专题2.2《勾股定理》中的易错题集（期中复习讲义） 2025-2026学年 人教版八年级数学下册

专题2.2 勾股定理的综合应用 【重难点突破】 类型一 主观确定斜边 1．（25-26八年级下·广西贺州·期中）若一直角三角形的两边长分别是6和8，则第三边长为（   ） A．10 B． C．10或 D．无法确定 2．（25-26八年级下·全国·单元测试）直角三角形中，，，则的长为________． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知三条线段的长分别为6，10，x，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则________． 4．（25-26八年级下·江西上饶·期中）若实数x，y满足，且x，y恰好是的两条边长，则斜边长为（    ） A．12或13 B．或13 C．13 D． 类型二 概念不明确 5．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（25-26八年级下·重庆·期中）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．1，2，2 B． C．4，5，6 D．，2， 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在△ABC中，三边分别为a、b、c，使△ABC成直角三角形的一组数据是（   ） A． B． C． D． 类型三 分类讨论时不全面 8．（25-26八年级下·广西柳州·月考）在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26八年级下·江西景德镇·月考）在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 11．（24-25八年级下·浙江湖州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b分别交x轴，y轴于点A（6，0），点B（0，﹣8），过点D（0，16）作平行于x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴的正半轴上，且AG＝AF． (1)求直线AB的函数表达式； (2)当点E恰好是OD的中点时，求△ACG的面积； (3)是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 类型四 网格中的存在性 12．（25-26八年级下·江西上饶·月考）如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且△ABC是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 13．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 14．（25-26八年级下·广西玉林·月考）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 类型五 判断三角形形状考虑不全面 15．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 16．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）在△ABC中，，设为最长边，当时，△ABC是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）． (1)当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为________三角形； (2)猜想：当________时，△ABC为锐角三角形；当________时，△ABC为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当△ABC为直角三角形时，则的取值为________； 当△ABC为锐角三角形时，则的取值范围________； 当△ABC为钝角三角形时，则的取值范围________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 勾股定理的综合应用 【重难点突破】 类型一 主观确定斜边 1．（25-26八年级下·广西贺州·期中）若一直角三角形的两边长分别是6和8，则第三边长为（   ） A．10 B． C．10或 D．无法确定 【答案】C 【分析】题目未明确已知两边是直角边还是斜边，结合勾股定理分类讨论求解即可． 【详解】解：当和均为直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理得： 第三边长； 当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理得： 第三边长； 综上所述，第三边长为或． 2．（25-26八年级下·全国·单元测试）直角三角形中，，，则的长为________． 【答案】15或/或15 【分析】需分为斜边和为直角边两种情况讨论，利用勾股定理计算的长． 【详解】∵，故分两种情况讨论： ①当为直角时，为斜边，和为直角边，由勾股定理得： ； ②当为直角时，为斜边，和为直角边，由勾股定理得： ； 综上所述，的长为15或． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知三条线段的长分别为6，10，x，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则________． 【答案】 8或 【分析】已知直角三角形两边长求第三边，需分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可. 【详解】解：当和都是直角边，为斜边时，根据勾股定理得 . 当为斜边，为直角边，为直角边时，根据勾股定理得 . 两种结果均满足三角形三边关系，故的值为或. 4．（25-26八年级下·江西上饶·期中）若实数x，y满足，且x，y恰好是的两条边长，则斜边长为（    ） A．12或13 B．或13 C．13 D． 【答案】A 【分析】根据非负数的性质求出x，y的值，再分情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵x，y恰好是的两条边长， 当x为直角边，y为斜边时，斜边长为12， 当x、y均为直角边时，斜边长为． 类型二 概念不明确 5．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义判断各选项即可． 【详解】解：A、三个数都不是正整数，故不是勾股数； B、，不是正整数，故不是勾股数； C、，，都是正整数，且，满足条件，故是勾股数； D、，，，不满足条件，故不是勾股数． 6．（25-26八年级下·重庆·期中）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．1，2，2 B． C．4，5，6 D．，2， 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题关键是掌握勾股定理逆定理的内容，若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对于A选项，最长边为， ，，， A不能作为直角三角形的三边长； 对于B选项，最长边为， ，，， B能作为直角三角形的三边长； 对于C选项，最长边为， ，，， C不能作为直角三角形的三边长； 对于D选项，最长边为， ，，， D不能作为直角三角形的三边长． 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在△ABC中，三边分别为a、b、c，使△ABC成直角三角形的一组数据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，逐一判断各选项是否能构成直角三角形即可. 【详解】解：对选项A ∵三角形内角和为，， ∴最大角，不是直角三角形，A错误. 对选项B ∵，设，，. ∵，满足勾股定理逆定理, ∴是直角三角形，B正确. 对选项C 设，，. ∵，，，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，C错误. 对选项D 设，由得，. ∵三角形内角和为. ∴，解得，不是直角三角形，D错误. 综上，答案选B. 类型三 分类讨论时不全面 8．（25-26八年级下·广西柳州·月考）在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及平面直角坐标系中点的坐标特征． 解题的关键在于分情况讨论等腰三角形中哪两条边相等，再结合点在轴上这一条件，确定点的位置． 【详解】解：当时 已知，根据两点间距离公式，可得． 因为点在轴上，设，则． 由，即，解得，此时点的坐标为或，有个点． 当时 设，，根据两点间距离公式，． 因为，且，所以． 两边同时平方可得，即． 开方得． 当时，，此时与原点重合，不符合三角形的定义，舍去． 当时，，此时点的坐标为，有个点． 当时 设，，，． 由，即． 两边同时平方可得． 展开得． 移项化简得，解得，此时点的坐标为，有个点． 综上，符合条件的点有，，，，共个． 故选D． 9．（25-26八年级下·江西景德镇·月考）在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，分类讨论是解题的关键． 点在轴正半轴上，设坐标为，三角形为等腰三角形，有三种情况：，．分别计算每种情况下的值，排除无效点． 【详解】点，点， 情况1：； 情况2：， 平方得，解得； 情况3：， 则， ， 即或（舍去），； 综上，的坐标为． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【答案】(1) (2)或3.5或 (3) 【分析】本题考查特殊三角形的存在性问题，利用特殊三角形的判定方法，找到线段关系，列算式或方程求解即可． （1）根据的长，确定点P的位置，再利用勾股定理求出，得到点P的运动总长度，求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不同情况，分情况讨论点P的位置，利用腰相等列式求解即可； （3）根据t的取值范围，确定点P的位置，用含t的代数式表示各线段长，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴此时点P在上， 如图，连接， 由题意，得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， （秒）， ∴当时，点P与点A的距离为； （2）解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，， ∴当点P在上时，不可能为等腰三角形， ∴点P在上， 分下列三种情况， 第一种：如图，连接，，， ∴， ∴， ， ∴此时； 第二种：如图，连接，，， 又，， ∴， ∴， ∴， ， ∴此时； 第三种：如图，连接，，， 同第一种情况，可得， ∴， ∴， ， ∴此时， 综上，当或或时，是等腰三角形； （3）解：由题意，，∴， ∴点P在上， 如图，连接，则，， ∴，，， 由题意，可得，即， 解得， ∴当时，以线段、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边． 11．（24-25八年级下·浙江湖州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b分别交x轴，y轴于点A（6，0），点B（0，﹣8），过点D（0，16）作平行于x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴的正半轴上，且AG＝AF． (1)求直线AB的函数表达式； (2)当点E恰好是OD的中点时，求△ACG的面积； (3)是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)yx﹣8 (2)192 (3)存在，m＝7或4 【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数表达式：y＝kx+b，即可求解； （2）证明△EDC≌△EOF（AAS），由全等三角形的性质得出OF＝CD＝18，求出AG＝AF＝24，过点C作CH⊥x轴于点H，由三角形面积公式可得出答案； （3）①当∠FGC＝90°时，AG＝AF，则AC是中线，则AF＝AC＝20，故点F（﹣14，0），即可求解；②当∠CGF＝90°时，则点G（18，0），则AF＝AG＝12，故点F（﹣6，0），即可求解． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入函数表达式：y＝kx+b， ， 解得：， ∴直线的表达式为：yx﹣8； （2）当y＝16时，x﹣8＝16， 解得x＝18， ∴点C的坐标为（18，16）， ∴CD＝18， ∵E是OD中点， ∴DE＝OE， ∵∠CDE＝∠FOE，∠DEC＝∠OEF， ∴△EDC≌△EOF（ASA）， ∴OF＝CD＝18， ∴AG＝AF＝OF+OA＝24， 过点C作CH⊥x轴于点H， ∴S△ACG24×16＝192； （3）①当∠FCG＝90°时， AG＝AF，则AC是中线，则AF＝AC20， 故点F（﹣14，0）， 由点C、F的坐标可得：直线CF的表达式为：yx+7， 故点E（0，7），则m＝7； ②当∠CGF＝90°时，则点G（18，0）， 则AF＝AG＝12， 故点F（﹣6，0）， 同理直线CF的表达式为：yx+4，   故m＝4； 综上可得，m＝7或4． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，直角三角形的存在性问题，灵活运用一次函数的性质和分类讨论思想是解题的关键． 类型四 网格中的存在性 12．（25-26八年级下·江西上饶·月考）如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且△ABC是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：如图所示，符合要求的点C的位置如图所示． 则符合要求的点C共有6个 13．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， ． 14．（25-26八年级下·广西玉林·月考）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 类型五 判断三角形形状考虑不全面 15．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由，可得，然后通过等腰三角形定义及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形． 16．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）在△ABC中，，设为最长边，当时，△ABC是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）． (1)当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为________三角形； (2)猜想：当________时，△ABC为锐角三角形；当________时，△ABC为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当△ABC为直角三角形时，则的取值为________； 当△ABC为锐角三角形时，则的取值范围________； 当△ABC为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形 当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，△ABC为锐角三角形； 当时，△ABC为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当△ABC为锐角三角形时，， ； 当△ABC为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 学科网（北京）股份有限公司 $