1.2.2 等腰三角形的判定与反证法课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的判定定理与反证法，通过回顾等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质，提出“两角相等的三角形是否为等腰三角形”的逆向问题，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以问题驱动猜想，通过测量验证、作高或角平分线等多种方法证明“等角对等边”，培养数学推理能力，结合反证法例题（如证明三角形不能有两个直角）及变式练习，强化逻辑思维。学生能提升推理与应用能力，教师可借助清晰结构与实例高效教学。

1.2 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定与反证法 1.经历探索等腰三角形判定定理的过程，证明并掌握等腰三角形的判定定理. 2.会运用等腰三角形的性质和判定进行计算和证明. 3.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明. 学习目标 回 顾 等腰三角形的性质定理及推论有哪些？ 等腰三角形的两个底角相等. 简述为：‘‘等边对等角” 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 简述为： ‘‘三线合一” 反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？如何判定一个三角形为等腰三角形呢？ 新课引入 问 题 如图，在△ABC中，如果∠B＝∠C，那么AB与AC之间有什么关系？ 猜想：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 经测量可得：AB＝AC. A C B 请尝试证明你的猜想. 新知学习 如图，在△ABC中，∠B＝∠C.如何证明AB＝AC呢？ A C B 要想证明AB＝AC，只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了. 新知学习 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC. 方法一：作底边上的高. 证明：如图，作 AD⊥BC 于点 D. 则∠ADB ＝∠ADC ＝ 90°， 又∵∠B ＝∠C，AD ＝AD， ∴△ADB≌△ADC(AAS)， ∴AB ＝ AC. (全等三角形的对应边相等) A C B D ∟ 新知学习 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC. 方法二：作顶角的角平分线. A C B D 证明：如图，作角∠BAC的平分线，交BC于D. 则∠BAD＝∠CAD. ∵ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD . ∴ △ABD≌△ACD. (AAS) ∴ AB ＝ AC . (全等三角形的对应边相等) 新知学习 归纳总结 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 这一定理可以简述为：等角对等边. 数学语言：如图，在△ABC中， 若∠B＝∠C，则AB＝AC. 新知学习 例1 已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. 证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA， ∴△ABD≌△DCA(SSS). ∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等). ∴AE＝DE(等角对等边). ∴△AED是等腰三角形. 新知学习 归纳总结 等腰三角形的判定思路： 注意：(1)“腰”“顶角”“底角”“底边”都是等腰三角形的专属名词，因此在未判定该三角形是等腰三角形之前，这些名词不能用； (2)“等角对等边”是等腰三角形的判定，“等边对等角”是等腰三角形的性质． 新知学习 讨 论 如图，下列推理正确吗? A B C D 2 1 ∵∠1 ＝ ∠2 ， ∴ BD ＝ DC(等角对等边). ∵∠1 ＝∠2 ， ∴ CD ＝ BC(等角对等边). A B C D 2 1 推理不正确，因为都不是在同一个三角形中. 新知学习 尝试·思考 小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 小明的思考过程如下，你能理解他的推理过程吗？ 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时，AB与AC要么相等，要么不相等. 假设AB＝AC，那么根据定理“等边对等角”可得∠C＝∠B， 这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC. 新知学习 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时，AB与AC要么相等，要么不相等. 假设AB＝AC，那么根据定理“等边对等角”可得∠C＝∠B， 这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC. 假设命题的结论不成立 推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果 证明命题的结论一定成立 新知学习 归纳总结 像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法. 新知学习 例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC. 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角. 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角， 不妨设∠A和∠B是直角，即 ∠A＝ 90°，∠B ＝ 90°. 于是 ∠A＋∠B＋∠C ＝ 90°＋ 90°＋ ∠C＞ 180°. 这与三角形内角和定理相矛盾， 因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角. 新知学习 归纳总结 用反证法证明的一般步骤： 1.假设: 先假设命题的结论不成立； 2.推出矛盾: 从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、 基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果； 3 .否定假设: 由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 新知学习 变 式 用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设(　　) A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0 B 若命题结论的反面不止一种情况，需要把所有情况逐一否定． 新知学习 1. 用反证法证明“一个三角形最多有一个钝角”时，应先假设在三角形中(　　) A．有一个钝角 B．有两个钝角 C．有三个钝角 D．有不止一个钝角 D 2. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与∠ACB的平分线CO相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N，若AB＝24，AC＝36，则△AMN的周长是(　 　) A A．60 B．66 C．72 D．78 随堂练习 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中共有等腰三角形的个数是(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 C 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠4＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为___________ . 2 随堂练习 5. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC,垂足为D，DE∥ AB，交AC于点E.△ADE是等腰三角形吗?请说明理由. 解：△ADE是等腰三角形，理由如下： ∵∠B＝∠C，∴AB＝AC， ∵AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE//AB，∴∠ADE＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠EAD， ∴EA＝ED， ∴△ADE是等腰三角形. 随堂练习 6. 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角． 已知：在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B，∠C必为锐角． 证明：假设∠B，∠C都不是锐角，即∠B，∠C为直角或钝角， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， 当∠B、∠C都是直角时，∠B+∠C＝180°， 这与三角形内角和定理相矛盾， 当∠B、∠C都是钝角时，∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾， 综上所述，假设不成立，∴∠B，∠C必为锐角． 随堂练习 ①假设；②推出矛盾；③否定假设. 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法. 等腰三角形 的判定思路 反证法的 概念 等腰三角形的 判定与反证法 用反证法证明 的一般步骤 课堂小结 $