专题02勾股定理及其应用期中复习讲义（12大常考题型+知识梳理）-2025-2026学年人教版数学八年级下期.

专题02勾股定理及其应用期中复习讲义 期中复习◆重点 勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：若三角形三边满足两边平方和等于第三边平方，则该三角形为直角三角形。 基础识记：常见勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25及其整数倍。 特殊直角三角形：含30°直角三角形、等腰直角三角形三边比例。 核心：应用求线段长度、判断直角三角形、折叠问题、最短路径求解、梯子/航海/网格等实际计算。 易错警示：分清直角边与斜边、计算单位统一、规范使用逆定理。 核心题型◆归纳 题型1用勾股定理解三角形 题型2已知两点坐标求两点距离 题型3勾股树（数）问题 题型4以直角三角形三边为边长的图形面积 题型5勾股定理与网格问题 题型6勾股定理与折叠问题 题型7利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型8勾股定理的证明方法 题型9用勾股定理构造图形解决问题 题型10勾股定理与无理数 题型11勾股定理的应用 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01勾股定理（核心内容） 适用范围：仅针对直角三角形，非直角三角形不可套用。 核心内容：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。 公式表达：设直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，则+=。 公式变形：求斜边：c =；求直角边：,b=​。 知识点02勾股定理的逆定理 核心定义：如果一个三角形的三边长a、b、c满足+=，那么这个三角形是直角三角形。 核心用途：① 判定直角三角形；② 解决“判断三角形形状”的题型。 关键提醒：逆定理的核心是“由边长关系判定三角形类型”，需明确：最长边所对的角为直角（即c边对直角）。 知识点03勾股定理的证明（常见方法） 知识点04基础识记（必背内容） 1.勾股数 定义：满足+=的三个正整数，常见组合： 基础组：(3, 4, 5)、(5, 12, 13)、(7, 24, 25) 关键：其整数倍仍为勾股数（如6, 8, 10）。 2.特殊直角三角形 含30°角：三边比例1: : 2（30°对边=斜边的一半） 等腰直角三角形：三边比例1: 1: 知识点05勾股定理的实际应用（高频题型） 核心思路：将实际问题、复杂图形转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解。 基础计算：已知两边求第三边（如直角边6、8，求斜边）； 图形计算：长方形/正方形对角线、折叠问题； 立体图形：长方体/圆柱表面最短路径（展开平面构造直角三角形）； 实际场景：梯子滑动、航海测距、台风影响范围计算。 知识点06核心方法与易错点 勿混淆直角边与斜边，未明确斜边时需分类讨论； 单位统一，根式化简彻底（如化简为2）； 逆定理需验证边长关系，不可盲目判定直角三角形； 立体图形最短路径：先展开平面，再构造直角三角形计算； 勾股数仅为正整数组合，其整数倍仍为勾股数。 题型解析◆精准备考 题型1用勾股定理解三角形 1．如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．7 C．6 D．8 2．等腰三角形的腰长为25，底边长为14，则它底边上的高为_______． 3．已知直角三角形两直角边的和为，斜边长为，求这个直角三角形的面积． 题型2已知两点坐标求两点距离 1．二次根式的最小值是（   ） A．5 B． C．12 D．13 2．已知点的坐标是，点的坐标是，为轴上的动点，则的最小值是__________． 3．在平面直角坐标系中，点，点，点， (1)当时，的形状为________； (2)当时，的周长为________； (3)当的面积为6时，求m值． 题型3勾股树（数）问题 1．下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．7，24，25 B．8，15，17 C．9，12，15 D．10，15，20 2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是________． 3．问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 题型4以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，是的边上的高．分别以线段为边向外作正方形，正方形的面积分别为．关于的等式为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，c为斜边，a、b为直角边，，，则的面积为______． 3．如图，和都是等腰直角三角形，四边形是正方形，已知三角形的面积是，求正方形的面积？ 题型5勾股定理与网格问题 1．如图，网格中小正方形的边长为，点都在格点（网格线的交点）上，以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，和的顶点都是网格线交点，那么________ ． 3．如图，方格中每个小正方形的边长都为1． (1)图1中正方形的边长为______； (2)在图2的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点的位置． 题型6勾股定理与折叠问题 1．如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处，连接、，动点在线段上点与点、不重合，动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．点、在移动过程中，线段的长度是______________． 3．如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，求的长． 题型7利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 2．如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 3．如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使． (1)判断的形状并说明理由． (2)已知， ①求证：． ②若与的面积相等，求的度数． 题型8勾股定理的证明方法 1．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式：___________． 3．勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图是约3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：如图是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据如图证明勾股定理； (2)如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值． 题型9用勾股定理构造图形解决问题 1．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，某景区有一圆柱形景观柱，底面周长为，高为，为了营造气氛，景区准备在景观柱上缠绕不同颜色的装饰带．其中一条红色装饰带从景观柱底点A处沿景观柱侧面缠绕到顶部B处，这条装饰带的长度至少需要___________m． 3．【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 题型10勾股定理与无理数 1．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 2．如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是______． 3．如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A． (1)数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”） (3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹） 题型11勾股定理的应用（共9题） 1．如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（   ）米． A．1 B．2 C．0.5 D．2.5 2．如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端距离，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向外移______． 3．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行，墙面与地面垂直），木杆、木杆按图中位置摆放，若点A到地面的距离为，木杆比凳宽长，求木杆的长度． 4．一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然后再沿北偏西方向走了米到达目的地处(如图所示)，那么，两地的距离是( ) A．米 B．米 C．米 D．米 5．一艘轮船从海面上A地出发，向南偏西的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶30海里到达C地，则A，C两地相距为______海里． 6．如图，灯塔位于海岛的北偏西方向，且相距，一艘船从海岛出发，以的速度沿北偏东方向航行，经过小时到达处，此时，相距，求的值． 7．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 8．在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距________． 9．如图，在三角形支架中，，垂足为，为的中点，，为上一点，． (1)求的长； (2)若点为线段上一动点，则的最小值为__________． 过关检测◆提升 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．1，，2 B．7，24，25 C．6，6，8 D．5，12，11 2．如果一个直角三角形的两条直角边长分别为和2cm，则斜边上的高为（　　） A． B． C． D． 3．1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（   ） A．3，4，5 B．5，6，11 C．6，8，15 D．7，12，12 4．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，点A，B，C恰好在格点上，求中边上的高为（   ） A． B． C． D． 5．长方形纸片中，，，将纸片沿折叠使点与点重合，折痕与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形，四边形是正方形，对角线和交于点O，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在数轴上点表示的实数是_____． 8．如果点P在y轴上，点A坐标是，且，那么点P的坐标是_________． 9．如图所示，一个长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为，如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移________m． 10．如图，一轮船以6海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距________海里． 11．公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为_______秒． 12．定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____． 三、解答题 13．如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 14．如图，某通信公司计划在A，B两地间的E处修建一座信号塔，这样C，D两个村庄到E处的距离恰好相等．已知于点A，于点B，，，，求信号塔E应建在离A地多远的地方． 15．如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 16．如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02勾股定理及其应用期中复习讲义 期中复习◆重点 勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：若三角形三边满足两边平方和等于第三边平方，则该三角形为直角三角形。 基础识记：常见勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25及其整数倍。 特殊直角三角形：含30°直角三角形、等腰直角三角形三边比例。 核心：应用求线段长度、判断直角三角形、折叠问题、最短路径求解、梯子/航海/网格等实际计算。 易错警示：分清直角边与斜边、计算单位统一、规范使用逆定理。 核心题型◆归纳 题型1用勾股定理解三角形 题型2已知两点坐标求两点距离 题型3勾股树（数）问题 题型4以直角三角形三边为边长的图形面积 题型5勾股定理与网格问题 题型6勾股定理与折叠问题 题型7利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型8勾股定理的证明方法 题型9用勾股定理构造图形解决问题 题型10勾股定理与无理数 题型11勾股定理的应用 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01勾股定理（核心内容） 适用范围：仅针对直角三角形，非直角三角形不可套用。 核心内容：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。 公式表达：设直角三角形两直角边长为a、b，斜边长为c，则+=。 公式变形：求斜边：c =；求直角边：,b=​。 知识点02勾股定理的逆定理 核心定义：如果一个三角形的三边长a、b、c满足+=，那么这个三角形是直角三角形。 核心用途：① 判定直角三角形；② 解决“判断三角形形状”的题型。 关键提醒：逆定理的核心是“由边长关系判定三角形类型”，需明确：最长边所对的角为直角（即c边对直角）。 知识点03勾股定理的证明（常见方法） 知识点04基础识记（必背内容） 1.勾股数 定义：满足+=的三个正整数，常见组合： 基础组：(3, 4, 5)、(5, 12, 13)、(7, 24, 25) 关键：其整数倍仍为勾股数（如6, 8, 10）。 2.特殊直角三角形 含30°角：三边比例1: : 2（30°对边=斜边的一半） 等腰直角三角形：三边比例1: 1: 知识点05勾股定理的实际应用（高频题型） 核心思路：将实际问题、复杂图形转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解。 基础计算：已知两边求第三边（如直角边6、8，求斜边）； 图形计算：长方形/正方形对角线、折叠问题； 立体图形：长方体/圆柱表面最短路径（展开平面构造直角三角形）； 实际场景：梯子滑动、航海测距、台风影响范围计算。 知识点06核心方法与易错点 勿混淆直角边与斜边，未明确斜边时需分类讨论； 单位统一，根式化简彻底（如化简为2）； 逆定理需验证边长关系，不可盲目判定直角三角形； 立体图形最短路径：先展开平面，再构造直角三角形计算； 勾股数仅为正整数组合，其整数倍仍为勾股数。 题型解析◆精准备考 题型1用勾股定理解三角形 1．如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据中点，求出的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴ 2．等腰三角形的腰长为25，底边长为14，则它底边上的高为_______． 【答案】24 【分析】过等腰三角形的顶点作底边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质得到底边一半的长度，再结合勾股定理即可求出底边上的高． 【详解】解：过点作于，如图所示： ，， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴它底边上的高为24． 3．已知直角三角形两直角边的和为，斜边长为，求这个直角三角形的面积． 【答案】 【分析】设直角三角形两直角边为a和b，根据题意得，，，然后利用完全平方公式求出，进而求解即可． 【详解】解：设直角三角形两直角边为a和b， 根据题意得，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴这个直角三角形的面积． 题型2已知两点坐标求两点距离 1．二次根式的最小值是（   ） A．5 B． C．12 D．13 【答案】D 【分析】将二次根式转化为两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：可看成点到点或点的距离， 可看成点到点或点的距离， ∵点关于x轴对称，点关于x轴对称， ∴连接交x轴于点A，此时取最小值，此时． 2．已知点的坐标是，点的坐标是，为轴上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】利用轴对称性质将所求线段和转化为两点间的线段长度，根据两点之间线段最短确定最小值． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质可得，因此， 根据两点之间线段最短，可得的最小值为线段的长， ， ， 又， 由两点间距离公式得：， 的最小值是． 3．在平面直角坐标系中，点，点，点， (1)当时，的形状为________； (2)当时，的周长为________； (3)当的面积为6时，求m值． 【答案】(1)等腰三角形 (2)12 (3) 【分析】本题考查了点的坐标，勾股定理，线段的和差关系，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出点，结合两点距离公式得，则，故是等腰三角形； （2）先得出点，结合两点距离公式得，则，，得出周长，即可作答． （3）理解题意，得出，点B到的距离是，运用面积公式以及的面积为6，得，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：当时，则点， ∵点，点， ∴，， 则，， ∴是等腰三角形， （2）解：当时，则点， ∵点，点， ∴，， 则周长， （3）解：∵点，点，点， ∴，点B到的距离是， 则的面积， ∵的面积为6， ∴， 解得， ∴． 题型3勾股树（数）问题 1．下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．7，24，25 B．8，15，17 C．9，12，15 D．10，15，20 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，勾股数是满足两较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，据此验证各选项即可得到答案． 【详解】解：对选项A：，且均为正整数，则7，24，25是勾股数，故本选项不符合题意； 对选项B：，且均为正整数，则8，15，17是勾股数，故本选项不符合题意； 对选项C：，且均为正整数，则9，12，15是勾股数，故本选项不符合题意； 对选项D：，，，不满足勾股数的条件，则10，15，20不是勾股数，故本选项符合题意． 2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的意义及应用，熟练掌握勾股定理的应用是做题的关键． 根据勾股定理和正方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示， 由勾股定理可知， 正方形与的面积和等于正方形的面积，正方形与的面积和等于正方形的面积，并且正方形与的面积和等于最大的正方形的面积， 因此，四个小正方形A、B、C、D的面积之和为最大的正方形的面积． 最大的正方形的边长是， 最大的正方形的面积为， 即图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是． 故答案为：． 3．问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 【答案】(1)16，5 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质及面积，熟练掌握这些知识是解这道题的关键． （1）根据勾股定理知两直角边的平方和等于斜边的平方，在勾股树中就是两较小正方形的面积和等于较大正方形的面积，知道这点关系即可解决此问题； （2）①证和全等，即可得出结论； ②根据正方形，正方形的面积分别为16，9，求出这两个正方形的边长，从而利用勾股定理求出的长度，根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得， 正方形E的面积是16， 同理可得， ， 正方形G的边长为5． 故答案为：16，5． （2）①证明：∵正方形和正方形， ，， ， 在和中， ， ． ②解：正方形，正方形的面积分别为16，9， ，，， ． 由①可知：． 题型4以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，是的边上的高．分别以线段为边向外作正方形，正方形的面积分别为．关于的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对和运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴． 2．在中，，c为斜边，a、b为直角边，，，则的面积为______． 【答案】30 【分析】根据勾股定理得到，根据完全平方公式得到，得出，由三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，和都是等腰直角三角形，四边形是正方形，已知三角形的面积是，求正方形的面积？ 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，解题关键是掌握以直角三角形三边为边长的图形面积求法． 将三角形平均分成9份，三角形平均分成8份，阴影部分相当于这样的4份．三角形的面积是平方厘米，先用除法，求出平均1份是多少平方厘米，再用乘法，求出这样的4份是多少平方厘米，即正方形的面积，据此解答． 【详解】解：如图： （平方厘米）， （平方厘米）， 答：正方形的面积是平方厘米． 题型5勾股定理与网格问题 1．如图，网格中小正方形的边长为，点都在格点（网格线的交点）上，以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由勾股定理可得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，， ∵， ∴． 2．如图，和的顶点都是网格线交点，那么________ ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键．连接，构造等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得，，由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，方格中每个小正方形的边长都为1． (1)图1中正方形的边长为______； (2)在图2的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点的位置． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由勾股定理求出正方形的边长即可； （2）由构造直角三角形，可得出长度为的线段，再以原点为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点即可． 【详解】（1）解：观察图形，正方形每条边均可作为直角边分别为、的直角三角形的斜边， 由勾股定理可得边长为， 故答案为：． （2）解：， 故可作为直角边分别为、的直角三角形的斜边， 作图如下，点即为所求： 题型6勾股定理与折叠问题 1．如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 2．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处，连接、，动点在线段上点与点、不重合，动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．点、在移动过程中，线段的长度是______________． 【答案】 【分析】由折叠的性质得出，由勾股定理求出，，过点作交于，由平行线的性质，等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ，， 将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处， ， ， ， ， 过点作交于， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ，， ， ， ． 3．如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题． 设，由折叠可知，结合勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设， ， 由折叠可知， ∵四边形是长方形，， ， ， 解得：， 的长为10． 题型7利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出④，再根据勾股定理即可得出③． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故④正确； ，， ， 故③不正确， 故选：D． 2．如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 3．如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使． (1)判断的形状并说明理由． (2)已知， ①求证：． ②若与的面积相等，求的度数． 【答案】(1)是直角三角形，证明见解析 (2)①见解析② 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知，进而可知，即是直角三角形； （2）①根据角平分线的定义得到，根据等边对等角得到，根据可知，根据等角对等边得到，根据勾股定理得到，结合平方差公式作答即可； ②过作交于点，作交于点，根据角平分线的性质定理得到，根据得到，可知是等边三角形，即，可知，根据三角形内角和定理作答即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）①证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 即； ②解：过作交于点，作交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平方差公式，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型8勾股定理的证明方法 1．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用平方差公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选B． 2．将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式：___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 即， 整理得：． 故答案为：． 3．勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图是约3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：如图是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据如图证明勾股定理； (2)如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 【分析】（1）阴影部分的面积=大正方形面积减去4个直角三角形面积，表示各个图形的面积证明即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：∵阴影部分的面积=大正方形面积减去4个直角三角形面积， ； （2）解：∵大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3， ， ， ； 题型9用勾股定理构造图形解决问题 1．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； 设绳索的长是，则，故，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设绳索的长是，则， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得，， ∴绳索的长是， 故选：B． 2．如图，某景区有一圆柱形景观柱，底面周长为，高为，为了营造气氛，景区准备在景观柱上缠绕不同颜色的装饰带．其中一条红色装饰带从景观柱底点A处沿景观柱侧面缠绕到顶部B处，这条装饰带的长度至少需要___________m． 【答案】5 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图与勾股定理的综合应用．解题的关键是将圆柱侧面展开为长方形，把曲面最短路径问题转化为平面内的线段最短问题．将圆柱侧面沿高展开成长方形，以底面周长和圆柱高为直角边构造直角三角形，利用勾股定理计算斜边长度，即为装饰带的最短长度． 【详解】解：将圆柱侧面沿高展开，得到一个长为底面周长、宽为圆柱高的长方形． 装饰带的最短长度为底面周长的一半即长为、宽为圆柱高的长方形的对角线长度，可由勾股定理计算： 装饰带最短距离为， 故答案为：5． 3．【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，利用面积相等是解题的关键． （1）先求出中间小正方形的边长为，再分别求出小正方形的面积和大正方形的面积，利用面积的关系即可得出结论； （2）根据题意设计方案即可． 【详解】（1）证明：由图可知，， ， ， ． （2）解：通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，如图2所示： 题型10勾股定理与无理数 1．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴ 点表示的数． 2．如图，点在数轴上表示数，以为直角边，在数轴上方画，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，由勾股定理可得，从而求出点坐标，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点， ∴点表示的数是， 故答案为：． 3．如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A． (1)数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”） (3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)< (3)作图见详解，理由见详解 【分析】本题考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，实数的大小比较及无理数在数轴上的几何作图． （1）先求的长度，再利用“圆的半径相等”确定的长度，最后结合数轴位置确定数； （2）利用“负数比较大小，绝对值大的反而小”，把两个数转化为“负的平方根”形式，再比较被开方数； （3）构造直角边平方和为10的直角三角形，利用勾股定理得到斜边为，再以原点为圆心，斜边为半径画弧，交数轴正半轴的点即为对应的点． 【详解】（1）解：∵，， ∴数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴， 故答案为：<． （3）解：如图所示为所求： 理由：在数轴的正半轴3位置处取点E，过点E作，使， 在中，， 以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点F，此时， ∴点F即为对应的点． 题型11勾股定理的应用（共9题） 1．如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（   ）米． A．1 B．2 C．0.5 D．2.5 【答案】C 【分析】根据题意，利用勾股定理求出，，计算即可求解． 【详解】解：由题可知，，米，米，米， 在中，， ， ， 在中，， ， 则梯子顶端A下滑了米． 2．如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端距离，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向外移______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，进而得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，由题意可知，，，，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， 即梯子底端将向外移， 故答案为：． 3．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行，墙面与地面垂直），木杆、木杆按图中位置摆放，若点A到地面的距离为，木杆比凳宽长，求木杆的长度． 【答案】 【分析】延长交于点，设，则，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：延长交于点， 根据题意，得，， 设，则， 由勾股定理得，则， 解得， ∴，． 答：木杆的长度为． 4．一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然后再沿北偏西方向走了米到达目的地处(如图所示)，那么，两地的距离是( ) A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的实际应用与方向角的意义，关键是通过方向角的关系判断出为直角三角形，再利用勾股定理计算斜边的长度． 【详解】解：如图，直线， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形． ∵，， ∴， 故选：D． 5．一艘轮船从海面上A地出发，向南偏西的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶30海里到达C地，则A，C两地相距为______海里． 【答案】50 【分析】本题考查了方向角，勾股定理，由题意可得，，海里，海里，，则，求出，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接， ， 由题意可得：，，海里，海里，， ∴， ∴， ∴由勾股定理可得：海里， 故A，C两地相距为海里， 故答案为：． 6．如图，灯塔位于海岛的北偏西方向，且相距，一艘船从海岛出发，以的速度沿北偏东方向航行，经过小时到达处，此时，相距，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答．根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，，， ，，， ， 是直角三角形， ， ． 7．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 8．在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距________． 【答案】15 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用，再结合勾股定理求出即可． 【详解】解：设，则， ， ， 故， 解得；． 故答案为：15． 9．如图，在三角形支架中，，垂足为，为的中点，，为上一点，． (1)求的长； (2)若点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】(1)1.6 (2) 【分析】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边中线定理以及轴对称求最短路径的核心知识点． （1）先在中用勾股定理求出，再在中用勾股定理求出． （2）利用是的垂直平分线，将转化为，其最小值为线段 的长，再通过构造直角三角形，用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：∵ ， ，． ∴， ∴． （2）解：如图，连接交于点，连接，此时的值最小，最小值为的长． 取的中点，连接． ∵ ，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 过关检测◆提升 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．1，，2 B．7，24，25 C．6，6，8 D．5，12，11 【答案】B 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项验证即可求解． 【详解】解：A．不是正整数，不符合题意． B．∵， ∴，且三个数均为正整数，故B符合题意． C．，，，故C不符合题意． D．，，，故D不符合题意． 2．如果一个直角三角形的两条直角边长分别为和2cm，则斜边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出斜边长度，再通过直角三角形面积的两种不同表示方法建立等式，求解斜边上的高． 【详解】解：设直角三角形两条直角边分别为，，斜边为，斜边上的高为. 由勾股定理得， ， ， ， 直角三角形面积可表示为，也可表示为， ，即， ． 3．1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（   ） A．3，4，5 B．5，6，11 C．6，8，15 D．7，12，12 【答案】B 【分析】根据勾股定理得到三个正方形的面积满足两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 4．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，点A，B，C恰好在格点上，求中边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用割补法求出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴中边上的高为． 5．长方形纸片中，，，将纸片沿折叠使点与点重合，折痕与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由折叠的性质及矩形的性质可表示出和的长，在中利用勾股定理列式解方程即可得解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 设， 由折叠的性质可知，， ， 在中，，即， 解得， 即的长为． 6．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形，四边形是正方形，对角线和交于点O，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出，然后得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴ ∵四边形是正方形 ∴， ∴，即 ∴． 二、填空题 7．如图，在数轴上点表示的实数是_____． 【答案】 【分析】由图可知，A点到原点的距离为，再根据点A在原点的左边，即可得到点A表示的实数． 【详解】解：如图所示，A点到原点的距离为， ∵点A在原点的左边， ∴点A表示的实数为． 8．如果点P在y轴上，点A坐标是，且，那么点P的坐标是_________． 【答案】或 【分析】根据y轴上点的坐标特征设出点P的坐标，再利用两点间距离公式列方程求解，即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵点P在y轴上． ∴设点P的坐标为， ∵点A坐标是，且， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 9．如图所示，一个长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为，如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移________m． 【答案】/ 【分析】梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后的所构成的两个直角三角形水平方向的直角边即可． 【详解】解：由题意可得， 在中，根据勾股定理知，， 在中，根据勾股定理知，， 所以． 10．如图，一轮船以6海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距________海里． 【答案】20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方位角，由题意得出海里，海里，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，设一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行到，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行到， 由题意得：(海里)，(海里)，， (海里)， 离开港口2小时后，则两船相距海里. 11．公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为_______秒． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，找出拖拉机会影响学校的路段的长度，再根据“时间路程速度”求解即可．熟练掌握勾股定理及题目情景是解本题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：如图所示，为点到直线的距离即，，，为拖拉机会影响学校的路段， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时， 又∵， ∴， ∴学校受影响的时间为秒． 故答案为：． 12．定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可． 【详解】解：在Rt中，， ∴， 当时， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 当， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 三、解答题 13．如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【答案】5100元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，运用勾股定理得，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为，以及每平方米的地毯售价是150元，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 在楼梯上铺地毯需要的长度为， ∵楼梯宽为， ∴需要铺地毯的面积为， ∵每平方米的地毯售价是150元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为（元）． 14．如图，某通信公司计划在A，B两地间的E处修建一座信号塔，这样C，D两个村庄到E处的距离恰好相等．已知于点A，于点B，，，，求信号塔E应建在离A地多远的地方． 【答案】 【分析】设，则，根据，利用勾股定理建立等式解答即可． 【详解】解：由，设，则． ，， 和都是直角三角形， 在和中， ，． ，，， ， 解得， ． 答：信号塔E应建在离A地远的地方． 15．如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 16．如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，利用勾股定理可得； （2）利用勾股定理可以求出，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】（1）解：， 理由如下，， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ， ， 中，， ； （2）解：中，， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $