广东广州市增城中学、协和中学、华侨中学三校联考2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

**基本信息** 聚焦数学抽象与逻辑推理，通过分层设计考查函数、几何等核心知识，适配期中阶段性评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|函数性质、立体几何|结合科技情境考查抽象能力| |填空题|4/20|概率统计、数列|设置开放问题培养创新意识| |解答题|6/82|导数应用、解析几何|多问递进式设计提升推理能力|

2025-26学年第二学期期中考试 高二数学试题 2026年4月 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟。 第一部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符 合题目要求。 1.在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的 时间t(单位：s)存在函数关系h(c)=一4.9t2+2.6t+11,则该运动员在t=2s时的瞬时速度为() A.-17m/sB.17m/s C.-6m/s D.6m/s 2.已知从甲地直接到丙地有2条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地中转到丙地，由甲地到乙 地有3条路线可供选择，从乙地到丙地有4条路线可供选择，则从甲地到丙地不同的路线共有() A.9条 B.14条 C.20条 D.24条 3.已知a,b,cER,若-1，a,b,c,-4成等比数列，则实数a,b,c的乘积的值为（) A.-4 B.4 C.-8 D.8 4.已知函数f(x)定义域为[-15]，部分对应值如表，f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.下列关于 函数f(x)的结论不正确的有（) x -1 0 3 f(x) 1 0 2 A.函数f(x)的极大值点有2个 B.函数f(x)在[0,2]是减函数 C.对任意xe[-1,5,f(x)20 D.当1<a<2时，函数y=f(x)-a有4个零点 5.若(2+x)(1-2x)3=au+a1x+2x2+…+a6,则a1+a2+a3+…+a6的值是（ A.-5 B.-3 C.3 D.5 高二数学试题第1页，共4页 6.汽车在越路上每行驶100千米平均燃料消耗置（单位：升）称为百公围油莉.已知某型号汽车在 匀速行驶中每小时的耗油量ā（升）关于行驶速度x(千米小时)的函数解析式可以表示为： a=0-六x+8(0<x≤120).当该型号汽车以()的速度匀速行驶时，百公里袖耗 1 最低. A,60千米/小时 B.80干米/小时 C.90千米小时 D.100千米小时 7:在4×4的棋盘中，放入2颗黑子利和2颗白子（桃子除颜色不间，其他完全相同），它们均不在 同一行且不在同一列，共有（)种不同的放法， A.24 B.36 C.72 D.144 8.已知函数f(x)=e-2026+x-2027,9w)=In(x-2025)-a(x-2025).设f()和g(x)的零点 分别为m和n,若m-n+1|≤1，则实数a的取值池阳是（) A.b目 B.[0,1] c.愕 D.愕刂 二、选择题：本题共3小恩，每小题6分，共8分.在每小趣给出的四个选项中，有多项符合题日 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有进：的得0分 9.等差数列{aJ的公楚为d,前n项和为Su,当背项a1和d变化时，24+Q3是一个定值，则下列各数 也为定值的有〔) A.as B.az C.S13 D.S 10.已划(x-)”的展开式中，各项的二现式系数之和为64.则 A.n=6 B.只有第3项的二项式系数最大 C.若a=1,则限开式中常数明为15 D,若展开式中各项系数之和为64，则a=3 11.己知函数f(x)=lx-a,直线ya-x+n2,则下列说法正确的是() A.若f(x)的极大仙点为1，则a=1 B.若fx)在区间[2,3]上为单调函数，则之 C.当a=2时，曲战y=f(x)恒在直战/的下方 D.若点P是曲线y=f(x)上任意一点，点？是直能1上任意一点设点P,Q间的距离为d山， 则当a=2时，d的最小值为智 离二敦学试题第顶，共4页 第二部分 非选邦题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.曲线y=x+x在点x=1处的切线方程为 13.6名学生参加数半竞赛，决出第【名到第6名的名次（没有同分或觜并列的情况），甲、乙两 名参赛者去询问成绩，老师对甲说：“你和乙既不是第1名，也不是第6名”，对乙说："你和甲的名 次相邻”.从这个回答分析，6人的名次排列共可能有不同的情况。（用数字作答） 14.已知数列a的煎县项积为Tna=1,a=二之2，neN),则Tn=一（速珮积用阶 乘表示)：若数列T)的前n项和为S,且Sn<m恒成立，则m的最小值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或涧算步磔 15.(13分) 己知数列(an的前n项和为Sn,且Sn=n2,数列(bJ为正项等比数列，且b1=1,b2+bga12. (I)求(aJ和[bn]的通项公式， (2)求{a.+bn}的前n项和. 16.(15分) 己知f(x)=x3+号x2-6x(aER)在x=-3处取得极值. (I)求实数a的值，并求出f(x)的极值， (2)求f(x)在[-1,3]上的最值， 17.(15分) 设甲袋中有3个白球、2个红球和5个照球，乙袋中製有3个白球、3个紅球和：个黑球(mEN), 这些球除颜色外完全相同，已知从乙搅中任取一球，取出的是红球的概*5 (1)求m的值： (2若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率， (3偌先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙箱取出的是白或 黑球的概率， 离二数学试圈第项，共4贞 18.(17分) 徽材中介绍牛顿用“切线法”求方程的近似解时，给出一个数列，满是1=名一份n N),这个数列被称为函数fx)的“牛顿数列”.己知数列xJ为函数x)=x2-x的牛顿数列， 1=气x>1,且数列a,满足a=h点 (1)求a1和a2; (2)证明数列{an}是等比数列，并求an: (3)若不等式[2+入·(-1)]·a+123n-1对任意n∈N恒成立，求实数a的取值范围。 19.(17分) 己知函数f)=alnx+是 (1)当b=1时，求函数f(x)的单调区间： (2)当a=1,b=1时，设g(x)=fx)-xe+2e. (1)证明：g(x)存在唯一极小值； (i)设gx)的极小值点为x1,证明：三<g(x)<e+1. 高二数学试题第4页，共4页 2025-202626学年第二学期期中考试高二数学答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案A B B D BC AC ACD 填空题 2n 12.4x-y-2=0. 13.144 14. (n+101;2 解答题 15(1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(m-1)2=2n-1. -2分 当n=1时，a1=S1=1,也符合上式， ----3分 所以an=2n-1(n∈N): 4分 设bJ的公比为q,则q>0,又b2+bg=12,b1=1, 所以q2+q-12=0,即(q-3)(q+4)=0, 6分 解得g=3, 7分 所以bn=b1q-1=3m-1. 8分 (2)设{an+bn}的前n项和为Tn,由(1)得，an+bn=2n-1+3m-1, 9分 Tn=(a1+b)+(a2+b2)+…+(am+bn)=(1+3+(3+31)+…+(2n-1+3m-1) =(1+3+…+2n-1)+(30+31+…+3m-1) -11分 =+ -12分 与2+受 -13分 16.(1)因为x)=x3+x2-6x,所以f(x)=x2+ax-6, -l分 因为f(x)在x=-3处取得极值，所以f(-3)=0,即9-3a-6=0,解得a=1-3分 当a=1时，f(x)=x2+x-6, 令f(x)=0,解得x=-3或x=2, 当x<-3或x>2时，f(x)>0,fx)单调递增， 当-3<x<2时，f(x)<0,f(x)单调递减， -5分 所以函数f(x)在x=一3处取得极大值，在x=2处取得极小值， ----7分 所以a=1符合题意： a=1时，f)=x3+3x2-6x, 8分 高二数学容案第1页共4页 所以)的极大值为f(-3)=号极小值为f(2②)=一器 -10分 (2)由(1)可知，f(x)在[-1,2]上单调递减，在2,3]上单调递增， -11分 且f(x)在[-1,3]上有极小值为(2)=-号 -12分 f(-1)=积f3)=-号， -13分 f(2)<f(3)<f(-1) 所以函数fx)的最小值为-号，最大值为号 -15分 17.(1)从乙袋中任取一球，有6+m种等可能得取法，即(2)=6+m, -1分 设A=“从乙袋中取出一球是红球”，则n(A)=3, -2分 根据古典概型概率计算公式，P(0=碧=品= -3分 解得m=3, -4分 (2)设B=“取出的第一个球是白球”，C=“取出的第二个球是红球”，5分 法一：n(B)=C3·C=27,nBC)=C3·C=6 7分 所以P(GI)=曾=会=号 一9分 即在取出的第一个球是白球的条件下，第二个球是红球的概率为号 法二：n(0)=c0·cg=90,n(8)=C·Cg=27,n(8C)=Cg·C生=6-6分 所以P(a)=喝-品=音P(80==品=奇 8分 所以(G)=需-号 -9分 即在取出的第一个球是白球的条件下，第二个球是红球的概率为号 法三：在取出的第一个球是白球的条件下，第二次取球时甲袋中剩余9球，其中有2个红球， (要有必要的文字说明) --7分 所以P(CIB)=号 9分 即在取出的第一个球是白球的条件下，第二个球是红球的概率为 (3)设D=“从甲袋中取出一个球为白球或黑球”， 则D=“从甲袋中取出一个球为红球”， 设E=“从乙袋中取出一个球为白球或黑球”， --10分 商“数学答案第2页共4页 则P(D)=是=P(D)=1-P(D- P(ID)=品P(D)=品=号 一-1分 由全概率公式，P()=P(D)P(D)+P(D)P(D) --14分 =x品+×=贵 5分 18.()由=台所以a1=ln点=lne=1 -分 函数f(x)=x2-x,求导得f()=2x-1, 分 1=得=名祭 -3分 所=话=高 4分 a2=h是=ne2=2. 3分 (2)由)知，1=品 于是1= 一7分 1 所以n=n(=2n高 -8分i 即an+1=2am,又a1=1, 0分 所以数列(a]是以1为首项.2为公比的静比数列， …10分 所以an=2-1. -川分 (3)解：由不簪式2+A·(-1)]·a4之3n-1,可得2+·(-1)·2"之3-1 即2+2(-1之对任意n∈N恒成立， 设，=会，可得1-=导-兴- *门分 当n=1时，可得b2>b11 当n之2时，bnt1-ba<0,p1<bn:pb2>山>b4>…>bt-…l4分 当n为偶数时，可得2+12b2=手解得1之- -4…5分 当n为奇数时，可得2-12b1■bg▣1，解得4≤1， 综上可得，实数的取值范用为判-小， 7分 高二数学答塞第3儿（共4川 19.(1)当b=1时，f(x)=alnx+(x>0), f因==婴 一分 ①当a≤0时，f(x)≤0恒成立，f(x)在(0，+∞)单调递减： -2分 ②当a,>0时，令f=0.解得x=日 当x>时，f(x)>0,fx)单调递增： 当0<x<时，f(x)<0,fx)单调递减， 一3分 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，+∞)，无单调递增区间， 当a>0时f)的单调递增区间为日，+)，单调递减区间为(0，) 一一4分 (2)(i)当a=1,b=1时，f(x)=1nx+ 所以g()=f()-xe+2e=lnx+1-xe+2e,其定义域为(0，+o). 所以g(x)=(x-1)(侵-e)x>0. -一…5分 令g似=0，得x=1或2-e=0, -6分 设h()=-e,所以h(=-号-e<0在(0，+∞)上恒成立， 所以h(x)在(0，+∞)上单调递减. -一一7分 又h(1)=1-e<0,h(月=4-e>0, -8分 所以存在唯一∈很，1，使h(o)=言e=0. 9分 故xe(0,xo)时，x-1<0,h(x)>0,9()<0，,9)单调递减， x∈(xo,1)时，x-1<0,h(x)<0,g(x)>0,g(x)单调递增， xe(1,+o)时，x-1>0,h(x)<0,g(x)<0,g(x)单调递减， -.-10分j 所以xo是函数g(x)的唯一极小值点，所以g(x)存在唯一极小值， -一1分 (i)因为g()的极小值点为x1,所以x1=和 又x0∈(（传，1)，且g(x)在(xo,1)上单调递增， 所以g(x)<g(1)=e+1: ----12分 又由(i,使()=名-e西=0，所以e=子 两边取自然对数得x0=ln子：即x0=-21nx0,即1nx=-受 --13分 所以g)=(+)-o-2)=-受+号-爱=-受+景 -【4分 设F()=-+子，xe(G,1) 则F(x)=--子<0在(，1)上恒成立，故Fx)在(（设1上单调递减， --15分 故F)>F(1)=-+2=子，即g(xo)> -16分 综上所述：三<g(x1)<e+1. -17分 高二数学容案第4页共4页