专题03勾股定理的逆定理及其应用期中复习讲义（七大常考题型+知识梳理）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

专题03勾股定理的逆定理及其应用期中复习讲义 期中复习◆重点 1. 勾股定理逆定理：若一个三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边），且满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，且最长边c所对的角为直角。其与勾股定理互为逆用，原定理是由直角三角形推导出三边关系，逆定理则是由三边关系判定三角形是否为直角三角形。 2. 核心考点：重点掌握直角三角形的判定方法，熟记常用勾股数及勾股数的整数倍仍为勾股数的性质，能灵活运用逆定理解决折叠、航海、网格等常见实际问题。 3. 易错点：判定直角三角形时需先明确最长边，再进行平方关系验证；计算过程中注意规范运算、统一单位；解决实际应用题时，需先画出图形、标注直角，再结合逆定理列式求解。 核心题型◆归纳 题型1判断三边能否构成直角三角形 题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型3在网格中判断直角三角形 题型4利用勾股定理的逆定理求解 题型5勾股定理逆定理的实际应用 题型6勾股定理逆定理的拓展问题 题型7提升测试 重点知识◆梳理 知识点01勾股定理逆定理 1.定理核心：若一个三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为最长边），且满足a² + b² = c²，则该三角形为直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 2.与勾股定理的逆用关系：两者互为逆定理，核心区别如下： 勾股定理：直角三角形（已知图形性质）→ 推导三边数量关系； 逆定理：三边数量关系（已知条件）→ 判定三角形是否为直角三角形。 3.勾股数：满足+=的三个正整数，称为勾股数. 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5,满足+=,但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数. ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数. ③常用勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；… 知识点02勾股定理逆定理核心考点 1.直角三角形判定：“先找最长边→验证短边平方和是否等于最长边平方”，是逆定理最核心的应用场景。 2.勾股数：熟记常用整数勾股数（如3,4,5；5,12,13；6,8,10等）， 关键结论：勾股数的任意整数倍仍为勾股数，可快速判定直角三角形。 3. 实际应用： （1）核心：将实际问题转化为直角三角形判定问题，先分析题意构造三角形，再利用勾股定理逆定理判断其是否为直角三角形，进而解决相关问题， （2）常见应用： ① 折叠问题：折叠前后对应边相等，先根据折叠性质找出相等的线段，设未知数为未知边长，再结合勾股定理逆定理列出方程，求解未知量； ② 航海路线垂直判定：根据题意确定航行的方向和距离，将航行路线转化为三角形的三边，通过验证三边平方关系，判断航行路线是否垂直，避免路线交叉或偏离； ③ 网格中直角判断及长度计算：先根据网格特点确定三角形三个顶点的坐标，计算出三边的长度，再利用逆定理判定是否为直角三角形，同时可结合直角三角形性质计算相关线段长度； ④ 其他场景：如测量距离、判断物体摆放是否垂直等，均需先构造三角形，通过逆定理判定直角，再结合相关知识解决问题。 知识点03易错点梳理 1.判定直角三角形时，未先确定最长边，直接代入三边进行平方验证，易导致判断错误； 2.计算时忽略单位统一，或平方、开方运算失误，影响结果准确性； 3.解决实际应用题时，未先画图标注直角和已知条件，难以快速定位三边关系，降低解题效率。 题型解析◆精准备考 题型1判断三边能否构成直角三角形 1．下列三角形，一定是直角三角形的是（   ） A．三角形的三边满足关系 B．三角形的三边的长分别为32、42、42 C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边的长分别为6、8、10 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，可根据勾股定理的逆定理逐一判断各选项，得到正确结果． 【详解】解：对选项A，∵不符合勾股定理的逆定理的条件，不能判定三角形是直角三角形， ∴A不符合题意． 对选项B，三角形三边长为32, 42, 42，最长边为42， ∵，，可得， ∴此三角形不是直角三角形，B不符合题意． 对选项C，∵仅知道一边等于另一边的一半，第三边长度不确定，无法判定三角形形状，∴C不符合题意． 对选项D，三角形三边长为6, 8, 10，最长边为10， ∵，满足勾股定理的逆定理， ∴此三角形是直角三角形，D符合题意． 2．在中，、，的对边分别为、、，且，则的面积为______． 【答案】6 【分析】根据非负数的性质求出三角形三边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形形状，最后计算三角形面积． 【详解】解： ∴ ∴ ∴， 解得， ∵，即， ∴是直角三角形，a，b为直角边． ∴的面积为． 3．如图，在中，为边上一点，连接，过点作交的延长线于点，已知．求证：为直角三角形． 【答案】见解析 【分析】根据勾股定理及其逆定理进行证明即可. 【详解】证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即：是直角三角形. 题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点 1．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， ． 2．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C或A、B的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 (3)，． 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，新定义“强勾股点”等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． （1）根据新定义“勾股点”和网格的特点作出直角，即可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点都分别能与，构成直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）解：∵是的中点， ∴， ∴， 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 综上所述，的长为，． 3．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可． （1）根据题意作符合要求的直角三角形即可； （2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：即为所求（答案不唯一）； （2）解：即为所求（答案不唯一）． 题型3在网格中判断直角三角形 1．如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助网格判断图形中直线、角、三角形之间的关系．过点作，可知与不平行；根据在中，，由网格可知，不成立；借助网格可知，因为不是直角三角形，所以不成立；借助网格可知，所以可知，利用勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知． 【详解】解：A选项：如下图所示，， 与不平行， 故A选项错误； B选项：在中，， ， 不成立， 故B选项错误； C选项：如下图所示，， 不是直角三角形， 不成立， 不成立， 故C选项错误； D选项：如下图所示，， ， 由网格可知，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故D选项正确； 故选：D． 2．如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 【答案】/度 【分析】取格点F，连接，利用勾股定理，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，证明四边形是平行四边形，得， ，求解即可； 【详解】解：取格点F，连接， 根据勾股定理，得，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均在格点上． (1)直接写出线段的长； (2)求的度数； 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理逆定理即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，，，． （2）解：在中，，，， ∴， ∴． 题型4利用勾股定理的逆定理求解 1．如图，，，，，，则的面积为（    ） A． B．45 C． D．18 【答案】C 【分析】勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再求面积即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴的面积为. 2．在中，，，，则的面积为 _______________． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判断的形状，再利用直角三角形面积公式计算面积． 【详解】解：由题意得 ，，， 可得 ， 根据勾股定理逆定理可知 是直角三角形，， 由三角形面积公式得 ． 3．如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出的度数即可； （2）两个直角三角形的面积之和即为四边形的面积． 【详解】（1）解∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形的面积 ． 题型5勾股定理逆定理的实际应用 1．据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 【答案】B 【分析】本题先计算出绳子围成三角形的三边长，再判断得到直角三角形的推理依据，用到勾股定理的逆定理的知识点． 【详解】解：设每段绳子的长度为单位1， ∵三角形三边长分别为，，， 又∵，满足三角形两边的平方和等于第三边的平方， ∴依据勾股定理的逆定理可判定该三角形是直角三角形，直角在第4个结处． 因此推理的依据是勾股定理的逆定理． 2．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 【答案】符合 【分析】先在中利用勾股定理求出，然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准． 3．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一架救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点M为其中一个着火点，且点M与点A之间的距离是，与点B之间的距离是，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．请通过计算说明着火点M是否受洒水影响？ 【答案】着火点不受洒水影响 【分析】过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得的长度，与进行比较即可求得答案； 【详解】解：着火点不受洒水影响，理由如下， 如图，过点作，垂足为， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ∴着火点不受洒水影响． 题型6勾股定理逆定理的拓展问题 1．在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴一定是锐角． 故选：A． 2．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 3．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 过关检测◆提升 一、单选题 1．以下数组中，其中不能构成直角三角形的是（    ） A．0.3，0.4，0.5B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A．，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B．，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C．，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项符合题意． 2．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 3．如图，网格中的的顶点都在格点上，若小方格边长均为1，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理解答即可． 【详解】解：小方格边长均为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 4．如图，古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就可得到一个直角三角形．其中蕴含的数学原理是（　　） A．两角互余的三角形是直角三角形 B．有一个角是直角的三角形是直角三角形 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．进行证明设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为，根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：设相邻两个结的距离为m，则此三角形三边的长分别为 ， ∵， 所以以为边长的三角形是直角三角形． 即这样做的道理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 故选：D. 5．在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【答案】C 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项B中如果 a2＝b2+c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C =75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误， 选项D中如果 a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 故选：C 【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题． 二、填空题 6．已知的三边长分别是1，3，，则最长的边上的高为____________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，等面积法，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答． 先根据勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用面积法求斜边上的高． 【详解】解：∵ ， ∴ △ABC是直角三角形，直角边长为和，斜边长为． 设斜边上的高为， 则三角形面积为， 解得． 故答案为：． 7．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则______． 【答案】/度 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质及平行线的性质，熟练掌握格点的特征，构造等腰直角三角形是解题关键．如图，取格点，连接，，根据网格特征可知，根据平行线的性质得出，根据勾股定理及勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，，即可得出，利用平角的定义即可得答案． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格特征可知，， ∴， ∵网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 8．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 【答案】24 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 三、解答题 10．在平面直角坐标系中，点、、，判断的形状． 【答案】是直角三角形 【分析】利用勾股定理以及逆定理解答即可． 【详解】解：∵点、、， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 11．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图①中，画一个直角三角形，使它的一边长是无理数，另外两边长是有理数； (2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； (3)在图③中，画一个面积最大的直角三角形，使它的三边长都是无理数． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）画一个两条直角边分别为2，1的直角三角形即可； （2）画一个直角边为的等腰直角三角形即可； （3）根据网格特点，画出一个直角边长为的等腰直角三角形即可. 【详解】（1）解：由题意作图如下： （2）解：由题意，作图如下： （3）解：由题意，作图如下： 12．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 13．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、点B均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中画一个，使得． (2)在图②中画一个，使得，且． (3)在图③中画一个，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用勾股定理可得，，由勾股定理逆定理可得，那么为等腰直角三角形，则； （2）由勾股定理可得，则，而，再由勾股定理逆定理可得，故； （3）可得，再由三角形内角和定理即可得到． 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求． 14．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12海里，“海天”号每小时航行9海里．它们离开港口两个小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿北偏东方向航行． (1)说明“海天”号沿哪个方向航行？ (2)求出此时“海天”号到海岸线的距离． 【答案】(1)“海天”号沿北偏西方向航行； (2)此时“海天”号到海岸线的距离为海里． 【分析】（1）根据题意可得海里，，海里，海里，由勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，，可得，即可得“海天”号的航行方向； （2）过点作海岸线的垂线，垂足记为，则，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理即可得此时“海天”号到海岸线的距离． 【详解】（1）解：根据题意可得，海里，， （海里）， （海里）， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴“海天”号沿北偏西方向航行． （2）解：过点作海岸线的垂线，垂足记为，则， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴此时“海天”号到海岸线的距离为海里． 15．如图，四边形中，，． (1)求的度数; (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)33 【分析】（1）连接，如图，分别证明为等腰直角三角形，为直角三角形，从而可得结论； （2）直接利用割补法求解四边形的面积即可． 【详解】（1）解：连接. ∵在中， ∴. ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． （2） ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03勾股定理的逆定理及其应用期中复习讲义 期中复习◆重点 1. 勾股定理逆定理：若一个三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边），且满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，且最长边c所对的角为直角。其与勾股定理互为逆用，原定理是由直角三角形推导出三边关系，逆定理则是由三边关系判定三角形是否为直角三角形。 2. 核心考点：重点掌握直角三角形的判定方法，熟记常用勾股数及勾股数的整数倍仍为勾股数的性质，能灵活运用逆定理解决折叠、航海、网格等常见实际问题。 3. 易错点：判定直角三角形时需先明确最长边，再进行平方关系验证；计算过程中注意规范运算、统一单位；解决实际应用题时，需先画出图形、标注直角，再结合逆定理列式求解。 核心题型◆归纳 题型1判断三边能否构成直角三角形 题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型3在网格中判断直角三角形 题型4利用勾股定理的逆定理求解 题型5勾股定理逆定理的实际应用 题型6勾股定理逆定理的拓展问题 题型7提升测试 重点知识◆梳理 知识点01勾股定理逆定理 1.定理核心：若一个三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为最长边），且满足a² + b² = c²，则该三角形为直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 2.与勾股定理的逆用关系：两者互为逆定理，核心区别如下： 勾股定理：直角三角形（已知图形性质）→ 推导三边数量关系； 逆定理：三边数量关系（已知条件）→ 判定三角形是否为直角三角形。 3.勾股数：满足+=的三个正整数，称为勾股数. 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5,满足+=,但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数. ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数. ③常用勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；… 知识点02勾股定理逆定理核心考点 1.直角三角形判定：“先找最长边→验证短边平方和是否等于最长边平方”，是逆定理最核心的应用场景。 2.勾股数：熟记常用整数勾股数， 关键结论：勾股数的任意整数倍仍为勾股数，可快速判定直角三角形。 3. 实际应用： （1）核心：将实际问题转化为直角三角形判定问题，先分析题意构造三角形，再利用勾股定理逆定理判断其是否为直角三角形，进而解决相关问题， （2）常见应用： ① 折叠问题：折叠前后对应边相等，先根据折叠性质找出相等的线段，设未知数为未知边长，再结合勾股定理逆定理列出方程，求解未知量； ② 航海路线垂直判定：根据题意确定航行的方向和距离，将航行路线转化为三角形的三边，通过验证三边平方关系，判断航行路线是否垂直，避免路线交叉或偏离； ③ 网格中直角判断及长度计算：先根据网格特点确定三角形三个顶点的坐标，计算出三边的长度，再利用逆定理判定是否为直角三角形，同时可结合直角三角形性质计算相关线段长度； ④ 其他场景：如测量距离、判断物体摆放是否垂直等，均需先构造三角形，通过逆定理判定直角，再结合相关知识解决问题。 知识点03易错点梳理 1.判定直角三角形时，未先确定最长边，直接代入三边进行平方验证，易导致判断错误； 2.计算时忽略单位统一，或平方、开方运算失误，影响结果准确性； 3.解决实际应用题时，未先画图标注直角和已知条件，难以快速定位三边关系，降低解题效率。 题型解析◆精准备考 题型1判断三边能否构成直角三角形 1．下列三角形，一定是直角三角形的是（   ） A．三角形的三边满足关系 B．三角形的三边的长分别为32、42、42 C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边的长分别为6、8、10 2．在中，、，的对边分别为、、，且，则的面积为______． 3．如图，在中，为边上一点，连接，过点作交的延长线于点，已知．求证：为直角三角形． 题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点 1．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C或A、B的强勾股点时，直接写出的长． 3．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 题型3在网格中判断直角三角形 1．如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均在格点上． (1)直接写出线段的长； (2)求的度数； 题型4利用勾股定理的逆定理求解 1．如图，，，，，，则的面积为（    ） A． B．45 C． D．18 2．在中，，，，则的面积为 _______________． 3．如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 题型5勾股定理逆定理的实际应用 1．据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 2．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 3．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一架救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点M为其中一个着火点，且点M与点A之间的距离是，与点B之间的距离是，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．请通过计算说明着火点M是否受洒水影响？ 题型6勾股定理逆定理的拓展问题 1．在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 2．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 3．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 过关检测◆提升 一、单选题 1．以下数组中，其中不能构成直角三角形的是（    ） A．0.3，0.4，0.5B．，， C．，， D．，， 2．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，网格中的的顶点都在格点上，若小方格边长均为1，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 4．如图，古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就可得到一个直角三角形．其中蕴含的数学原理是（　　） A．两角互余的三角形是直角三角形 B．有一个角是直角的三角形是直角三角形 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 5．在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 二、填空题 6．已知的三边长分别是1，3，，则最长的边上的高为____________． 7．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则______． 8．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 9．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 三、解答题 10．在平面直角坐标系中，点、、，判断的形状． 11．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图①中，画一个直角三角形，使它的一边长是无理数，另外两边长是有理数； (2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； (3)在图③中，画一个面积最大的直角三角形，使它的三边长都是无理数． 12．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 13．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、点B均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中画一个，使得． (2)在图②中画一个，使得，且． (3)在图③中画一个，使得． 14．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12海里，“海天”号每小时航行9海里．它们离开港口两个小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿北偏东方向航行． (1)说明“海天”号沿哪个方向航行？ (2)求出此时“海天”号到海岸线的距离． 15．如图，四边形中，，． (1)求的度数; (2)求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $