广西贺州市昭平县第三高级中学2025-2026学年高二下学期期中数学试卷

**基本信息** 这份高二数学期中卷聚焦排列组合与概率统计，通过“六艺”排课、抽奖活动、苹果重量调查等情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念，体现用数学思维解决实际问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|加法原理、二项式定理、古典概型|6题“六艺”排课渗透文化传承，7题结合答题情境考查条件概率| |多选题|3/18|排列组合、互斥事件|11题甲乙盒子摸球问题综合考查独立事件判断| |填空题|3/15|组合数计算、排列应用|14题九位数排列结合整除特征，提升思维层次性| |解答题|5/77|排列应用题、条件概率、正态分布|17题两箱零件问题考查全概率公式，19题苹果重量分布结合分布列与均值，体现数据分析与模型意识|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 普通高中2026年春季学期高二年级期中试卷 数  学 (考试时间：120分钟  试卷满分：150分) 注意事项: 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4，保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、单选题(共8小题,每小题5分，共40分) 1.＋＝(　　) A.12　　　    B.18 C.24　　　    D.30 2.从甲地到乙地可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.假定火车有2班，汽车有3班，轮船每日有3班，那么一天中从甲地到乙地有（ ）种不同的走法. A.8 B.9 C.15 D.18 3.把10个苹果分给三个人，要求每人至少1个，至多5个，则不同的分法共有(　　) A.24种 B.25种 C.26种 D.27种 4.若的展开式中常数项为32，则（） A.5 B.6 C.7 D.8 5.若离散型随机变量的分布列如下图，则常数c的值为（ ） A.或 B. C. D.1 6.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺:礼、乐、射、御、书、数.“礼”,礼节,类似于今德育;“乐”,音乐;“射”和“御”,射箭和驾驭马车的技术,类似于今体育和劳动;“书”,书法,即今文学;“数”,算法,即今数学.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动,每天连排六节,每艺一节,排课有如下要求:“礼”必须排在第一,“数”不能排在最后,“射”和“御”要相邻,则“六艺”讲座不同的排课顺序共有(　　) A.18种 B.36种 C.72种 D.144种 7.此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A.0.625    B.0.75    C.0.5    D.0 8.某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖．客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天)下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有(　　) A.1张 B.2张 C.3张 D.4张 二、多选题(共3小题,共18分) 9.若，则（） A. B. C. D. 10.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任选5个组成无重复数字的五位数，则下列可以表示组成的五位数中偶数的个数的是(　　) A.A＋AAA B.A＋A(A－A) C.A－A＋A(A－A) D.A－A－A(A－A) 11.甲乙两个盒子中分别装有两种颜色不同但大小相同的小球，甲盒子中装有5个白球和5个黑球；乙盒子中装有4个白球和6个黑球．先从甲盒子中随机摸出一个小球放入乙盒子中，再从乙盒子中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲盒子中摸出的是白球”，表示事件“从甲盒子中摸出的是黑球”，记表示事件“从乙盒子中摸出的是白球”，表示事件“从乙盒子中摸出的是黑球”，下列说法正确的是（） A.，是互斥事件 B.，是独立事件 C. D. 三、填空题(共3小题,共15分) 12.若，则                   ． 13.学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是            （请用数字作答） 14.用这九个正整数组成无重复数字且任意相邻的三个数字之和是的倍数的九位数，这样的九位数有                  个（用数学作答） 四、解答题 (共5小题,共77分) 15.（13分）化简: (1) (2) 16.（15分）7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ (1)甲不在两端； (2)甲、乙、丙三人必须在一起； (3)甲、乙必须在一起，且甲、乙都不能与丙相邻； 17.（15分）假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品. 现从两箱中随意挑选 一箱，然后从该箱中随机取1个零件. (1)求取出的零件是次品的概率； (2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率. 18.（17分）从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200 km，遇到红灯个数的概率如下表所示： (1)求表中字母的值； (2)求至少遇到4个红灯的概率. 19.（17分）为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果．经整理分析后发现，苹果的重量x(单位：kg)近似服从正态分布N，如图所示，已知P＝0.1，P＝0.3. (1)若从苹果园中随机采摘1个苹果，求该苹果的重量在内的概率； (2)从这100个苹果中随机挑出8个，这8个苹果的重量情况如下： 为进一步了解苹果的甜度，从这8个苹果中随机选出3个，记随机选出的3个苹果中重量在内的个数为X，求随机变量X的分布列和均值． 第2页 总2页 第1页 总1页 学科网（北京）股份有限公司 $普通高中2026年春季学期高二年级期中试卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分)普通高中2026年春季 一、单选题 1.B【解析】A+A?=3×2+4×3=18.故选B, 2.A【解析】由分类加法计数原理得，从甲地到乙地的交通方式可分为三类：第一类经由A路线有2 种走法 第二类经由B路线有3种走法： 第三类经由C路线有3种走法。 故不同走法总数为2+3+3=8. 故选A 3.A【解析】有1个分得5个，其他两人总和为5，每人至少1个，只有2种分法，即1和4,2和3两种方 法， 三人中“最多的为4个，其他两人总和为6，每人至少1个，只有2种分法，即2和4,3和3两种方法 所以不同的分法共有(2+2)A=24(种) 4.A【解析】由二项式定理，(2一x)”的展开式通项为Tk+1=C·2n-k.(-x). 常数项对应x的指数为0，故k=0,则常数项为C0·2”. 由C0=1,得2n=32,即n=5. 故选A, 5.C【解析】因为离散型随机变量分布列中所有概率之和为1，所以9c2-c+3-8c=1, 整理得9c2-9c+2=0,根据求根公式可得 c 9±V(-9)2-4×9×2_9±V81-72=9±3 2×9 18 18 解得c1=3=3 2 又因为概率9c2-c>0且3-8c>0, 当e=号时，9 ()°-号-9×号-号>0,-8×号-8--<0不满起 2 条件； 当=时.9×（传）°君9×-号>0,8-8×-8-- 3=3>0,满足条件 所以c=者 答案为c. 6.B【解析】由题意可分射或御排在最后和射和御均不在最后两种情况分类讨论 ①当“射或御排在最后时，“射和御有两种排法即A号种，余下3种才能共有A种排法，故此时共有 A号A3=12(种)排法， ②当“射和“御均不在最后时，“射和御共有3×2=6（种）排法，中间还余两个位置，两个位置可选一个 给数'，有2种排法，余下两个位置放置最后的两个基本才能，有A种排法，故共有6×2×A多=24（种）排法 综合①②得，“六艺讲座不同的排课顺序共有36种 7.A【解析】设考生答对题目”为事件A,“考生知道正确答案为事件B. 已知P(B)=0.5,P(AB)=1,P(AB)=0.25 根据全概慨率公式P(A)=P(AB)+P(AB) P(AB)=P(A B)P(B),P(AB)=P(A|B)P(B), 且P(B=1-P(B)=0.5. 则P(A)=P(AB)P(B)+P(AB)P(B)=1×0.5+0.25×0.5=0.625. 故选：A 8.B【解析】设每次中奖的慨率为p,在30天中中奖的天数为X,则X~B(30,p),若盒子中的有奖 券有1张则中奖的概率为柳=C={ 品后0=30日6，若盒子中的有奖券有张，则中奖的飘 率为p= C+-名风0=30岩-号，若盒子中的有奖券有张，则中奖的概率为- Cio C+C8,2)30816,若盒子中的有奖券有码张，则中奖的概率为 CaC+C2 C30 Cio F3,E00=30x2 =20，根据题意知盒子中的有奖券有2张时，更有可能在30天中中奖1次.故选 B. 二、多选题 9.AD【解析】已知C+=28 由组合数性质C=Cm,可得C+}=C2+1 k 由组合数公式C四= (m+1)=m+1)n=28 =mk-m则C+1=2+12 2×1 化简得(n+1)n=56. 展开得n2+n-56=0. 因式分解得(n+8)(n-7)=0, 解得n=7或n=-8. 因为n为正整数，故n=7,选项A正确，选项B错误 由二项式定理，(a十)”=乃Can-b的 k=0 令a=b=1,可得2m=C9+C+C+…+C 当n=7时，C9=1,故C+C号+…+C7=27-1=127≠255，因此选项C错误 当n=7时，C+C4+C+1=C?+C4+C 由组合数性质C+Cg+1=C四1，可得C?+C4=Cg 因此C+C=C,故选项D正确 故选：AD 10.ABD【解析】如果组成的五位数的个位是0，则有A个无重复数字的偶数， 如果组成的五位数的个位不是0，则个位数的选法有A!种， 剩余四个数位上的数字的选法有AA(或A-A)种，所以有AHAA(或A1(A-A)个无重复数 字的偶数， 所以共有(A+AAA)或[A+A1(A-A])个无重复数字的偶数，故A,B正确； 任选5个数字组成无重复数字的五位数共有(Ai0~A)个，组成无重复数字的五位数是奇数的有A} (A8-A)个， 所以共有Ai0~A&-A(A-A]个无重复数字的偶数，故如正确，C错误， 11.ACD【解析】对于选项A 因为从甲盒子中每次仅摸出一个球，A1与A2不能同时发生， 故A1,A2是互斥事件，A正确 对于选项那 由甲盒子有s个白球和s个黑球，得P(A)=行PA=号 1 由全概率公式得P(B)=P(A)P(BA1)+P(A)P(BA)=号×6+×7=13 ×1立+2×五=22 163 由条件概率公式得P(A1B2)=P(A1)P(B2A)=2×立=1立 因为P(aP)-号×号-治+品 故A1,B2不独立，B错误 对于选项C: 由4发生时忆盒子有4个白球和7个黑球，得P(A)=7.c正确 对于选项D 由A,发生时忆盒子有5个白球和6个黑球，得P(B,A)= 6 由A2发生时忆盒子有4个白球和7个黑球，得P(B1|A2)= 故P(:A)+PBA=片+音-”E晚 故选：ACD 三、填空题 12.20【解析】由C13=C7(m∈N*)及组合数性质C=Cn-k,得n=13+7=20. 13.30 【解析】由题意，选出1名女生3名男生的选法数为CC%=20, 选出2名女生2名男生的选法数为C号C?=10,故不同选法的种数为20+10=30. 14.1296【解析】因为任意相邻三个数字之和是3的倍数， 所以数字按除以3的余数分类， 1,4,7除以3余数为1； 2,5,8除以3余数为2； 3,6,9除以3余数为0， 所以九位数中第一、四、七个数位的数字组合有A种排法； 第二、五、八个数位的数字组合有A种排法； 第三、六、九个数位的数字组合有A种排法， 这三组数位之间的排列顺序有A种 所以满足条件的九位数个数为AA3A3A=1296个 四、解答题 15.解：(1)(1+√)5+(1-√@)5=2+20x+10x2 6分 (2)(2x克+3x)）4+(2x克-3x-)1=32x2+432+162x-2. -7分 16.解(1①)甲不在排头，也不在排尾，则甲有5个位置可选择，有5种情况；将其余6人全排列，安 排到其他位置，有A种排法.故共有5A8=3600(种)排法。 -4分 (2)采用捆绑法先将甲、乙、丙三人看成一个整体，有A种排法，再将这个整体与其他四人全排 列，有AA=720(种)排法. -5分 (3)采用捆绑法先将甲、乙二人看成一个整体，有A3种排法，再将这个整体与丙插入其他四人所形 成的空中（包括两端），共有AA种.因此，共有A3AA}=960(种)排法. ---6分 17.解：设A=抽到的是第一箱中的零件”， A≠抽到的是第二箱中的零件”， B=“任取一个零件为次品”， ----1分 则2=A1UA2,且A1,A2互斥，P(A1)=P(A2)=0.5,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.15 --3分 (1)由全概率公式知 P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2）P(B|A2)=0.5×0.2+0.5×0.15=0.175. --3分 (2)油贝叶斯公式知P(A1B)=P4PBA=05x02≈0.57. P(B) 0.175 --8分 18.解：(1)由表格中的数据，结合分布列的性质 可得：0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2. 6分 (2)事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，事件C为遇到红灯的个数为6个 及以上，--1分 则事件至少遇到4个红灯为AUBUC,因为事件A,B,C互斥， --2分 所以P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33, 6分 所以至少遇到4个红灯的概率为0.33. -2分 19.解(1)已知苹果的重量x(单位：kg)近似服从正态分布N(0.4,), 由正态分布的对称性可知， P(0.5<x≤0.7)=P(0.1≤x<0.3) ---3分 =Px<03)-Px<0.1)=0.3-0.1=0.2, 所以从苹果园中随机采摘1个苹果，该苹果的重量在(0.5,0.7]内的概率为0.2. ----4分 (2)由题意可知，随机变量的所有可能取值为1,2,3 --1分 P=0=器=0P=2)=答=装，P=)==京 ---6分 所以随机变量的分布列为 X 1 2 3 所以0=1×是+2×费+3x名=景 3分