广东第二师范学院番禺附属中学2025-2026学年第二学期教学中段检测试题高一数学

**基本信息** 高一年级数学期中检测试题，通过斜二测画法、阿基米德多面体等情境，融合集合、复数、向量、立体几何与解三角形知识，考查空间观念、运算推理及数学应用能力，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、复数虚部、线面关系|结合古树测量情境考查解三角形，体现应用意识| |多选题|3/18|向量数量积、阿基米德多面体|以半正多面体为载体，考查体积与外接球，渗透文化传承| |填空题|3/15|圆台体积、向量最值|设计动点最值问题，培养几何直观与创新意识| |解答题|3/41|向量运算、解三角形、立体几何证明|正方体中点共面及体积计算，强化空间观念与推理能力|

2025-2026学年第二学期教学中段检测试题 高一年级 数学 学科参考答案与评分标准 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】可知，则 2．已知复数满足，则的虚部为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】，，故的虚部为. 3．在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 故选：B 4．已知直线a，b，平面，且，则“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【详解】由，，可得或， 所以“”是“”的不充分条件， 由，，可得或与是异面直线， 所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（    ）    A． B． C．8 D．16 【答案】A 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则，所以，    由斜二测画法可知原平面图形如下：    将原平面图形上底，下底，高代入公式， 可得四边形ABCD的面积． 6．为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，并在点处测得树顶的仰角为，若树高约为米，则（    ） A．100.8米 B．33.6米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】在中，，所以， 在中，由，可得， 在中，由正弦定理得：. 故选：D. 7. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 8．已知函数，其在一个周期内的图象分别与x轴、y轴交于点A、点B，并与过点A的直线相交于另外两点C、D.设O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ：因为，可得，即， 由图可知：点A为减区间的对称中心，令，解得， 取，则，即，可得，因为点A为线段CD的中点，则，所以.故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．（多选题）已知是平面内的两个单位向量，且它们的夹角为，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】：对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，，由，得，解得，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，，D正确.故选：ABD 10．在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（    ） A．是等腰三角形 B． C．的面积为 D．的周长为 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以或， 因为，所以， 则，则是等腰三角形，故A正确. 对于B，在中，由余弦定理可得， 即，则， 由正弦定理可得，故B错误. 对于C，的面积为，故C正确， 对于D，周长为，故D错误. 11．（多选题）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体．已知，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（    ） A．该半正多面体的体积为 B．该半正多面体过三点的截面面积为 C．该半正多面体外接球的表面积为 D．该半正多面体的表面积为 【答案】ABD 【解析】 ：A：如图，因为，所以该半正多面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的， 所以该半正多面体的体积为：，故A正确； B：根据该半正多面体的对称性可知，过三点的截面为正六边形， 又，所以正六边形面积为，故B正确； C：根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心， 即正六边形的中心，故半径为，所以该半正多面体外接球的表面积为，故C错误； D：因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为，所以其表面积为，故D正确.故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是虚数单位，若，则___________． 【答案】 【详解】因为，所以. 13．若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________. 【答案】 【详解】设圆台母线长为，则，所以，所以圆台的高为， 所以圆台的体积为. 14．已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】建系如图所示 因为是边长为2的等边三角形，，. . 设，. . ，，. . 当时，取得最小值，最小值为. 四、解答题：本题共3小题，共41分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知向量； （1）求； （2）若，求的值； （3）求与的夹角的余弦值． 解析：（1）因为，则，.........2分 则． ...................................... 4分 （2）方法一：，则，........5分 因为，所以， ............................6分 即， 解得． ............................8分 方法二：因为 所以 ...........................5分 所以 ............................7分 解得 ............................8分 （3） 由题知， 则， ............................9分 又，所以， . ...........................10分 又，， ............................11分 所以． ............................13分 16．（15分）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角； (2)若的面积为，且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， ............................2分 又，所以， ............................3分 得， ............................4分 又，所以. ............................6分 （2） 由（1）得，， ............................8分 得， ............................9分 又，解得， ............................11分 所以， ............................13分 故， ............................14分 所以的周长为. ...........................15分 17．（15分）如图，在边长为4的正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M，N分别是棱上的一点，且 (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)试求三棱锥的体积。 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点， 所以， ............................1分 又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， ............................2分 所以， ............................3分 所以， ............................4分 所以D，B，F，E四点共面； ...........................5分 （2） 方法一：在正方体中,连接BE， 因为点E，G分别为棱，的中点, ............................6分 ............................7分 ............................8分 ............................9分 ............................10分 平面 ............................11分 方法二：连接、分别交于点H、O，连接， ............................6分 在正方体中，且， 所以，则， ...........................7分 同理可得， ............................8分 所以，所以， ............................9分 又平面，平面， ............................10分 所以平面； ............................11分 (3) 正方体的边长为4，P为棱的中点 ............................12分 ............................13分 .........................15分 18．（17分）已知中，角所对的边分别为，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值； (3)若，为线段上一点，满足，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得． ...........................1分 即 ............................2分 即 ， ............................3分 因为在 所以， ............................4分 又因为， 所以； ............................5分 （2），， 由余弦定理可得：， ............................6分 即， ............................7分 又因为，当且仅当时，等号成立； ............................8分 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， ............................9分 所以周长，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为； ............................10分 （3）如图所示： 设， 则， 方法一： 在中，由余弦定理可得： ， ............................11分 在中，由余弦定理可得： ， ............................12分 又因为与互补， 所以， 所以①， ............................13分 在中，由余弦定理可得： ， 整理得，② ............................15分 由①②可得：， 解得， ............................16分 所以 ............................17分 方法二：在中，由余弦定理可得： ① 即 ② 联立①② 解得 所以 ............................17分 19．（17分）已知向量，，函数. (1)求的最小正周期； (2) （3）若时，方程有解，求实数的取值范围； 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为 ， ............................5分 所以. ............................6分 （2） ............................7分 当 ...........................8分 当 ............................9分 所以 ............................10分 （3）令， 因为，所以， ............................11分 所以， ............................12分 则原问题转化为在上有解， ............................13分 即在时有解， ............................14分 因为在上单调递增， ............................15分 所以， ............................16分 所以. ............................17分 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期教学中段检测试题 高一年级 数学 学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的虚部为（   ） A．2 B．1 C． D． 3．在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知直线a，b，平面，且，则“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形， 已知，，则四边形ABCD的面积是（    ） A． B． C．8 D．16 6．为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，并在点处测得树顶的仰角为，若树高约为米，则（    ） A．100.8米 B．33.6米 C．米 D．米 7. 已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，其在一个周期内的图象分别与x轴、y轴交于点A、点B，并与过点A的直线相交于另外两点C、D.设O为坐标原点，则（    ） A． B． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．（多选题）已知是平面内的两个单位向量，且它们的夹角为，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 10．在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（    ） A．是等腰三角形 B． C．的面积为 D．的周长为 11．（多选题）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体．已知，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（    ） A．该半正多面体的体积为 B．该半正多面体过三点的截面面积为 C．该半正多面体外接球的表面积为 D．该半正多面体的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是虚数单位，若，则___________． 13．若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________. 14． 已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共3小题，共41分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知向量； （1）求； （2）若，求的值； （3）求与的夹角的余弦值． 16．（15分）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角； (2)若的面积为，且，求的周长. 17．（15分）如图，在边长为4的正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M，N分别是棱上的一点，且 (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)试求三棱锥的体积。 18．（17分）已知中，角所对的边分别为，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值； (3)若，为线段上一点，满足，求的面积． 19．（17分）已知向量，，函数. (1)求的最小正周期； (2) （3）若时，方程有解，求实数的取值范围； 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $