精品解析：内蒙古呼和浩特市2026届高三年级第一次模拟考试数学试卷

呼和浩特市2026年高三年级第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，把答题卡交回． 3．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则复数虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知，且，则实数（ ） A. -3 B. 6 C. -1或-2 D. 1或2 3. 已知集合，，则“ ”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某种包装的大米质量 （单位： ）服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米2000袋．则大米质量在以上的袋数大约为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 5. 在棱长为4的正方体中，点 是棱的中点，则点 到平面 的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，使 成立的x的取值集合是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（ ） A. 20 B. 50 C. 70 D. 90 8. 可以采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为2 ，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当 时，e＝1，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为2，高为2的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，截面截圆锥所得的截面ABE与底面夹角为60°，则平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在正三棱台中，D，E分别是BC，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. AD∥平面 B. ED∥ C. BC⊥平面 D. ED⊥ 10. 已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 11. 已知双曲线C：（b＞0）的左、右焦点分别为，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若，则（ ） A. |OH|＝2 B. C. 双曲线C的渐近线方程是 D. 四边形的面积为15 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 13. 已知数列的前n项和为，且点，，在直线 上，则______． 14. 在圆内接四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2，则四边形ABCD的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某电商研究中心为剖析国潮消费趋势，随机调查了该平台50名男性用户和50名女性用户，统计其对“国潮服饰类产品”的购买意愿（经常购买/不常购买），得到如下列联表： 经常购买 不常购买 男性用户 40 10 女性用户 30 20 （1）依据 ＝0.05的独立性检验，能否认为该平台男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异？ （2）从该平台的用户中任选一人，A表示事件“选到的人不常购买国潮服饰类产品”，B表示事件“选到的人为女性用户”，利用该调查数据，给出的估计值． 附：． 0.050 0.010 0.005 k 3.841 6.635 7.879 16. 已知椭圆： 过点，设它的左、右焦点分别为，左顶点为 ，上顶点为 ，且满足． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，求证： . 17. 已知圆锥PO的底面直径AB和母线长都为2，C是底面圆周上一点，，平面PAC和平面PBC将圆锥截去部分后的几何体如图所示． （1）求平面PAC与平面PBC所成角的正弦值； （2）若P，A，B，C四点都在同一球面上，求该球的表面积． 18. 已知函数 ． （1）若 ，求函数在处的切线方程； （2）设 有且仅有一个极值点，求a的取值范围； （3）若函数存在2个极值点，且满足，求证： ． 19. 已知数列满足 ，且 ． （1）求； （2）若 ，求证： ； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼和浩特市2026年高三年级第一次模拟考试 数学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，把答题卡交回． 3．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则复数虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得， 所以复数虚部为. 2. 已知，且，则实数（ ） A. -3 B. 6 C. -1或-2 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得或2. 故选：D. 3. 已知集合，，则“ ”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为，， 当 时，显然，故充分性成立； 当，则 或，即必要性不成立； 所以“ ”是“”的充分不必要条件. 故选：C 4. 某种包装的大米质量 （单位： ）服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米2000袋．则大米质量在以上的袋数大约为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据大米质量，利用正态分布的对称性求出，再列式计算作答. 【详解】因大米质量，且，则， 所以大米质量在以上的袋数大约为. 故选：B 5. 在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则点到平面 的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合几何体的结构特征利用等体积法求解点面距离即可. 【详解】设点到平面 的距离为， 正方体中，， 由等体积法可知，即， 解得. 6. 已知函数，使 成立的x的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正切函数的定义域及单调性求解. 【详解】由 ，得， 所以，所以，即. 所以使 成立的x的取值集合是. 故选：B. 7. 已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（ ） A. 20 B. 50 C. 70 D. 90 【答案】D 【解析】 【分析】先利用二项式定理化简，再根据函数奇偶性的定义求解即得. 【详解】依题意，可知函数为奇函数，满足. 因， ， 则， 由 ，因不恒为0，故得，即. 8. 可以采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为2，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当 时，e＝1，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为2，高为2的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，截面截圆锥所得的截面ABE与底面夹角为60°，则平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，，，则离心率为. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在正三棱台中，D，E分别是BC，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. AD∥平面 B. ED∥ C. BC⊥平面 D. ED⊥ 【答案】AC 【解析】 【分析】对 A，利用正三棱台上下底面平行的性质，结合线面平行判定证明 ；对 B，由与异面可判断与为异面直线；对C，由线面垂直判定定理可证⊥ 平面 ，用基底表示，由数量积判断D. 【详解】对于选项A：正三棱台的上下底面互相平行，即平面平面，又 平面，平面， 根据面面平行的性质，可得 平面，A正确； 对于选项B： 在侧棱上， 在上，因为是异面直线，所以与是异面直线，B错误； 对于选项C： 是正三角形， 是中点，故 ； 因为正三棱台是由正三棱锥利用平行于底面的截面截去小三棱锥得到，所以, 因为、都在平面内， 且垂直于平面内两条相交直线、，故 平面，C正确； 对于选项D：，设， 则 ，因为、都是锐角，所以，D错误. 【点睛】本题围绕正三棱台的结构特征，综合考查面面平行→线面平行的判定、异面直线的位置关系、线面垂直的判定定理，以及向量法判断线线垂直，是立体几何中 “平行与垂直” 核心考点的典型应用. 10. 已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A根据奇函数以及令可得；B根据奇函数以及反证法结合单调性可判断；C结合A选项以及单调性即可求出；D结合函数的单调性和对称性判断. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，得，得 ，故A正确； 令 ，则，即， 若，则 恒成立，与在R上单调递增矛盾，故B错误； 因为，所以的图象关于点中心对称， 又 ，在R上单调递增，所以 时 ， 时 ， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数的导函数为，则，得，其中为常数， 令，得，得，故， 故的图象关于直线对称，故C正确； 由的对称性可知，， 因为，以及的单调性可知，，故D错误. 11. 已知双曲线C：（b＞0）的左、右焦点分别为，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若，则（ ） A. |OH|＝2 B. C. 双曲线C的渐近线方程是 D. 四边形的面积为15 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，已知是过作的一条渐近线的垂线的垂足， 其渐近线方程为，即，， 所以， 所以，故A正确； 对于B，过点作，所以，所以， 所以， 又，，所以， 又，所以，故B正确； 对于C，由B选项可知， 因为，所以， 在中，， 所以， 所以，，所以 ， 所以双曲线C的渐近线方程是，故C错误； 对于D，四边形的面积为 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由独立事件概率乘法公式及二次函数性质即可求解. 【详解】由事件相互独立，得， 代入已知条件得：， 二次函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线， 故 . 13. 已知数列的前n项和为，且点，，在直线 上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到 ，通过作差法即可求解. 【详解】因为点在直线 上， 因此得关系：  ， 当时，，解得， 当时，可得， 两式相减得： ，​ 化简得​， 因此 是首项为 公比为 的等比数列， 所以，. 14. 在圆内接四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2，则四边形ABCD的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆内接四边形对角互补，把四边形分成两个三角形利用余弦定理求解，利用三角形面积公式只需求对角的正弦值即可. 【详解】如图连接，因为四边形为圆的内接四边形，所以， 在中， ， ，有， 在中，， ，有 , 所以，又，解得， 所以， 则， 即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某电商研究中心为剖析国潮消费趋势，随机调查了该平台50名男性用户和50名女性用户，统计其对“国潮服饰类产品”的购买意愿（经常购买/不常购买），得到如下列联表： 经常购买 不常购买 男性用户 40 10 女性用户 30 20 （1）依据＝0.05的独立性检验，能否认为该平台男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异？ （2）从该平台的用户中任选一人，A表示事件“选到的人不常购买国潮服饰类产品”，B表示事件“选到的人为女性用户”，利用该调查数据，给出的估计值． 附：． 0.050 0.010 0.005 k 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）认为男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异 （2）， 【解析】 【分析】（1）通过列联表数据计算统计量，与显著性水平 α=0.05 对应的临界值比较得到判断； （2）利用调查数据，统计对应女性用户的占比，得到的频率估计值. 【小问1详解】 由题可得：， 依据＝0.05的独立性检验，认为男、女用户对国潮服饰类产品的购买意愿有差异． 【小问2详解】 由题得，， ． 【点睛】本题围绕分类变量的独立性检验和条件概率的频率估计展开，是统计推断中 “用样本推断总体关联” 与 “用频率估计概率” 的典型应用. 16. 已知椭圆： 过点，设它的左、右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，且满足． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，求证： . 【答案】（1） （2）证明如下： 方法一：设直线的方程为： . 联立方程,化简得 , 显然点在椭圆的内部，所以 . 设，则． 又因为 ,所以． 所以 所以，即 . 方法二：设直线的方程为：， 联立方程,化简得 ． 显然点在椭圆的内部，所以 ． 设，则． 又因为 ，所以． 所以 ， 所以，即 . 方法三：设： ，则 可化为 ， 展开得 ， 即 ， 化简得 ， 同除以可得 ， 又过，代入得，∴ . 【解析】 【分析】（1）利用椭圆过已知点、顶点距离与焦距的关系，结合椭圆中的关系，即可得椭圆方程； （2）方法一：设直线方程，联立方程组后用韦达定理得到，通过向量数量积为0证明垂直；方法二：直线方程设为，联立方程组后用韦达定理得到，通过向量数量积为0证明垂直；方法三：通过设过定点的直线系方程，再结合椭圆方程变形，将垂直问题转化为斜率乘积为的关系，即可证得. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以椭圆C的方程为 . 【小问2详解】 略 【点睛】联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理转化成坐标之间的关系，然后通过向量数量积为0或斜率乘积为来证明垂直是解决直线与椭圆垂直问题的常用方法. 17. 已知圆锥PO的底面直径AB和母线长都为2，C是底面圆周上一点，，平面PAC和平面PBC将圆锥截去部分后的几何体如图所示． （1）求平面PAC与平面PBC所成角的正弦值； （2）若P，A，B，C四点都在同一球面上，求该球的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件及勾股定理，可得是等腰直角三角形，则，如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，分别求出平面PAC和平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，可得其余弦值，根据同角三角函数的关系，可得答案. （2）分析可得球心在PO上，根据勾股定理，可得半径R，代入表面积公式，即可得答案. 【小问1详解】 由题得，，且， ，∴是等腰直角三角形，∴， 以O为原点，为x，y，z轴正方向建立直角坐标系． 则， ，，， 设是平面PAC的一个法向量， 则，∴， 令，则，∴， 设是平面PBC的一个法向量， 则，∴， 令 ，则，∴， 设平面PAC与平面PBC所成角为，则， ∴，则平面PAC与平面PBC所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由题意得，球心在PO上，设球心为M，球半径为R， 则，， 解得，则球的表面积为. 18. 已知函数 ． （1）若 ，求函数在处的切线方程； （2）设 有且仅有一个极值点，求a的取值范围； （3）若函数存在2个极值点，且满足，求证： ． 【答案】（1）2x＋y－2＝0 （2） （3）证明如下： 由 ，可得， 令，则，由 得 ，由 ，得 . 故 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，当时，， 因 ，对于 ，有 ，，故 ， ， 则由，又，故， 令，则， 因 ，则 ，故在上单调递增， 又 ， 则 在上存在唯一解，∴ 又 ， ， 则有 ，故可得 ． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据直线的点斜式方程求解； （2）由题意，可得有且只有一个变号根，通过求导，判断函数的单调性和图象趋势，即可求得参数范围； （3）由 得，令，求导判断函数单调性，推得，结合，得到，令，判断其单调性，得 在上存在唯一解，再由零点存在定理即可证得. 【小问1详解】 当 时， ， ，且 ， 故在处的切线方程为 ，即2x＋y－2＝0， 【小问2详解】 ， ， 由＝0可得，令，x>0， 则 令 ， 在上单调递减，且 ， 则当时， ，则 ，即在上单调递增， 时， ， ，即在上单调递减， 且又时，，时，， 由题得，有且只有一个变号根，故 【小问3详解】 略 19. 已知数列满足 ，且 ． （1）求； （2）若 ，求证： ； （3）求的值． 【答案】（1） （2）证明如下： 由（1）可得 ， 则由 ， 可得 ， 即 整理得 ，因 ，则 ， 所以 ， 故 . （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合累加法求解即可； （2）根据题干递推关系，利用两角和差的余弦公式化简推得 ，结合同角三角函数关系即可证得； （3）利用和差角的余弦公式可得，再根据三角函数的诱导公式化简并分组求和即可求解. 【小问1详解】 由 可得： ， ， ， ， 由累加法得， 又因为 ， 所以，故 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由 ，可得 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $