专题3.1（特殊）平行四边形中的计算与证明（期中复习讲义） 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题3.1（特殊）平行四边形中的计算与证明 【重难点突破】 类型一 以平行四边形为背景 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形中，，对角线与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的周长为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）先由同时垂直于，推出与平行，再通过证明，得到，结合，从而证明四边形是平行四边形； （）先利用平行四边形对角线互相平分的性质，由得到；再结合周长为，得出；最后在中，通过勾股定理列方程求解，算出的长度为． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中：， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵ 平行四边形对角线互相平分，， ， ∵的周长为，即， ∴，即， 又， ∴是直角三角形， ∴由勾股定理得：，即：， 展开化简：， 解得：． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)2 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意得即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 3．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点，可得与同底同高，与同底同高，由此即可求解．掌握平行四边形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：与之间的关系∶． 理由：如图，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， 即． 4．（25-26八年级下·四川泸州·月考）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 类型二 以矩形为背景 5．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，D为中点，分别过A点，B点作，交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的定义得到四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定和性质得到，即可证明结论成立； （2）证明是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，D为中点， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵过点E作于点H， ∴ ∴ 7．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)20 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，判定出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可判定； （2）利用平行的性质和角平分线的性质得出，然后根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 8．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，延长至点，使得，连接，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质求解即可； （2）证明平行四边形是矩形，再求出，由勾股定理得到，结合矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，即， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ∴，即， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， 平行四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 类型三 以菱形为背景 9．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，继而得到四边形是平行四边形，证明即可； （2）根据勾股定理，得到，设，得到 ，解方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是菱形； （2）解： 四边形是菱形，，， ，，，， ， ， 设， ， ， ， 解得． 10．（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，的对角线和交于点O，，分别过点C，D作，，和交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是菱形，以及证明四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直，得到，即可判定四边形是矩形； （2）先结合菱形的性质以及矩形的性质得的长，再由勾股定理可求的长，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得四边形是菱形，四边形是矩形； ∴，， ∴ ∵， ∴， 即， ∵ ∴． 11．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的面积为4，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据“对角线互相平分”证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到，从而得出结论； （2）根据矩形的面积求出，由菱形的性质得到、，利用求解即可． 【详解】（1）证明：、， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：矩形的面积为4， ， 由（1）知，四边形是菱形， 、， ． 12．（25-26八年级下·山东泰安·月考）如图，四边形是矩形，E、F分别是边、上的点，且，连接交矩形的对角线于点O． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到、，进而得到，从而得出结论； （2）易证明四边形是菱形，则，设，则，，在中，根据勾股定理列出方程，求出的值，利用进行求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， 、， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知，四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ． 类型四 以正方形为背景 13．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，平分，交于点． (1)求证： (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质以及角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质可得，得出，根据等角对等边，即可得证； （2）根据正方形的性质可得，，结合（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵在正方形中，对角线，相交于点， ∴， ∵平分， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵在正方形中，对角线，相交于点，， ∴，， ∵， ∴． 14．（25-26八年级下·山东·课后作业）已知，正方形的边在正方形的边上，延长到，使，在边上，且，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质易证，根据全等三角形的性质推出，，求出，根据正方形的判定得出即可． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵，， ∴，，， 即，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 15．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，等角对等边，熟知菱形的判定定理和正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出，则可得到，据此可得结论； （2）可证明四边形是正方形，再根据正方形对角线相等，且正方形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形． 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，四边形是菱形． ，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 16．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在正方形中， (1)如图，在正方形中，点，分别在和上，且．证明：且； (2)如图②，在正方形内有一点，过点作，点，分别在正方形的对边，上，点，分别在正方形的对边，上，那么与相等吗？并说明理由； (3)如图③，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，折痕为，点在边上，点在边上．请你画出折痕，则折痕的长是______；线段的长是______． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（1）由正方形性质及三角形全等的判定与性质求证即可； （2）作交于，作交于，由平行四边形的判定与性质得到，再结合（1）的证明过程得出即可确定答案； （3）连接，由勾股定理及折叠性质求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， 且； （2）解：， 理由如下： 作交于，作交于，如图所示： ， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ， 由（1）的证明过程可知，则， ； （3）解：连接，如图所示： 为的中点， ， 在中，由勾股定理可得， 由折叠性质可知，则由（2）的证明过程可知， 设，则由折叠性质可知， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， 线段的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1（特殊）平行四边形中的计算与证明 【重难点突破】 类型一 以平行四边形为背景 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形中，，对角线与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的周长为，求线段的长． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 3．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 4．（25-26八年级下·四川泸州·月考）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 类型二 以矩形为背景 5．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 6．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，D为中点，分别过A点，B点作，交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 7．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 8．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，延长至点，使得，连接，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 类型三 以菱形为背景 9．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 10．（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，的对角线和交于点O，，分别过点C，D作，，和交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 11．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的面积为4，求菱形的面积． 12．（25-26八年级下·山东泰安·月考）如图，四边形是矩形，E、F分别是边、上的点，且，连接交矩形的对角线于点O． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 类型四 以正方形为背景 13．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，平分，交于点． (1)求证： (2)若，求线段的长． 14．（25-26八年级下·山东·课后作业）已知，正方形的边在正方形的边上，延长到，使，在边上，且，求证：四边形为正方形． 15．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 16．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在正方形中， (1)如图，在正方形中，点，分别在和上，且．证明：且； (2)如图②，在正方形内有一点，过点作，点，分别在正方形的对边，上，点，分别在正方形的对边，上，那么与相等吗？并说明理由； (3)如图③，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，折痕为，点在边上，点在边上．请你画出折痕，则折痕的长是______；线段的长是______． 学科网（北京）股份有限公司 $