精品解析：赤峰市高三年级4·20模拟考试试题 数学

赤峰市高三年级模拟考试试题数学 本试卷共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，利用集合运算的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 2. 函数的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】令，则有，故函数的一个对称中心为． 3. 已知平面α内一条直线l及平面β，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由面面垂直的定义知，当“”时，“”成立， 当时，不一定成立， 即“”是“”的必要不充分条件， 故选：C． 4. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】过原点且倾斜角为的直线方程为，即. 由，得，其圆心为，半径. 故圆心到直线的距离为， 则弦长为． 5. 函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为指数函数与二次函数交点个数问题即可. 【详解】令，则， 在同一坐标系作出两函数图象， 从图像知当时，两函数有1个交点，则在上有1个零点， 又，所以也是的两个零点， 且在时，指数函数增长快于，则后面两函数不会有交点， 则总共有3个零点， 故选：D 6. 一袋中装有7个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，4个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】①当甲取到玩具盲盒且乙也取到玩具盲盒时，； ②当甲取到文具盲盒且乙取到玩具盲盒时，. 所以乙取到玩具盲盒的概率为． 7. 已知向量，则函数的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用平面向量的数量积公式结合余弦函数值域列式求解. 【详解】因为， 又，且， 所以，则函数的最大值为. 8. 已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为减函数 C. 的值域为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，可求得，再分别令，，检验其正确性，确定，判断A；由A所得，求出，判断B；根据所得，求得，利用导数判断单调性，从而求得的值域，判断C；求出，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A，令，得，所以或. 当时，令，得，即. 此时，所以. 令，得，即. 所以. 同理可验证 正确，故A错误； 对于B，令，所以B错误； 对于C，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 所以的值域为，故C错误； 对于D，因为， 即，故D正确． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 是公差为2的等差数列 D. 的最小值是-4 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，即，故，故A错误； 对于B，由于为等差数列，则，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为，根据，得到， 所以，所以是以为首项，为公差的等差数列. 因为公差，所以是公差为2的等差数列，故C正确； 对于D， 故，，故当时，．故D错误． 10. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知“黄金椭圆”的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 短半轴长为 B. 成等比数列 C. D. 的外接圆半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合椭圆的几何性质，可判定A错误；求得，得到，可判定B正确；由，结合，可判定C正确；证得，结合直角三角形的性质，可判定D正确． 【详解】对于A，由椭圆，可得，即， 因为椭圆离心率，则，所以， 短半轴长为，不等于，所以A错误； 对于B，由选项A知：，可得， 则，即，所以成等比数列，故B正确； 对于C，由， 由选项B知，可得，即， 因为所以，故C正确； 对于D，由， 可得，即， 则直角的外接圆半径，故D正确． 11. 如图，在平行六面体中，底面四边形为正方形，且，，点为线段的中点，则（ ） A. B. 的长为 C. 在方向上的投影向量为 D. 平面的一个法向量为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 因此， 故B正确； 对于C，根据选项A可知，， 因此在方向上的投影向量为，故C错误； 对于D，记， 则，得到； 同理，由得. 又因为平面， 所以平面. 因此为平面的一个法向量，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 在的展开式中，常数项为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果. 【详解】的展开式的通项公式为，令，则常数项为， 故答案为：6. 13. 抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到焦点的距离是点到轴距离的4倍，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】将点代入抛物线方程，可得到， 因为，所以点到焦点的距离为，点到轴距离为． 由题意可知，，解得． 14. 设数列满足，且对任意的，满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质可得，进而得，利用累加法即可求解. 【详解】一方面，， 另一方面，，故， 则，所以不等式必取等号，故． 通过累加法，可以得到， 故． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为迎接世界读书日，某校开展了为期一年的“品经典书香，迎世界读书日”主题阅读活动．活动结束后，学校了解到每位学生至少阅读了一本经典名著，并统计了甲、乙两组各10名学生的经典名著阅读量（单位：本），统计结果记录如下： 甲组 1 2 6 8 10 11 12 12 17 21 乙组 1 2 4 11 12 14 16 17 20 （1）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求表中的所有可能取值； （2）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”．设，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中来自乙组的人数的分布列和数学期望． 【答案】（1）1或2 （2） 1 2 3 【解析】 【分析】（1）分别求出甲乙两组学生的阅读量平均值，列出不等式，可求得； （2）由表格可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人，共有5人，由此可得随机变量的所有可能取值及相应的概率，即可得其分布列，从而求得其数学期望. 【小问1详解】 甲组10名学生阅读量的平均值为 乙组10名学生阅读量的平均值为 由题意，得，即． 故表中的取值为1或2． 【小问2详解】 由表格可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人 由题意，随机变量的所有可能取值为：1，2，3. ， ， . 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 所以. 16. 在中，角的对边分别为，且周长为18． （1）求的值及的面积； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理边角转化结合余弦定理得出，再应用同角三角函数关系结合面积公式计算求解； （2）应用二倍角正弦及余弦公式计算，最后应用两角差正弦公式计算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得 又周长为18，所以 所以 在中，，所以 因为，所以 所以． 【小问2详解】 由（1）可得， ， 所以 17. 已知函数． （1）若是的极值点． （i）求的值； （ii）求在区间上的最值； （2）若有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）（i）；（ii）最小值为，最大值为 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）先求出导函数，再应用极值点得出参数，再检验；（ii）根据导数正负得出函数的单调性进而得出最值； （2）应用导函数为0得出韦达定理，再化简不等式，最后构造函数应用导函数得出函数单调性计算参数. 【小问1详解】 （i）由题意：， 由于是函数的极值点，所以有， 解得， 当时，， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，满足是的极值点， 所以； （ii）由（i）可知 所以当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 因此， 又， 因此； 【小问2详解】 由于有两个极值点，因此是的两根， 满足，即， 由题可知， 令， 所以当时，在上单调递减， 所以当时，在上单调递增， ， 由可知，时，则有． 18. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：根据折叠可知，， 由于平面平面，平面平面平面， 故平面， 由于平面，故， 因为，故平面； （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，得到，进而可证平面； （2）利用等体积法求点到面的距离即可； （3）先得到平面，再以为原点建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法表示出两平面夹角的余弦值，再建立方程求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据三角形的性质得，， 在中，， 由（1）知为三棱锥的高， 由于平面平面，故， ， 由（1）知，平面，平面，则， 故， 设点到平面的距离为， 则， 即， 解得； 【小问3详解】 存在，理由如下： 取中点，由于，则 由于平面平面，平面平面平面 故平面，故以为坐标原点，以分别为轴正方向， 以过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则 设 则 设平面法向量 则，即，取 同理可求平面的法向量 则 整理得，，即 解得． 故存在点，当时，平面与平面所成角的余弦值为． 19. 已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为． （1）求的方程； （2）过的直线交的右支于两点，与两渐近线交于两点． （i）求的取值范围； （ii）过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，求证：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）过且与平行的直线可写为， 联立，解得， 过且与平行的直线可写为， 联立，解得， 当时，，此时，则直线斜率不存在， 又此时直线的斜率也不存在，且四点不共线， ， 当时， ， ， 四点不共线， ． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的性质，利用渐近线方程和焦点坐标构造方程组求出，进而求出双曲线的方程； （2）（i）设直线方程，联立曲线方程，利用韦达定理求出进而求解比值范围；（ii）分别联立平行线与渐近线方程求出坐标，进而得出，再利用得出平行关系． 【小问1详解】 由渐近线方程知，， 由焦点坐标可知，， 联立，解得， 双曲线的方程为． 【小问2详解】 （i）经分析可知，直线的斜率不为0，故可设直线， 由于直线与双曲线的右支交于两点，故， 设，联立，整理得到， 则， 故 ， 设，联立，整理得到， 则． 故 ， 则， ，故， ，故； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰市高三年级模拟考试试题数学 本试卷共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面α内一条直线l及平面β，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 6. 一袋中装有7个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，4个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，则函数的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为减函数 C. 的值域为 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 是公差为2的等差数列 D. 的最小值是-4 10. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知“黄金椭圆”的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 短半轴长为 B. 成等比数列 C. D. 的外接圆半径为 11. 如图，在平行六面体中，底面四边形为正方形，且，，点为线段的中点，则（ ） A. B. 的长为 C. 在方向上的投影向量为 D. 平面的一个法向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 在的展开式中，常数项为_____． 13. 抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到焦点的距离是点到轴距离的4倍，则___________． 14. 设数列满足，且对任意的，满足，则___________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为迎接世界读书日，某校开展了为期一年的“品经典书香，迎世界读书日”主题阅读活动．活动结束后，学校了解到每位学生至少阅读了一本经典名著，并统计了甲、乙两组各10名学生的经典名著阅读量（单位：本），统计结果记录如下： 甲组 1 2 6 8 10 11 12 12 17 21 乙组 1 2 4 11 12 14 16 17 20 （1）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求表中的所有可能取值； （2）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”．设，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中来自乙组的人数的分布列和数学期望． 16. 在中，角的对边分别为，且周长为18． （1）求的值及的面积； （2）求的值． 17. 已知函数． （1）若是的极值点． （i）求的值； （ii）求在区间上的最值； （2）若有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 18. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为． （1）求的方程； （2）过的直线交的右支于两点，与两渐近线交于两点． （i）求的取值范围； （ii）过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $