专题09直线.射线.线段复习讲义(知识梳理+题型突破)2025-2026学年人教版五四制六年级数学下册

专题09直线.射线.线段复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解直线、射线、线段的定义、核心特征，熟记三者的区别与联系。 2.掌握直线、射线、线段的规范表示方法，牢记表示规则。 3.熟记两大核心性质：两点确定一条直线、两点之间线段最短，理解其含义。 4.掌握线段的比较方法、和差运算，理解线段中点的定义及核心结论。 1.能快速辨别直线、射线、线段，准确区分三者的端点、延伸性和可测量性。 2.能规范表示三种线，避免表示方法错误；能运用两大性质解决简单问题。 3.会用度量法、叠合法比较线段长短，能进行简单的线段和差运算，会找线段中点。 4.结合生活实例，能运用本节知识解释生活中的几何现象，培养几何直观思维。 1.基础概念题零失误，快速区分三种线、判断表示方法对错，秒杀选择填空。 2.熟练掌握两大性质的应用、线段中点相关计算，杜绝易错点扣分。 3.规范完成线段比较、和差运算题型，步骤清晰、计算无误。 4.夯实几何基础，提升几何辨析与计算能力，为后续角、相交线等学习做好铺垫，稳拿基础分。 题型01.直线.射线.线段的联系与区别 题型02.画出直线.射线.线段 题型03.点与线的位置关系 题型04.两点确定一条直线 题型05.线段的和与差 题型06.线段中点的有关计算 题型07.线段n等分点的有关计算 题型08.线段之间的数量关系 题型09.两点之间线段最短 题型10.两点间的距离 题型11.最短路径问题 解答题6题 知识点01:三大核心线・逐一精讲（必考重点） （一）线段：有始有终，长度可量 1.定义：直线上两个点和它们之间的部分，叫做线段。 2.核心特征：有 2 个端点、可以测量长度、不能向两端延伸。 3.表示方法（两种，必考）： 用两个端点的大写字母表示（无顺序）：线段 AB、线段 BA 用一个小写字母表示：线段 a 生活实例：直尺的边、课本的边、绷紧的琴弦，都是线段的样子。 （二）射线：有始无终，无限延伸 1.定义：把线段的一端无限延伸，就得到一条射线。 2.核心特征：有 1 个端点、无法测量长度、只能向一个方向无限延伸。 3..必须用 “端点字母 + 延伸方向字母” 表示（有顺序，不能颠倒）：射线 OM（O 是端点，向 M方向延伸） ❌ 错误表示：射线 MO（端点变成 M，延伸方向完全不同） 生活实例：手电筒射出的光、太阳光线，都是射线的典型例子。 （三）直线：无始无终，无限延伸 定义：把线段的两端都无限延伸，就得到一条直线。 核心特征：没有端点、无法测量长度、能向两端无限延伸。 表示方法（两种）： 用直线上两个大写字母表示（无顺序）：直线 AB、直线 BA 用一个小写字母表示：直线 l 生活实例：地平线（可想象成直线）、无限延伸的铁轨（简化后）。 知识点02:三大线・对比区分表（一眼分清，不混淆） 记忆口诀（超好记，杜绝混淆） 线段有头又有尾，长度固定能测量； 射线有头没有尾，一端延伸无限长； 直线无头也无尾，两端延伸永无疆。 知识点03:核心性质・必考考点 1. 直线的基本性质（两点确定一条直线） 核心结论：经过两点，有且只有一条直线（“有” 表示存在，“只有” 表示唯一）。 通俗理解：两个点能固定一条直线，不能画出两条不同的直线。 生活应用：钉木板时，钉两个钉子就能固定木板；建筑工人砌墙时，两点拉一条线，保证墙体笔直。 2. 线段的基本性质（两点之间，线段最短） 核心结论：两点之间，线段的长度最短，这条线段的长度叫做两点之间的距离。 通俗理解：从 A 点到 B 点，走直线（线段）最近，绕路（曲线、折线）都更远。 生活应用：过马路走人行横道（线段），不绕路；从家到学校，走直线距离最近。 知识点04:线段的相关运算（基础必会） 1. 线段的比较方法（两种，简单易懂） 度量法：用直尺测量两条线段的长度，直接比较大小（单位要统一）。 叠合法：把两条线段的一个端点重合，看另一个端点的位置，判断长短。 2. 线段的和与差 和：把两条线段首尾顺次连接，组成的新线段长度 = 两条线段长度之和。 差：用较长的线段减去较短的线段，得到的线段长度 = 两条线段长度之差。 3. 线段的中点（高频考点） 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。 核心结论：若点C是线段 AB 的中点，则 AC = CB = AB（AB = 2AC = 2CB）。 简单理解：中点就是线段的 “正中间”，把线段分成两段一样长的部分。 高频易错点・满分避坑清单 1.表示射线时，颠倒端点和方向字母（如把射线 OA 写成射线 AO），直接出错； 2.混淆 “直线、射线、线段” 的延伸性，误说 “射线可以测量长度”“直线有端点”； 3.忽略 “两点确定一条直线” 的唯一性，误认为 “经过两点可以画多条直线”； 4.混淆 “两点之间的距离” 与 “线段”，误说 “两点之间的距离是线段”（正确：是线段的长度）； 5.找线段中点时，误把 “分成两段” 当成 “中点”，忽略 “两段长度相等” 的关键条件。 题型01.直线.射线.线段的联系与区别 【典例】下列几何语句描述正确的是（   ） A．直线和直线是同一条直线 B．延长线段到点C，使 C．射线和射线是同一条射线 D．画直线厘米 【答案】B 【分析】本题考查直线、射线和线段的联系与区别． 根据直线无限长不可度量、射线有端点且有方向、线段有端点可延长可度量的特点，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．点、、不一定共线，直线和直线不一定是同一条直线，A选项错误，不符合题意； B．线段有两个端点，可延长，延长线段到点使是合理的几何操作，B选项正确，符合题意； C．射线和射线的端点不同，不是同一条射线，C选项错误，不符合题意； D．直线无限长，无法度量长度，D选项错误，不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图1，延长线段到 B．如图2，射线经过点 C．如图3，直线和直线相交于点 D．如图4，射线和线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是直线、射线、线段的定义，解题关键是正确掌握三者的概念．直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸；而线段不延伸，根据定义对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：A、应为“点在射线上”，描述不相符，不符合题意； B、应为“射线不经过点”，描述不相符，不符合题意； C、描述相符，符合题意； D、射线和线段有交点，描述不相符，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】已知线段，现有一点P满足，有下列说法：①点P在线段上；②点P在直线上；③点P在直线外．正确的说法是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差，熟练掌握线段之间的运算和大小比较是解题关键． 根据线段的长度及的值判断点P的位置即可解答． 【详解】解：当点P在线段上时，与矛盾，故①错误； 若点P在直线的延长线上（如M左侧或N右侧），例如P距M有5个单位时，，此时，满足条件．因此，点P可能在直线MN上，故②正确； 若点P在直线外，例如，存在这样的点．因此，点P也可能在直线外，故③正确． 综上，正确的说法是②和③． 故选B． 题型02.画出直线.射线.线段 【典例】下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线可以向两端无限延伸，射线向一端无限延伸． 【详解】解：A．直线与直线能相交，故符合题意； B．直线与射线不能相交，故不符合题意； C．线段与射线不能相交，故不符合题意； D．线段与线段不能相交，故不符合题意． 【跟踪专练1】如图，已知平面内的三个点，画出线段、射线、直线，下列画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画线段，射线，直线，根据线段，射线，直线的特点画图即可判断． 【详解】解：按题意如下图： 故选：D． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点P只能作一条直线 C．射线AB和射线BA表示同一条射线 D．射线a比直线b短 【答案】A 【分析】根据直线和射线的表示方法，和过一点可以做无数条直线，依次判断A、C、B，再利用射线与直线不能进行长短的比较判断D即可． 【详解】解：A、直线可以用两个大写字母来表示，且直线没有方向，所以AB和BA是表示同一条直线；故A正确． B、过一点P可以作无数条直线；故B错误． C、射线AB和射线BA，端点不同，方向相反，故射线AB和射线BA表示不同的射线；故C错误． D、射线和直线不能进行长短的比较；故D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了直线，射线的表示方法以及射线和直线的性质，关键是要能够区分直线与射线的不同点． 题型03.点与线的位置关系 【典例】如图，下列说法错误的是（    ） A．点在直线上 B．直线与相交于点 C．直线经过点 D．直线不经过点 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线与点的关系， 根据直线b与直线c相交于点A，点A不在直线a上，可判断A，B，C，再根据直线不经过点A，说明D即可． 【详解】解：因为直线b与直线c相交于点A，点A不在直线a上， 所以A错误，B正确； 因为直线c经过点A， 所以C正确； 因为直线不经过点A， 所以D正确． 故选：A． 【跟踪专练1】下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．如图所示，延长线段到点 B．如图所示，射线不经过点 C．如图所示，直线和直线相交于点 D．如图所示，射线和线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是直线、射线、线段的定义，解题关键是正确掌握三者的概念． 直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸；而线段不延伸，根据定义对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，应为“如图所示，点在射线上”，描述不相符，不符合题意； 选项，应为“如图所示，射线不经过点”，描述不相符，不符合题意； 选项，描述相符，符合题意； 选项，射线和线段有交点，描述不相符，不符合题意． 故选：． 【跟踪专练2】已知线段，，下列说法正确的是（　　） A．点P不能在直线上 B．点P只能在直线上 C．点P只能在线段的延长线上 D．点P不能在线段上 【答案】D 【分析】本题考查了点与线的位置关系，利用“数形结合”的数学思想是解题的关键． 根据题意画出图形，由图形直接作出判断即可． 【详解】解：如图， A、点P可以在直线上，故此选项说法错误，不符合题意； B、点P可以在直线上，也可以在直线外，故此选项说法错误，不符合题意； C、点P可以在线段的延长线上，也可以在直线外，故此选项说法错误，不符合题意； D、点P不能在线段上，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 题型04.两点确定一条直线 【典例】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ） A．垂线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】本题主要考查基本的几何图形，根据“两点确定一条直线”即可求得答案． 【详解】经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，可用“两点确定一条直线”解释． 故选：D 【跟踪专练1】下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上： ③从到架设电线，总是尽可能沿线段架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间线段最短，过两点有且只有一条直线，可得答案． 【详解】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，过两点有且只有一条直线，故①错误； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上，过两点有且只有一条直线，故②错误； ③从A到B架设电线，总是尽可能沿线段架设，“两点之间，线段最短”，故③正确； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，“两点之间，线段最短”，故④正确； 故选D． 【跟踪专练2】如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考察了直线的性质：两点确定一条直线，关键是按照一定的顺序寻找． 找到同时经过其中个点的直线的条数即可求解． 【详解】解：如图所示： 故同时经过其中个点的直线有条． 故选：C． 题型05.线段的和与差 【典例】如图：，则（   ） A． B． C．8 D．2 【答案】D 【分析】本题考查求线段的和差，数形结合是解决问题的关键． 首先表示出，代入，计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，点C，D在线段上，，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和图形，可以求得线段的长，再根据解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，点是线段上两点（点在点左侧），点为的中点，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用已知线段长度，通过线段和差求出的长度；再根据中点定义得到的长度，最后通过计算出的长度． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴． ∵点为的中点， ∴． ∴． 题型06.线段中点的有关计算 【典例】如图，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线段的和差倍分进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，点、分别是线段、的中点，若线段，则线段的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段中点的性质计算即可． 【详解】解：点、分别是线段、的中点， ，， ， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，下列条件①；② ；③；④．其中，能确定点D是线段的中点的个数共有  （   ）     A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据线段中点的定义，证明可得，进而可得答案． 【详解】解：①∵点D是线段上一点，， ∴点D是线段的中点． ② ∵C是线段的中点， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴，即点D是线段的中点； 故②正确； ③点是的中点，， ，无法确定与关系，故不能确定D为中点； ④点是的中点，， ∵， ∴， ∴， ∴，点D是线段的中点， 综上所述：能确定点D是线段的中点的有①②④，共3个． 题型07.线段n等分点的有关计算 【典例】线段，把它六等分，从端点往点开始数，第4个等分点到的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的等分点的定义，线段被六等分，每等份长度为，从端点往点开始数，第4个等分点对应第4个分割点，计算其到的距离即可． 【详解】解：∵线段，把它六等分， ∴每等份长度． ∵第1个等分点到点的距离为，第2个等分点到点的距离为，第3个等分点到点的距离为，第4个等分点到点的距离为． ∴第4个等分点到点的距离为． 故选：C． 【跟踪专练1】线段，点是的一个七等分点，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段等分点的有关计算． 点是线段的七等分点，即将分成7等份，因此的长度应为长度的，计算可能值后与选项对比即可． 【详解】解：∵， ∴七等分后每份长为， ∴ 的长度可能为，，，，，， ∴选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段三等分点的定义等知识，根据线段三等分点的定义得出，由，可求出，则，结合，，即可求解． 【详解】解：∵点C，D把线段三等分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 题型08.线段之间的数量关系 【典例】如图，已知点是线段的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段倍分关系，根据线段中点定义，数形结合即可得到，逐项判断即可确定答案，数形结合，准确表示出线段倍分关系是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 点是线段的中点， ， A、，说法正确，不符合题意； B、，说法正确，不符合题意； C、，说法正确，不符合题意； D、，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．根据已知条件可计算出的长度，根据代入计算即可得出答案． 【详解】解：，， ， ∵点在线段的延长线上， ． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查求线段长，读懂题意，分类讨论是解决问题的关键． 根据题意，分两种情况：①当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、；②当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： ①当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、， ， ，即线段是最长的一段， 最长的一段为， ， 解得， 这条绳子的原长为； ②当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、， ， 线段是最长的一段， 最长的一段为， ， 解得， ， 这条绳子的原长为； 故选C． 题型09.两点之间线段最短 【典例】如图，A，B两地间修建曲路与修建直路相比，虽然有利于游人更好地观赏风光，但增加了路程的长度，其中蕴含的数学道理是（     ） A．经过一点可以作无数条直线 B．经过两点有且只有一条直线 C．两点之间，有若干种连接方式 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【详解】解：A，B两地间修建曲路与修建直路相比，增加了路程的长度，其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最短． 【跟踪专练1】如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（    ） A．经过一点有无数条直线 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【答案】D 【详解】解：用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是两点之间线段最短． 【跟踪专练2】已知线段，且，下列关于点的描述中，不正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在线段的反向延长线上 D．点在直线外 【答案】A 【分析】本题考查线段的和差关系，当点C在线段上时，，与矛盾，因此点C不可能在线段上，故选项A不正确；其他选项均可能满足条件． 【详解】解：若点在线段上，则，与矛盾，因此点C不可能在线段上， 故选项A说法不正确，符合题意； 若点在线段的延长线上，设，则，，解得，因此点可能在线段的延长线上， 故选项B说法正确，不合题意； 若点在线段的反向延长线上，设，则，，解得，因此点可能在线段的反向延长线上， 故选项C说法正确，不合题意； 若点在直线外，根据两点之间线段最短，可得，因此点可能在直线外， 故选项D说法正确，不合题意； 故选：A． 题型10.两点间的距离 【典例】下列说法正确的是（    ） ①两点之间的距离是线段； ②两点之间的距离是线段的长度； ③两点之间的距离是线段的长度 A．② B．③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是熟记概念连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．根据题意利用连接两点间的线段的长度叫两点间的距离进行分析判定即可． 【详解】解：①两点之间的距离是线段的长度，故原说法错误， ②两点之间的距离是线段的长度，故原说法错误， ③两点之间的距离是线段的长度，说法正确， 故正确的是③， 故选：B． 【跟踪专练1】已知线段，点C在直线上，且，则的长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据点C在直线上，需分类讨论点C的两种位置情况，分别是点C在线段上，点C在线段的延长线上，利用线段和差关系计算即可． 【详解】解：①当点C在线段上时， ∵，， ∴； ②当点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴； 综上，的长为或． 【跟踪专练2】村庄A、B、C和D坐落在一条又长又直的路上，但不一定按这个顺序排列．从A到C的距离是75千米，从B到D的距离是45千米，从B到C的距离是20千米．问下列哪一项不可能是从A到D的距离的千米数？（   ） A．10 B．50 C．80 D．100 E．140 【答案】C 【分析】根据题意分情况进行讨论即可． 【详解】在的左侧时，①顺序为，此时， ； ②顺序为，此时； ③顺序为，此时； ④顺序为，此时（舍去）； 在的右侧时，①顺序为，此时； ②顺序为，此时； ③顺序为，此时； ④顺序为，此时（舍去）； ⑤顺序为，此时， ⑥顺序为，此时； ⑦顺序为，此时（舍去）． 故不可能是从A到D的距离的千米数． 题型11.最短路径问题 【典例】如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（    ） A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区 【答案】B 【分析】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解． 【详解】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5×50+20×(200+50)+6(2×50+200)＝7050(m)， 当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×50+20×200+6(50+200)＝7000(m)， 当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30(50+200)+5×200+6×50＝8800(m)， 当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×(2×50+200)+5(50+200)+20×50＝11900(m)， 因为7000＜7050＜8800＜11900， 所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，直线是一条河，A，B两地相距，A，B两地到的距离分别为，欲在上某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则， 根据两点之间，线段最短，可知选项B铺设的管道，则所需管道最短． 故选：B． 【跟踪专练2】.快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 【答案】B 【分析】本题涉及到距离的计算．有理数加法的实际应用，需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】找出所以可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故选：B 解答题 1．如图1，已知直线和直线外三点，，，按下列要求画图： (1)画射线； (2)连接； (3)在直线上确定点，使得最小； (4)请你判断下列两个生活情景所蕴含的数学道理． 情景一：如图2，从地到地有4条道路，除它们外能否再修一条从地到地的最短道路？如果能，请你联系所学知识，在图上画出最短线路． 情景二：同学们参加升旗仪式时，为了保证每列同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，请你说明其中的道理 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 (4)情景一：能，画图见解析；情景二：两点确定一条直线， 【分析】（1）根据题意画出射线即可； （2）根据题意画出线段即可； （3）根据两点之间线段最短，连接交于点； （4）情景一：连接，根据两点之间线段最短，即可解释； 情景二：根据两点确定一条直线即可解释． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，点即为所求； （4）解：情景一：能，如图所示，根据两点之间线段最短，线段即为最短路径 解：情景二：其中的道理为两点确定一条直线． 2．如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线，与线段的延长线交于点E； (3)找一点P，使P既在直线上，又在直线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据线段的定义画出图形； （2）根据射线，线段的延长线的定义画出图形即可； （3）直线与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接，线段即为所求； （2）解：如图，连接并延长交线段的延长线于点E，射线，点E即为所求； （3）解：如图，直线与直线交于点P，点P即为所求． 3．如图，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则_____； (2)若，求的长． (3)说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）由线段中点的定义可得，同理可得，，然后根据线段的和差求解即可； （2）由线段的和差可得，利用线段的中点定义可得，，然后根据线段的和差求解即可； （3）利用线段的中点定义可得，，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵点恰好是中点，， ∴， ∵点、分别是和的中点， ∴，， ∴． （2）解：， ， 、分别是和的中点 ，． ． （3）解：、分别是和的中点 ，． ． 不论取何值（不超过），的长不变． 4．如图，已知线段，点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点． (1)直接写出线段_________，_________； (2)求线段的长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据，计算即可； （2）先求出和的值，进而根据中点的定义得到，，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵点M和点N分别是线段和的中点， ∴，， ∴． 5．已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 【答案】(1)①6 ②14 (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差以及分类讨论的思想． （1）①根据线段的和差进行求解即可； ②假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）根据两个动点，分两种情况进行讨论，假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②假设，则， 由（1）得， ∴； 假设，则， 由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段、、之间的数量关系是或， 故答案为：或． 6．如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点E，过点E作垂直河岸于点F，则为所建桥的位置． 【详解】解：如图所示，即为所作． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09直线.射线.线段复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解直线、射线、线段的定义、核心特征，熟记三者的区别与联系。 2.掌握直线、射线、线段的规范表示方法，牢记表示规则。 3.熟记两大核心性质：两点确定一条直线、两点之间线段最短，理解其含义。 4.掌握线段的比较方法、和差运算，理解线段中点的定义及核心结论。 1.能快速辨别直线、射线、线段，准确区分三者的端点、延伸性和可测量性。 2.能规范表示三种线，避免表示方法错误；能运用两大性质解决简单问题。 3.会用度量法、叠合法比较线段长短，能进行简单的线段和差运算，会找线段中点。 4.结合生活实例，能运用本节知识解释生活中的几何现象，培养几何直观思维。 1.基础概念题零失误，快速区分三种线、判断表示方法对错，秒杀选择填空。 2.熟练掌握两大性质的应用、线段中点相关计算，杜绝易错点扣分。 3.规范完成线段比较、和差运算题型，步骤清晰、计算无误。 4.夯实几何基础，提升几何辨析与计算能力，为后续角、相交线等学习做好铺垫，稳拿基础分。 题型01.直线.射线.线段的联系与区别 题型02.画出直线.射线.线段 题型03.点与线的位置关系 题型04.两点确定一条直线 题型05.线段的和与差 题型06.线段中点的有关计算 题型07.线段n等分点的有关计算 题型08.线段之间的数量关系 题型09.两点之间线段最短 题型10.两点间的距离 题型11.最短路径问题 解答题6题 知识点01:三大核心线・逐一精讲（必考重点） （一）线段：有始有终，长度可量 1.定义：直线上两个点和它们之间的部分，叫做线段。 2.核心特征：有 2 个端点、可以测量长度、不能向两端延伸。 3.表示方法（两种，必考）： 用两个端点的大写字母表示（无顺序）：线段 AB、线段 BA 用一个小写字母表示：线段 a 生活实例：直尺的边、课本的边、绷紧的琴弦，都是线段的样子。 （二）射线：有始无终，无限延伸 1.定义：把线段的一端无限延伸，就得到一条射线。 2.核心特征：有 1 个端点、无法测量长度、只能向一个方向无限延伸。 3..必须用 “端点字母 + 延伸方向字母” 表示（有顺序，不能颠倒）：射线 OM（O 是端点，向 M方向延伸） ❌ 错误表示：射线 MO（端点变成 M，延伸方向完全不同） 生活实例：手电筒射出的光、太阳光线，都是射线的典型例子。 （三）直线：无始无终，无限延伸 定义：把线段的两端都无限延伸，就得到一条直线。 核心特征：没有端点、无法测量长度、能向两端无限延伸。 表示方法（两种）： 用直线上两个大写字母表示（无顺序）：直线 AB、直线 BA 用一个小写字母表示：直线 l 生活实例：地平线（可想象成直线）、无限延伸的铁轨（简化后）。 知识点02:三大线・对比区分表（一眼分清，不混淆） 记忆口诀（超好记，杜绝混淆） 线段有头又有尾，长度固定能测量； 射线有头没有尾，一端延伸无限长； 直线无头也无尾，两端延伸永无疆。 知识点03:核心性质・必考考点 1. 直线的基本性质（两点确定一条直线） 核心结论：经过两点，有且只有一条直线（“有” 表示存在，“只有” 表示唯一）。 通俗理解：两个点能固定一条直线，不能画出两条不同的直线。 生活应用：钉木板时，钉两个钉子就能固定木板；建筑工人砌墙时，两点拉一条线，保证墙体笔直。 2. 线段的基本性质（两点之间，线段最短） 核心结论：两点之间，线段的长度最短，这条线段的长度叫做两点之间的距离。 通俗理解：从 A 点到 B 点，走直线（线段）最近，绕路（曲线、折线）都更远。 生活应用：过马路走人行横道（线段），不绕路；从家到学校，走直线距离最近。 知识点04:线段的相关运算（基础必会） 1. 线段的比较方法（两种，简单易懂） 度量法：用直尺测量两条线段的长度，直接比较大小（单位要统一）。 叠合法：把两条线段的一个端点重合，看另一个端点的位置，判断长短。 2. 线段的和与差 和：把两条线段首尾顺次连接，组成的新线段长度 = 两条线段长度之和。 差：用较长的线段减去较短的线段，得到的线段长度 = 两条线段长度之差。 3. 线段的中点（高频考点） 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。 核心结论：若点C是线段 AB 的中点，则 AC = CB = AB（AB = 2AC = 2CB）。 简单理解：中点就是线段的 “正中间”，把线段分成两段一样长的部分。 高频易错点・满分避坑清单 1.表示射线时，颠倒端点和方向字母（如把射线 OA 写成射线 AO），直接出错； 2.混淆 “直线、射线、线段” 的延伸性，误说 “射线可以测量长度”“直线有端点”； 3.忽略 “两点确定一条直线” 的唯一性，误认为 “经过两点可以画多条直线”； 4.混淆 “两点之间的距离” 与 “线段”，误说 “两点之间的距离是线段”（正确：是线段的长度）； 5.找线段中点时，误把 “分成两段” 当成 “中点”，忽略 “两段长度相等” 的关键条件。 题型01.直线.射线.线段的联系与区别 【典例】下列几何语句描述正确的是（   ） A．直线和直线是同一条直线 B．延长线段到点C，使 C．射线和射线是同一条射线 D．画直线厘米 【跟踪专练1】下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图1，延长线段到 B．如图2，射线经过点 C．如图3，直线和直线相交于点 D．如图4，射线和线段没有交点 【跟踪专练2】已知线段，现有一点P满足，有下列说法：①点P在线段上；②点P在直线上；③点P在直线外．正确的说法是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型02.画出直线.射线.线段 【典例】下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知平面内的三个点，画出线段、射线、直线，下列画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点P只能作一条直线 C．射线AB和射线BA表示同一条射线 D．射线a比直线b短 题型03.点与线的位置关系 【典例】如图，下列说法错误的是（    ） A．点在直线上 B．直线与相交于点 C．直线经过点 D．直线不经过点 【跟踪专练1】下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．如图所示，延长线段到点 B．如图所示，射线不经过点 C．如图所示，直线和直线相交于点 D．如图所示，射线和线段没有交点 【跟踪专练2】已知线段，，下列说法正确的是（　　） A．点P不能在直线上 B．点P只能在直线上 C．点P只能在线段的延长线上 D．点P不能在线段上 题型04.两点确定一条直线 【典例】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ） A．垂线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【跟踪专练1】下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上： ③从到架设电线，总是尽可能沿线段架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型05.线段的和与差 【典例】如图：，则（   ） A． B． C．8 D．2 【跟踪专练1】如图，点C，D在线段上，，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点是线段上两点（点在点左侧），点为的中点，已知，则（    ） A． B． C． D． 题型06.线段中点的有关计算 【典例】如图，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点、分别是线段、的中点，若线段，则线段的长为（   ） A．3 B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，下列条件①；② ；③；④．其中，能确定点D是线段的中点的个数共有  （   ）     A．1 B．2 C．3 D．4 题型07.线段n等分点的有关计算 【典例】线段，把它六等分，从端点往点开始数，第4个等分点到的距离是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】线段，点是的一个七等分点，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型08.线段之间的数量关系 【典例】如图，已知点是线段的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（   ） A． B． C．或 D．或 题型09.两点之间线段最短 【典例】如图，A，B两地间修建曲路与修建直路相比，虽然有利于游人更好地观赏风光，但增加了路程的长度，其中蕴含的数学道理是（     ） A．经过一点可以作无数条直线 B．经过两点有且只有一条直线 C．两点之间，有若干种连接方式 D．两点之间，线段最短 【跟踪专练1】如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（    ） A．经过一点有无数条直线 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【跟踪专练2】已知线段，且，下列关于点的描述中，不正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在线段的反向延长线上 D．点在直线外 题型10.两点间的距离 【典例】下列说法正确的是（    ） ①两点之间的距离是线段； ②两点之间的距离是线段的长度； ③两点之间的距离是线段的长度 A．② B．③ C．②③ D．①②③ 【跟踪专练1】已知线段，点C在直线上，且，则的长为（   ） A． B． C． D．或 【跟踪专练2】村庄A、B、C和D坐落在一条又长又直的路上，但不一定按这个顺序排列．从A到C的距离是75千米，从B到D的距离是45千米，从B到C的距离是20千米．问下列哪一项不可能是从A到D的距离的千米数？（   ） A．10 B．50 C．80 D．100 E．140 题型11.最短路径问题 【典例】如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（    ） A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区 【跟踪专练1】如图，直线是一条河，A，B两地相距，A，B两地到的距离分别为，欲在上某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】.快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 解答题 1．如图1，已知直线和直线外三点，，，按下列要求画图： (1)画射线； (2)连接； (3)在直线上确定点，使得最小； (4)请你判断下列两个生活情景所蕴含的数学道理． 情景一：如图2，从地到地有4条道路，除它们外能否再修一条从地到地的最短道路？如果能，请你联系所学知识，在图上画出最短线路． 情景二：同学们参加升旗仪式时，为了保证每列同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，请你说明其中的道理 2．如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线，与线段的延长线交于点E； (3)找一点P，使P既在直线上，又在直线上． 3．如图，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则_____； (2)若，求的长． (3)说明不论取何值（不超过），的长不变． 4．如图，已知线段，点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点． (1)直接写出线段_________，_________； (2)求线段的长． 5．已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 6．如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $