (1)太原舰最少需要多少小时才能靠近商船？ (2)在营救时间最少的前提下，太原舰航行的方位角约是多少？ （角度精确到，参考数据：，，.） 【答案】(1)太原舰最少需要才能靠近商船 (2) 【分析】（1）设未知数，利用余弦定理得到方程，解出即可； （2）方法一：利用余弦定理求出即可；方法二：利用正弦定理求出即可. 【详解】（1）由题意知太原舰沿直线航行时所需时间最少， 如图，设太原舰在B处靠近商船，连接AB，设从A处到靠近商船所用的时间为， 则，， ， 根据余弦定理，得， 即，得， 解得，（舍去）. 故太原舰最少需要才能靠近商船. （2）方法一：由（1）知（n mile），（n mile）， 由余弦定理可得. 又，， 故太原舰航行的方位角约为. 方法二：由（1）知（n mile），（n mile）， 由正弦定理， 得， ， 故太原舰航行的方位角约为. 【拓展训练二 测量问题的方式】 【例1】（24-25高一下·海南·月考）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．300m B．600m C． D． 【答案】D 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，在中利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，， 在中，， 在中， ． 故选：D. 【例2】（24-25高一下·全国·单元测试）某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高．（提示：） 【答案】 【分析】要投给定条件，作出几何图形，再利用正弦定理、三角形面积公式及直角三角形边角关系求解即得. 【详解】如图所示，    设AE为塔，为塔正东方向一点，沿南偏西的方向前进40m到达处， 即，，，， 在中，，即，解得， 过点作，垂足为，此时仰角最大， 在中，由面积公式得， ， 在中，. 所以塔高为. 1．（24-25高一下·河南安阳·月考）某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先在中由正弦定理可得AP，然后表示出PB、AB，利用三角函数同角关系表示出，化简可得. 【详解】在中，由正弦定理可得 在中，易知， 则 整理可得 故选：D 2．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东方向，距离为；在A处看灯塔C在货轮的北偏西方向，距离为.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东方向，则下列说法正确的是（　　） A．A处与D处之间的距离是24 B．灯塔C与D处之间的距离是16 C．灯塔C在D处的南偏西方向 D．D处在灯塔B的北偏西方向 【答案】AC 【分析】根据题意作出图形，然后在中，结合正弦定理得求出，在中，由余弦定理得，然后求出相关角度，进而逐项分析即可. 【详解】 由题意可知，， 所以， 对于A，在中，由正弦定理得， 所以，故A正确； 对于B，在中，由余弦定理得， 即，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以灯塔在处的南偏西方向，故C正确； 对于D，由，在灯塔的北偏西处，故D错误. 故选：AC. 3．（24-25高一下·重庆北碚·期中）抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑（简称“解放碑”）位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，也是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑，同时象征着中国人民反法西斯战争的胜利、重庆解放的历史意义.小西为测量解放碑的高度，选取了由西到东相距米的两个观测点A和B.在点A处测得解放碑的基座中心点C位于北偏东75°方向（A、B、C在同一水平面上），且楼顶D的仰角为30°；在点B处测得解放碑基座中心点C位于北偏西45°方向，则解放碑的高度为________米. 【答案】27.5/ 【分析】在中，利用正弦定理求出，在根据计算即可得出结果. 【详解】因为在点处测得解放碑的基座中心点位于北偏东方向，在点处测得位于北偏西方向，、、在同一水平面上， 所以，，所以. 由正弦定理可得：， 米，，. 所以米. 在中，，根据正切函数， 所以米. 故答案为：27.5 4．（24-25高一下·浙江·月考）如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：    (1)刚发现走私船时，走私船与哨所的距离； (2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？ (3)若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？ 【答案】(1) (2)走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上 (3)小时 【分析】（1）在中根据正弦定理可得结果； （2）在中根据余弦定理可得结果； （3）在中由余弦定理可得结果. 【详解】（1）由在的南偏东，在的东北偏方向，在中， ，由正弦定理得， ， 代入上式得：海里． 答：走私船与观测点的距离为海里； （2）在中，海里，海里，， ． ， ，解得海里， 又， 且，所以， 故刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上． （3）设小时后缉私艇在处追上走私船，则， 又，， 在中，由余弦定理得， ，化简得 解得．故缉私艇至少需要小时追上走私船．    1．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解. 【详解】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以， 所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形. 故选：B. 2．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理及有两解，列不等式求边长范围. 【详解】因为且，有两解， 所以，得． 故选：C 3．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．30海里 【答案】B 【分析】根据题设画出示意图，利用正弦定理可得. 【详解】依题意，画出示意图如下，，， 在中，，由正弦定理得， 因此（海里）， 所以乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是海里. 故选：B. 4．（25-26高三上·山东青岛·期中）如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形和角边关系求出结果即可. 【详解】设树的高度为，由已知，得， 在中，. 化简得，解得. 所以树的高度为m. 故选：C. 5．（24-25高一下·甘肃白银·期末）美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再在中，由正弦定理求得，进而利用三角函数求出高度 【详解】根据题意，得 ，，，，. 设，则， 在中，， 由正弦定理，得，即，解得 所以. 故选：B. 6．（多选）（2024·江西·模拟预测）设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，由正弦定理可得，从而得或，即可判断；对于B，由正弦定理可知，即有，即可判断；对于C，由三角形内角和为及诱导公式可得，即可判断；对于D，由正弦定理及两角和差公式可得，从而得，即可判断. 【详解】解：对于A，由正弦定理可知，即， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不符合题意； 对于B，由正弦定理可知， 又因为，所以， 所以， 所以是等腰三角形，符合题意； 对于C，因为，解得， 所以，是直角三角形，不符合题意； 对于D，由正弦定理可知， 所以， 即， ， 即， 所以，是等腰三角形，符合题意. 故选：BD. 7．（多选）（24-25高一下·安徽池州·期末）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（    ） A． B．A、D之间的距离为海里 C．A、B两处岛屿间的距离为海里 D．B、D之间的距离为海里 【答案】BC 【分析】根据三角形的内角求得∠CAD,判定A；利用正弦定理求得AD,判定A；利用等腰直角三角形性质求得BD,判定D；利用余弦定理求得AB,判定C. 【详解】解：由题意可知，，，，， 所以，故A错误； ， 在中，由正弦定理得，得(海里)，故B正确； 在中，因为，，所以(海里)，故D错误； 在中，由余弦定理得， (海里)，故C正确. 故选：BC. 8．（多选）（2025·重庆·三模）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（    ） A．a，b， B．，， C．a，， D．，，b 【答案】ACD 【分析】由三角形全等的条件或者正、余弦定理即可判定. 【详解】法一、根据三角形全等的条件可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定三角形； 法二、对于A项，由余弦定理可知，可求得，即A正确； 对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误； 对于C项，由正弦定理可知，即C正确； 对于D项，同上由正弦定理得，即D正确； 故选：ACD. 9．（多选）（24-25高一下·湖北荆州·月考）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东75°，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西30°，距离．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东60°，则下列说法正确的是（    ） A．处与处之间的距离是； B．灯塔与处之间的距离是； C．灯塔在处的西偏南60°； D．在灯塔的北偏西30°． 【答案】AC 【分析】根据题意作出图形，然后在中，结合正弦定理得求出，在中，由余弦定理得，然后求出相关角度，进而逐项分析即可. 【详解】   由题意可知，所以，, 在中，由正弦定理得，所以，故A正确； 在中，由余弦定理得， 即，故B错误； 因为，所以，所以灯塔在处的西偏南，故C正确； 由，在灯塔的北偏西处，故D错误. 故选：AC 10．（多选）（24-25高一下·广西钦州·期中）某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔的示意图，其中与地面垂直，从地面上点看塔顶的仰角为沿直线向外前进米到点处，此时看塔顶的仰角为根据以上数据得到塔高为米，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】BCD 【分析】利用正弦定理，选择合适的三角形进行求解即可求解出答案. 【详解】对于A，在中，由正弦定理得所以米，故A错误； 对于B，在中米，故B正确； 对于C，在中，由正弦定理得，所以米，故C正确； 对于D，在中，米，所以米，故D正确． 故选：BCD． 11．（24-25高一下·河南省直辖县级单位·月考）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则该三角形为__________三角形. 【答案】直角 【分析】首先由余弦定理得，再由同角三角函数的基本关系结合正弦定理可得， 则三角形的形状可判断. 【详解】∵，∴， ∵，∴该三角形为直角三角形. 故答案为：直角. 12．（25-26高三上·上海·月考）已知的外接圆半径为2，三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的最大值为________. 【答案】 【分析】设的外接圆半径，根据题意并结合正弦定理得，再根据得，，最后根据三角恒等变换求最值即可得答案. 【详解】解：设的外接圆半径，则， 由正弦定理知， 所以，即, 因为，即，所以，即， 所以，， 所以， ，其中 因为，所以， 所以，当时，有最大值. 故答案为： 13．（2026高三·全国·专题练习）如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，(单位：千米)，则A，B两点的距离为________ 千米． 【答案】3 【分析】根据三角形的性质和正弦定理分别求和，中，根据余弦定理求. 【详解】中，，，所以， 所以， 中，，，所以， ，即，得， 中，根据余弦定理, 即，得. 故答案为：3 14．（2025·贵州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为___________. 【答案】/ 【分析】结合余弦定理和已知条件表示出cosA，再利用基本不等式求出cosA的最小值，判断角A的大小，再根据求出tanA的最大值，从而根据即可求出答案． 【详解】由余弦定理及,得， ∴， ∵A是三角形内角，故A为锐角， ∴， ∴的面积． 故答案为： 15．（25-26高一·全国·假期作业）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 【答案】 【分析】应用正弦定理求，再由即可求塔高． 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 16．（24-25高三上·河南·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)设的平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将题干条件变形，利用余弦定理得，结合角的范围即可求解. （2）利用面积比例求得，再由余弦定理化简得，从而，即可证明. 【详解】（1）因为，所以. 由余弦定理，得， 又因为，所以. （2）因为是的平分线，所以， 设的边上的高为，则由， 得，即， 由余弦定理，得， 所以，从而，故为直角三角形. 17．（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的值，进而求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1），，，且为锐角， 在中，由正弦定理得， 解得，， ， . （2）在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， ， ，，且， ， ，，， 故的取值范围为. 18．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·月考）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度. 【答案】35米 【分析】设由图中角的关系得到，，再由余弦定理求解即可； 【详解】设米， 在中，，则米. 在中，，则米. 因为， 所以由余弦定理得， 整理得，得. 所以蜚英塔的高度为35米. 19．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 【答案】(1) (2)沿北偏东方向航行即可到达C处 【分析】（1）先计算出，由余弦定理求出； （2）由余弦定理求出，从而得到答案. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得： ，解得 （2）在中，由余弦定理得： ， 所以，又， 因此应沿北偏东方向航行即可到达C处. 20．（24-25高一下·河北承德·期中）2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A处下山至处有两种路径：一种是从A沿直线步行到，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B 沿直线步行到.现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从A乘缆车到B ，在B 处停留后，再从B 匀速步行到.假设缆车匀速直线运行的速度为，索道长为，经测量，. (1)求山路的长； (2)乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 【答案】(1) (2)当时，甲､乙两游客距离最短 【分析】（1）利用，可得，后由正弦定理可得答案； （2）假设乙出发分钟后，甲在D点，乙在E点.由图，题意，余弦定理可得 ，即可得答案. 【详解】（1）在中，因为，所以. 从而. 由正弦定理，得. 所以山路的长为； （2）假设乙出发分钟后，甲在D点，乙在E点. 此时，，， 所以由余弦定理得 .因为，即， 故当时，甲､乙两游客距离最短. 学科网（北京）股份有限公司 $