专题04 特殊平行四边形（期中复习讲义，7重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材人教版

专题04 特殊平行四边形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 特殊平行四边形判定辨析与条件补充（基础+中档，易错） 题型02 中点四边形（基础+中档，易错） 题型03 特殊平行四边形的性质综合计算（中档题，必考） 题型04 特殊平行四边形的判定综合证明（中档题，必考） 题型05 特殊平行四边形折叠（小压轴题，高频） 题型06 动态探究与几何模型综合题（压轴题，高频） 题型07 坐标系中的动点与最值综合题（压轴题，高频） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 矩形 1. 熟记矩形的性质与判定定理，能灵活运用 2. 会利用矩形对角线相等、四个角为直角求边长、角度、对角线长度 3. 能证明一个四边形是矩形 1. 期中高频考点，选择、填空、解答题均有涉及。 2. 常与平行四边形、勾股定理综合考查，侧重性质应用 菱形 1. 熟练掌握菱形的性质、判定及面积公式 2. 能运用性质求边长、对角线长度、面积 3. 能根据条件判定四边形为菱形 1. 常与矩形、平行四边形结合考查，解答题中高频出现 2. 菱形面积计算是重点，偶尔结合折叠、对称问题考查 正方形 1. 掌握正方形的性质与判定，能区分矩形、菱形与正方形的异同 2. 能运用正方形性质解决计算、证明问题 3. 能综合运用平行四边形、矩形、菱形知识判定正方形 1. 期中中档题、压轴题常见 2. 侧重综合应用，常与全等三角形、勾股定理、折叠问题结合 知识点01 矩形 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 2.性质：①四个角都是直角；②对角线相等；③是轴对称图形，有两条对称轴. 3.直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 4.判定：从平行四边形出发：①有一个角是直角的平行四边形.②对角线相等的平行四边形. 从四边形出发：①有三个角是直角的四边形. 知识点02 菱形 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 2.性质：①四条边都相等.②对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.③是轴对称图形，有两条 对称轴. 3.面积：①菱形的面积=底×高； ②菱形的面积=对角线长的乘积的一半. 4.判定：从平行四边形出发：①有一组邻边相等的平行四边形.②对角线互相垂直的平行四边形. 从四边形出发：① 四条边相等的四边形. 知识点03 正方形 1.定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 2.性质：①具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.②是轴对称图形，有四条对称轴. 判定：从平行四边形出发：一组邻边相等 + 一个角是直角. 从矩形出发：① 矩形 + 一组邻边相等；② 矩形 + 对角线互相垂直. 从菱形出发：① 菱形 + 有一个角是直角；② 菱形 + 对角线相等. 知识点04 特殊平行四边形核心要点 图形类型 核心性质 关键判定方法 易错提醒 矩形 1. 四个角都是直角； 2. 对角线相等且互相平分； 3. 轴对称图形（2条对称轴）； 4. 可看作“有一个直角的平行四边形”。 1. 有一个角是直角的平行四边形； 2. 对角线相等的平行四边形； 3. 三个角是直角的四边形（无需平行四边形前提）。 对角线相等≠矩形，必须强调平行四边形前提；矩形不一定有对角线垂直的性质。 菱形 1. 四条边都相等； 2. 对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角； 3. 轴对称图形（2条对称轴）； 4. 面积=对角线乘积÷2 1. 有一组邻边相等的平行四边形； 2. 对角线互相垂直的平行四边形； 3. 四条边都相等的四边形（无需平行四边形前提）。 对角线垂直≠菱形，必须强调平行四边形前提；菱形不一定有对角线相等的性质。 正方形 1. 兼具矩形、菱形所有性质（四条边相等、四个角为直角）； 2. 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 3. 轴对称图形（4条对称轴）； 4. 面积=边长²=对角线乘积÷2。 1. 有一个角是直角、一组邻边相等的平行四边形； 2. 对角线相等且垂直的平行四边形； 3. 有一组邻边相等的矩形（或有一个角是直角的菱形）。 区分“矩形+菱形”与正方形的判定，避免遗漏条件；正方形是特殊的矩形和菱形。 知识点05 中点四边形 1.任意四边形（对角线无特殊特征）：中点四边形是平行四边形； 2. 对角线相等的四边形（如矩形、等腰梯形）：中点四边形是矩形（核心推导：中位线平行且等于对角线一半，对角线相等→中位线相等→平行四边形+对边相等→矩形）； 3. 对角线垂直的四边形（如菱形）：中点四边形是菱形（核心推导：中位线平行于对角线，对角线垂直→中位线垂直→平行四边形+邻边垂直→菱形）； 4. 对角线既相等又垂直的四边形（如正方形）：中点四边形是正方形（核心推导：结合上述2、3点， 平行四边形+对边相等+邻边垂直→正方形）。 知识点06 核心易错点梳理 1. 判定矩形、菱形时，忽略“平行四边形”的前提条件（如“对角线相等的四边形是矩形”为错误命题）； 2. 混淆三种图形的性质：菱形对角线垂直但不一定相等，矩形对角线相等但不一定垂直，正方形两者兼具； 3. 计算菱形面积时，忘记“对角线乘积÷2”，误用平行四边形“底×高”公式（虽可用，但对角线法更简便，期中高频考查）； 4. 忽略特殊平行四边形的对称性，解决折叠、对称问题时，遗漏对应边、对应角相等的条件； 5. 证明正方形时，仅证明是矩形或仅证明是菱形，遗漏另一类图形的判定条件。 6. 中点四边形易错1：误认为中点四边形的形状由原四边形的形状决定（实际由原四边形的对角线的“相等”“垂直”特征决定，与原四边形是否为平行四边形无关），这是期中考查的高频易错点； 7. 中点四边形易错2：运用三角形中位线定理时，遗漏“中位线平行于第三边且等于第三边的一半”的核心结论，无法实现“对角线特征→中位线关系→中点四边形形状”的推导。 8. 坐标系动态与最值易错：忽略动点的运动范围（如线段、射线、坐标轴），导致漏解；误用最值模型（如将军饮马、垂线段最短），或坐标运算失误（如距离公式记错、中点坐标算错） 知识点07 核心记忆口诀 矩形：平行四边形加直角，对角线相等是特征； 菱形：平行四边形加等边，对角线垂直分对角； 正方形：矩形菱形二合一，对角线垂直又相等。 中点四边形：中点连线成中位，对角线定形状，等则矩形垂则菱，等垂必是正方形 坐标系动态与最值：动点先定范围线，坐标特征紧相连，将军饮马对称用，垂线段短最关键。 题型一 特殊平行四边形判定辨析与条件补充（基础+中档，易错） 解｜题｜技｜巧 1. 判定辨析：牢记“从属关系”——平行四边形→矩形（加一个直角/对角线相等）、平行四边形→菱形（加一组邻边相等/对角线垂直）、矩形+菱形→正方形，明确三者的异同点； 2. 命题判断：举反例排除错误命题（如“对角线相等的四边形是矩形”，反例：等腰梯形对角线相等，但不是矩形）； 3. 条件补充：结合判定方法，补充最简便的条件（如“平行四边形ABCD，补充______，使它成为菱形”，可补充“AB=AD”或“AC⊥BD”）。 【典例1-1】（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，交于点，添加下列一个条件，仍不能判定是矩形，该条件是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25八年级下·广东广州·期中）下列选项的命题中，是真命题的是（    ） A．有三边相等的四边形是菱形 B．四个角相等的菱形是正方形 C．两条对角线互相平分的四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【典例1-3】（24-25八年级下·福建福州·期中）在菱形中，添加一个条件_____，使菱形是正方形． 【变式1-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 【变式1-2】（24-25八年级下·北京·期中）在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（    ） A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直 C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角 【变式1-3】（24-25八年级下·全国·期中）在中，与相交于点O，要使是矩形，需添加的条件是__________（填序号） ①；②；③；④ 题型二 中点四边形（基础+中档，易错） 解｜题｜技｜巧 中点四边形解题统一遵循“三步法”，适配期中证明题、计算题，规范解题逻辑，避免步骤疏漏： 第一步：连接原四边形的两条对角线（辅助线核心，必做！），标注对角线的特征（相等/垂直/既相等又垂直）； 第二步：根据三角形中位线定理，推导中点四边形的两组对边分别平行且等于对应对角线的一半，证明中点四边形是平行四边形； 第三步：结合原四边形对角线的特殊特征（相等/垂直），推导中点四边形的边或角的特殊关系，进而判定中点四边形的具体形状（矩形/菱形/正方形）。 【典例2-1】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形． 其中正确的结论是（    ） A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 【典例2-2】（24-25八年级下·重庆綦江·期中）如图，菱形的两条对角线相交于O，若，顺次连接菱形各边中点所围成的四边形的面积是（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【典例2-3】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①：再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2025个图形中直角三角形的个数有（   ） A．4052个 B．2025个 C．1013个 D．8100个 【变式2-1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）我们把任意一个四边形各边中点顺次连接所得的四边形叫做中点四边形．当原四边形的对角线____________时，它的中点四边形一定是菱形． 【变式2-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为和的菱形，它的中点四边形的对角线长是___________． 【变式2-3】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为12，面积为7，求的长． 题型三 特殊平行四边形的性质综合计算（中档题，必考） 解｜题｜技｜巧 1. 通用思路：先明确图形类型，优先调用其独特性质（如矩形找直角、对角线相等；菱形找四条边相等、对角线垂直），再结合平行四边形性质转化条件； 2. 关键技巧：遇对角线，优先连接对角线，利用“平分”“相等”“垂直”的性质，结合勾股定理计算 3. 面积计算：菱形优先用“对角线乘积÷2”，正方形可灵活选用“边长²”或“对角线乘积÷2”，避免计算繁琐； 4. 角度计算：利用“直角”“对角相等”“邻角互补”，结合三角形内角和，快速转化角度。 【典例3-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则________． 【典例3-2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形，则___________． 【典例3-3】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，和是两个不等的正方形，连接交于，如果面积为10，则面积为____________． 【变式3-1】（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求________． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是_____________． 【变式3-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在菱形中，E、F分别是、边上的两点，连接、、，平分．若，，的周长为15，线段的长为 _______ ． 【变式3-4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形中，以为边在平面内作等边三角形，连接，则的度数为_____． 题型四 特殊平行四边形的判定综合证明（中档题，必考） 解｜题｜技｜巧 1. 判定思路（优先简便方法）： 矩形：先证明是平行四边形，再证明有一个直角或对角线相等；若已知三个直角，可直接判定为矩形； 菱形：先证明是平行四边形，再证明有一组邻边相等或对角线垂直；若已知四条边相等，可直接判定为菱形； 正方形：先证明是矩形（或菱形），再证明有一组邻边相等（或有一个直角），或直接证明是“对角线相等且垂直的平行四边形”； 2. 关键技巧：连接对角线，构造全等三角形（△AOB≌△COD、△AOD≌△COB），转化线段、角度关系，辅助判定条件的证明； 3. 易错提醒：证明时，务必标注前提条件（如“∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴ 四边形ABCD是矩形”），避免步骤遗漏。 【典例4-1】（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 【典例4-2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为80，求的长． 【典例4-3】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 【变式4-1】（24-25八年级下·广西北海·期中）在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 【变式4-2】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在中，，交 于点E，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则菱形的面积是 ． 【变式4-3】（24-25八年级下·河北邢台·期中）在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 题型五 特殊平行四边形折叠（小压轴题，高频） 解｜题｜技｜巧 折叠问题：牢记“折叠前后对应边相等、对应角相等”，找准折叠的对称点，连接对称点，利用对称轴垂直平分对称点连线的性质，结合特殊平行四边形的性质，构造直角三角形，用勾股定理列方程求解。 【典例5-1】（24-25八年级下·河南漯河·期中）如图，矩形中，，，点E在边上，将沿直线翻折，点D落在点F处，连接．如果是以为腰的等腰三角形，那么的长是__________． 【典例5-2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，正方形的边长为，点E，G分别为边的中点，连接，将沿翻折至同一平面得到．边上有一点H，连接，又将沿翻折至同一平面得到，若点P恰好落在上，则此时折痕的长为_______． 【典例5-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：菱形中，点E在边上，将沿折叠，点B对应点为点F，恰好使．点P为边上一点，直线交于点G．若，，，则的长为______． 【变式5-1】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在边长为2的正方形中，F是的中点，点E在上，连接，将沿翻折，点A的对称点落在上，连接、，则_______ °，_________ ． 【变式5-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则的长为_______． 【变式5-3】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，矩形中，，，E是边上一点，且，将沿直线对折，得到．连接，则的面积为______． 题型六 动态探究与几何模型综合题（压轴题，高频） 解｜题｜技｜巧 动态探究问题：设动点坐标或线段长度为x，结合特殊平行四边形的判定条件（如矩形对角线相等、菱形邻边相等），列方程求解，注意分类讨论（如动点在不同边上的情况），避免漏解。 【典例6-1】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，分别是边上的点，将四边形沿翻折，两点的对应点分别为． (1)如图1，当点落在上时，求证：； (2)如图2，若，点与点重合，求的长； (3)如图3，当点恰好落在的中点，交于点，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 【典例6-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】 如图1，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形； 【尝试运用】 如图2，在菱形中，，点、分别在、上（不含端点），连接，，若，证明四边形是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料，连接，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形的面积． 【典例6-3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：． 【问题解决】（1）小圳经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整．在上截取，连接，易得，，______，可得（______），． 【问题探究】（2）探究小组经过讨论，发现了图形隐含了很多线段和角的等量关系，如图2，连接，与边相交于点Q，连接，给出下列四个结论，①；②；③；④，正确结论的序号是_______． 【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上． ①试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，P在射线上运动，当时直接写出线段的长． 【典例6-4】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，．等腰的两个顶点E、F分别在上且，点A，M在的异侧．小明猜想：点M在菱形的对角线上． (1)如图2，当于点时， ①判断：点M________菱形的对角线上．（填“在”或“不在”） ②如图3，若交于点H，交于点G，连接，当＝______时，四边形为正方形． (2)如图1， ③判断：小明的猜想是否正确？若正确请证明，若不正确请说明理由． ④若，请直接写出的取值范围_______． 【变式6-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． (1)当时，如图①所示，则______； (2)若，则______； (3)连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． 【变式6-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、． (1)【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______； (2)【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：； (3)【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______． 【变式6-3】（24-25八年级下·福建泉州·期中）在正方形中，点、、分别是边、、上的动点，连接、，相交于点，且． (1)如图1，若点与点重合 ①求证：； ②如图2，当点运动到中点时，求证：． (2) 如图3，若点为线段的中点，连接交于点，连接，试探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 题型七 坐标系中的动点与最值综合题（压轴题，高频） 解｜题｜技｜巧 动态与最值问题解题统一遵循“四步法”，适配期中证明题、计算题、探究题，规范解题逻辑，避免步骤疏漏和漏解： 1. 第一步：定范围，标定点：明确动点的运动范围（线段、射线、坐标轴等），设出动点坐标（用参数表示，如P(t,0)），标注题目中所有定点的坐标（若未给出，结合图形特征求出）； 2. 第二步：找模型，连关系：根据题目所求最值类型（距离和、距离差、面积），确定对应的最值模型，结合特殊平行四边形的性质，建立动点坐标与所求量之间的关系（如边长、距离、面积的表达式）； 3. 第三步：算结果，验范围：根据建立的关系，结合坐标运算、函数最值等知识，求出最值，同时验证动点坐标是否在运动范围内，避免出现不符合题意的解； 4. 第四步：写结论，规范答：整理解题过程，明确写出最值的大小及对应的动点位置（坐标），确保步骤完整、结论清晰（期中评分标准中，步骤完整性占比高，切勿省略关键步骤）。 【典例7-1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D（______，______），E（______，______）； (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ①如图①，求证：是等腰直角三角形； ②如图②，连接，求证：平分； ③如图③作交于点M，作交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． 【典例7-2】（24-25八年级下·天津·期中）如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点B落在点D处，边交x轴于点E，． (1)求点D的坐标； (2)如图2，点N为的中点，在直线上是否分别存在点M，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点P为y轴上一动点，作直线交直线于点Q，存在点P使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 【典例7-3】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，且，是线段上一动点（不包括点、），作，垂足为，且，设，直接写出点的坐标_____（用含的代数式表示）； （2）求运动的过程中的最小值； （3）如图2，连接交于点，连接，判断是否平分，并说明理由． 【变式7-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边上，点D在边上，且，已知点，点． (1)求点E的坐标； (2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设的面积为S，点P、Q的运动时间为t，请直接写出用含t的代数式表示S的关系式；（不用写出自变量的取值范围） (3)在（2）的条件下，点M是射线上的一点，当满足，且时，请求出此时的t值以及点M的坐标． 【变式7-2】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 【变式7-3】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，连接，，平移至(点与点对应，点与点对应），连接． (1)①直接写出点的坐标为______． ②判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)如图1，点为边上一点，连接，平分交于，连接．若，求的长； (3)如图2，为边的中点．若，连接，则的最小值为______，最大值为______． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，为中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 3．（24-25八年级下·江西南昌·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 4．（24-25八年级下·山东济南·期中）顺次连接四边形各边的中点E、F、G、H，若得到的四边形是菱形，则四边形一定满足（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交，于点E、F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为_________．    6．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 7．（24-25八年级下·云南文山·期中）已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　） A．10 B． C． D．14 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 3．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，正方形的面积是8，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于______． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长． 5．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 6．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，中，，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，B，D为垂足． (1)___________°（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形与个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为，中间的小正方形为正方形，面积为，连接，交于点，交于点，①，②；③，④，以上说法中正确的个数为（　　）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）在正方形中，对角线、交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，且，连接交于点，，点在线段上，且，延长交于点，则（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）【数学活动】：如图，用一张正方形的纸片按如下方式折叠：先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接、，与交于点．则下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的序号为__________． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，，的平分线交于点G，于点O，交于点F，连接，，则四边形的面积为_____ ． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为________； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长， ②如图4，若F为中点，连接，，直接写出的最小值． 6．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知，正方形，是上一点，交的延长线于． (1)在探究与的数量关系时，小颖作了如图1的辅助线：作于点，作于点N．请你帮小颖写出与的数量关系并证明； (2)如图2，延长交的延长线于，连，若，，，求出的长： (3)如图3，过的直线平分，分别交，于，，试探究与的数量关系，并说明理由． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）综合与实践：在矩形纸片中，． (1)尺规作图：如图①，若将矩形纸片沿对角线折叠，请你用无刻度的直尺和圆规作出点C的落点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)操作探究：如图②，将矩形纸片沿某条直线折叠，使点B与点D重合，折痕交于点G、交与点H，点A落在点E处； ①连接，判断四边形的形状，请简要说理； ②若，，求折痕的长； (3)操作推理：如图③，若将矩形纸片改为正方形，并用尺规作图描述如下操作： 第一步：作的垂直平分线，交于点E，交于点G； 第二步：连接，作的垂直平分线，交于点F，交于点M； 第三步：连接，过点E作的垂线交于点P． 判断点P是否是边的三等分点？请加以说理． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一：如图1，在正方形纸片的边上选一点E（点E不与点A，D重合），将正方形沿折叠，使点A落在正方形内部的点G处，得到折痕，延长交边于点F，连接． （1）求的度数． 【深入探究】 操作二：如图2，在操作一的基础上，将沿着折叠，使点D落在正方形的内部，点D的对应点为H，在折叠的过程中，同学们发现，随着点E的位置改变，点H的位置也随之改变，当点E在边上的某一位置时，点H恰好落在上，此时与交于点M，把正方形纸片展平． （2）求的度数； （3）求证：． 【拓展延伸】 操作三：如图3，在操作一的基础上，连接交于点P，连接，调整点E的位置，使． （4）求证： 9．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接．若点P的位置恰好使得． ① ； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的P是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点M在上，点N在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 10．（24-25八年级下·广东东莞·期中）【课本再现】如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证．（提示：取的中点G，连接）； (2)【类比迁移】如图2，若点E是边上任意一点（不与B，C重合），其他条件不变，求证：； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，连接，过点E作于P，当时，如图3，求证四边形是平行四边形． 11．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． (1)求证：； (2)在图1中，若在上，且，连接，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中， ，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，求线段的长度． 12．（24-25八年级下·湖北随州·期中）情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． （I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ （II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①正方形的边长为，则______； ②矩形中，，，则_______； ③在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示） ⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示） （III）猜想并证明： 如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． （IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 特殊平行四边形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 特殊平行四边形判定辨析与条件补充（基础+中档，易错） 题型02 中点四边形（基础+中档，易错） 题型03 特殊平行四边形的性质综合计算（中档题，必考） 题型04 特殊平行四边形的判定综合证明（中档题，必考） 题型05 特殊平行四边形折叠（小压轴题，高频） 题型06 动态探究与几何模型综合题（压轴题，高频） 题型07 坐标系中的动点与最值综合题（压轴题，高频） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 矩形 1. 熟记矩形的性质与判定定理，能灵活运用 2. 会利用矩形对角线相等、四个角为直角求边长、角度、对角线长度 3. 能证明一个四边形是矩形 1. 期中高频考点，选择、填空、解答题均有涉及。 2. 常与平行四边形、勾股定理综合考查，侧重性质应用 菱形 1. 熟练掌握菱形的性质、判定及面积公式 2. 能运用性质求边长、对角线长度、面积 3. 能根据条件判定四边形为菱形 1. 常与矩形、平行四边形结合考查，解答题中高频出现 2. 菱形面积计算是重点，偶尔结合折叠、对称问题考查 正方形 1. 掌握正方形的性质与判定，能区分矩形、菱形与正方形的异同 2. 能运用正方形性质解决计算、证明问题 3. 能综合运用平行四边形、矩形、菱形知识判定正方形 1. 期中中档题、压轴题常见 2. 侧重综合应用，常与全等三角形、勾股定理、折叠问题结合 知识点01 矩形 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 2.性质：①四个角都是直角；②对角线相等；③是轴对称图形，有两条对称轴. 3.直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 4.判定：从平行四边形出发：①有一个角是直角的平行四边形.②对角线相等的平行四边形. 从四边形出发：①有三个角是直角的四边形. 知识点02 菱形 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 2.性质：①四条边都相等.②对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.③是轴对称图形，有两条 对称轴. 3.面积：①菱形的面积=底×高； ②菱形的面积=对角线长的乘积的一半. 4.判定：从平行四边形出发：①有一组邻边相等的平行四边形.②对角线互相垂直的平行四边形. 从四边形出发：① 四条边相等的四边形. 知识点03 正方形 1.定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 2.性质：①具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.②是轴对称图形，有四条对称轴. 判定：从平行四边形出发：一组邻边相等 + 一个角是直角. 从矩形出发：① 矩形 + 一组邻边相等；② 矩形 + 对角线互相垂直. 从菱形出发：① 菱形 + 有一个角是直角；② 菱形 + 对角线相等. 知识点04 特殊平行四边形核心要点 图形类型 核心性质 关键判定方法 易错提醒 矩形 1. 四个角都是直角； 2. 对角线相等且互相平分； 3. 轴对称图形（2条对称轴）； 4. 可看作“有一个直角的平行四边形”。 1. 有一个角是直角的平行四边形； 2. 对角线相等的平行四边形； 3. 三个角是直角的四边形（无需平行四边形前提）。 对角线相等≠矩形，必须强调平行四边形前提；矩形不一定有对角线垂直的性质。 菱形 1. 四条边都相等； 2. 对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角； 3. 轴对称图形（2条对称轴）； 4. 面积=对角线乘积÷2 1. 有一组邻边相等的平行四边形； 2. 对角线互相垂直的平行四边形； 3. 四条边都相等的四边形（无需平行四边形前提）。 对角线垂直≠菱形，必须强调平行四边形前提；菱形不一定有对角线相等的性质。 正方形 1. 兼具矩形、菱形所有性质（四条边相等、四个角为直角）； 2. 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 3. 轴对称图形（4条对称轴）； 4. 面积=边长²=对角线乘积÷2。 1. 有一个角是直角、一组邻边相等的平行四边形； 2. 对角线相等且垂直的平行四边形； 3. 有一组邻边相等的矩形（或有一个角是直角的菱形）。 区分“矩形+菱形”与正方形的判定，避免遗漏条件；正方形是特殊的矩形和菱形。 知识点05 中点四边形 1.任意四边形（对角线无特殊特征）：中点四边形是平行四边形； 2. 对角线相等的四边形（如矩形、等腰梯形）：中点四边形是矩形（核心推导：中位线平行且等于对角线一半，对角线相等→中位线相等→平行四边形+对边相等→矩形）； 3. 对角线垂直的四边形（如菱形）：中点四边形是菱形（核心推导：中位线平行于对角线，对角线垂直→中位线垂直→平行四边形+邻边垂直→菱形）； 4. 对角线既相等又垂直的四边形（如正方形）：中点四边形是正方形（核心推导：结合上述2、3点， 平行四边形+对边相等+邻边垂直→正方形）。 知识点06 核心易错点梳理 1. 判定矩形、菱形时，忽略“平行四边形”的前提条件（如“对角线相等的四边形是矩形”为错误命题）； 2. 混淆三种图形的性质：菱形对角线垂直但不一定相等，矩形对角线相等但不一定垂直，正方形两者兼具； 3. 计算菱形面积时，忘记“对角线乘积÷2”，误用平行四边形“底×高”公式（虽可用，但对角线法更简便，期中高频考查）； 4. 忽略特殊平行四边形的对称性，解决折叠、对称问题时，遗漏对应边、对应角相等的条件； 5. 证明正方形时，仅证明是矩形或仅证明是菱形，遗漏另一类图形的判定条件。 6. 中点四边形易错1：误认为中点四边形的形状由原四边形的形状决定（实际由原四边形的对角线的“相等”“垂直”特征决定，与原四边形是否为平行四边形无关），这是期中考查的高频易错点； 7. 中点四边形易错2：运用三角形中位线定理时，遗漏“中位线平行于第三边且等于第三边的一半”的核心结论，无法实现“对角线特征→中位线关系→中点四边形形状”的推导。 8. 坐标系动态与最值易错：忽略动点的运动范围（如线段、射线、坐标轴），导致漏解；误用最值模型（如将军饮马、垂线段最短），或坐标运算失误（如距离公式记错、中点坐标算错） 知识点07 核心记忆口诀 矩形：平行四边形加直角，对角线相等是特征； 菱形：平行四边形加等边，对角线垂直分对角； 正方形：矩形菱形二合一，对角线垂直又相等。 中点四边形：中点连线成中位，对角线定形状，等则矩形垂则菱，等垂必是正方形 坐标系动态与最值：动点先定范围线，坐标特征紧相连，将军饮马对称用，垂线段短最关键。 题型一 特殊平行四边形判定辨析与条件补充（基础+中档，易错） 解｜题｜技｜巧 1. 判定辨析：牢记“从属关系”——平行四边形→矩形（加一个直角/对角线相等）、平行四边形→菱形（加一组邻边相等/对角线垂直）、矩形+菱形→正方形，明确三者的异同点； 2. 命题判断：举反例排除错误命题（如“对角线相等的四边形是矩形”，反例：等腰梯形对角线相等，但不是矩形）； 3. 条件补充：结合判定方法，补充最简便的条件（如“平行四边形ABCD，补充______，使它成为菱形”，可补充“AB=AD”或“AC⊥BD”）。 【典例1-1】（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，交于点，添加下列一个条件，仍不能判定是矩形，该条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、添加不能判定是矩形，符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，不符合题意； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，不符合题意； 故选：． 【典例1-2】（24-25八年级下·广东广州·期中）下列选项的命题中，是真命题的是（    ） A．有三边相等的四边形是菱形 B．四个角相等的菱形是正方形 C．两条对角线互相平分的四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【详解】解：A、菱形的定义是四条边都相等的四边形，“有三边相等的四边形是菱形”是假命题，因为三边相等不能保证四边形是菱形，不符合题意； B、正方形的定义是四个角都是直角且四条边都相等的四边形，菱形已满足四边相等，若四个角相等，则每个角为，“四个角相等的菱形是正方形”是真命题； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，但矩形需满足对角线相等或有一个角是直角，“两条对角线互相平分的四边形是矩形”是假命题，不符合题意； D、对角线相等、互相垂直且平分的四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，因此不一定是正方形，“两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”是假命题，不符合题意； 故选：B． 【典例1-3】（24-25八年级下·福建福州·期中）在菱形中，添加一个条件_____，使菱形是正方形． 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查的是正方形的判定，特别是掌握在菱形的基础上判定正方形是解本题的关键． 根据正方形的判定定理求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴添加或，使菱形是正方形． 故答案为：或（答案不唯一）． 【变式1-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 【答案】D 【详解】解：A. 当时，邻边相等的平行四边形是菱形，正确； B. 当时，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确； C. 当时，有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确； D. 当时，对角线相等的平行四边形是矩形，而非菱形，结论错误． 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级下·北京·期中）在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（    ） A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直 C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角 【答案】A 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级下·全国·期中）在中，与相交于点O，要使是矩形，需添加的条件是__________（填序号） ①；②；③；④ 【答案】②③④ 【详解】解： ①根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，当时，不能判定是矩形，该选项错误，不符合题意； ②根据对角线相等的平行四边形为矩形，当时，根据平行四边形的性质得，, ∴是矩形，该选项正确，符合题意； ③同②，该选项正确，符合题意； ④根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，当时，为直角， ∴是矩形，该选项正确，符合题意； 综上，符合题意的选项有②③④， 故答案为：②③④． 题型二 中点四边形（基础+中档，易错） 解｜题｜技｜巧 中点四边形解题统一遵循“三步法”，适配期中证明题、计算题，规范解题逻辑，避免步骤疏漏： 第一步：连接原四边形的两条对角线（辅助线核心，必做！），标注对角线的特征（相等/垂直/既相等又垂直）； 第二步：根据三角形中位线定理，推导中点四边形的两组对边分别平行且等于对应对角线的一半，证明中点四边形是平行四边形； 第三步：结合原四边形对角线的特殊特征（相等/垂直），推导中点四边形的边或角的特殊关系，进而判定中点四边形的具体形状（矩形/菱形/正方形）。 【典例2-1】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形． 其中正确的结论是（    ） A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ， 四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形， ＝， ＝ ，＝ ， ＝， 四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形， ， ∵， ， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形， ＝，， ＝ ，＝ ， ＝， 四边形是菱形； ，， ， ， 四边形是正方形．（④正确） 正确的是①④． 故选：B． 【典例2-2】（24-25八年级下·重庆綦江·期中）如图，菱形的两条对角线相交于O，若，顺次连接菱形各边中点所围成的四边形的面积是（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】B 【详解】解：如图， ∵点分别为菱形各边的中点， ∴， 同理 ∴平行且等于， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴ 四边形为矩形， ∴四边形面积为， 故选：B． 【典例2-3】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①：再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2025个图形中直角三角形的个数有（   ） A．4052个 B．2025个 C．1013个 D．8100个 【答案】A 【详解】解：第1个图形，有4个直角三角形， 第2个图形，有4个直角三角形， 第3个图形，有8个直角三角形， 第4个图形，有8个直角三角形， …， 依此类推，第个图形，当为奇数时，直角三角形的个数是，当为偶数时，直角三角形的个数是， 第2025个图形中直角三角形的个数是． 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）我们把任意一个四边形各边中点顺次连接所得的四边形叫做中点四边形．当原四边形的对角线____________时，它的中点四边形一定是菱形． 【答案】相等 【详解】解：四边形的中点四边形为平行四边形．若其是菱形，则四边相等，由于中点四边形的边长度为原四边形对角线长度的一半，因此原四边形的对角线和必须相等，才能使中点四边形的邻边相等，即邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：相等． 【变式2-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为和的菱形，它的中点四边形的对角线长是___________． 【答案】 【详解】解：如图，点、点、点、点是菱形各边中点，，， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得，， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为12，面积为7，求的长． 【详解】（1）证明：连接相交于点O， 点分别是四边形各边的中点， ， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形； （2）点分别是四边形各边的中点， ， 矩形的周长为12，面积为7， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ． 题型三 特殊平行四边形的性质综合计算（中档题，必考） 解｜题｜技｜巧 1. 通用思路：先明确图形类型，优先调用其独特性质（如矩形找直角、对角线相等；菱形找四条边相等、对角线垂直），再结合平行四边形性质转化条件； 2. 关键技巧：遇对角线，优先连接对角线，利用“平分”“相等”“垂直”的性质，结合勾股定理计算 3. 面积计算：菱形优先用“对角线乘积÷2”，正方形可灵活选用“边长²”或“对角线乘积÷2”，避免计算繁琐； 4. 角度计算：利用“直角”“对角相等”“邻角互补”，结合三角形内角和，快速转化角度。 【典例3-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴, ∴, ∵, ∴， ∴． 故答案为：． 【典例3-2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形，则___________． 【答案】 【详解】解：如图： ， ∵四边形是菱形， ∴，是的角平分线，，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴在直角通过勾股定理得，， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【典例3-3】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，和是两个不等的正方形，连接交于，如果面积为10，则面积为____________． 【答案】10 【详解】解：如图，连接， ∵四边形和是两个正方形， ∴，， ∴，； ∵， ， ∴； ∵， ∴； 故答案为：10． 【变式3-1】（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求________． 【答案】 【详解】解：连接，如图 ∵四边形是矩形， ，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 即， ， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是_____________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在菱形中，E、F分别是、边上的两点，连接、、，平分．若，，的周长为15，线段的长为 _______ ． 【答案】5 【详解】解：连接，过A作于M，于N，于H，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵菱形的面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∵， ∴和是等边三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形中，以为边在平面内作等边三角形，连接，则的度数为_____． 【答案】或 【详解】解：点在正方形内： 正方形中，，，等边中， 所以． ． 在等腰中，． 点在正方形外： 同理，． 在等腰中，． 综上，为或． 故答案为：或． 题型四 特殊平行四边形的判定综合证明（中档题，必考） 解｜题｜技｜巧 1. 判定思路（优先简便方法）： 矩形：先证明是平行四边形，再证明有一个直角或对角线相等；若已知三个直角，可直接判定为矩形； 菱形：先证明是平行四边形，再证明有一组邻边相等或对角线垂直；若已知四条边相等，可直接判定为菱形； 正方形：先证明是矩形（或菱形），再证明有一组邻边相等（或有一个直角），或直接证明是“对角线相等且垂直的平行四边形”； 2. 关键技巧：连接对角线，构造全等三角形（△AOB≌△COD、△AOD≌△COB），转化线段、角度关系，辅助判定条件的证明； 3. 易错提醒：证明时，务必标注前提条件（如“∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴ 四边形ABCD是矩形”），避免步骤遗漏。 【典例4-1】（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是边上的中线， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【典例4-2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为80，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴菱形的面积的面积， ∵点D是的中点， ∴的面积的面积， ∴菱形的面积的面积， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典例4-3】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：由（1）得四边形是正方形，且， ∴四边形的面积等于正方形的面积，， ∵，， ∴， ∴正方形的面积为， 即四边形的面积为144． 【变式4-1】（24-25八年级下·广西北海·期中）在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 于点，点在上， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长为5． 【变式4-2】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在中，，交 于点E，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则菱形的面积是 ． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴平行四边形是菱形； （2）在中， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积. 【变式4-3】（24-25八年级下·河北邢台·期中）在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 题型五 特殊平行四边形折叠（小压轴题，高频） 解｜题｜技｜巧 折叠问题：牢记“折叠前后对应边相等、对应角相等”，找准折叠的对称点，连接对称点，利用对称轴垂直平分对称点连线的性质，结合特殊平行四边形的性质，构造直角三角形，用勾股定理列方程求解。 【典例5-1】（24-25八年级下·河南漯河·期中）如图，矩形中，，，点E在边上，将沿直线翻折，点D落在点F处，连接．如果是以为腰的等腰三角形，那么的长是__________． 【答案】5或 【详解】解：如图1，△是以为腰的等腰三角形，且， 四边形是矩形，，， ，， 将△沿直线翻折，点落在点处， ， ， 过点作于点，交于点，则， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，且，， ， 解得； 如图2，△是以为腰的等腰三角形，且， 连接，过点作于点，交于点，则， ， 四边形是矩形， ，， ， 垂直平分， ， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ， 综上所述，的长是5或， 故答案为：5或 【典例5-2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，正方形的边长为，点E，G分别为边的中点，连接，将沿翻折至同一平面得到．边上有一点H，连接，又将沿翻折至同一平面得到，若点P恰好落在上，则此时折痕的长为_______． 【答案】 【详解】解：∵正方形的边长为，点E，G分别为边的中点，连接， ∴， ∵将沿翻折至同一平面得到．边上有一点H，连接，又将沿翻折至同一平面得到， ∴, 如图：延长交于K，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， 在中，, ∴，解得：， ∴， 如图：连接, ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴, ∵将沿翻折至同一平面得到， ∴垂直平分， ∴，； ∵， ∴， ∴， 即H是线段的中点， ∴； 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 【典例5-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：菱形中，点E在边上，将沿折叠，点B对应点为点F，恰好使．点P为边上一点，直线交于点G．若，，，则的长为______． 【答案】3 【详解】解：过E作于M，连接交于J， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴，则， 由折叠性质得，， ∵， ∴是等腰直角三角形，又， ∴，则， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，又， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，又， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【变式5-1】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在边长为2的正方形中，F是的中点，点E在上，连接，将沿翻折，点A的对称点落在上，连接、，则_______ °，_________ ． 【答案】 45 【详解】解：连接， ∵四边形是边长为2的正方形，F是的中点，点E在上， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点A的对称点落在上， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，平分， ∴垂直平分， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45，． 【变式5-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则的长为_______． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，连接交于点， 由题意可知，，， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 又∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，矩形中，，，E是边上一点，且，将沿直线对折，得到．连接，则的面积为______． 【答案】19.2 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， 如图，过点F作交于点M，交于点N， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质得：，，， 设，，则，， 在中，由勾股定理得：， 即①， 在中，由勾股定理得：， 即②， 联立①②解得：（非正数值已舍去）， ∴， ∴， 故答案为：19.2． 题型六 动态探究与几何模型综合题（压轴题，高频） 解｜题｜技｜巧 动态探究问题：设动点坐标或线段长度为x，结合特殊平行四边形的判定条件（如矩形对角线相等、菱形邻边相等），列方程求解，注意分类讨论（如动点在不同边上的情况），避免漏解。 【典例6-1】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，分别是边上的点，将四边形沿翻折，两点的对应点分别为． (1)如图1，当点落在上时，求证：； (2)如图2，若，点与点重合，求的长； (3)如图3，当点恰好落在的中点，交于点，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 将四边形沿翻折， ，， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得， ； （3）解：如图3，过点P作于H， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ，， 为的中点， ， 将四边形沿翻折， ，，， ， 为等腰三角形， ， ，， ， ，， ，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得，即， ， 在中，根据勾股定理， ． 【典例6-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】 如图1，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形； 【尝试运用】 如图2，在菱形中，，点、分别在、上（不含端点），连接，，若，证明四边形是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料，连接，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形的面积． 【答案】（1）一定 （2）四边形是“等邻边四边形” （3）或或 【详解】解：（1）∵四边形的邻边相等， ∴矩形一定是正方形； 故答案为：一定； （2）如图②，四边形是等邻四边形； 理由：连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等邻四边形， ．（3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ①当时， ． ②当时，设， ∵，在中，， ∴， ∴，即， ∴． ③当时，点与重合，此时, ∴． 综上：四边形的面积为或或． 【典例6-3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：． 【问题解决】（1）小圳经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整．在上截取，连接，易得，，______，可得（______），． 【问题探究】（2）探究小组经过讨论，发现了图形隐含了很多线段和角的等量关系，如图2，连接，与边相交于点Q，连接，给出下列四个结论，①；②；③；④，正确结论的序号是_______． 【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上． ①试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，P在射线上运动，当时直接写出线段的长． 【答案】（1）（或）；（或）；（2）①②③；（3）①，理由见解析；②3或7． 【详解】解：（1）（或）；（或） 解：（2）①②③， ①∵，且 ∴是等腰直角三角形， ∴，即①正确； ②如图，延长至点M，使得，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即②正确； ③∵且， ∴， 又， ∴，即③正确； 假设， 则； ∵平分，且， ∴， ∴， 则； ∵， ∴, ∴， 这与相交矛盾，故④错误； 综上，正确的是①②③； 故答案为：①②③； 解：（3）①； 证明：在上截取，连接，如图； 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， 则， ∴， ∴； ②或7；理由如下： 当P 在线段上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当 P 在延长线上时，延长使，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∴； 又，， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上，或 7． 【典例6-4】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，．等腰的两个顶点E、F分别在上且，点A，M在的异侧．小明猜想：点M在菱形的对角线上． (1)如图2，当于点时， ①判断：点M________菱形的对角线上．（填“在”或“不在”） ②如图3，若交于点H，交于点G，连接，当＝______时，四边形为正方形． (2)如图1， ③判断：小明的猜想是否正确？若正确请证明，若不正确请说明理由． ④若，请直接写出的取值范围_______． 【答案】(1)① 在；② (2)①小明的猜想正确，见解析；② 【详解】（1）解：①点M在菱形的对角线上，理由如下： 连接 四边形是菱形， 平分，即， 又， , , , 又平分, , 垂直平分， ， ∴M在的中垂线上，即M在上； ②，理由如下： ， ，四边形是菱形，，由①知点M在菱形的对角线上， ， ， ， ， 是正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是正方形， ， ， ， 是菱形，， ， 即， ， 故时，四边形为正方形； （2）解：③小明的猜想正确，证明如下： 如图，作于G,于，连接， ，， ， ， ∴， 又， ， 又， ， , 在的平分线上， 四边形是菱形， 平分， 在上． ④解：， ， ， ， ， ， ， ， ， . 【变式6-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． (1)当时，如图①所示，则______； (2)若，则______； (3)连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． 【答案】(1) (2) (3)①；；②见解析 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ，， ； （2）解： ， ，， ，， ，即， 解得（负值已舍去）； （3）①解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②证明：过作交于， 则，， ∵， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 点是的中点． 【变式6-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、． (1)【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______； (2)【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：； (3)【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：连接，，如图所示： ∵四边形、是正方形， ， ， ∵是中点， ， 即； （2）证明：在上截取，连接，如图所示： ∵是中点， ， ∴， ， ∵四边形、是正方形， ， ， ， ， ， 即； （3）解：延长至，使，连接，连接，并延长交于点， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵四边形、是正方形， ． ， ，     ， ， ， ， ， ∴、是等腰直角三角形， ， 过C作于点L， 是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式6-3】（24-25八年级下·福建泉州·期中）在正方形中，点、、分别是边、、上的动点，连接、，相交于点，且． (1)如图1，若点与点重合 ①求证：； ②如图2，当点运动到中点时，求证：． (2)如图3，若点为线段的中点，连接交于点，连接，试探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【详解】（1）证明：①∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②过点D作于点M，作，交的延长线于点N， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①有， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． （2）解：，理由如下： 连接，过点P作于点K，作于点L， ∵是正方形的对角线， ∴平分， ∴， ∵点G是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点E作于点Q，则， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在正方形中，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七 坐标系中的动点与最值综合题（压轴题，高频） 解｜题｜技｜巧 动态与最值问题解题统一遵循“四步法”，适配期中证明题、计算题、探究题，规范解题逻辑，避免步骤疏漏和漏解： 1. 第一步：定范围，标定点：明确动点的运动范围（线段、射线、坐标轴等），设出动点坐标（用参数表示，如P(t,0)），标注题目中所有定点的坐标（若未给出，结合图形特征求出）； 2. 第二步：找模型，连关系：根据题目所求最值类型（距离和、距离差、面积），确定对应的最值模型，结合特殊平行四边形的性质，建立动点坐标与所求量之间的关系（如边长、距离、面积的表达式）； 3. 第三步：算结果，验范围：根据建立的关系，结合坐标运算、函数最值等知识，求出最值，同时验证动点坐标是否在运动范围内，避免出现不符合题意的解； 4. 第四步：写结论，规范答：整理解题过程，明确写出最值的大小及对应的动点位置（坐标），确保步骤完整、结论清晰（期中评分标准中，步骤完整性占比高，切勿省略关键步骤）。 【典例7-1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D（______，______），E（______，______）； (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ①如图①，求证：是等腰直角三角形； ②如图②，连接，求证：平分； ③如图③作交于点M，作交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． 【答案】(1)6，6；3，0 (2)①详见解析；②详见解析；③； (3)6 【详解】（1）解：∵实数a，b使式子， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6，6，3，0； （2）①证明：取的中点K，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，K为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②证明：延长，并在延长线上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴（）， ∴， 由①知， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴（）， ∴， ∴平分； ③∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 解得， ∴， ∴； （3）在上截取，连接， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴当点，点P，点Q三点共线，且时，的最小值为的长， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 【典例7-2】（24-25八年级下·天津·期中）如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点B落在点D处，边交x轴于点E，． (1)求点D的坐标； (2)如图2，点N为的中点，在直线上是否分别存在点M，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点P为y轴上一动点，作直线交直线于点Q，存在点P使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)存在，最小值 (3)存在点P使得为等腰三角形，的度数为或 【详解】（1）解：过点D作于点F，如图， ∵点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵将长方形沿折叠，使得点B落在点D处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴点D的坐标为； （2）解：在直线上存在点M，使得的周长最小． 过点E作并延长交于点H，连接，交于点M，如图， ∵将长方形沿折叠，使得点B落在点D处， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点E与点H关于对称， ∴． 则由将军饮马模型可知：此时的周长最小．最小值为． ∵点N为的中点， ∴， 由（1）知：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴的周长的最小值为； （3）解：当点P在点O的下方时， ①时，如图， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴； ②时，如图， ∵， ∴， ∴． ③不存在的情形； 当点P在点O的上方时，如图， 若，则， ∴， ∴， ∴与重合，此种情况不存在． 当点P在点C的上方时，如图， 同样也不存在为等腰三角形， 综上，存在点P使得为等腰三角形，的度数为或． 【典例7-3】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，且，是线段上一动点（不包括点、），作，垂足为，且，设，直接写出点的坐标_____（用含的代数式表示）； （2）求运动的过程中的最小值； （3）如图2，连接交于点，连接，判断是否平分，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）平分，理由见解析 【详解】解：作于，如图所示： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标， 故答案为：； （2）解：在上取，如图所示： 在正方形中，，则， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， 在中，，则， ，， ， 即点在的角平分线上运动， 则当时，有最小值，过点作，如图所示： 则最小值为线段长， ， ，即正方形的边长为， ， ， 在等腰中，，，则由勾股定理可得， 解得， 运动的过程中的最小值为； （3）结论：平分． 理由如下： 在延长线上取，过作于，如图所示： 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴∠ADM＝∠FDM， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中，，则， ∵， ， ∵， ∴，即平分． 【变式7-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边上，点D在边上，且，已知点，点． (1)求点E的坐标； (2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设的面积为S，点P、Q的运动时间为t，请直接写出用含t的代数式表示S的关系式；（不用写出自变量的取值范围） (3)在（2）的条件下，点M是射线上的一点，当满足，且时，请求出此时的t值以及点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵，， ∴； 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：当点P在点E的右边时，如图， 由题意知，，由（1）知，此时； 则， ∴； 当点P在点E的左边时，，则， ∴； 综上，； （3）解：当点P在上，点Q在边上时， 由题意得，当，； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴，； ∵，， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴； 当点P在上，点Q在边延长线上时，如图； 同理得：， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 【变式7-2】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当 时，四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)存在，，或， (3) 【详解】（1）解：，点D是的中点， ，， 四边形为矩形， ， 由已知，，则， 若四边形是平行四边形， 则， ， ， 故答案为：； （2）解：存在；理由如下： 当点P在点Q的左侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， Q点的坐标为， 当点P在点Q的右侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， ， 综上所述，在线段上存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形，且，或，． （3）解：连结，过点O作直线的对称点E，连结，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 点O和点E关于直线的对称， 垂直平分， ， ， 当点P在上时，取最小值，此时， 即当点P在上时，四边形周长的最小值为． 【变式7-3】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，连接，，平移至(点与点对应，点与点对应），连接． (1)①直接写出点的坐标为______． ②判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)如图1，点为边上一点，连接，平分交于，连接．若，求的长； (3)如图2，为边的中点．若，连接，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】(1)①；②四边形为矩形，理由见解析 (2) (3)， 【详解】（1）解∶ ①∵平移至（点与点对应，点与点对应）， ∴从点平移至点的距离和方向与点平移至点的距离和方向相同， ∵，， ∴点先向左平移个单位，再向上平移得到点， ∵， ∴点； 故答案为：； ②四边形为矩形，理由如下：连接， ∵，，， ∴， ∴， 同理：，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∵平移至， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； （2）∵点，， ∴， ∵平分， ∴， 如图，在线段上取一点，使， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设则， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 即； （3）解：如图，连接，取的中点，连接，， ∵点，，， ∴，， ∵为的中点，为边的中点， ∴，， ∵， ∴的取值范围为． 的最小值为，最大值为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，为中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，为中点， ， ， ， 故选：A ． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解：∵对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，∴A错误． ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，∴B错误． ∵一组邻边相等的平行四边形才是菱形，仅一组邻边相等的四边形不一定是菱形，∴C错误． ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴D正确． 3．（24-25八年级下·江西南昌·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【详解】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 邻边相等的矩形是正方形，故选项B错误，符合题意； 邻边相等的平行四边形是菱形形，故选项C正确，不符合题意； 有一个角是直角的菱形是正方形，故选项D正确，不符合题意； 故选B． 4．（24-25八年级下·山东济南·期中）顺次连接四边形各边的中点E、F、G、H，若得到的四边形是菱形，则四边形一定满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，， ∵点E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，分别是，，的中位线， ∴，，，， ， ∴四边形是平行四边形， 当时，， ∴四边形是菱形， 故选：A． 5．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交，于点E、F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为_________．    【答案】21 【详解】解：作于M，交于N，如图，    则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴， ∴，，，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：21． 6．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 【答案】4 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：4． 7．（24-25八年级下·云南文山·期中）已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 【详解】证明：， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形，对角线与相交于点E， ， 四边形为菱形． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点．若，，则的周长为（　　） A．10 B． C． D．14 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵点O是的中点，E为的中点， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，． ∵四边形是矩形， ∴， ∵点O是的中点， ∴． ∴的周长为． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 3．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，正方形的面积是8，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于______． 【答案】 【详解】解：∵在正方形中，为对角线， ∴正方形关于对称，，， 如图，设F的对称点为Q，过Q作于E，交于P， 则四边形为矩形，， ∴的最小值为的长度， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 5．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分交于点为边上的点，， ， ， ， ∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长是． 6．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，中，，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，B，D为垂足． (1)___________°（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 【答案】(1)45 (2)①证明见解析；②72 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）①证明：作于G，如图1所示： 则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，外角平分线交于点A， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形； ②解：过A作于H， 由①可得：四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形与个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为，中间的小正方形为正方形，面积为，连接，交于点，交于点，①，②；③，④，以上说法中正确的个数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，， ∵在正方形中，，． ∴， ∴，故①正确； ，， ∵， ∴， ∴， ，即，故②错误； ， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ， ∴，故④正确. 故①③④正确，②错误． 故选：． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）在正方形中，对角线、交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，且，连接交于点，，点在线段上，且，延长交于点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作的垂线，交于点，交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）【数学活动】：如图，用一张正方形的纸片按如下方式折叠：先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接、，与交于点．则下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的序号为__________． 【答案】①②③ 【详解】解：由折叠得：，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故①②正确， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为等边三角形，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴在中，， 而， ∴，故④错误， 故正确的有：①②③； 故答案为：①②③． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，，的平分线交于点G，于点O，交于点F，连接，，则四边形的面积为_____ ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点G，于点O，交于点F， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为________； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长， ②如图4，若F为中点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）①2；② 【详解】（1）如图， 由题可知垂直平分， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴ ， ∴； 故答案为：． （2）； 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 过点G作，垂足为点N， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴， ∴，即， ∴． （3）①设， ∵正方形的边长为9，， ∴，，， 过点D作，垂足为H，交线段于点P，连接，． ∵四边形沿所在直线翻折得到四边形，线段经过点D， ∴D，P关于直线对称，， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴根据勾股定理，， 在中，， ∴根据勾股定理，， 又∵， ∴， 解得， 答：的长为2． ②如图，过A作交于点K， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过K作于点K，且， ∴， ∴ ， ∴， ∴，当且仅当H、E、F依次共线时，取等， 过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形， ∴，， ∵F是中点， ∴， ∴， 由（2）中方法可证 ， ∴， ∴， 在中，， 即的最小值为． 6．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知，正方形，是上一点，交的延长线于． (1)在探究与的数量关系时，小颖作了如图1的辅助线：作于点，作于点N．请你帮小颖写出与的数量关系并证明； (2)如图2，延长交的延长线于，连，若，，，求出的长： (3)如图3，过的直线平分，分别交，于，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）由正方形的性质得；证明即可得； （2）过点P作于点N，则得；由已知求得，则；由勾股定理可求得，进而得，再由勾股定理即可求得； （3）过点C作交于Q，连接；先证明四边形为平行四边形，再证明，得，从而得证． 【详解】（1）解：；证明如下： ∵四边形是正方形，为对角线， ∴； ∵，， ∴，，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：过点P作于点N，则； ∴， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得； 由（1）知，； ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 在中，由勾股定理得； （3）解：； 理由如下：如图，过点C作交于Q，连接； ∵四边形为正方形， ∴，，； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∴； ∵平分，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）综合与实践：在矩形纸片中，． (1)尺规作图：如图①，若将矩形纸片沿对角线折叠，请你用无刻度的直尺和圆规作出点C的落点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)操作探究：如图②，将矩形纸片沿某条直线折叠，使点B与点D重合，折痕交于点G、交与点H，点A落在点E处； ①连接，判断四边形的形状，请简要说理； ②若，，求折痕的长； (3)操作推理：如图③，若将矩形纸片改为正方形，并用尺规作图描述如下操作： 第一步：作的垂直平分线，交于点E，交于点G； 第二步：连接，作的垂直平分线，交于点F，交于点M； 第三步：连接，过点E作的垂线交于点P． 判断点P是否是边的三等分点？请加以说理． 【答案】(1)见解析 (2)①菱形，见解析；② (3)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求； 理由如下：由作图可得：，，而， ∴， ∴点C的落点为E； （2）解：①由对折可得：，，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ②如图，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵，四边形为菱形；设， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， ∴菱形的面积为， ∴， 解得：； （3）解：点P是否是边的三等分点，理由如下： 如图，与的延长线交于点， ∵四边形为正方形， ∴设，，， 由作图可得：，， ∴， 由作图可得：，则， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P是否是边的三等分点． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一：如图1，在正方形纸片的边上选一点E（点E不与点A，D重合），将正方形沿折叠，使点A落在正方形内部的点G处，得到折痕，延长交边于点F，连接． （1）求的度数． 【深入探究】 操作二：如图2，在操作一的基础上，将沿着折叠，使点D落在正方形的内部，点D的对应点为H，在折叠的过程中，同学们发现，随着点E的位置改变，点H的位置也随之改变，当点E在边上的某一位置时，点H恰好落在上，此时与交于点M，把正方形纸片展平． （2）求的度数； （3）求证：． 【拓展延伸】 操作三：如图3，在操作一的基础上，连接交于点P，连接，调整点E的位置，使． （4）求证： 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由折叠的性质可得， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 由矩形的性质可得， ∴， ∴， 由折叠的性质可得； （3）由（2）可得， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）如图所示，延长到Q，使得，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 9．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点D落在边上的点P处，得到折痕，折痕与折痕交于点Q．打开铺平，连接．若点P的位置恰好使得． ① ； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的P是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点M在上，点N在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②（2）（3）存在，最小值为 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， 由折叠可知：， ∴， ∵ ∴ ②由折叠可知：， ，， ∴， 如图1，连接， ∵，，即是垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图2；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∴ （3）存在，过程如下： 如图3；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作，垂足为，设， 则，， ∵，即 ∴ ∴， ∴当最小时，面积最小， ∴当时，面积最小， 如图4： ∵，， ∴， ∴ ∴， 即， ∴最小值为 10．（24-25八年级下·广东东莞·期中）【课本再现】如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证．（提示：取的中点G，连接）； (2)【类比迁移】如图2，若点E是边上任意一点（不与B，C重合），其他条件不变，求证：； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，连接，过点E作于P，当时，如图3，求证四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：如图，取的中点G，连接； ∵四边形是正方形， ∴； ∵G，E分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵是的补角的平分线，且， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，在上取点G，使，连接； ∵四边形是正方形， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵是的补角的平分线，且， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图，在上取点G，使，连接； 由（2）知，则； 设，则， 由勾股定理得； 在正方形中，， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 11．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． (1)求证：； (2)在图1中，若在上，且，连接，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中， ，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)①；② 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， . （已证）， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：①如图，过点C作，交的延长线于点， 由（2）和题设知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； ②如图，作射线使得，作射线使得，则，过作于， ，，，， . ， ， ， ， ， ， ，， . 12．（24-25八年级下·湖北随州·期中）情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． （I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ （II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①正方形的边长为，则______； ②矩形中，，，则_______； ③在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示） ⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示） （III）猜想并证明： 如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． （IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长． 【答案】（II）①64；②50；③100；④，⑤； （III），证明见解析，（IV）或． 【详解】（II）解：①如图①， ∵正方形的边长为，， ∴，， ∴； ②如图③∵矩形中， ∴，，， ∴，， ∴； ③如图②，∵在菱形中，，， ∴，， 根据勾股定理得， ∴， ∴， ④如图①， ∵正方形的边长为，，， ∴， ∴； ⑤如图③∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∴； （III）结论：，理由如下： 方法一：采用几何法： 如图，过点A作于，过点D作交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 设，则，， ∵，， ∴ 同理可得：， ∴． 方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 由平行四边形性质，点C的坐标为： ∴，，， ∴ （IV）解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据前面的结论得， ∴， ∴， ∴，（不合题意舍去）， ∴， 点B绕点O旋转，当对应点在点上方时，设点B的对应点为， ∴， 过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 当对应点在点下方时，设点B的对应点为， 同理可得： ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $