1.2.2等腰三角形的判定及反证法课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册（新教材）

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月2日 1.2.2等腰三角形的判定及反证法 第一章 三角形的证明及其应用 北师大版数学八年级下册1.2.2等腰三角形的判定及反证法练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕等腰三角形的判定（等角对等边）和反证法的核心知识点设计，侧重判定定理的应用、反证法的步骤与思路，结合三角形内角和定理，贴合本节课重难点，帮助巩固知识、规避常见错误，总字数控制在800字左右。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形的判定定理“等角对等边”是指（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 C. 有两条边相等的三角形是等腰三角形 D. 等腰三角形的腰与底角相等 2. 下列关于反证法的说法，正确的是（ ） A. 反证法的第一步是直接证明结论成立 B. 反证法不需要结合已知条件推导 C. 反证法的核心是假设结论不成立，推出矛盾 D. 所有证明题都必须用反证法 3. 在△ABC中，∠A=∠B=60°，则下列说法正确的是（ ） A. △ABC不是等腰三角形 B. AB=AC，△ABC是等腰三角形 C. 只能用内角和定理判断形状 D. 无法判断边的关系 4. 用反证法证明“三角形中最多有一个钝角”时，第一步应假设（ ） A. 三角形中有两个或两个以上钝角 B. 三角形中没有钝角 C. 三角形中有一个钝角 D. 三角形中有直角 5. 下列条件中，能判定△ABC为等腰三角形的是（ ） A. ∠A=30°，∠B=40° B. ∠A=50°，∠B=60° C. ∠A=20°，∠B=20° D. ∠A=70°，∠B=50° 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形的判定定理：有两个________相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）。 2. 反证法的一般步骤：假设________不成立，推出与已知条件、定义、定理等矛盾，从而证明原结论成立。 3. 在△ABC中，∠A=55°，∠C=55°，则AB=________，△ABC是________三角形。 4. 用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，假设________。 5. 若一个三角形的两个内角分别为70°和40°，则这个三角形是________三角形（填“等腰”或“非等腰”）。 三、解答题（每题15分，共30分） 1. 运用等腰三角形的判定定理，判定下列三角形是否为等腰三角形（写出完整步骤）。 （1）在△ABC中，∠A=40°，∠B=100°，判断△ABC是否为等腰三角形； （2）在△ABC中，∠A=∠C-20°，∠B=∠C-40°，判断△ABC是否为等腰三角形。 2. 用反证法证明：三角形中不能有两个直角（要求写出完整的反证法步骤，结合三角形内角和定理）。 四、拓展题（30分） 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD⊥BC于点D，用两种方法证明△ABC是等腰三角形（一种用等腰三角形判定定理，一种用反证法，要求写出完整步骤，结合相关知识点说明理由）。 参考答案提示 一、1.B 2.C 3.B 4.A 5.C；二、1.角 2.原结论 3.BC，等腰 4.等腰三角形的底角是直角或钝角 5.等腰； 三、1.（1）是，∠C=40°=∠A，故AB=BC；（2）是，解得∠A=60°，∠B=40°，∠C=80°，无等角，修正：解得∠A=50°，∠B=30°，∠C=100°（无等角，非等腰），此处以正确计算为准；2. 假设三角形中有两个直角，设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=180°+∠C>180°，与内角和定理矛盾，故假设不成立，原结论成立； 四、方法一（判定定理）：AD平分∠BAC得∠BAD=∠CAD，AD⊥BC得∠ADB=∠ADC，证△ABD≌△ACD，得∠B=∠C，故AB=AC；方法二（反证法）：假设△ABC不是等腰三角形，则AB≠AC，推出∠B≠∠C，与△ABD≌△ACD得出的∠B=∠C矛盾，故假设不成立，△ABC是等腰三角形。 学习目标 1.掌握等腰三角形的判定方法。 2.理解反证法的意义，掌握反证法的书写步骤，运用反证法进行证明。 2 进行新课 前面已经证明了等腰三角形的两底角相等。反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ A B C 已知：在△ABC 中，∠B =∠C。 求证：AB = AC。 要想证明AB=AC，只要能构造全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了。 分析： 知识点1 等腰三角形的判定——等角对等边 A B C 已知：在△ABC 中，∠B =∠C。 求证：AB = AC。 D 证法一 证明：如图，过点A作 AD⊥BC 于点 D， 则∠ADB =∠ADC = 90°， 又∵∠B =∠C，AD = AD， ∴△ADB ≌ △ADC（AAS）， ∴AB = AC（全等三角形的对应边相等）。 还有其他证法吗？ A B C 已知：在△ABC 中，∠B =∠C。 求证：AB = AC。 D 证法二 证明：如图，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠CAD。 ∵∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS）。 ∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）。 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。 这一定理可以简述为：等角对等边。 前提是“在同一个三角形中” A B C 几何语言： 在△ABC中， ∵∠B=∠C， ∴AB=AC。 等腰三角形的判定： 等腰三角形的判定与性质的异同 相同点：都是在同一个三角形中； 区别：判定是由角的关系得到边的关系， 性质是由边的关系得到角的关系。 即：等边 等角 性质 判定 例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E。 求证：△AED是等腰三角形。 证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA， ∴△ABD ≌ △DCA（SSS）。 ∴∠ADB = ∠DAC（全等三角形的对应角相等）。 ∴AE = DE（等角对等边）。 ∴△AED 是等腰三角形。 练一练 如图，AE平分∠BAC，DE // AB，若AD=5，则DE的长是______。 AE平分∠BAC ∠2=∠3 DE // AB (等角对等边) ∠1=∠2 5 1 2 3 ∠1=∠3 DE=AD 尝试·思考 知识点2 反证法 小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 小明的思考过程如下。你能理解他的推理过程吗？ A B C 如图，在△ABC 中，已知 ∠B ≠∠C，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不相等。 假设 AB = AC，那么根据定理“等边对等角” 可得∠C =∠B，这与已知条件∠B ≠∠C 相矛盾，因此 AB ≠ AC。 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。 反证法 例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。 已知：△ABC。 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角。 证明：假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B 是直角，即∠A = 90°，∠B = 90°。 于是∠A +∠B +∠C = 90°+ 90°+∠C ＞180°。 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B 是直角”的假设不成立。 所以，一个三角形中不能有两个角是直角。 用反证法证明的一般步骤 1. 先假设命题的结论不成立； 2.从这个假设出发，应用正确的推理证明，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果； 3.由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。 1. 下列条件中，不能判定 是等腰三角形的是( ) D A. B. C. , D. 2. 用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一 步应假设( ) A A. 两直线不平行 B. 同旁内角不互补 C. 同旁内角相等 D. 同旁内角不相等 中考考法 15 （第3题） 3. 如图，等腰三角形共有( ) B A. 4个 B. 5个 C. 3个 D. 2个 中考考法 16 （第4题） 4. 教材P21习题 如图，在 中，，点在 的延长线上， 于点，交于点，若 ， ，则 的长度为____. 10 中考考法 17 5. 如图，一条船上午8时从 处以的速度向北偏西 方向 航行，上午11时到达处，处在灯塔 的 正南方向，从处测得灯塔在北偏西 方向上，则处离灯塔 的距离为____ 60 15 .若船接着从处以的速度向灯塔 航行，当 船到达灯塔 时是____时. 中考考法 18 课堂小结 等腰三角形的判定： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边） 反证法： 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。 A B C $