精品解析：内蒙古呼伦贝尔市普通高中2026届高三联合模拟考试数学试卷

2026年呼伦贝尔市普通高中高三联合考试 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 已知，，（为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】. 3. 已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（ ） A. -1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列前项和公式，及下标和性质即可求解. 【详解】由，可得， 即， 由，得， 又， 得. 4. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【详解】因为在上单调递增，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由推出，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 5. 在数学史上，为了三角计算的简便和精确，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中定义，结合同角的三角函数关系式的商关系、正弦二倍角公式进行求解即可. 【详解】. . 6. 当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，，，利用基本不等式推得，再由恒成立得，求解即得. 【详解】因为，且满足，， 即，则，即，当且仅当时，等号成立， 又因为恒成立，所以，即， 即，解得. 7. 已知平面向量，满足，与的夹角为，记，则取最小值时（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量表达式，结合平面向量线性的几何意义、三点共线的性质进行求解即可. 【详解】设，， 又因为与的夹角为， 所以是等腰三角形，且顶角为，如下图所示： 设，因为，所以， 因此三点共线， 要想最小，只需点到直线的距离最短， 此时，垂足为， 显然，所以， 因为， 所以，显然也成立. 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，结合复合函数单调性的性质、对数函数、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数的定义域为全体实数， ， 所以函数是偶函数， 当时，， 因为函数是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数， 因为是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数，且， 所以函数在上单调递增， 所以由 ，或，解得，或， 所以不等式的解集. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 B. 回归直线必过样本中心点 C. 数据8，6，4，11，3，7，9，10的第75百分位数为 D. 若随机变量，则越大越小 【答案】BCD 【解析】 【详解】A：因为样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，故A不正确； B：因为回归直线必过样本中心点，故B正确； C：数据8，6，4，11，3，7，9，10从小到大排列为：3，4，6，7，8，9，10，11， 因为，所以这组数据的第75百分位数为，故C正确； D：根据正态分布的性质可知：越大，正态曲线越矮胖，所以越小，故D正确. 10. 已知函数，其中实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个极值点 B. 若函数有3个零点，则实数 C. 有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的最小值为2 D. 若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据极值的定义即可判断；对于B，根据函数单调性和极值情况列出不等式求解即可判断；对于C，由题意根据结合判别式和韦达定理即可求解判断；对于D，根据导数和函数对称性即可求解判断. 【详解】对于A，由题得， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有两个极值点，故A正确； 对于B，由A知函数有一个极大值，有一个极小值， 又时，，时，， 所以若函数有3个零点，则，解得，故B错误； 对于C，由题意可得有两个不同的解，， 即有两个不同的解，， 所以，且，解得， 所以，故C错误； 对于D，令， 则，令，解得， 所以函数的图象关于点中心对称， 又直线l与曲线有3个不同的交点，，， 且， 则点A和点C关于点B对称，点B为函数图象的对称中心， 所以，， 所以，故D正确. 11. 已知直线与抛物线交于，两点，且，交于点，则以下正确的有（ ） A. 若点的坐标为，则 B. 点的轨迹方程为 C. 面积的最小值为 D. 线段长度的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，求出，由垂直关系得到，与抛物线方程联立，得到两根之积，再结合即可求出；B选项，先判断直线经过定点，由，从而得到点的轨迹，但原点不满足题意；C选项，由B选项基础上求出，从而可得到面积的最小值；D选项，利用弦长公式结合韦达定理，结合函数值域的方法分析即可. 【详解】 对于选项，， ∵， ，联立，消去， 有，记，则， 由，得， ，故A正确； 对于B：可设，联立，消去，有， 则，由得， ，过定点， ∵，直线过定点，所以， 即点在以为直径的圆：上运动， 即，但原点除外，故B错误； C选项，由B选项可知，过定点， ， ， 当且仅当时，等号成立，故C正确. 对D，由B可得：， 因为，所以，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的二项展开式中，的系数为______． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可得的系数. 【详解】因为展开式的通项为 令，可得的系数为. 故答案为：. 13. 某校人工智能社团共有甲、乙等6名成员，指导老师要从中选出3人组队参加全国青少年AI创新大赛，参赛队中1人负责主程序编写，另外2人负责数据标注，若甲、乙两人有且只有一人参赛，则参赛队的人员安排方法数为______． 【答案】36 【解析】 【分析】根据特殊元素优先及分步乘法计数原理计算即得. 【详解】先从甲、乙两人中选出1人，再从除甲、乙外的4人中选出2人， 最后从选出的3人中选1人负责主程序编写， 根据分步乘法计数原理，可得参赛队的人员安排方法数为． 14. 在直三棱柱中，，，该三棱柱存在体积为的内切球（与侧面、底面均相切）则__________，当为的中点，为棱上的点，时，四面体外接球的表面积为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据内切球的半径求出柱体的棱长，然后利用球的性质求解外接球的半径，进一步求出外接球的表面积. 【详解】因为直三棱柱的内切球的体积为，所以， 解得内切球的半径为，所以内切圆半径为， 则, 在中，， 解得； 又为的中点，为棱上的点，， 所以，，从而， ，，所以，即有， 所以四点共圆，且圆心为的中点，其半径为， 因为，，，平面， 所以平面，如图， 将直三棱柱补成长方体， 设为中点，连接，取的中点， 连接，则中点即为四面体的外接球的球心， 所以四面体的外接球的半径为 ， 此时四面体的外接球表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，， （1）求； （2）在中，，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求解即得； （2）由（1）知，再由得到，方法一：然后利用正弦定理求得求解；方法二：由余弦定理求得AB求解； 【小问1详解】 ， ，. 又 . 【小问2详解】 ， ，又， ，， （方法一）由正弦定理得即 ， ， 或， ，， ， （方法二）由余弦定理可知， 解得， 所以. 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1）证明：方法一：连接交于点，连接， ，， 四边形为平行四边形， 为的中点又为的中点，， 又平面，平面， 平面； 方法二：，，， 则，，， 所以， 又因为，平面，，平面， 所以平面； 方法三：取的中点连接，. 取的中点连接，，， ，， 四边形为平行四边形， ，， 又， ，， 四边形为平行四边形， 又，分别为对应棱的中点，， 四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：连接交于点，连接，根据中位线性质得，从而可证；方法二：，，，可得，从而得证；方法三：取的中点连接，，的中点连接，，，通过证明四边形为平行四边形，可得，从而得证； （2）方法一：以为原点，，所在直线为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，借助向量夹角和模长可得点，，再求出平面与平面的法向量，借助夹角公式求解；方法二：根据线面垂直的判定定理得平面，以为原点，为，轴建立如图所示的坐标系，求出平面与平面的法向量，借助夹角公式求解；方法三：根据线面垂直的判定定理得平面，过点作交的延长线于点，延长与的延长线交于点，则为平面与平面的交线，可证为二面角的平面角，求出即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：以为原点，，所在直线为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 已知底面是边长为1的正方形，，， 设，则，，， 则，解得， ，解得， 又，解得，即， 由，解得， 又，， ，， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 所以， 取平面的一个法向量， 平面与平面的夹角设为，它的余弦值， 又，； 方法二：连接，， 在平行六面体，则，又，， 则， 即，，又，， 所以平面，平面，， 同理可得平面，，又， 平面， 连结，解得， 以为原点，为，轴建立如图所示的坐标系. 则，，由，得到， 又，由得到，， 设平面的法向量， 则，令，则， 解得， 平面的法向量， 平面与平面的夹角设为，它的余弦值， 又，； 方法三：连接，， 在平行六面体，则，又，， 则， 即，，又，， 平面，， 同理可得平面，，又，平面； 连接，解得， 过点作交的延长线于点， 则，平面， 延长与的延长线交于点，则为平面与平面的交线， 连接，在中，， ，，满足勾股定理，， 为二面角的平面角， ， 平面与平面的夹角为. 17. 近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防的重要装备.某科技公司研发的智能巡逻机器人，在、两个核心区域间按如下规则巡逻：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为.已知机器人第1次巡逻时，在区和区的概率均为.记第次巡逻时，机器人在区的概率为. （1）求第2次巡逻时，机器人在区的概率； （2）求的表达式（用表示）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用表示第次巡逻到区，利用全概率公式计算； （2）利用全概率公式得出，构造等比数列即可求出. 【小问1详解】 用表示第次巡逻到区， 则，，， 第2次在区的情况分为两类： 第1次在区，第2次巡逻到区：， 第1次在区，第2次巡逻到区：， 由全概率公式，第2次在区的概率为：； 【小问2详解】 当时，若第次在区，则第次巡逻到区的概率为：； 若第次在区，则第次巡逻到区的概率为：； 则第次在区的概率为：， 设，则，得，解得； 又因为，所以， 故数列是首项为、公比为的等比数列. 故，整理得. 18. 已知椭圆的离心率为，左焦点为，右顶点为，短轴长为8. （1）求的方程； （2）已知点在直线上且直线的斜率为，过点的直线与椭圆相切于点（异于点）. （i）求直线的方程； （ii）求证：. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：方法一：（二倍角正切公式法） 由题意可知. . 又， 故，故， 所以. 方法二：（向量夹角公式法） ，，， ， ， 故， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆短轴长为8，椭圆离心率为，由求解即可； （2）（i）先求得点P的坐标，再写出切线方程，然后与椭圆方程联立求解；（ii）方法一：利用二倍角正切公式法，易知，再由求解；方法二：利用向量夹角公式法，由求解. 【小问1详解】 由已知椭圆短轴长为8，椭圆离心率为， 则，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，设， . 设过点与椭圆相切于点（异于点）的切线方程为， 代入，并整理得. 由直线与椭圆相切，， 化简得. 故切线方程为. 联立椭圆方程，解得切点为. 又因为，所以直线的方程为. （ii）略 19. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）设函数. （i）证明：恒成立； （ii）若，证明：，. 【答案】（1） （2）（i）证明：设，则， 当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，故，即，又因，故，即得； （ii）证明：由（i）可知， ， ， 所以 ， 先证，， 令，，则，故在单调递增， 故，故，， 所以， 再证， 设，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，故，当且仅当时取等号， 故令，则，故， 因此， 故 ， 综上可知：，. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数几何意义求出切线斜率，进而利用点斜式直线方程求解即可； （2）（i）利用导数法证明，再结合余弦函数性质可知，即可证明； （ii）由（i）可知，累加法得，利用导数法证，从而有，再由得，利用累加法得. 【小问1详解】 ， 则，， 故在处的切线方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年呼伦贝尔市普通高中高三联合考试 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，（为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 3 3. 已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（ ） A. -1 B. C. D. 3 4. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 5. 在数学史上，为了三角计算的简便和精确，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作.若，则（ ） A. B. C. D. 6. 当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，满足，与的夹角为，记，则取最小值时（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 B. 回归直线必过样本中心点 C. 数据8，6，4，11，3，7，9，10的第75百分位数为 D. 若随机变量，则越大越小 10. 已知函数，其中实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个极值点 B. 若函数有3个零点，则实数 C. 有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的最小值为2 D. 若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则 11. 已知直线与抛物线交于，两点，且，交于点，则以下正确的有（ ） A. 若点的坐标为，则 B. 点的轨迹方程为 C. 面积的最小值为 D. 线段长度的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的二项展开式中，的系数为______． 13. 某校人工智能社团共有甲、乙等6名成员，指导老师要从中选出3人组队参加全国青少年AI创新大赛，参赛队中1人负责主程序编写，另外2人负责数据标注，若甲、乙两人有且只有一人参赛，则参赛队的人员安排方法数为______． 14. 在直三棱柱中，，，该三棱柱存在体积为的内切球（与侧面、底面均相切）则__________，当为的中点，为棱上的点，时，四面体外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，， （1）求； （2）在中，，，，求的面积. 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 17. 近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防的重要装备.某科技公司研发的智能巡逻机器人，在、两个核心区域间按如下规则巡逻：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为.已知机器人第1次巡逻时，在区和区的概率均为.记第次巡逻时，机器人在区的概率为. （1）求第2次巡逻时，机器人在区的概率； （2）求的表达式（用表示）. 18. 已知椭圆的离心率为，左焦点为，右顶点为，短轴长为8. （1）求的方程； （2）已知点在直线上且直线的斜率为，过点的直线与椭圆相切于点（异于点）. （i）求直线的方程； （ii）求证：. 19. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）设函数. （i）证明：恒成立； （ii）若，证明：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $